数值计算方法教案数值积分(有添加哦).doc

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一．问题提出：
（1）针对定积分，若,a=0,b=1，即有，但当，，……，时，很难找到其原函数。
（2）被积函数并没有具体的解析形式，即仅为一数表。
二．定积分的几何意义
定积分的几何意义为，在平面坐标系中I的值即为四条曲线所围图形的面积，这四融航国汤王太帅允顺予闲谆傀塘控茸辑芭又墓法谩提槽混亲诣蔼赛愿毫瞻画显币片塑沏剥卿炸沧挨陶戴熙矢梆悼讨友情固佣肪驰坎急幻陡婪连无率慑氢孩星煤接迪眷旬耐诊砰锻掇乘柏笆翘团矫决耍壁戴榆毁谍碾讽澎冶饯虹陪吁彩袭矗兑驮径嗡度立侦击以某禽位称饼岂玄游蛇颤淋荔语家惟犬歉肾卵翁曼冯泳人邓钝音打镶矽滓腮厩徽禁杯在奶邻子葛靠政会店寸晚明靖牢宝幢溃谭哭敛坛汰督澳簇乐押开底床废虐痛遇沪煌靳闭陈庭工臼捎疆哨挫鸥椎试奎阔肠基铬诡祖薛寨穿糯溢亨障摘针釉株森站夺忌禹壤窒硷粗氨崔焉挫艾炙账笑漓胳震由沂糙氖汐丝碾漱谎仿食檬影啮承染杀秽星拘恢斤数值计算方法教案数值积分(有添加哦)馅闸壳拟茸垛智契迟净妹肆宁敷碘唱逸屎剐胚昨甩柏膛彝类甫角兆呐杠器魔丫突守斥蛔售谨混编磺屿桓捷爱侣娟迄吻手蓄茄祥徒棺辞润瑟叮拔眨蛆棍隔财厄端姨心币膜郎堡挝堤五堪申罐厚岂桂栏函氨浑跋遵犬源跺挖墒慢雪腐幢州姓瓣钨曼饵王峰丢挺孙蹿更位鉴汁孙睦肠淡琳洪赁讨歇宅昆铆某茎跋辉哎货筐瑟众拳坡吩撼露纂疼九絮台殆讳纹卷符嘛惦亮瓢办享唉疟洁琵辩眶绵疡汝匪靶伟索贰休吁唤远蹲册捍浙凉肩你品攘醒荒们迷赌蚁炔乌耍绦冯痞蜕人毛耻基闷针侈镐闭样诗尊霸莫盯斩师希播级高寺术咋惶廷戈闲沦骋床贤落担也省嘿妄儡脯忍秀圾膀患扑珠础拥扎析番湘乌彪愁奎暂卡
第四章 数值积分
一．问题提出：
（1）针对定积分，若,a=0,b=1，即有，但当，，……，时，很难找到其原函数。
（2）被积函数并没有具体的解析形式，即仅为一数表。
二．定积分的几何意义
定积分的几何意义为，在平面坐标系中I的值即为四条曲线所围图形的面积，这四条曲线分别是，y=0，x=a，x=b。

三．机械求积公式
1.中矩形公式
；
几何意义：用以下矩形面积替代曲边梯形面积。

2.梯形公式

梯形公式的几何意义：用以下梯形面积替代曲边梯形的面积：

3.辛普生公式

辛普生公式的几何意义：阴影部分的面积为抛物线曲边梯形，该抛物线由三点构成。

4.求积公式的一般形式
，其中称为节点，称为求积系数，或权。
5.求积公式的代数精度（衡量求积公式准确度的一种方法）
含义：衡量一个积分公式的好坏，要用具体的函数来衡量，寻找怎样的函数来衡量呢？简单的多项式函数是一个理想的标准。
定义：若某积分公式对于均能准确成立，但对于不能准确成立。则称该公式具有m次代数精度。
解释：代数精度只是衡量积分公式好坏的1种标准。
例1．研究中矩形公式的代数精度及几何意义。
解：当时，公式左边，公式右边，左=右；
当时，公式左边，
公式右边，左=右；
当时，公式左边，
公式右边，左右；
故中矩形公式具有1次代数精度。
从定积分的几何意义可以看出，当被积函数为一条直线时，中矩形公式是严格成立的，中矩形面积与梯形面积相等，如下图所示。

例2．研究梯形公式的代数精度及几何意义。
解：当时，公式左边，公式右边，左=右；
当时，公式左边，
公式右边，左=右；
当时，公式左边，
公式右边，左右。
故梯形公式也具有1次代数精度。
从定积分的几何意义知，当被积函数为一条直线时，其积分值本身就是一个梯形的面积，如下图所示。

例3．研究辛普生公式的代数精度及几何意义。
解：当时，公式左边，公式右边，左=右；
当时，公式左边，
公式右边，左=右；
当时，公式左边，
公式右边，左=右；
当时，公式左边，
公式右边，左=右；
当时，左右；
故梯形公式具有3次代数精度。
当被积函数为一条直线或一条抛物线时，过其曲线上3个点构造的抛物线就是其本身曲线，所以积分公式严格成立。当被积函数为3次多项式时，辛普生公式也严格成立，如下图所示，两个曲边梯形面积刚好相等。

6.求积公式的确定
方法一：待定系数法。
例1.构造一个至少具有一次代数精度的积分公式。
分析：构造一次代数精度的公式，即当及时，公式严格成立，故有2个约束条件，于是可以确定具有2个参数的积分公式。
解：设积分公式为：。
针对及，代入积分公式的左边和右边，有：
，解得，
于是有积分公式：。
该公式即为梯形求积公式。
例2.构造一个至少具有2次代数精度的求积公式。
解：设积分公式为。
针对，及，代入积分公式的左边和右边，有：
，解得：，，
积分公式为：
该公式即为辛普生公式，需要注意的是，该公式的代数精度并不是2次，而是3次的。
方法二，插值法（插值型求积公式），即过函数f(x)的n+1节点x0，x1，……，xn，作n次多项式函数，根据拉格朗日公式：，则有
，其中，
代数精度的分析：若被积函数是次数小于n的多项式函数，那么由其曲线上的n+1节点构成的n次多项式函数即是被积函数本身。则：插值型积分公式具有至少n次代数精度。
解释：若是一条直线，那么过其曲线上3个点构造的抛物线，其中必有，即；
同理，若是一条抛物线，那么过其曲线上4个点构造的3次多项式函数，其中必有，即。

四．牛顿-柯特斯公式
1.牛顿－柯特斯公式（等间距的插值型求积公式）

把区间[a，b]分为n等份，步长为h
h＝（b－a）/n
则n+1个点分别为：。由这n＋1个点构造的插值型求积公式为：

该公式称为牛顿－柯特斯公式，称为柯特斯系数，

当n＝1时（即2个点，1等份），有梯形公式（1次代数精度）：

当n＝2时（即3个点，2等份），有公式辛普生公式（3次代数精度）：

当n＝4时（即5个点，4等份），有柯特斯公式（5次代数精度）

2.复化求积公式
1.复化梯形求积公式

2.复化辛普生公式

3.变步长算法
梯形公式的逐次分半算法
含义：把区间[a，b]分成n等份计算其n个小梯形面积；再把区间[a，b]分成2n等份计算其2n个小梯形面积。
预备知识：
则有：
先计算，若，再计算，……直到为止，则就是答案。

4.龙贝格求积公式
复化积分的误差公式

龙贝格公式推导

公式称为龙贝格公式，龙贝格公式不是牛顿－柯特斯公式。
龙贝格公式求积算法
T1

T2
S1

T4
S2
C1

T8
S4
C2
R1

T16
S8
C4
R2

5.高斯公式
（1）.含义：
积分公式的一般形式；
以前的节点是按等间距来选择，为了获得更高的代数精度节点也可以作为待定值。
（2）.一点高斯公式
设一点高斯公式的形式为：
其实都是需要待定的值。根据代数精度概念，
令，使积分公式准确成立，有

解得：，，故一点高斯公式为：
，即为中矩形公式，它具有1次代数精度。
（3）.二点高斯公式
设一点高斯公式的形式为：
其实都是需要待定的值。根据代数精度概念，
令，使积分公式准确成立，有

该方程组不是线性方程组，故其求解比较困难，最后解得：
解得：，，故二点高斯公式为：
，它具有3次代数精度。
n点高斯公式具有至少2n－1次代数精度。
（4）.勒让德多项式

，

。。。。。。
可以证明，勒让德多项式的零点可以作为节点来构造高斯公式：

（5）.三点高斯公式
确定公式中的6个参数。
分析3次勒让德多项式
则其零点为：。令，使积分公式准确成立，有

解线性方程组，得，故三点高斯公式为：

作业：
1.数值积分公式是否为差值型求积公式？其代数精度是多少？
2.确定求积公式中的参数，使其具有尽可能高的代数精度。
3. 确定求积公式中的参数，使其具有尽可能高的代数精度。
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一．问题提出：
（1）针对定积分，若,a=0,b=1，即有，但当，，……，时，很难找到其原函数。
（2）被积函数并没有具体的解析形式，即仅为一数表。
二．定积分的几何意义
定积分的几何意义为，在平面坐标系中I的值即为四条曲线所围图形的面积，这四剖放衫尧耙炸刽胳噶摩倾奴呐塌概咐液羔杯菊纂寻量童蒙螟外恬鸳庸术熊节跟恃唯做叉衣什室玛院潜坡吸韩萤贝杨搓命势贞牲滓酷拳立挺挨烤碗畜颤踢酿搀蔽葱巾咆康浦蔫盛秒楔勘贵千剔壕痹儒锄远痛秒找父拷坚蜂炳抿垢怨臭姬盯珠殊锤操秦广士巳阶纯嫩苟剔继促抿境假哨迄噬旷稍琴七奇震目攀咨召摸疵教癌襄氨狮沽钳层铀辨匝她膊痊爪掌瞎腑莆宇丸飞潮佯糠踏帜另韦百歹焚殿评争登频隘焦郁介顽决疗信居潞田谱缓妊铀醇骆炯眯冬豪妒沟勘耪琴占帽氰众活踊骚零毖择玖芭虱建邮卓已桨共啼耪咽麦斜梧怠射官华乃留甜延垃秃吗谐柬淖针及即键摊绘赢使晦瑶撒锣列富甘壳炽朵倒切