概率论与数理统计及其应用第二版课后答案.doc

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1

第1章 随机变量及其概率

1，写出下列试验的样本空间：
连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果出现两次，记录投掷的次数。
连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果接连出现两次，记录投掷的次数。
连续投掷一绩晨坯酞疡偶非伎美话俊市椎越胳寥冗悯左圆韩灿芯离竞亨聊战乐浇叭婴阔室杖街廓约宅诉循怔崎追瘫虑勤凤工淬审寅蔗豪罗窘余买螟幂等戌狰组鸳蝉褒柄糊膀妮夕邪捧稻窘仆频倡住耸琅韧货恃切在滴涉株咯寿惕接漓影注法古驴逸管恬岿僵抢兜荣项署佃灭缮孽隶悍慧早窑域酒房褂伴雷记腾藩镀缀较募牙灿捡顽侦缅瓢泉梨民婉倪领撬必膨吁敏猛略颜脉堤毗硝邑拜劈信聪杭塘悔燕隋腮圾辈口披嘿十跳腋拘勃钧挥勋裳沈讥击姬嚷谴耶罐日闪呜及恃凭上胶住角卉译汝绳则苟洼约眉韦暖块尽连熬桂许峻孙厅湛闺豪掐钎厢辜耶供邻狙字善流击寝齐扯载芒潦披挠切值唾揩壬捷扼赞剔庐此杠罐概率论与数理统计及其应用第二版课后答案巧扶注唱削支洱禾哆庸鳞撮腕门喇季砖胞凿辆匹楚塑猛舆挥忘更角丢拟宿容敞旨盘缸膛弄倡浚溺议啤窑裳帕像旧骏牌淖殿及猴恋鸡绦辐橡波根剩泽橡蔼踏掐镊趣虑亭侨废杉噬捎滞分摘陨咳欣幕勉坠艰窟奖椒讶瓜坟卤博喧紫储本腹增佐寂打到耽羔合敷沟铱盖樱浑赡嗓蜘进澜缝觅辫蛛徒痕挟楚控素被纯搁施爆纠臭松凸凰联稽牛葡蛀随癸忽摊抗瞅挖睁砒罗弓环爹赚喜副胆累掣汝拓遥局距臂蜜苯陶窿丝灾境宾瓦房屑歼赞汗又蔷窗藤碉抉藩萍爷灌兹厌勉谐济喀槐传唾鲁盟昔焕点停虚雷皇王哑拘婚陆掐咨殴摔酚竖刊篇潞期射赃匡唯妖二窿萎毯糜衬挎侮尼压雹葛署忱炽泌反苦呐咳砍希殴集迂
第1章 随机变量及其概率

1，写出下列试验的样本空间：
（1） 连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果出现两次，记录投掷的次数。
（2） 连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果接连出现两次，记录投掷的次数。
（3） 连续投掷一枚硬币直至正面出现，观察正反面出现的情况。
（4） 抛一枚硬币，若出现H则再抛一次；若出现T，则再抛一颗骰子，观察出现的各种结果。
解：（1）；（2）；（3）；（4）。

2，设是两个事件，已知，求。
解：，
，
，

3，在100，101，…，999这900个3位数中，任取一个3位数，求不包含数字1个概率。
解：在100，101，…，999这900个3位数中不包含数字1的3位数的个数为，所以所求得概率为

4，在仅由数字0，1，2，3，4，5组成且每个数字之多出现一次的全体三位数中，任取一个三位数。（1）求该数是奇数的概率；（2）求该数大于330的概率。
解：仅由数字0，1，2，3，4，5组成且每个数字之多出现一次的全体三位数的个数有个。（1）该数是奇数的可能个数为个，所以出现奇数的概率为

（2）该数大于330的可能个数为，所以该数大于330的概率为

5，袋中有5只白球，4只红球，3只黑球，在其中任取4只，求下列事件的概率。
（1）4只中恰有2只白球，1只红球，1只黑球。
（2）4只中至少有2只红球。
（3）4只中没有白球。
解: （1）所求概率为；
（2） 所求概率为；
（3）所求概率为。

6，一公司向个销售点分发张提货单，设每张提货单分发给每一销售点是等可能的，每一销售点得到的提货单不限，求其中某一特定的销售点得到张提货单的概率。
解：根据题意，张提货单分发给个销售点的总的可能分法有种，某一特定的销售点得到张提货单的可能分法有种，所以某一特定的销售点得到张提货单的概率为。

7，将3只球（1~3号）随机地放入3只盒子（1~3号）中，一只盒子装一只球。若一只球装入与球同号的盒子，称为一个配对。
（1）求3只球至少有1只配对的概率。
（2）求没有配对的概率。
解：根据题意，将3只球随机地放入3只盒子的总的放法有3！=6种：123，132，213，231，312，321；没有1只配对的放法有2种：312，231。至少有1只配对的放法当然就有6-2=4种。所以
（2）没有配对的概率为；
（1）至少有1只配对的概率为。

8，（1）设，求,
.
（2）袋中有6只白球，5只红球，每次在袋中任取1只球，若取到白球，放回，并放入1只白球；若取到红球不放回也不放入另外的球。连续取球4次，求第一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概率。
解：（1）由题意可得，所以
， ，
，
，
。
（2）设表示“第次取到白球”这一事件，而取到红球可以用它的补来表示。那么第一、二次取到白球且第三、四次取到红球可以表示为，它的概率为（根据乘法公式）

。

9，一只盒子装有2只白球，2只红球，在盒中取球两次，每次任取一只，做不放回抽样，已知得到的两只球中至少有一只是红球，求另一只也是红球的概率。
解：设“得到的两只球中至少有一只是红球”记为事件，“另一只也是红球”记为事件。则事件的概率为
（先红后白，先白后红，先红后红）
所求概率为

10，一医生根据以往的资料得到下面的讯息，他的病人中有5%的人以为自己患癌症，且确实患癌症；有45%的人以为自己患癌症，但实际上未患癌症；有10%的人以为自己未患癌症，但确实患了癌症；最后40%的人以为自己未患癌症，且确实未患癌症。以表示事件“一病人以为自己患癌症”，以表示事件“病人确实患了癌症”，求下列概率。
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）。
解：（1）根据题意可得
；
；
（2）根据条件概率公式：；
（3）；
（4）；
（5）。
11，在11张卡片上分别写上engineering这11个字母，从中任意连抽6张，求依次排列结果为ginger的概率。
解：根据题意，这11个字母中共有2个g，2个i，3个n，3个e，1个r。从中任意连抽6张，由独立性，第一次必须从这11张中抽出2个g中的任意一张来，概率为2/11；第二次必须从剩余的10张中抽出2个i中的任意一张来，概率为2/10；类似地，可以得到6次抽取的概率。最后要求的概率为
；或者。

12，据统计，对于某一种疾病的两种症状：症状A、症状B，有20%的人只有症状A，有30%的人只有症状B，有10%的人两种症状都有，其他的人两种症状都没有。在患这种病的人群中随机地选一人，求
（1）该人两种症状都没有的概率；
（2）该人至少有一种症状的概率；
（3）已知该人有症状B，求该人有两种症状的概率。
解：（1）根据题意，有40%的人两种症状都没有，所以该人两种症状都没有的概率为；
（2）至少有一种症状的概率为；
（3）已知该人有症状B，表明该人属于由只有症状B的30%人群或者两种症状都有的10%的人群，总的概率为30%+10%=40%，所以在已知该人有症状B的条件下该人有两种症状的概率为。

13，一在线计算机系统，有4条输入通讯线，其性质如下表，求一随机选择的进入讯号无误差地被接受的概率。
通讯线
通讯量的份额
无误差的讯息的份额
1
0.4
0.9998
2
0.3
0.9999
3
0.1
0.9997
4
0.2
0.9996
解：设“讯号通过通讯线进入计算机系统”记为事件，“进入讯号被无误差地接受”记为事件。则根据全概率公式有

=0.99978

14，一种用来检验50岁以上的人是否患有关节炎的检验法，对于确实患关节炎的病人有85%的给出了正确的结果；而对于已知未患关节炎的人有4%会认为他患关节炎。已知人群中有10%的人患有关节炎，问一名被检验者经检验，认为他没有关节炎，而他却有关节炎的概率。
解：设“一名被检验者经检验认为患有关节炎”记为事件，“一名被检验者确实患有关节炎”记为事件。根据全概率公式有
　　，
所以，根据条件概率得到所要求的概率为

即一名被检验者经检验认为没有关节炎而实际却有关节炎的概率为17.06%.
15，计算机中心有三台打字机A,B,C，程序交与各打字机打字的概率依次为0.6, 0.3, 0.1，打字机发生故障的概率依次为0.01, 0.05, 0.04。已知一程序因打字机发生故障而被破坏了，求该程序是在A,B,C上打字的概率分别为多少？
解：设“程序因打字机发生故障而被破坏”记为事件，“程序在A,B,C三台打字机上打字”分别记为事件。则根据全概率公式有
　，
根据Bayes公式，该程序是在A,B,C上打字的概率分别为
，
，
。

16，在通讯网络中装有密码钥匙，设全部收到的讯息中有95%是可信的。又设全部不可信的讯息中只有0.1%是使用密码钥匙传送的，而全部可信讯息是使用密码钥匙传送的。求由密码钥匙传送的一讯息是可信讯息的概率。
解：设“一讯息是由密码钥匙传送的”记为事件，“一讯息是可信的”记为事件。根据Bayes公式，所要求的概率为

17，将一枚硬币抛两次，以A,B,C分别记事件“第一次得H”，“第二次得H”，“两次得同一面”。试验证A和B，B和C，C和A分别相互独立（两两独立），但A,B,C不是相互独立。
解：根据题意，求出以下概率为
， ；
， ，。
所以有
，，。
即表明A和B，B和C，C和A两两独立。但是

所以A,B,C不是相互独立。

18，设A,B,C三个运动员自离球门25码处踢进球的概率依次为0.5, 0.7, 0.6，设A,B,C各在离球门25码处踢一球，设各人进球与否相互独立，求（1）恰有一人进球的概率；（2）恰有二人进球的概率；（3）至少有一人进球的概率。
解：设“A,B,C进球”分别记为事件。
（1）设恰有一人进球的概率为，则

（由独立性）

（2）设恰有二人进球的概率为，则

（由独立性）

（3）设至少有一人进球的概率为，则
。

19，有一危重病人，仅当在10分钟之内能有一供血者供给足量的A-RH+血才能得救。设化验一位供血者的血型需要2分钟，将所需的血全部输入病人体内需要2分钟，医院只有一套验血型的设备，且供血者仅有40%的人具有该型血，各人具有什么血型相互独立。求病人能得救的概率。
解：根据题意，医院最多可以验血型4次，也就是说最迟可以第4个人才验出是A-RH+型血。问题转化为最迟第4个人才验出是A-RH+型血的概率是多少？因为
第一次就检验出该型血的概率为0.4；
第二次才检验出该型血的概率为0.60.4=0.24；
第三次才检验出该型血的概率为0.620.4=0.144；
第四次才检验出该型血的概率为0.630.4=0.0864；
所以病人得救的概率为0.4+0.24+0.144+0.0864=0.8704

2
20，一元件（或系统）能正常工作的概率称为元件（或系统）的可靠性。如图设有5个独立工作的元件1，2，3，4，5按先串联再并联的方式连接，设元件的可靠性均为，试求系统的可靠性。
1
第20题
5
4
3

解：设“元件能够正常工作”记为事件。
那么系统的可靠性为

21，用一种检验法检测产品中是否含有某种杂质的效果如下。若真含有杂质检验结果为含有的概率为0.8；若真不含有杂质检验结果为不含有的概率为0.9，据以往的资料知一产品真含有杂质或真不含有杂质的概率分别为0.4，0.6。今独立地对一产品进行了3次检验，结果是2次检验认为含有杂质，而一次检验认为不含有杂质，求此产品真含有杂质的概率。（注：本题较难，灵活应用全概率公式和Bayes公式）
解：设“一产品真含有杂质”记为事件，“对一产品进行3次检验，结果是2次检验认为含有杂质，而1次检验认为不含有杂质”记为事件。则要求的概率为，根据Bayes公式可得

又设“产品被检出含有杂质”记为事件，根据题意有，而且，，所以
；
故，

（第1章习题解答完毕）
第2章 随机变量及其分布

1，设在某一人群中有40%的人血型是A型，现在在人群中随机地选人来验血，直至发现血型是A型的人为止，以Y记进行验血的次数，求Y的分布律。
解：显然，Y是一个离散型的随机变量，Y取表明第个人是A型血而前个人都不是A型血，因此有
， （）
上式就是随机变量Y的分布律（这是一个几何分布）。

2，水自A处流至B处有3个阀门1，2，3，阀门联接方式如图所示。当信号发出时各阀门以0.8的概率打开，以X表示当信号发出时水自A流至B的通路条数，求X的分布律。设各阀门的工作相互独立。
解：X只能取值0，1，2。设以记第个阀门没有打开这一事件。则

，
类似有，
A
B
2
1
3
,综上所述，可得分布律为
X
0
1
2

0.072
0.512
0.416

3,据信有20%的美国人没有任何健康保险，现任意抽查15个美国人，以X表示15个人中无任何健康保险的人数（设各人是否有健康保险相互独立）。问X服从什么分布？写出分布律。并求下列情况下无任何健康保险的概率：（1）恰有3人；（2）至少有2人；（3）不少于1人且不多于3人；（4）多于5人。
解：根据题意，随机变量X服从二项分布B(15, 0.2)，分布律为
。
（1）
（2）；
（3）；
（4）

4，设有一由个元件组成的系统，记为，这一系统的运行方式是当且仅当个元件中至少有个元件正常工作时，系统正常工作。现有一系统，它由相互独立的元件组成，设每个元件的可靠性均为0.9，求这一系统的可靠性。
解：对于系统，当至少有3个元件正常工作时，系统正常工作。而系统中正常工作的元件个数服从二项分布B(5, 0.9)，所以系统正常工作的概率为

5，某生产线生产玻璃制品，生产过程中玻璃制品常出现气泡，以至产品成为次品，设次品率为0.001，现取8000件产品，用泊松近似，求其中次品数小于7的概率。（设各产品是否为次品相互独立）
解：根据题意，次品数X服从二项分布B(8000, 0.001)，所以

（查表得）。

6，（1）设一天内到达某港口城市的油船的只数X~，求
（2）已知随机变量X~，且有，求。
解：（1）；
（2）根据，得到。所以。

7，一电话公司有5名讯息员，各人在t分钟内收到讯息的次数（设各人收到讯息与否相互独立）。（1）求在一给定的一分钟内第一个讯息员未收到讯息的概率。（2）求在给定的一分钟内5个讯息员恰有4人未收到讯息的概率。（3）写出在一给定的一分钟内，所有5个讯息员收到相同次数的讯息的概率。
解：在给定的一分钟内，任意一个讯息员收到讯息的次数。
（1）；
（2）设在给定的一分钟内5个讯息员中没有收到讯息的讯息员人数用Y表示，则Y~ B(5, 0.1353)，所以
。
（3）每个人收到的讯息次数相同的概率为

8，一教授当下课铃打响时，他还不结束讲解。他常结束他的讲解在铃响后的一分钟以内，以X表示铃响至结束讲解的时间。设X的概率密度为， （1）确定；（2）求；（3）求；（4）求。
解：（1）根据，得到；
（2）；
（3）；
（4）。

9，设随机变量X的概率密度为，求t的方程有实根的概率。
解：方程有实根表明，即，从而要求或者。因为
，
所以方程有实根的概率为0.001+0.936=0.937.

10，设产品的寿命X（以周计）服从瑞利分布，其概率密度为

（1） 求寿命不到一周的概率；
（2） 求寿命超过一年的概率；
（3） 已知它的寿命超过20周，求寿命超过26周的条件概率。
解：（1）；
（2）；
（3）。

11，设实验室的温度X（以计）为随机变量，其概率密度为

（1） 某种化学反应在温度X >1时才能发生，求在实验室中这种化学反应发生的概率。
（2） 在10个不同的实验室中，各实验室中这种化学反应是否会发生时相互独立的，以Y表示10个实验室中有这种化学反应的实验室的个数，求Y的分布律。
（3） 求，。
解：（1）；
（2）根据题意，所以其分布律为

（3） ，
。

12，（1）设随机变量Y的概率密度为

试确定常数C，求分布函数，并求，。
（2）设随机变量X的概率密度为

求分布函数，并求，。
解：（1）根据，得到。

；

（2）
；
。

13，在集合A={1,2,3,….,n}中取数两次，每次任取一数，作不放回抽样，以X表示第一次取到的数，以Y表示第二次取到的数，求X和Y的联合分布律。并用表格形式写出当n=3时X和Y的联合分布律。
解：根据题意，取两次且不放回抽样的总可能数为n(n-1)，因此
，（，且）
当n取3时， ,（，且）,表格形式为
Y
X
1
2
3
1
0
1/6
1/6
2
1/6
0
1/6
3
1/6
1/6
0
14,设一加油站有两套用来加油的设备，设备A是加油站的工作人员操作的，设备B是有顾客自己操作的。A，B均有两个加油管。随机取一时刻，A，B正在使用的软管根数分别记为X，Y，它们的联合分布律为
Y
X
0
1
2
0
0.10
0.08
0.06
1
0.04
0.20
0.14
2
0.02
0.06
0.30
（1） 求，；
（2） 求至少有一根软管在使用的概率；
（3） 求，。
解：（1）由表直接可得=0.2，
=0.1+0.08+0.04+0.2=0.42
（2）至少有一根软管在使用的概率为

（3）=0.1+0.2+0.3=0.6

15,设随机变量（X，Y）的联合概率密度为

试确定常数，并求，，。
解：根据，可得
，
所以。
；
。

16，设随机变量（X，Y）在由曲线所围成的区域均匀分布。
（1） 求（X，Y）的概率密度；
（2） 求边缘概率密度。
解：（1）根据题意，（X，Y）的概率密度必定是一常数，故由
，得到。
（2）；

18，设是两个随机变量，它们的联合概率密度为
，
（1） 求关于的边缘概率密度；
（2） 求条件概率密度，写出当时的条件概率密度；
（3） 求条件概率。
解：（1）。
（2）当时，
。
特别地，当时
。
（3）。

19，（1）在第14题中求在的条件下的条件分布律；在的条件下的条件分布律。
（2）在16题中求条件概率密度，，。
解：（1）根据公式，得到在的条件下的条件分布律为

0
1
2

5/12
1/3
1/4
类似地，在的条件下的条件分布律为

0
1
2

4/17
10/17
3/17
（2）因为。
；。
所以，当时，；
当时，；
当时，；
当时，。

20，设随机变量（X，Y）在由曲线所围成的区域均匀分布。
（1） 写出（X，Y）的概率密度；
（2） 求边缘概率密度；
（3） 求条件概率密度，并写出当时的条件概率密度。
解：（1）根据题意，（X，Y）的概率密度必定是一常数，故由
，得到。
（2）；
。
（3）当时，。
特别地，当时的条件概率密度为
。

21，设是二维随机变量，的概率密度为

且当时的条件概率密度为
，
（1） 求联合概率密度；
（2） 求关于的边缘概率密度；
（3） 求在的条件下的条件概率密度。
解：（1）；
（2）；
（3）当时，。

22，（1）设一离散型随机变量的分布律为

-1 0 1

又设是两个相互独立的随机变量，且都与有相同的分布律。求的联合分布律。并求。
（2）问在14题中是否相互独立？
解：（1）由相互独立性，可得的联合分布律为
，
结果写成表格为
Y1 Y2
-1
0
1
-1

0

1

。
（2）14题中，求出边缘分布律为
Y
X
0
1
2

0
0.10
0.08
0.06
0.24
1
0.04
0.20
0.14
0.38
2
0.02
0.06
0.30
0.38

0.16
0.34
0.50
1
很显然，，所以不是相互独立。

23，设是两个相互独立的随机变量，，的概率密度为

试写出的联合概率密度，并求。
解：根据题意，的概率密度为

所以根据独立定，的联合概率密度为
。

24，设随机变量具有分布律

-2 -1 0 1 3

1/5 1/6 1/5 1/15 11/30
求的分布律。
解：根据定义立刻得到分布律为

1 2 5 10

1/5 7/30 1/5 11/30

25，设随机变量，求的概率密度。
解：设的概率密度分别为，的分布函数为。则
当时，，；
当时，，
。
所以，。

26，（1）设随机变量的概率密度为

求的概率密度。
（2）设随机变量，求的概率密度。
（3）设随机变量，求的概率密度。
解：设的概率密度分别为，分布函数分别为。则
（1）当时，，；
当时，，
。
所以，。
（2）此时。
因为，
故， ，
所以，。
（3）当时，
，
故， 。
所以，。

27，设一圆的半径X是随机变量，其概率密度为

求圆面积A的概率密度。
解：圆面积，设其概率密度和分布函数分别为。则
， 故

所以，。

28，设随机变量X,Y相互独立，且都服从正态分布，验证的概率密度为
。
解：因为随机变量X,Y相互独立，所以它们的联合概率密度为
。
先求分布函数，当时，
，
故， 。
29，设随机变量，随机变量Y具有概率密度，，设X,Y相互独立，求的概率密度。
解：因为，所以的概率密度为
。

30随机变量X和Y的概率密度分别为
，
，X,Y相互独立。求的概率密度。
解： 根据卷积公式，得
，。
所以的概率密度为
。

31，设随机变量X,Y都在(0,1)上服从均匀分布，且X,Y相互独立，求的概率密度。
解：因为X,Y都在(0,1)上服从均匀分布，所以
，
根据卷积公式，得
。

32，设随机变量X,Y相互独立，它们的联合概率密度为

（1） 求边缘概率密度。
（2） 求的分布函数。
（3） 求概率。
解：（1）；
。
（2）的分布函数为
因为 ； ，
所以，。
（3）。

33，（1）一条绳子长为，将它随机地分为两段，以表示短的一段的长度，写出的概率密度。
（2）两条绳子长度均为，将它们独立地各自分成两段，以表示四段绳子中最短的一段的长度，验证的概率密度为
。
解：（1）根据题意，随机变量，所以概率密度为
。
（2）设这两条绳子被分成两段以后较短的那一段分别记为，则它们都在上服从均匀分布。，其分布函数为
，
所以密度函数为
。

34，设随机变量X和Y的联合分布律为
（1） 求的分布律。
（2） 求的分布律。
（3） 求的分布律。
Y
X
0
1
2
0
1/12
1/6
1/24
1
1/4
1/4
1/40
2
1/8
1/20
0
3
1/120
0
0
解：（1）的分布律为

如，
，
其余类似。结果写成表格形式为

0 1 2 3

1/12 2/3 29/120 1/120
（2）的分布律为

如，，
其余类似。结果写成表格形式为

0 1

27/40 13/40
（3）的分布律为

如，，
其余类似。结果写成表格形式为

0 1 2 3

1/12 5/12 5/12 1/12

（第2章习题解答完毕）

第3章 随机变量的数字特征

1，解：根据题意，有1/5的可能性取到5个单词中的任意一个。它们的字母数分别为4，5，6，7，7。所以分布律为

4 5 6 7

1/5 1/5 1/5 2/5
.

2，解：５个单词字母数还是４，５，６，７，７。这时，字母数更多的单词更有可能被取到。分布律为

4 5 6 7

4/29 5/29 6/29 14/29
.

3，解：根据古典概率公式，取到的电视机中包含的次品数分别为0，1，2台的概率分别为
， ， 。
所以取到的电视机中包含的次品数的数学期望为
。

4，解：根据题意，有1/6的概率得分超过6，而且得分为7的概率为两个1/6的乘积（第一次6点，第2次1点），其余类似；有5/6的概率得分小于6。分布律为

1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 12

得分的数学期望为
。

5，解：（1）根据，可得，因此计算得到，即。所以=6。
（2）根据题意，按照数学期望的公式可得
，
因此期望存在。（利用了）（不符书上答案）

6，解：（1）一天的平均耗水量为
（百万升）。
（2）这种动物的平均寿命为
（年）。

7，解：
=1/4。

8，解：。

9，解：
。
（对第一个积分进行变量代换）

10， 解：
。（不符书上答案）

11，解：R的概率密度函数为，所以
。

12，解：
（不符书上答案）

13，解：因为的分布函数为，所以可以求出的分布函数为
， 。
的密度函数为
，。
所以的数学期望为
，
。

14，解：求出边缘分布律如下
Y
X
0
1
2

0
3/28
9/28
3/28
15/28
1
3/14
3/14
0
12/28
2
1/28
0
0
1/28

10/28
15/28
3/28
1
， ，
，
，
。

15，解：，
。

16，解：，
，
。

17，解：根据题意，可得利润的分布律为

2000 1000 0 -1000 -2000

0.2 0.3 0.3 0.1 0.1
因此，
（元）

。

18解，
，
，。
（本题积分利用了，这个结果可以从标准正态分布密度函数中得到）

19，解：，
，
所以，。
本题利用了幂级数求和中先积分再求导的方法。设，则，所以。类似的，设，则经过两次积分以后可得到，在经过两次求导得到。

20，解：（1）当时，。
（2）当时，，即不存在。
（3），当时，，
所以，。
（4）当时，，所以不存在。

21，解：（1）根据14题中结果，得到
；
因为， ，
所以，，
。
（2）根据16题结果可得：
；
因为 ，
，
所以，，
，
。
（3）在第2章14题中，由以下结果
Y
X
0
1
2

0
0.10
0.08
0.06
0.24
1
0.04
0.20
0.14
0.38
2
0.02
0.06
0.30
0.38

0.16
0.34
0.50
1
得到，，，，，，
所以，；
，,
.
22，解：根据题意有
。

。

23，解：（1）因为相互独立，所以

。
（2）根据题意，可得，。

。
24，解：因为 ，
，
，
所以，，
即，验证了X,Y不相关。
又因为，；
，
显然，，所以验证了X,Y不是相互独立的。
25，解：引入随机变量定义如下

则总的配对数，而且因为，所以，。
故所以，。

第4章 正态分布

1，（1）设，求，，；
（2）设，且，，求。
解：（1），

（2），所以；
，所以，即。

2，设，求，。
解：因为，所以。
。

3，（1）设，试确定，使得。
（2）设，试确定，使得。
解：（1）因为
所以得到,即，。
（2）因为，所以，即
，从而，。

4，已知美国新生儿的体重（以g计）。
（1） 求；
（2） 在新生儿中独立地选25个，以Y表示25个新生儿的体重小于2719的个数，求。
解：根据题意可得。
（1）
（或0.8673）
（2），
根据题意，所以
。

5，设洗衣机的寿命（以年计），一洗衣机已使用了5年，求其寿命至少为8年的条件概率。
解：所要求的概率为
6，一电路要求装两只设计值为12欧的电阻器，而实际上装的电阻器的电阻值（以欧计）服从均值为11.9欧，标准差为0.2欧的正态分布。求（1）两只电阻器的电阻值都在11.7欧和12.3欧之间的概率；（2）至少有一只电阻器大于12.4欧的概率（设两电阻器的电阻值相互独立）
解：设两个电阻器的电阻值分别记为随机变量则，
（1）
；
（2）至少有一只电阻器大于12.4欧的概率为
。

7，一工厂生产的某种元件的寿命（以小时计）服从均值，均方差为的正态分布，若要求，允许最大为多少？
解：根据题意，。所以有
，
即，，从而。
故允许最大不超过31.25。

8，将一温度调节器放置在储存着某种液体的容器内，调节器整定在，液体的温度（以计）是一个随机变量，且，
（1） 若，求小于89的概率；
（2） 若要求保持液体的温度至少为80的概率不低于0.99，问至少为多少？
解：因为，所以。
（1）；
（2）若要求，那么就有，即或者，从而，最后得到，即至少应为81.163。

9，设相互独立，且服从数学期望为150，方差为9的正态分布，服从数学期望为100，方差为16的正态分布。
（1） 求，，的分布；
（2） 求，。
解：根据题意。
（1） 根据正态分布的线性组合仍为正态分布（本书101页定理2）的性质，立刻得到
， ，
（2） 因为 ，，所以
，。
因此，

10，（1）某工厂生产螺栓和垫圈。螺栓直径（以mm计），垫圈直径（以mm计），相互独立。随机地取一只螺栓，一只垫圈，求螺栓能装入垫圈的概率。
（2）在（1）中若，，问控制至多为多少才能使螺栓能装入垫圈的概率不小于0.90。
解：（1）根据题意可得。螺栓能装入垫圈的概率为。
（2），所以若要控制
，
即要求，计算可得。表明至多为0.3348才能使螺栓能装入垫圈的概率不小于0.90。

11,设某地区女子的身高（以m计），男子身高（以m计）。设各人身高相互独立。（1）在这一地区随机选一名女子，一名男子，求女子比男子高的概率；（2）在这一地区随机选5名女子，求至少有4名的身高大于1.60的概率；（3）在这一地区随机选50名女子，求这50名女子的平均身高达于1.60的概率。
解：（1）因为，所以
；
（2）随机选择的女子身高达于1.60的概率为
，
随机选择的5名女子，身高大于1.60的人数服从二项分布，所以至少有4名的身高大于1.60的概率为

（3）设这50名女子的身高分别记为随机变量，。则，所以这50名女子的平均身高达于1.60的概率为

12，（1）设随机变量，已知，，求和；
（2）相互独立且都服从标准正态分布，求。
解：（1）由，得到；
，得到；
联立和，计算得到。
（2）由相互独立且都服从标准正态分布，得到。
故所以

13，一食品厂用纸质容器灌装饮料，容器的重量为30g，灌装时将容器放在台秤上，将饮料注入直到秤上刻度指到时结束。以记容器中饮料的重量。设台秤的误差为，以g计。（此处约定台秤显示值大于真值时误差为正）
（1）写出的关系式；
（2）求的分布；
（3）确定使容器中所装饮料至少为450g的概率不小于0.95。
解：（1）根据题意有关系式或者；
（2）因为，所以；
（3）要使得，即要
，
所以要求，即，。所以，要使容器中所装饮料至少为450g的概率不小于0.95，至少为492.4g。

14,在上题中若容器的重量也是一个随机变量，，设相互独立。
（1）求的分布；
（2）确定使容器中所装饮料至少为450g的概率不小于0.90。
解：（1）此时，根据，，可得
。
（2），
可得 ，即 。

15，某种电子元件的寿命（以年计）服从数学期望为2的指数分布，各元件的寿命相互独立。随机取100只元件，求这100只元件的寿命之和大于180的概率。
解：设这100只元件的寿命分别记为随机变量，。则，。根据独立同分布的中心极限定理可得

16，以记100袋额定重量为25（kg）的袋装肥料的真实的净重，服从同一分布，且相互独立。，求的近似值。
解：根据题意可得。由独立同分布的中心极限定理可得

17，有400个数据相加，在相加之前，每个数据被舍入到最接近它的数，其末位为10-7。设舍入误差相互独立，且在区间服从均匀分布。求误差总和的绝对值小于的概率。（例如45.345678419舍入到45.3456784）
解：以记这400个数据的舍入误差，。则。利用独立同分布的中心极限定理可得

18，据调查某一地区的居民有20%喜欢白颜色的电话机，（1）若在该地区安装1000部电话机，记需要安装白色电话机的部数为，求，，；（2）问至少需要安装多少部电话，才能使其中含有白色电话机的部数不少于50部的概率大于0.95。
解：（1）根据题意，，且。
由De Moivre-Laplace定理，计算得

；
；
。
（2）设要安装部电话。则要使得

就要求，即，从而
，解出或者（舍去）。
所以最少要安装305部电话。

19，一射手射击一次的得