整式的乘法和因式分解练习题集.doc

整式的乘法与因式分解

一．选择题（共16小题）
1．下列运算正确的是（　　）
A．||= B．x3•x2=x6 C．x2+x2=x4 D．（3x2）2=6x4
2．下列运算正确的是（　　）
A．a+2a=3a2 B．a3•a2=a5 C．（a4）2=a6 D．a4+a2=a4
3．若a+b=3，a2+b2=7，则ab等于（　　）
A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣1
4．已知x+y=﹣5，xy=3，则x2+y2=（　　）
A．25 B．﹣25 C．19 D．﹣19
5．若4a2﹣kab+9b2是完全平方式，则常数k的值为（　　）
A．6 B．12 C．±12 D．±6
6．下列运算中正确的是（　　）
A．（x4）2=x6 B．x+x=x2 C．x2•x3=x5 D．（﹣2x）2=﹣4x2
7．设M=（x﹣3）（x﹣7），N=（x﹣2）（x﹣8），则M与N的关系为（　　）
A．M＜N B．M＞N C．M=N D．不能确定
8．（﹣am）5•an=（　　）
A．﹣a5+m B．a5+m C．a5m+n D．﹣a5m+n
9．若（x﹣3）（x+4）=x2+px+q，那么p、q的值是（　　）
A．p=1，q=﹣12 B．p=﹣1，q=12 C．p=7，q=12 D．p=7，q=﹣12
10．（xn+1）2（x2）n﹣1=（　　）
A．x4n B．x4n+3 C．x4n+1 D．x4n﹣1
11．下列计算中，正确的是（　　）
A．a•a2=a2 B．（a+1）2=a2+1 C．（ab）2=ab2 D．（﹣a）3=﹣a3
12．下列各式中不能用平方差公式计算的是（　　）
A．（x﹣y）（﹣x+y） B．（﹣x+y）（﹣x﹣y） C．（﹣x﹣y）（x﹣y） D．（x+y）（﹣x+y）
13．计算a5•（﹣a）3﹣a8的结果等于（　　）
A．0 B．﹣2a8 C．﹣a16 D．﹣2a16
14．已知m+n=2，mn=﹣2，则（1﹣m）（1﹣n）的值为（　　）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．5
15．已知多项式2x2+bx+c分解因式为2（x﹣3）（x+1），则b、c的值为（　　）
A．b=3，c=﹣1 B．b=﹣6，c=2 C．b=﹣6，c=﹣4 D．b=﹣4，c=﹣6
16．计算（﹣a﹣b）2等于（　　）
A．a2+b2 B．a2﹣b2 C．a2+2ab+b2 D．a2﹣2ab+b2

二．填空题（共7小题）
17．分解因式：x2﹣1=　 　．
18．分解因式：2x3﹣8x=　 　．
19．分解因式：3ax2﹣6axy+3ay2=　 　．
20．分解因式：m3﹣4m2+4m=　 　．
21．x2+kx+9是完全平方式，则k=　 　．
22．化简：（﹣2a2）3=　 　．
23．因式分解：y3﹣4x2y=　 　．

三．解答题（共3小题）
24．分解因式：
（1）（a2+b2）2﹣4a2b2
（2）（x2﹣2xy+y2）+（﹣2x+2y）+1．
25．已知，求的值．
26．请认真观察图形，解答下列问题：
（1）根据图中条件，用两种方法表示两个阴影图形的面积的和（只需表示，不必化简）；
（2）由（1），你能得到怎样的等量关系？请用等式表示；
（3）如果图中的a，b（a＞b）满足a2+b2=53，ab=14，求：①a+b的值；②a4﹣b4的值．

整式的乘法与因式分解
参考答案与试题解析

一．选择题（共16小题）
1．下列运算正确的是（　　）
A．||= B．x3•x2=x6 C．x2+x2=x4 D．（3x2）2=6x4
【分析】分别利用绝对值以及同底数幂的乘法运算法则、合并同类项、积的乘方运算法则分别化简求出答案．
【解答】解：A、|﹣1|=﹣1，正确，符合题意；
B、x3•x2=x5，故此选项错误；
C、x2+x2=2x2，故此选项错误；
D、（3x2）2=9x4，故此选项错误；
故选：A．
【点评】此题主要考查了绝对值以及同底数幂的乘法运算、合并同类项、积的乘方运算等知识，正确掌握运算法则是解题关键．

2．下列运算正确的是（　　）
A．a+2a=3a2 B．a3•a2=a5 C．（a4）2=a6 D．a4+a2=a4
【分析】根据整式的加法和幂的运算法则逐一判断即可．
【解答】解：A、a+2a=3a，此选项错误；
B、a3•a2=a5，此选项正确；
C、（a4）2=a8，此选项错误；
D、a4与a2不是同类项，不能合并，此选项错误；
故选：B．
【点评】本题主要考查幂的运算和整式的加法，掌握同类项的定义和同底数幂相乘、幂的乘方法则是解题的关键．

3．若a+b=3，a2+b2=7，则ab等于（　　）
A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣1
【分析】根据完全平方公式得到（a+b）2=9，再将a2+b2=7整体代入计算即可求解．
【解答】解：∵a+b=3，
∴（a+b）2=9，
∴a2+2ab+b2=9，
∵a2+b2=7，
∴7+2ab=9，
∴ab=1．
故选：B．
【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

4．已知x+y=﹣5，xy=3，则x2+y2=（　　）
A．25 B．﹣25 C．19 D．﹣19
【分析】把x2+y2利用完全平方公式变形后，代入x+y=﹣5，xy=3求值．
【解答】解：∵x+y=﹣5，xy=3，
∴x2+y2=（x+y）2﹣2xy=25﹣6=19．
故选：C．
【点评】本题的关键是利用完全平方公式求值，把x+y=﹣5，xy=3当成一个整体代入计算．

5．若4a2﹣kab+9b2是完全平方式，则常数k的值为（　　）
A．6 B．12 C．±12 D．±6
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可得到结果．
【解答】解：∵4a2﹣kab+9b2是完全平方式，
∴﹣kab=±2•2a•3b=±12ab，
∴k=±12，
故选：C．
【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

6．下列运算中正确的是（　　）
A．（x4）2=x6 B．x+x=x2 C．x2•x3=x5 D．（﹣2x）2=﹣4x2
【分析】根据同底数幂的乘法的性质，幂的乘方的性质，积的乘方的性质，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、（x4）2=x8，错误；
B、x+x=2x，错误；
C、x2•x3=x5，正确；
D、（﹣2x）2=4x2，错误；
故选：C．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，理清指数的变化是解题的关键．

7．设M=（x﹣3）（x﹣7），N=（x﹣2）（x﹣8），则M与N的关系为（　　）
A．M＜N B．M＞N C．M=N D．不能确定
【分析】根据多项式乘多项式的运算法则进行计算，比较即可得到答案．
【解答】解：M=（x﹣3）（x﹣7）=x2﹣10x+21，
N=（x﹣2）（x﹣8）=x2﹣10x+16，
M﹣N=（x2﹣10x+21）﹣（x2﹣10x+16）=5，
则M＞N．
故选：B．
【点评】本题考查的是多项式乘多项式，掌握多项式乘以多项式的法则是解题的关键．

8．（﹣am）5•an=（　　）
A．﹣a5+m B．a5+m C．a5m+n D．﹣a5m+n
【分析】根据积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；同底数幂相乘，底数不变指数相加计算即可．
【解答】解：（﹣am）5•an=﹣a5m+n．
故选：D．
【点评】本题考查幂的乘方的性质和同底数幂的乘法的性质，熟练掌握运算性质是解题的关键．

9．若（x﹣3）（x+4）=x2+px+q，那么p、q的值是（　　）
A．p=1，q=﹣12 B．p=﹣1，q=12 C．p=7，q=12 D．p=7，q=﹣12
【分析】此题可以将等式左边展开和等式右边对照，根据对应项系数相等即可得到p、q的值．
【解答】解：由于（x﹣3）（x+4）=x2+x﹣12=x2+px+q，
则p=1，q=﹣12．
故选：A．
【点评】本题考查了多项式乘多项式的法则，根据对应项系数相等求解是关键．

10．（xn+1）2（x2）n﹣1=（　　）
A．x4n B．x4n+3 C．x4n+1 D．x4n﹣1
【分析】根据幂的乘方法计算．
【解答】解：（xn+1）2（x2）n﹣1=x2n+2•x2n﹣2=x4n．
故选：A．
【点评】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方，注意把各种幂运算区别开，从而熟练掌握各种题型的运算．

11．下列计算中，正确的是（　　）
A．a•a2=a2 B．（a+1）2=a2+1 C．（ab）2=ab2 D．（﹣a）3=﹣a3
【分析】根据同底数幂的乘法法则对A进行判断；根据完全平方公式对B进行判断；根据幂的乘方与积的乘方对C、D进行判断．
【解答】解：A、a•a2=a3，所以A选项不正确；
B、（a+1）2=a2+2a+1，所以B选项不正确；
C、（ab）2=a2b2，所以C选项不正确；
D、（﹣a）3=﹣a3，所以D选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．也考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方．

12．下列各式中不能用平方差公式计算的是（　　）
A．（x﹣y）（﹣x+y） B．（﹣x+y）（﹣x﹣y） C．（﹣x﹣y）（x﹣y） D．（x+y）（﹣x+y）
【分析】根据公式（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2的左边的形式，判断能否使用．
【解答】解：A、由于两个括号中含x、y项的符号都相反，故不能使用平方差公式，A正确；
B、两个括号中，﹣x相同，含y的项的符号相反，故能使用平方差公式，B错误；
C、两个括号中，含x项的符号相反，y项的符号相同，故能使用平方差公式，C错误；
D、两个括号中，含x项的符号相反，y项的符号相同，故能使用平方差公式，D错误；
故选：A．
【点评】本题考查了平方差公式．注意两个括号中一项符号相同，一项符号相反才能使用平方差公式．

13．计算a5•（﹣a）3﹣a8的结果等于（　　）
A．0 B．﹣2a8 C．﹣a16 D．﹣2a16
【分析】先根据同底数幂相乘，底数不变指数相加计算，再合并同类项．
【解答】解：a5•（﹣a）3﹣a8=﹣a8﹣a8=﹣2a8．
故选：B．
【点评】同底数幂的乘法的性质：底数不变，指数相加．合并同类项的法则：只把系数相加减，字母与字母的次数不变．

14．已知m+n=2，mn=﹣2，则（1﹣m）（1﹣n）的值为（　　）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．5
【分析】多项式乘多项式法则，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积转换成以m+n，mn为整体相加的形式，代入求值．
【解答】解：∵m+n=2，mn=﹣2，
∴（1﹣m）（1﹣n），
=1﹣（m+n）+mn，
=1﹣2﹣2，
=﹣3．
故选：A．
【点评】本题考查了多项式乘多项式法则，合并同类项时要注意项中的指数及字母是否相同．

15．已知多项式2x2+bx+c分解因式为2（x﹣3）（x+1），则b、c的值为（　　）
A．b=3，c=﹣1 B．b=﹣6，c=2 C．b=﹣6，c=﹣4 D．b=﹣4，c=﹣6
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积，可得答案．
【解答】解：由多项式2x2+bx+c分解因式为2（x﹣3）（x+1），得
2x2+bx+c=2（x﹣3）（x+1）=2x2﹣4x﹣6．
b=﹣4，c=﹣6，
故选：D．
【点评】本题考查了因式分解的意义，利用了因式分解的意义．

16．计算（﹣a﹣b）2等于（　　）
A．a2+b2 B．a2﹣b2 C．a2+2ab+b2 D．a2﹣2ab+b2
【分析】根据两数的符号相同，所以利用完全平方和公式计算即可．
【解答】解：（﹣a﹣b）2=a2+2ab+b2．
故选：C．
【点评】本题主要考查我们对完全平方公式的理解能力，如何确定用哪一个公式，主要看两数的符号是相同还是相反．

二．填空题（共7小题）
17．分解因式：x2﹣1=　（x+1）（x﹣1）　．
【分析】利用平方差公式分解即可求得答案．
【解答】解：x2﹣1=（x+1）（x﹣1）．
故答案为：（x+1）（x﹣1）．
【点评】此题考查了平方差公式分解因式的知识．题目比较简单，解题需细心．

18．分解因式：2x3﹣8x=　2x（x﹣2）（x+2）　．
【分析】先提取公因式2x，再对余下的项利用平方差公式分解因式．
【解答】解：2x3﹣8x，
=2x（x2﹣4），
=2x（x+2）（x﹣2）．
【点评】本题考查因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．
运用平方差公式进行因式分解的多项式的特征：（1）二项式；（2）两项的符号相反；（3）每项都能化成平方的形式．

19．分解因式：3ax2﹣6axy+3ay2=　3a（x﹣y）2　．
【分析】先提取公因式3a，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
【解答】解：3ax2﹣6axy+3ay2，
=3a（x2﹣2xy+y2），
=3a（x﹣y）2，
故答案为：3a（x﹣y）2．
【点评】此题主要考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．

20．分解因式：m3﹣4m2+4m=　m（m﹣2）2　．
【分析】先提取公因式m，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
【解答】解：m3﹣4m2+4m
=m（m2﹣4m+4）
=m（m﹣2）2．
故答案为：m（m﹣2）2．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．

21．x2+kx+9是完全平方式，则k=　±6　．
【分析】这里首末两项是x和3这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和3的积的2倍，故k=±6．
【解答】解：中间一项为加上或减去x和3的积的2倍，
故k=±6．
【点评】本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．

22．化简：（﹣2a2）3=　﹣8a6　．
【分析】根据积得乘方与幂的乘方的运算法则计算即可．
【解答】解：（﹣2a2）3=（﹣2）3•（a2）3=﹣8a6．
故答案为：﹣8a6．
【点评】本题主要考查的是积得乘方与幂的乘方的运算，掌握积得乘方与幂的乘方的运算法则是解题的关键．

23．因式分解：y3﹣4x2y=　y（y+2x）（y﹣2x）　．
【分析】先提取公因式y，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：y3﹣4x2y，
=y（y2﹣4x2），
=y（y+2x）（y﹣2x）．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．

三．解答题（共3小题）
24．分解因式：
（1）（a2+b2）2﹣4a2b2
（2）（x2﹣2xy+y2）+（﹣2x+2y）+1．
【分析】（1）直接利用平方差公式分解因式，进而利用完全平方公式分解因式即可；
（2）直接利用完全平方公式分解因式得出即可．
【解答】解：（1）（a2+b2）2﹣4a2b2
=（a2+b2+2ab）（a2+b2﹣2ab）
=（a+b）2（a﹣b）2；

（2）（x2﹣2xy+y2）+（﹣2x+2y）+1
=（x﹣y）2﹣2（x﹣y）+1
=（x﹣y﹣1）2．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用平方差公式和完全平方公式是解题关键．

25．已知，求的值．
【分析】把两边平方得到+2=9，进而求出的值．
【解答】解：∵，
∴+2=9，
∴=7．
【点评】本题主要考查了完全平方式的知识点，解答本题的关键是把两边平方，此题基础题，难度不大．

26．请认真观察图形，解答下列问题：
（1）根据图中条件，用两种方法表示两个阴影图形的面积的和（只需表示，不必化简）；
（2）由（1），你能得到怎样的等量关系？请用等式表示；
（3）如果图中的a，b（a＞b）满足a2+b2=53，ab=14，求：①a+b的值；②a4﹣b4的值．

【分析】（1）直接把两个正方形的面积相加或利用大正方形的面积减去两个长方形的面积；
（2）利用面积相等把（1）中的式子联立即可；
（3）注意a，b都为正数且a＞b，利用（2）的结论进行探究得出答案即可．
【解答】解：（1）两个阴影图形的面积和可表示为：
a2+b2或 （a+b）2﹣2ab；
（2）a2+b2=（a+b）2﹣2ab；
（3）∵a，b（a＞b）满足a2+b2=53，ab=14，
∴①（a+b）2=a2+b2+2ab
=53+2×14=81
∴a+b=±9，
又∵a＞0，b＞0，∴a+b=9．

②∵a4﹣b4=（a2+b2）（a+b）（a﹣b），
且∴a﹣b=±5
又∵a＞b＞0，
∴a﹣b=5，
∴a4﹣b4=（a2+b2）（a+b）（a﹣b）=53×9×5=2385．

【点评】本题考查对完全平方公式几何意义的理解与运用，应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义；主要围绕图形面积展开分析．
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