【教案】垂径定理.docx

垂径定理
教学目标 ： 
(1) 知识与技能
理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程；能初步应用垂径定理进行计算和证明； 
(2) 过程与方法
进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力；
 (3)情感态度与价值观
通过圆的对称性，培养学生对数学的审美观，并激发学生对数学的热爱． 
教学重点、难点： 
重点：①垂径定理及应用；②从感性到理性的学习能力．   
难点：垂径定理的证明．
 教学学习活动设计： 
（一）实验活动，提出问题： 
1、实验：让学生用自己的方法探究圆的对称性，教师引导学生努力发现：圆具有轴对称、中心对称、旋转不变性.
 2、提出问题：老师引导学生观察、分析、发现和提出问题.  通过“演示实验——观察——感性——理性”引出垂径定理． 
（二）垂径定理及证明： 已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E． 求证：AE=EB．  
证明：连结OA、OB，则OA=OB．又∵CD⊥AB，∴直线CD是等腰△OAB的对称轴，又是⊙O的对称轴．所以沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，A点和B点重合，AE和BE重合，因此，AE=BE．从而得到圆的一条重要性质． 
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 
组织学生剖析垂径定理的条件和结论：CD为⊙O的直径，
CD⊥AB AE=EB.
为了运用的方便，不易出现错误，将原定理叙述为：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.
加深对定理的理解，突出重点，分散难点，避免学生记混. 
（三）应用和训练 例1、已知在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径． 
分析：要求⊙O的半径，连结OA，只要求出OA的长就可以了，因为已知条件点O到AB的距离为3cm，所以作OE⊥AB于E，而AE＝EB＝AB=4cm．此时解Rt△AOE即可．  
解：连结OA，作OE⊥AB于E． 则AE=EB． ∵AB=8cm，∴AE=4cm． 
又∵OE=3cm，∴⊙O的半径为5cm． 
说明：①学生独立完成，老师指导解题步骤；②应用垂径定理计算：涉及四条线段的长：弦长a、圆半径r、弦心距d、弓形高h关系：r=h+d；r2=d2+(a/2)2  
例2、 已知：在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点．求证AC=BD．（证明略）  
说明：此题为基础题目，对各个层次的学生都要求独立完成． 
练习1：教材练习1，2两道题.由学生分析思路，学生之间展开评价、交流． 指导学生归纳：①构造垂径定理的基本图形，垂径定理和勾股定理的结合是计算弦长、半径、弦心距等问题的常用方法；②在圆中解决弦的有关问题经常作的辅助线——弦心距. 
（四）小节与反思 
(1)圆的轴对称性；(2)垂径定理及应用． 
方法：(1)垂径定理和勾股定理有机结合计算弦长、半径、弦心距等问题的方法，构造直角三角形；(2)在因中解决与弦有关问题经常作的辅助线——弦心距；(3)为了更好理解垂径定理，一条直线只要满足①过圆心；②垂直于弦；则可得③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧． 
（五）作业  

课时作业设计
一、选择题．
1．如图1，如果AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，那么下列结论中，错误的是（ ）．
A．CE=DE B． C．∠BAC=∠BAD D．AC>AD

(1) (2) (3)
2．如图2，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，则弦AB的长是（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
3．如图3，在⊙O中，P是弦AB的中点，CD是过点P的直径，则下列结论中不正确的是（ ）
A．AB⊥CD B．∠AOB=4∠ACD C． D．PO=PD
二、填空题
1．如图4，AB为⊙O直径，E是中点，OE交BC于点D，BD=3，AB=10，则AC=_____．

(4) (5)
2．P为⊙O内一点，OP=3cm，⊙O半径为5cm，则经过P点的最短弦长为________；最长弦长为_______．
3．如图5，OE、OF分别为⊙O的弦AB、CD的弦心距，如果OE=OF，那么_______（只需写一个正确的结论）
三、综合提高题
1．如图24-11，AB为⊙O的直径，CD为弦，过C、D分别作CN⊥CD、DM⊥CD，分别交AB于N、M，请问图中的AN与BM是否相等，说明理由．

2．如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD长．

3．（开放题）AB是⊙O的直径，AC、AD是⊙O的两弦，已知AB=16，AC=8，AD=8，求∠DAC的度数．

答案:
一、1．D 2．D 3．D
二、1．8 2．8 10 3．AB=CD
三、1．AN=BM 理由：过点O作OE⊥CD于点E，则CE=DE，且CN∥OE∥DM．
∴ON=OM，∴OA-ON=OB-OM，
∴AN=BM．
2．过O作OF⊥CD于F，如右图所示
∵AE=2，EB=6，∴OE=2，
∴EF=，OF=1，连结OD，
在Rt△ODF中，42=12+DF2，DF=，∴CD=2．
3．（1）AC、AD在AB的同旁，如右图所示:
∵AB=16，AC=8，AD=8，
∴AC=（AB），∴∠CAB=60°，
同理可得∠DAB=30°，
∴∠DAC=30°．
（2）AC、AD在AB的异旁，同理可得：∠DAC=60°+30°=90°．

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