三角函数图像与性质知识点总结.doc

函数图像与性质知识点总结
一、 三角函数图象的性质
1．“五点法”描图
(1)y＝sin x的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为
(0,0)　　(π，0)　　(2π，0)
(2)y＝cos x的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为
(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)
2.三角函数的图象和性质
函数
性质
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
定义域
R
R
{x|x≠kπ＋，k∈Z}
图象

值域
[－1,1]
[－1,1]
R
对称性
对称轴： x＝kπ＋(k∈Z)；
对称中心：
(kπ，0)(k∈Z)
对称轴：
x＝kπ(k∈Z)
对称中心：
(kπ＋，0) (k∈Z)
对称中心： (k∈Z)
周期
2π
　2π　
π
单调性
单调增区间_[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)；
单调减区间
[2kπ＋,2kπ＋] (k∈Z)
单调增区间
[2kπ－π，2kπ] (k∈Z)；
单调减区间
[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)

单调增区间
(kπ－，kπ＋)(k∈Z)
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
3.一般地对于函数f(x)，如果存在一个非零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期，把所有周期中存在的最小正数，叫做最小正周期(函数的周期一般指最小正周期)
4.求三角函数值域(最值)的方法：
(1)利用sin x、cos x的有界性；
关于正、余弦函数的有界性
由于正余弦函数的值域都是[－1,1]，因此对于∀x∈R，恒有－1≤sin x≤1，－1≤cos x≤1，所以1叫做y＝sin x，y＝cos x的上确界，－1叫做y＝sin x，y＝cos x的下确界.
(2)形式复杂的函数应化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响.
(3)换元法：把sin x或cos x看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．
利用换元法求三角函数最值时注意三角函数有界性，如：y＝sin2x－4sin x＋5，令t＝sin x(|t|≤1)，则y＝(t－2)2＋1≥1，解法错误.
5.求三角函数的单调区间时，应先把函数式化成形如y＝Asin(ωx＋φ) (ω>0)的形式，再根据基本三角函数的单调区间，求出x所在的区间.应特别注意，应在函数的定义域内考虑.注意区分下列两题的单调增区间不同;利用换元法求复合函数的单调区间(要注意x系数的正负号)
(1)y＝sin；(2)y＝sin.
6、y＝Asin(ωx＋φ)＋B的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑：
①A的确定：根据图象的最高点和最低点，即A＝；
②B的确定：根据图象的最高点和最低点，即B＝；
③ω的确定：结合图象，先求出周期，然后由T＝(ω>0)来确定ω；
④φ的确定：把图像上的点的坐标带入解析式y＝Asin(ωx＋φ)＋B，然后根据φ的范围确定φ即可，例如由函数y＝Asin(ωx＋φ)＋K最开始与x轴的交点(最靠近原点)的横坐标为－(即令ωx＋φ＝0，x＝－)确定φ.
二、三角函数的伸缩变化
先平移后伸缩
　　的图象
得的图象
得的图象
得的图象
得的图象．
先伸缩后平移
的图象
得的图象
得的图象
得的图象得的图象．
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