二次函数与相似三角形问题(含答案).doc

综合题讲解 函数中因动点产生的相似三角形问题

例题 如图1，已知抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B。
⑴求抛物线的解析式；（用顶点式求得抛物线的解析式为）
⑵若点C在抛物线的对称轴上，点D在抛物线上，且以O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形，求D点的坐标；
⑶连接OA、AB，如图2，在x轴下方的抛物线上是否存在点P，使得△OBP与△OAB相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由。

例1题图
图1
图2

分析:1.当给出四边形的两个顶点时应以两个顶点的连线为四边形的边和对角线来考虑问题以O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形要分类讨论:按OB为边和对角线两种情况

2. 函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径
① 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。
②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。
③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。

例题2：如图，已知抛物线y=ax2+4ax+t（a＞0）交x轴于A、B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴交x轴于点E，点B的坐标为（-1，0）．
（1）求抛物线的对称轴及点A的坐标；
（2）过点C作x轴的平行线交抛物线的对称轴于点P，你能判断四边形ABCP是什么四边形？并证明你的结论；
（3）连接CA与抛物线的对称轴交于点D，当∠APD=∠ACP时，求抛物线的解析式．

练习1、已知抛物线经过及原点．
（1）求抛物线的解析式．（由一般式得抛物线的解析式为）
（2）过点作平行于轴的直线交轴于点，在抛物线对称轴右侧且位于直线下方的抛物线上，任取一点，过点作直线平行于轴交轴于点，交直线于点，直线与直线及两坐标轴围成矩形．是否存在点，使得与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
（3）如果符合（2）中的点在轴的上方，连结，矩形内的四个三角形之间存在怎样的关系？为什么？

练习2、如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A在x轴上，点C在y轴上，将边BC折叠，使点B落在边OA的点D处。已知折叠，且。
（1）判断与是否相似？请说明理由；
（2）求直线CE与x轴交点P的坐标；
（3）是否存在过点D的直线l，使直线l、直线CE与x轴所围成的三角形和直线l、直线CE与y轴所围成的三角形相似？如果存在，请直接写出其解析式并画出相应的直线；如果不存在，请说明理由。
O
x
y
练习2图
C
B
E
D

练习3、在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与轴交于两点（点在点的左边），与轴交于点，其顶点的横坐标为1，且过点和．
（1）求此二次函数的表达式；（由一般式得抛物线的解析式为）
（2）若直线与线段交于点（不与点重合），则是否存在这样的直线，使得以为顶点的三角形与相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点的坐标；若不存在，请说明理由；

C
B
A

练习4图
P
y
y
C

x
B
A

练习3图
（3）若点是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，试比较锐角与的大小（不必证明），并写出此时点的横坐标的取值范围．

O

练习4 、如图所示，已知抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于点C．
（1）求A、B、C三点的坐标．
（2）过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积．
（3）在轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似．若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由．

练习5、已知：如图，在平面直角坐标系中，是直角三角形，，点的坐标分别为，，．
（1）求过点的直线的函数表达式；点，，，
（2）在轴上找一点，连接，使得与相似（不包括全等），并求点的坐标；
（3）在（2）的条件下，如分别是和上的动点，连接，设，问是否存在这样的使得与相似，如存在，请求出的值；如不存在，请说明理由．

A
C
O
B
x
y

练习6、如图，已知抛物线与交于A(－1，0)、E(3，0)两点，与轴交于点B(0，3)。
（1） 求抛物线的解析式；
（2） 设抛物线顶点为D，求四边形AEDB的面积；
（3） △AOB与△DBE是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由。

练习7、如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c与坐标轴交于A、B、C三点， A点的坐标为（－1，0），过点C的直线y＝x－3与x轴交于点Q，点P是线段BC上的一个动点，过P作PH⊥OB于点H．若PB＝5t，且0＜t＜1．
（1）填空：点C的坐标是_ _，b＝_ _，c＝_ _；
（2）求线段QH的长（用含t的式子表示）；
（3）依点P的变化，是否存在t的值，使以P、H、Q为顶点的三角形与△COQ相似？若存在，求出所有t的值；若不存在，说明理由．

练习8、如图，抛物线经过三点．
（1）求出抛物线的解析式；
（2）P是抛物线上一动点，过P作轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得的面积最大，求出点D的坐标．

练习9、已知，如图1，过点作平行于轴的直线，抛物线上的两点的横坐标分别为1和4，直线交轴于点，过点分别作直线的垂线，垂足分别为点、，连接．
（1）求点的坐标；
（2）求证：；

（3）点是抛物线对称轴右侧图象上的一动点，过点作交轴于点，是否存在点使得与相似？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

练习10、当x＝2时，抛物线y＝ax2＋bx＋c取得最小值－1，并且抛物线与y轴交于点C（0，3），与x轴交于点A、B．
（1）求该抛物线的关系式；
（2）若点M（x，y1），N（x＋1，y2）都在该抛物线上，试比较y1与y2的大小；
A
B
C
D
O
x
y
E
F
3
（第26题图）
（3）D是线段AC的中点，E为线段AC上一动点（A、C两端点除外），过点E作y轴的平行线EF与抛物线交于点F．问：是否存在△DEF与△AOC相似？若存在，求出点E的坐标；若不存在，则说明理由．

练习11、如图，一次函数y=－2x的图象与二次函数y=－x2+3x图象的对称轴交于点B.
（1）写出点B的坐标 ；
（2）已知点P是二次函数y=－x2+3x图象在y轴右侧部分上的一个动点，将直线y=－2x沿y轴向上平移，分别交x轴、y轴于C、D两点. 若以CD为直角边的△PCD与△OCD相似，则点P的坐标为 .

O
B
C
D

练习12、如图，抛物线与轴交于两点A（－1，0），B（1，0），与轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)过点B作BD∥CA与抛物线交于点D，求四边形ACBD的面积；
(3)在轴下方的抛物线上是否存在一点M，过M作MN⊥轴于点N，使以A、M、N为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，则求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

练习13、已知：函数y=ax2+x+1的图象与x轴只有一个公共点．
（1）求这个函数关系式；
（2）如图所示，设二次函数y=ax2+x+1图象的顶点为B，与y轴的交点为A，P为图象上的一点，若以线段PB为直径的圆与直线AB相切于点B，求P点的坐标；
A
x
y
O
B
（3）在(2)中，若圆与x轴另一交点关于直线PB的对称点为M，试探索点M是否在抛物线y=ax2+x+1上，若在抛物线上，求出M点的坐标；若不在，请说明理由．

练习14、如图,设抛物线C1:, C2:,C1与C2的交点为A, B,点A的坐标是,点B的横坐标是－2.
（1） 求的值及点B的坐标；
（2）点D在线段AB上,过D作x轴的垂线,垂足为点H,在DH的右侧作正三角形DHG. 记过C2顶点Ｍ的直线为,且与x轴交于点N.
① 若过△DHG的顶点G,点D的坐标为(1, 2)，求点N的横坐标；
② 若与△DHG的边DG相交,求点N的横坐标的取值范围.

练习15、如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=1,点P在线段AB上运动，设AP=，现将纸片折叠，使点D与点P重合，得折痕EF（点E、F为折痕与矩形边的交点），再将纸片还原。
（1）当时，折痕EF的长为 ；当点E与点A重合时，折痕EF的长为 ；
（2）请写出使四边形EPFD为菱形的的取值范围，并求出当时菱形的边长；
（3）令，当点E在AD、点F在BC上时，写出与的函数关系式。当取最大值时，判断与是否相似？若相似，求出的值；若不相似，请说明理由。

练习16、如图，已知 ，，现以A点为位似中心，相似比为9:4，将OB向右侧放大，B点的对应点为C．
(1) 求C点坐标及直线BC的解析式;
(2) 一抛物线经过B、C两点，且顶点落在x轴正半轴上，求该抛物线的解析式并画出函数图象;
(3) 现将直线BC绕B点旋转与抛物线相交与另一点P，请找出抛物线上所有满足到直线AB距离为的点P．

参考答案
例题、解:⑴由题意可设抛物线的解析式为
∵抛物线过原点，
∴
∴.
图1
抛物线的解析式为,即
⑵如图1,当OB为边即四边形OCDB是平行四边形时,CDOB,
由得,
∴B(4,0),OB＝4.
∴D点的横坐标为6
将x＝6代入,得y＝－3,
∴D(6,－3);
根据抛物线的对称性可知,在对称轴的左侧抛物线上存在点D,使得四边形ODCB是平行四边形,此时D点的坐标为(－2,－3),
当OB为对角线即四边形OCBD是平行四边形时,D点即为A点,此时D点的坐标为(2,1)
⑶如图2，由抛物线的对称性可知:AO＝AB,∠AOB＝∠ABO.
若△BOP与△AOB相似,必须有∠POB＝∠BOA＝∠BPO
图2
设OP交抛物线的对称轴于A′点,显然A′(2,－1)
∴直线OP的解析式为
由,
得
.∴P(6,－3)
过P作PE⊥x轴,在Rt△BEP中,BE＝2,PE＝3,
∴PB＝≠4.
∴PB≠OB,∴∠BOP≠∠BPO,
∴△PBO与△BAO不相似,
同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的P点.
所以在该抛物线上不存在点P,使得△BOP与△AOB相似.

练习1、解：（1）由已知可得：
解之得，．
因而得，抛物线的解析式为：．
（2）存在．
设点的坐标为，则，
要使，则有，即
解之得，．
当时，，即为点，所以得
要使，则有，即
解之得，，当时，即为点，
当时，，所以得．
故存在两个点使得与相似．
点的坐标为．
（3）在中，因为．所以．
当点的坐标为时，．
所以．
因此，都是直角三角形．
又在中，因为．所以．
即有．
所以，
又因为，
所以．

练习2
解：（1）与相似。
O
x
y
图1
C
B
E
D
3
1
2
A
理由如下：
由折叠知，，
，
又，
。
（2），设AE=3t，
则AD=4t。
图2
O
x
y
C
B
E
D
P
M
G
l
N
A
F
由勾股定理得DE=5t。
。
由（1），得，
，
。
在中，，
，解得t=1。
OC=8，AE=3，点C的坐标为（0，8），
点E的坐标为（10，3），
设直线CE的解析式为y=kx+b，
解得
，则点P的坐标为（16，0）。
（3）满足条件的直线l有2条：y=－2x+12，
y=2x－12。
如图2：准确画出两条直线。

练习3
解：（1）二次函数图象顶点的横坐标为1，且过点和，
由 解得
此二次函数的表达式为 ．
（2）假设存在直线与线段交于点（不与点重合），使得以为顶点的三角形与相似．
在中，令，则由，解得
．
y
x
B
E
A
O
C
D

令，得．．
设过点的直线交于点，过点作轴于点．
点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为．

．
要使或，
已有，则只需， ①
或 ②
成立．
若是①，则有．
而．
在中，由勾股定理，得．
解得 （负值舍去）．
．
点的坐标为．
将点的坐标代入中，求得．
满足条件的直线的函数表达式为．
［或求出直线的函数表达式为，则与直线平行的直线的函数表达式为．此时易知，再求出直线的函数表达式为．联立求得点的坐标为．］
若是②，则有．
而．
在中，由勾股定理，得．
解得 （负值舍去）．
．
点的坐标为．
将点的坐标代入中，求得．
满足条件的直线的函数表达式为．
存在直线或与线段交于点（不与点重合），使得以为顶点的三角形与相似，且点的坐标分别为或．
（3）设过点的直线与该二次函数的图象交于点．
将点的坐标代入中，求得．
此直线的函数表达式为．
设点的坐标为，并代入，得．
解得（不合题意，舍去）．
x
B
E
A
O
C

P

·
．
点的坐标为．
此时，锐角．
又二次函数的对称轴为，
点关于对称轴对称的点的坐标为．
当时，锐角；
当时，锐角；
当时，锐角．

练习四
图1
C
P
B
y
A

解：（1）令，得 解得
令，得
∴ A B C
（2）∵OA=OB=OC= ∴BAC=ACO=BCO=
∵AP∥CB， ∴PAB=
过点P作PE轴于E，则APE为等腰直角三角形
令OE=，则PE= ∴P
∵点P在抛物线上 ∴
解得，（不合题意，舍去）
∴PE=
∴四边形ACBP的面积=AB•OC+AB•PE=
(3)． 假设存在
∵PAB=BAC = ∴PAAC
∵MG轴于点G， ∴MGA=PAC =
在Rt△AOC中，OA=OC= ∴AC=
在Rt△PAE中，AE=PE= ∴AP=
设M点的横坐标为，则M
①点M在轴左侧时，则
G
M
图2
C
B

y
P
A

(ⅰ) 当AMG PCA时，有=
∵AG=，MG=即
解得（舍去） （舍去）
(ⅱ) 当MAG PCA时有=
即 解得：（舍去）
G
M
图3
C
B

y
P
A

∴M
② 点M在轴右侧时，则
(ⅰ) 当AMG PCA时有=
∵AG=，MG=
∴ 解得（舍去）
∴M
(ⅱ) 当MAGPCA时有=
即
解得：（舍去）
∴M
∴存在点M，使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似
M点的坐标为，，

练习5、
解：（1）点，
，，点坐标为
设过点的直线的函数表达式为，
由 得，

图1

直线的函数表达式为
（2）如图1，过点作，交轴于点，
在和中，
，
点为所求又，
，
（3）这样的存在
在中，由勾股定理得如图1，当时，

图2

则，解得
如图2，当时，
则，解得

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