用导数研究函数的恒成立与存在性问题-答案.doc

用导数研究函数的恒成立与存在问题
1．已知函数，其中为常数．
（1）若，求函数的单调区间； （2）若函数在区间上为单调函数，求的取值范围．

2．已知函数，是的导函数。
（1）当时，对于任意的，，求的最小值；
（2）若存在，使＞0，求的取值范围。

3．已知函数 .
（1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间；
（3）设，若对任意，均存在，使得，
求实数的取值范围.

4．（2016届惠州二模）已知函数．
（Ⅰ）求函数的最大值；
（Ⅱ）若函数与有相同极值点．
①求实数的值；
②对(为自然对数的底数)，不等式恒成立，求实数的取值范围．

5．已知函数．
（1）当时，使不等式，求实数的取值范围；
（2）若在区间，函数的图象恒在直线的下方，求实数的取值范围．

用导数研究函数的恒成立与存在问题 答案
1．解：(1)若a＝1，则f(x)＝3x－2x2＋ln x，定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝－4x＋3＝＝(x＞0)．
当x∈(0,1)时，f′(x)＞0，函数f(x)＝3x－2x2＋ln x单调递增．
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0，函数f(x)＝3x－2x2＋ln x单调递减，
即f(x)的单调增区间为(0,1)，单调减区间为(1，＋∞)．
(2)f′(x)＝－4x＋.
若函数f(x)在区间[1,2]上为单调函数，
即在[1,2]上，f′(x)＝－4x＋≥0或f′(x)＝－4x＋≤0，
即－4x＋≥0或－4x＋≤0在[1,2]上恒成立．
即≥4x－或≤4x－.
令h(x)＝4x－，因为函数h(x)在[1,2]上单调递增，
所以≥h(2)或≤h(1)，即≥或≤3，
解得a＜0或0＜a≤或a≥1.
故a的取值范围是(－∞，0)∪(0，]∪[1，＋∞)．
2. 解：（1）由题意知令
当在[-1，1]上变化时，随的变化情况如下表：
x
-1
（-1，0）
0
（0，1）
1

-7
-
0
+
1

-1
↓
-4
↑
-3
的最小值为
的对称轴为，且抛物线开口向下,
的最小值为
的最小值为-11.
（2）.
①若, 上单调递减，又

②若当
从而上单调递增，在上单调递减，
，则
综上，的取值范围是 (或由,用两种方法可解)
3． 解：（1）由已知， ， 故曲线在处切线的斜率为
而，所以切点为，在点处的切线方程为 
（2）
①当时，由于，故，所以，的单调递增区间为.
②当时，由，得. 在区间上，，在区间上，
所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
（3）由已知，问题等价于为. 其中
由(2)知，当时，在上单调递增，值域为R，故不符合题意.
(或者举出反例：存在，故不符合题意.)
当时，在上单调递增，在上单调递减，
故的极大值即为最大值，，
所以，解得.
4． 解（Ⅰ），…………………………1分
由得；由得.
在上为增函数，在上为减函数. ……………………2分
函数的最大值为.…………………………………………3分
（Ⅱ）.
①由（1）知，是函数的极值点，
又函数与有相同极值点， 是函数的极值点，
，解得.……………………………………………4分
经验证，当时，函数在时取到极小值，符合题意. ……5分
②，
易知，即.
………7分
由①知，当时，；当时，.
故在上为减函数，在上为增函数.
，而.
. …………………9分
当，即时，对于，
不等式恒成立.
，
. ……………………………………………10分
当，即时，对于，
不等式恒成立.
，
. ………………………………11分
综上，所求实数的取值范围为.…………………12分
5．【解】：(1)当a＝1时，f(x)＝x2＋ln x(x＞0)，f′(x)＝x＋，
由x∈[1，e]，f′(x)＞0得函数f(x)在区间[1，e]为增函数，
则当x∈[1，e]时，f(x)∈.
故要使∃x0∈[1，e]使不等式f(x0)≤m成立，只需m≥即可.
(2)在区间(1，＋∞)上，函数f(x)的图象恒在直线y＝2ax的下方
等价于对∀x∈(1，＋∞)，f(x)＜2ax，
即(a－)x2＋ln x－2ax＜0恒成立．
设g(x)＝(a－)x2－2ax＋ln x(x∈[1，＋∞))，
则g′(x)＝(2a－1)x－2a＋＝(x－1)(2a－1－)．
当x∈(1，＋∞)时，x－1＞0,0＜＜1.
①若2a－1≤0，即a≤，g′(x)＜0，函数g(x)在区间[1，＋∞)上为减函数，
则当∀x∈(1，＋∞)时g(x)＜g(1)＝a－－2a＝－－a，
只需－－a≤0，即当－≤a≤时，
g(x)＝(a－)x2＋ln x－2ax＜0恒成立．
②若0＜2a－1＜1，即＜a＜1时，
令g′(x)＝(x－1)·(2a－1－)＝0得x＝＞1，
函数g(x)在区间为减函数，为增函数，
则g(x)∈，不合题意．
③若2a－1≥1，即当a≥1时g′(x)＞0，函数g(x)在区间[1，＋∞)为增函数，
则g(x)∈[g(1)，＋∞)，不合题意．
综上可知：当－≤a≤时g(x)＝(a－)x2＋ln x－2ax＜0恒成立，
即当－≤a≤时，在区间(1，＋∞)上函数f(x)的图象恒在直线y＝2ax的下方．