数值计算方法教案数值积分.doc

计算方法课程中学习数值积分内容的心得和体会
计算方法又称“数值分析”。是为各种数学问题的数值解答研究提供最有效的算法。主要内容为函数逼近论，数值微分，数值积分，误差分析等。常用方法有迭代法、差分法、插值法、有限元素法等。现代的计算方法还要求适应电子计算机的特点。数值分析即“计算方法”.下面来谈谈学习了计算方法中学习数值积分内容的心得与体会。
首先了解一下数值积分的内容：
（1）针对定积分，若,a=0,b=1，即有，但当，，……，时，很难找到其原函数。
（2）被积函数并没有具体的解析形式，即仅为一数表。
定积分的几何意义为，在平面坐标系中I的值即为四条曲线所围图形的面积，这四条曲线分别是，y=0，x=a，x=b。

；
其几何意义为用以下矩形面积替代曲边梯形面积
以及梯形公式
梯形公式的几何意义是，用以下梯形面积替代曲边梯形的面积：

再来是辛普森公式
辛普生公式的几何意义为，阴影部分的面积为抛物线曲边梯形，该抛物线由三点构成。

从而到处其一般公式为，其中称为节点，称为求积系数，或权。
衡量一个积分公式的好坏，要用具体的函数来衡量，寻找怎样的函数来衡量呢？简单的多项式函数是一个理想的标准。若某积分公式对于均能准确成立，但对于不能准确成立。则称该公式具有m次代数精度。代数精度只是衡量积分公式好坏的1种标准。
***研究中矩形公式的代数精度及几何意义。
【解】当时，公式左边，公式右边，左=右；
当时，公式左边，
公式右边，左=右；
当时，公式左边，
公式右边，左右；
故中矩形公式具有1次代数精度。
从定积分的几何意义可以看出，当被积函数为一条直线时，中矩形公式是严格成立的，中矩形面积与梯形面积相等，如下图所示。

其次是研究几种计算方法：
首先是待定系数法。
例1.构造一个至少具有一次代数精度的积分公式。
分析：构造一次代数精度的公式，即当及时，公式严格成立，故有2个约束条件，于是可以确定具有2个参数的积分公式。
解：设积分公式为：。
针对及，代入积分公式的左边和右边，有：
，解得，
于是有积分公式：。
该公式即为梯形求积公式。
例2.构造一个至少具有2次代数精度的求积公式。
解：设积分公式为。
针对，及，代入积分公式的左边和右边，有：
，解得：，，
积分公式为：
该公式即为辛普生公式，需要注意的是，该公式的代数精度并不是2次，而是3次的。
方法二，插值法（插值型求积公式），即过函数f(x)的n+1节点x0，x1，……，xn，作n次多项式函数，根据拉格朗日公式：，则有
，其中，
代数精度的分析：若被积函数是次数小于n的多项式函数，那么由其曲线上的n+1节点构成的n次多项式函数即是被积函数本身。则：插值型积分公式具有至少n次代数精度。
若是一条直线，那么过其曲线上3个点构造的抛物线，其中必有，即；
同理，若是一条抛物线，那么过其曲线上4个点构造的3次多项式函数，其中必有，即。
再来是牛顿-柯特斯公式：
；
几何意义为，用以下矩形面积替代曲边梯形面积。