人教版高数必修四第7讲：平面向量基本定理及坐标运算(教师版)(.doc

平面向量基本定理与坐标运算_1.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示;2.会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算.3.会用坐标表示平面向量共线的条件，进而解决一些相关问题.4.了解平面向量的基本定理及其意义.一、平面向量基本定理：1平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个_不共线_不共线向量，那么对于这一平面内的_任一_向量，有且只有_一对实数1，2使=1+2特别提醒： (1)我们把不共线向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量在给出基底、的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式惟一 1，2是被，唯一确定的数量二、平面向量的坐标表示： 如图，在直角坐标系内，我们分别取与轴、轴方向相同的两个_单位向量_ 、作为基底任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得，我们把叫做向量的（直角）坐标，记作其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，式叫做向量的坐标表示与相等的向量的坐标也为特别地，特别提醒：设，则向量的坐标就是点的坐标；反过来，点的坐标也就是向量的坐标因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示三、平面向量的坐标运算：（1） 若，则=，= 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差（2） 若，则 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标（3）若和实数，则实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标（4）向量平行的充要条件的坐标表示：设=(x1, y1) ，=(x2, y2) 其中 ()的充要条件是 类型一平面向量基本定理的应用【例1】(2012南京质检)如图所示，在ABC中，H为BC上异于B，C的任一点，M为AH的中点，若，则_. 审题视点 由B，H，C三点共线可用向量，来表示.解析由B，H，C三点共线，可令x(1x)，又M是AH的中点，所以x(1x)，又.所以x(1x).答案 应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算，共线向量定理的应用起着至关重要的作用当基底确定后，任一向量的表示都是唯一的【训练1】 如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起若xy，则x_，y_.解析以AB所在直线为x轴，以A为原点建立平面直角坐标系如图，令AB2，则(2,0)，(0,2)，过D作DFAB交AB的延长线于F，由已知得DFBF，则(2， )xy，(2，)(2x,2y)即有解得另解：，所以x1，y.答案1例1 在OAB中，AD与BC交于点M，设=，=，用,表示.BCAOMD 解题思路：若是一个平面内的两个不共线向量，则根据平面向量的基本定理，平面内的任何向量都可用线性表示.本例中向量,可作基底,故可设=m+n,为求实数m,n,需利用向量与共线,向量与共线,建立关于m,n的两个方程.解析：设=m+n，则,点A、M、D共线，与共线，m+2n=1. 而，C、M、B共线，与共线，4m+n=1. 联立解得:m=，n=，练习：1若已知、是平面上的一组基底，则下列各组向量中不能作为基底的一组是 ( )A与 B3与2 C与 D与2BACPNM答案：D 2在ABC中,已知 AMAB =13, ANAC =14，BN与CM交于点P,且,试 用表示.解： AMAB =13, ANAC =14,， ， M、P、C三点共线，故可设，tR , 于是， 同理可设设，sR , 由得 ，由此解得 ， 类型二平面向量的坐标运算【例2】(2011合肥模拟)已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)，且3，2.求M，N的坐标和.审题视点 求，的坐标，根据已知条件列方程组求M，N.解A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)，(1,8)，(6,3)33(1,8)(3,24)，22(6,3)(12,6)设M(x，y)，则(x3，y4)得M(0,20)同理可得N(9,2)，(90,220)(9，18) 利用向量的坐标运算解题，主要就是根据相等的向量坐标相同这一原则，通过列方程(组)进行求解；在将向量用坐标表示时，要看准向量的起点和终点坐标，也就是要注意向量的方向，不要写错坐标【训练2】 在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若(2,4)，(1,3)，则()A(2，4) B(3，5)C(3,5) D(2,4)解析由题意得()2(1,3)2(2,4)(3，5)答案B3 若A(0, 1), B(1, 2), C(3, 4) 则-2= 答案：(-3,-3) 解：-2=（1，1）-2（2，2）=(-3,-3)4若M(3, -2) N(-5, -1) 且 , 求P点的坐标；解：设P(x, y) 则(x-3, y+2)=(-8, 1)=(-4, ) P点坐标为(-1, -)类型三平面向量共线的坐标运算【例3】已知a(1,2)，b(3,2)，是否存在实数k，使得kab与a3b共线，且方向相反？审题视点 根据共线条件求k，然后判断方向解若存在实数k，则kabk(1,2)(3,2)(k3，2k2)，a3b(1,2)3(3,2)(10，4)若这两个向量共线，则必有(k3)(4)(2k2)100.解得k.这时kab，所以kab(a3b)即两个向量恰好方向相反，故题设的实数k存在向量共线问题中，一般是根据其中的一些关系求解参数值，如果向量是用坐标表示的，就可以使用两个向量共线的充要条件的坐标表示列出方程，根据方程求解其中的参数值【训练3】 (2011西安质检)已知向量a(1,2)，b(2，3)，若向量c满足(ca)b，c(ab)，则c()A. B.C. D.解析设c(m，n)，则ac(1m,2n)，ab(3，1)(ca)b，3(1m)2(2n)，又c(ab)，3mn0，解得m，n.答案D9已知,当实数取何值时,2与24平行？【解析】方法一: 24, 存在唯一实数使2=24）将、的坐标代入上式得（6，24）=14，4）得6=14且24= 4，解得= 1方法二：同法一有2=（24）,即（2（24=0与不共线， = 1一、选择题1设e1、e2是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是()Ae1e2和e1e2B3e12e2和4e26e1Ce12e2和e22e1De2和e1e2答案B解析4e26e12(3e12e2)，3e12e2与4e26e1共线，不能作为基底2下面给出了三个命题：非零向量a与b共线，则a与b所在的直线平行；向量a与b共线的条件是当且仅当存在实数1、2，使得1a2b；平面内的任一向量都可用其它两个向量的线性组合表示其中正确命题的个数是()A0B1C2D3答案B解析命题两共线向量a与b所在的直线有可能重合；命题平面内的任一向量都可用其它两个不共线向量的线性组合表示故都不正确3给出下列结论：若ab，则|ab|0；对任意向量a、b，|ab|0；若非零向量a、b共线且反向，则|ab|a|.其中正确的有()个()A1B2C3D4答案B解析中有一个为零向量时不成立；中a，b若是相反向量则不成立；、正确，故选B.4已知向量e1、e2不共线，实数x、y满足(xy)e1(2xy)e26e13e2，则xy的值等于()A3B3C6D6答案C解析e1、e2不共线，由平面向量基本定理可得，解得.5设一直线上三点A，B，P满足(1)，O为平面内任意一点，则用、表示为()AB(1)CD答案C解析()，(1)，.6(2014广东文，3)已知向量a(1,2)、b(3,1)，则ba()A(2,1)B(2，1)C(2,0)D(4,3)答案B解析a(1,2)、b(3,1)，ba(31,12)(2，1)7若向量(2,3)、(4,7)，则()A(2，4)B(2,4)C(6,10)D(6，10)答案A解析(2,3)(4,7)(2，4)8(2014北京文，3)已知向量a(2,4)、b(1,1)，则2ab()A(5,7)B(5,9)C(3,7)D(3,9)答案A解析2ab(4,8)(1,1)(5,7)9已知(5，3)、C(1,3)、2，则点D的坐标是()A(11,9)B(4,0)C(9,3)D(9，3)答案D解析(5，3)，2(10，6)，设D(x，y)，又C(1,3)，(x1，y3)，.10已知ABC中，点A(2,3)、点B(3，5)，重心M(1，2)，则点C的坐标为()A(4,8)BC(8，4)D(7，2)答案C解析设点C的坐标为(x，y)，由重心坐标公式，得，解得.11已知i、j分别是方向与x轴正方向、y轴正方向相同的单位向量，O为原点，设(x2x1)i(x2x1)j(其中xR)，则点A位于()A第一、二象限B第二、三象限C第三象限D第四象限答案D解析x2x10，(x2x1)0，点A位于第四象限二、填空题12在ABCD中，a，b，3，M为BC的中点，则_(用a、b表示)答案ab解析3，433(ab)，ab，(ab)ab.13已知向量a与b不共线，实数x、y满足等式3xa(10y)b(4y7)a2xb，则x_，y_.答案解析a、b不共线，解得.14若点O(0,0)、A(1,2)、B(1,3)，且2，3，则点A的坐标为_点B的坐标为_，向量的坐标为_答案(2,4)(3,9)(5,5)解析O(0,0)，A(1,2)，B(1,3)，(1,2)，(1,3)，2(1,2)(2,4)，3(1,3)(3,9)A(2,4)，B(3,9)，(32,94)(5,5)15在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若(2,4)，(1,3)，则_.答案(3，5)解析(1，1)(3，5)三、解答题16如图，已知ABC中，M、N、P顺次是AB的四等分点，e1，e2，试用e1、e2表示、.解析利用中点的向量表达式得：e1e2；e1e2；e1e2.17(1)设向量a、b的坐标分别是(1,2)、(3，5)，求ab，ab,2a3b的坐标； (2)设向量a、b、c的坐标分别为(1，3)、(2,4)、(0,5)，求3abc的坐标 解析(1)ab(1,2)(3，5)(13，25)(2，3)；ab(1,2)(3，5)(13,25)(4,7)；2a3b2(1,2)3(3，5)(2,4)(9，15)(29,415)(7，11)(2)3abc3(1，3)(2,4)(0,5)(3，9)(2,4)(0,5)(320，945)(5，8)_基础巩固一、选择题1已知a(1,3)、b(x，1)，且ab，则x等于()A3BCD3答案C解析由ab，得(1)(1)3x0，解得x.2(2014安徽宿州市朱仙庄煤矿中学高一月考)若A(3，6)、B(5,2)、C(6，y)三点共线，则y()A13B13C9D9答案D解析A、B、C共线，与共线，(8,8)，(3，y6)，8(y6)24，y9.3向量a(3,1)、b(1,3)、c(k,7)，若(ac)b，则k等于()A3B3C5D5答案C解析ac(3k，6)，b(1,3)，由题意得，93k6，k5.4设e1、e2是两个不共线的向量，向量ae1e2(R)与向量b(e22e1)共线，则()A0B1C2D答案D解析由共线向量定理，存在tR，使atb，即e1e2t(e22e1)，e1，e2不共线，解得.5已知向量a(3,4)、b(cos，sin)，且ab，则tan()ABCD答案B解析ab，3sin4cos0，tan.6(2014山东济南商河弘德中学高一月考)若向量b与向量a(2,1)平行，且|b|2，则b()A(4,2)B(4,2)C(6，3)D(4,2)或(4，2)答案D解析设b(x，y)，由题意，得，解得或.二、填空题7设i、j分别为x、y轴方向的单位向量，已知2i，4i2j，2，则点C的坐标为_答案(1，1)解析由已知(2,0)，(4,2)，(2,2)，设C点坐标为(x，y)，则(x2，y)，2，(2,2)2(x2，y)，解得.点C的坐标为(1，1)8设向量a(4sin，3)、b(2,3sin)，且ab，则锐角_.答案解析由已知，得12sin26，sin，为锐角，.三、解答题9设向量(k,12)、(4,5)、(10，k)，当k为何值时，A、B、C三点共线解析(k,12)、(4,5)、(10，k)，(4,5)(k,12)(4k，7)，(10，k)(4,5)(6，k5)A、B、C三点共线，与共线，(4k)(k5)6(7)0，解得k11或k2.能力提升一、选择题1已知向量e10，R，ae1e2，b2e1，若向量a与b共线，则()A0Be20Ce1e2De1e2或0答案D解析a、b共线，存在tR，使atb，e1e22te1，(12t)e1e20若e1、e2共线，则一定存在t、.使式成立；若e1、e2不共线，则.2已知平面向量a(1,2)、b(2，m)，且ab，则2a3b()A(2，4)B(3，6)C(4，8)D(5，10)答案C解析ab，1m2(2)0，m4.2a3b(2,4)(6，12)(4，8)3已知平面向量a(x,1)、b(x，x2)，则向量ab()A平行于x轴B平行于第一、三象限的角平分线C平行于y轴D平行于第二、四象限的角平分线答案C解析a(x,1)，b(x，x2)，ab(0，x21)，1x20，向量ab平行于y轴4已知向量a(1,0)、b(0,1)、ckab(kR)，dab，如果cd，那么()Ak1且c与d同向Bk1且c与d反向Ck1且c与d同向Dk1且c与d反向答案D解析cd，cd，即kab(ab)，又a、b不共线，.cd，c与d反向二、填空题5已知a(2,3)，ba，b的起点为A(1,2)，终点B在坐标轴上，则B点坐标为_答案或解析由ba，可设ba(2，3)设B(x，y)，则(x1，y2)b.由.又B点在坐标轴上，则120或320，所以B或.6已知点A(，1)、B(0,0)、C(，0)设BAC的平分线AE与BC相交于E，那么有，其中等于_答案3解析AE为BAC的平分线，2.2.23.三、解答题7平面内给定三个向量a(3,2)、b(1,2)、c(4,1)，(1)求满足ambnc的实数m、n；(2)若(akc)(2ba)，求实数k.解析(1)ambnc，(3,2)m(1,2)n(4,1)(m4n,2mn)，解得.(2)(akc)(2ba)，又akc(34k,2k)，2ba(5,2)，2(34k)(5)(2k)0.k.8已知A、B、C三点的坐标分别为(1,0)、(3，1)、(1,2)，并且，求证：.解析设E(x1，y1)、F(x2，y2)，依题意有：(2,2)、(2,3)、(4，1)因为，所以.因为，所以.因为(x11，y1)，所以E.因为(x23，y21)，所以F.又因为4(1)0，所以.9已知直角坐标平面上四点A(1,0)、B(4,3)、C(2,4)、D(0，2)，求证：四边形ABCD是等腰梯形解析由已知，(4,3)(1,0)(3,3)，(0,2)(2,4)(2，2)3(2)3(2)0，与共线又(0,2)(1,0)(1,2)，3(1)320，与不共线ABCD，AB与AD不平行又|3，|2，|，即ABCD.(2,4)(4,3)(2,1)，(1,2)，|.故四边形ABCD是等腰梯形16