人教版高数选修2-2第2讲：导数的计算(教师版).doc

导数的计算

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一、几个常用函数的导数：
1．函数的导数
根据导数定义，因为
所以
函数
导数

表示函数图像（图3.2-1）上每一点处的切线的斜率都为0．若表示路程关于时间的函数，则可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态．
2．函数的导数
因为
所以
函数
导数

表示函数图像（图3.2-2）上每一点处的切线的斜率都为1．若表示路程关于时间的函数，则可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．

3．函数的导数
因为

所以
函数
导数

表示函数图像（图3.2-3）上点处的切线的斜率都为，说明随着的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当时，随着的增加，函数减少得越来越慢；当时，随着的增加，函数增加得越来越快．若表示路程关于时间的函数，则可以解释为某物体做变速运动，它在时刻的瞬时速度为．
4．函数的导数
因为

所以
函数
导数

（2）推广：若，则
二、基本初等函数的导数公式：
函数
导数

2.（1）记忆导数的运算法则，比较积法则与商法则的相同点与不同点
导数运算法则
1．
2．
3．
推论：
（常数与函数的积的导数，等于： ）
提示：积法则,商法则, 都是前导后不导, 前不导后导, 但积法则中间是加号, 商法则中间是减号.

类型一：利用公式及运算法则求导数
例1．求下列函数的导数：
（1）； （2）
（3）； （4）y=2x3―3x2+5x＋4
解析：
（1）.
（2）.
（3）∵，∴.
（4）
总结升华：
①熟练掌握导数基本公式，仔细观察和分析各函数的结构规律，选择基本函数求导公式进行求导；
②不具备求导法则条件的，一般要遵循先化简，再求导的原则，适当进行恒等变形，步步为营，使解决问题水到渠成.
举一反三：
【变式】求下列函数的导数：
（1）；
（2）
（3）y=6x3―4x2+9x―6
【答案】
（1）.
（2）
∴.
（3）
例2．求下列各函数的导函数
（1）； （2）y=x2sinx;
（３）y=； （４）y=
解析：
（1）法一：去掉括号后求导.

法二：利用两个函数乘积的求导法则

=2x(2x－3)+(x2+1)×2
=6x2－6x+2
（2）y′=（x2）′sinx＋x2（sinx）′=2xsinx＋x2cosx
（３）=
（4）
=
=
举一反三：
【变式1】函数在处的导数等于(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
法一：

∴.
法二：∵
∴
∴.
【变式2】下列函数的导数
（1）； （2）
【答案】
（1）法一：
∴
法二：
=+

（2）
∴
【变式3】求下列函数的导数.
（1）；（2）；（3）.
【答案】
（1），∴.
（2），
∴.
（3）∵，
∴
.
类型二：复合函数的求导
例3．求下列函数导数.
（1）； （2）；
（3）； （4）.
思路点拨:求复合函数的导数首先必须弄清函数是怎样复合而成的，然后再按复合函数的求导法则求导.
解析：
（1），.

.
（2），
∴

（3），.
∴

（4），，
∴
.
总结升华：
①复合函数的求导，一定要抓住“中间变量”这一关键环节，然后应用法则，由外向里一层层求导，注意不要漏层。熟练以后，可以摆脱引入中间变量的字母，只要心中记住就行，这样可以使书写简单；
②求复合函数的导数的方法步骤：
（1）分清复合函数的复合关系，选好中间变量；
（2）运用复合函数求导法则求复合函数的导数，注意分清每次是哪个变量对哪个变量求导数；
（3）根据基本函数的导数公式及导数的运算法则求出各函数的导数，并把中间变量换成自变量的函数.
举一反三：
【变式1】求下列函数的导数：
(1)； （2）
（3）y=ln（x＋）； （4）
【答案】
(1)令,,

（2）令

（3）=＝
（4）

类型三：求曲线的切线方程
例8．求曲线y=x3+2x在x=1处的切线方程.
解析：，

x=1时，y=3，
∴切点为（1，3），切线斜率为5
切线方程为y―3=5(x―1)，即y=5x―2.
总结升华: 求函数图像上点处的切线方程的求解步骤：
① 求出函数的导函数
② 求出导函数在处的导数（即过点的切线的斜率），
③ 用点斜式写出切线方程，再化简整理。
举一反三：
【变式1】求曲线在点处的切线的斜率，并写出切线方程.
解析：∵
∴切线的斜率.
∴切线方程为，即.
【变式2】已知，是曲线上的两点，则与直线平行的曲线的切线方程是________.
【答案】的导数为.
设切点，则.
∵的斜率，又切线平行于，
∴，∴，∴切点，
∴切线方程为，即.
【变式3】已知曲线.
（1）求曲线上横坐标为1的点处的切线的方程；
（2）第（1）小题中的切线与曲线是否还有其他的公共点？
【答案】
（1）将代入曲线的方程得，∴切点.
∵，∴.
∴过点的切线方程为，即.
（2）由可得，解得或.
从而求得公共点为，或.
∴切线与曲线的公共点除了切点外，还有另外的点.
例9．已知直线为曲线在点（1，0）处的切线，为该曲线的另一条切线，且.
（1）求直线的方程；
（2）求由直线、和轴所围成的三角形的面积.
解析：
（1），
直线的方程为.
设直线过曲线上的点，
则的方程为，即.
因为，则有，.
所以直线的方程为.
（2）解方程组 得
所以直线和的交点坐标为.
、与轴交点的坐标分别为（1，0）、，
所以所求三角形的面积为.
举一反三：
【变式1】如果曲线的某一切线与直线平行，求切点坐标与切线方程
【答案】
设切点坐标为
∴切线在点的斜率为
切线与直线平行， 斜率为4
∴，∴
或
∴切点为（1，-8）或（-1，-12）
切线方程为或
即或
【变式2】曲线在点（1，1）处的切线与轴、直线所围成的三角形的面积为________.
【答案】由题意，切线的斜率为，
∴切线方程为，
与轴交点为，直线的交点为（2，4），
∴.
【变式3】曲线在（0，1）处的切线与的距离为，求的方程.
【答案】由题意知，

∴曲线在（0，1）处的切线的斜率
∴该切线方程为
设的方程为，
则，
解得，或.
当时，的方程为；
当时，的方程为
综上可知，的方程为或.

双基自测
1．下列求导过程中
①′＝－；②()′＝；③(logax)′＝′＝；
④(ax)′＝(eln ax)′＝(exln a)′＝exln alna＝axlna
其中正确的个数是(　　)．
A．1 B．2 C．3 D．4
答案　D
2．(人教A版教材习题改编)函数f(x)＝(x＋2a)(x－a)2的导数为(　　)．
A．2(x2－a2) B．2(x2＋a2)
C．3(x2－a2) D．3(x2＋a2)
解析　f′(x)＝(x－a)2＋(x＋2a)[2(x－a)]＝3(x2－a2)．
答案　C
3．(2011·湖南)曲线y＝－在点M处的切线的斜率为(　　)．
A．－ B. C．－ D.
解析　本小题考查导数的运算、导数的几何意义，考查运算求解能力．
y′＝＝，把x＝代入得导数值为.
答案　B
4．(2011·江西)若f(x)＝x2－2x－4ln x，则f′(x)＞0的解集为(　　)．
A．(0，＋∞) B．(－1,0)∪(2，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(－1,0)
解析　令f′(x)＝2x－2－＝＞0，利用数轴标根法可解得－1＜x＜0或
x＞2，又x＞0，所以x＞2.故选C.
答案　C
5．如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f(f(0))＝______；＝________(用数字作答)．

答案　2　　－2

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基础巩固
1．[2011·江西卷]若f(x)＝x2－2x－4lnx，则f′(x)>0的解集为(　　)
A．(0，＋∞) B．(－1，0)∪(2，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(－1，0)
1．C　[解析] f′(x)＝2x－2－>0，即>0.∵x>0，∴(x－2)(x＋1)>0，∴x>2.
2．曲线y＝在点(－1，－1)处的切线方程为(　　)
A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1
C．y＝2x－3 D．y＝－2x－2
2．A　[解析] ∵y′＝＝2，∴切线方程为y＝2x＋1.
3．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则(　　)
A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1
C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1
3．A　[解析] ∵y′＝2x＋a＝a，∴a＝1，(0，b)在切线x－y＋1＝0上，∴b＝1.
4．y＝的导数是(　　)
A．y′＝
B．y′＝
C．y′＝
D．y′＝

4．B　[解析] y′＝＝.

5．[2012·沈阳模拟] 若函数y＝－x2＋1(0<x<2)的图象上任意点处切线的倾斜角为α，则α的最小值是(　　)
A. B. C. D.
5．D　[解析] y′＝x2－2x，当0<x<2时，－1≤y′<0，即－1≤tanα<0，故≤α<π，α的最小值为.
6．若曲线f(x)＝xsinx＋1在x＝处的切线与直线ax＋2y＋1＝0互相垂直，则实数a等于(　　)
A．－2 B．－1 C．1 D．2
6．D　[解析] f′(x)＝sinx＋xcosx，f′＝1，即函数f(x)＝xsinx＋1在x＝处的切线的斜率是1，直线ax＋2y＋1＝0的斜率是－，所以×1＝－1，解得a＝2.
7．等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)·(x－a2)…(x－a8)，则f′(0)＝(　　)
A．26 B．29 C．212 D．215
7．C　[解析] f′(x)＝[x·(x－a1)(x－a2)…(x－a8)]′
＝(x－a1)(x－a2)…(x－a8)＋x[(x－a1)(x－a2)…(x－a8)]′，
所以f′(0)＝a1a2…a8＝(a1a8)4＝84＝212.
8．若曲线y＝x－在点处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a＝(　　)
A．64 B．32 C．16 D．8
8．A　[解析] y′＝－x－，所以k＝－a－，切线方程为y－a－＝－a－(x－a)．令x＝0，得y＝a－；令y＝0，得x＝3a.所以三角形的面积是S＝·3a·a－＝a＝18，解得a＝64.
9．已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是(　　)
A. B. C. D.
9．D　[解析] 由于y′＝′＝－，而α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则k＝tanα＝－<0.又(ex＋1)2≥(2)2＝4ex，当且仅当ex＝1，即x＝0时，取等号，那么k＝tanα＝－≥－1，即－1≤k<0，那么对应的α∈.
10．[2012·深圳模拟] 已知曲线y＝x2－1在x＝x0处的切线与曲线y＝1－x3在x＝x0处的切线互相平行，则x0的值为________．
10．0或－　[解析] 由题意2x0＝－3x，解得x0＝0或－.
11．直线y＝x＋b是曲线y＝lnx(x>0)的一条切线，则实数b＝________．
11．ln2－1　[解析] y′＝，令＝得x＝2，故切点(2，ln2)，代入直线方程，得ln2＝×2＋b，所以b＝ln2－1.
12．曲线y＝x2过点4，的切线方程是________．
12．14x－4y－49＝0或2x－4y－1＝0　[解析] 设此切线方程与抛物线相切于点P（x0，x）.由导数的概念可得＝x0，整理得x－8x0＋7＝0，解得x0＝7或x0＝1，点P（7，）或P（1，）.代入两点式得直线方程为14x－4y－49＝0或2x－4y－1＝0.
13．已知f(x)＝，则f′(0)＝________．
13．1　[解析] ∵f′(x)＝′＝′＝′＝2(e2x＋1)－2·e2x·2
＝，∴f′(0)＝＝1.
14．(10分)求下列函数的导数：
(1)y＝sin＋cos；
(2)y＝e1－2x＋ln(3－x)；
(3)y＝ln.

14．解：(1)y′＝cos·′－sin·′＝－cos－sin＝－2sin.
(2)y′＝e1－2x·(1－2x)′＋·(3－x)′＝－2e1－2x＋.
(3)∵y＝ln(1－x)－ln(1＋x)，
∴y′＝·(1－x)′＋(1＋x)′＝＋＝.

15．设函数f(x)＝ax＋(a，b∈Z)，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝3.
(1)求f(x)的解析式；
(2)证明：函数y＝f(x)的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心；
(3)证明：曲线y＝f(x)上任一点的切线与直线x＝1和直线y＝x所围三角形的面积为定值，并求出此定值．

15．解：(1)f′(x)＝a－，
于是解得或
因为a，b∈Z，故f(x)＝x＋.
(2)证明：已知函数y1＝x，y2＝都是奇函数．
所以函数g(x)＝x＋也是奇函数，其图象是以原点为中心的中心对称图形．而f(x)＝x－1＋＋1，可知函数g(x)的图象按向量a＝(1，1)平移，即得到函数f(x)的图象，故函数f(x)的图象是以点(1，1)为中心的中心对称图形．
(3)证明：在曲线上任取一点.
由f′(x0)＝1－知，过此点的切线方程为
y－＝(x－x0)．
令x＝1得y＝，切线与直线x＝1交点为.
令y＝x得y＝2x0－1，切线与直线y＝x交点为(2x0－1，2x0－1)．
直线x＝1与直线y＝x的交点为(1，1)．
从而所围三角形的面积为|2x0－1－1|＝|2x0－2|＝2.
所以，所围三角形的面积为定值2.

16．用导数方法求和：1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1(x≠0，1，n∈N*)．
16．解：逆用导数公式，把1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1转化为等比数列{xn}的前n项和的导数，求解和式的导数即可．
1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1
＝x′＋(x2)′＋(x3)′＋…＋(xn)′＝(x＋x2＋x3＋…＋xn)′
＝′＝′
＝
＝.

16