人教版高数必修四第2讲：任意角的三角函数(教师版).doc

任意角的三角函数

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1.能根据三角函数的定义导出同角三角函数的基本关系式及它们之间的联系；
2.熟练掌握已知一个角的三角函数值求其它三角函数值的方法。
3.牢固掌握同角三角函数的两个关系式，并能灵活运用于解题.

（一）任意角的三角函数：
任意点到原点的距离公式：
1.三角函数定义：
在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点（除了原点）的坐标为，它与原点的距离为，那么
（1）比值叫做α的正弦，记作，即；
（2）比值叫做α的余弦，记作，即；
（3）比值叫做α的正切，记作，即；
（4）比值叫做α的余切，记作，即；
2.说明：（1）α的始边与轴的非负半轴重合，α的终边没有表明α一定是正角或负角，以及α的大小，只表明与α的终边相同的角所在的位置；
（2）根据相似三角形的知识，对于确定的角α，四个比值不以点在α的终边上的位置的改变而改变大小；
（3）当时，α的终边在轴上，终边上任意一点的横坐标都等于，所以无意义；同理当时，无意义；
（4）除以上两种情况外，对于确定的值α，比值、、、分别是一个确定的实数。
正弦、余弦、正切、余切是以角为自变量，比值为函数值的函数，以上四种函数统称为三角函数。
（二） 单位圆与三角函数线：
1.三角函数线的定义：当角的终边上一点的坐标满足时，有三角函数正弦、余弦、正切值的几何表示——三角函数线。
2.有向线段：带有方向的线段。
坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向。
规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负。
3．三角函数线的定义：
设任意角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点，过
作轴的垂线，垂足为；过点作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延长线交与点.

（Ⅰ）
（Ⅱ）

（Ⅳ）
（Ⅲ）

由四个图看出：
当角的终边不在坐标轴上时，有向线段，于是有
， ，
我们就分别称有向线段为正弦线、余弦线、正切线。
4.说明：
（1）三条有向线段的位置：正弦线为的终边与单位圆的交点到轴的垂直线段；余弦线
在轴上；正切线在过单位圆与轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中两条在单位圆
内，一条在单位圆外。
（2）三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向与的终边的交点。
（3）三条有向线段的正负：三条有向线段凡与轴或轴同向的为正值，与轴或轴反向的为负值。
（4）三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后面。
5.三角函数在各象限符号：

全正
正切正
余弦正
正弦正
x
y
o
任意角的三角函数符号的记忆方法：

口诀：“全正切余”可音译为“全是天才”
（三）同角三角函数的基本关系：
1. 由三角函数的定义，我们可以得到以下关系：
（1）商数关系： （2）平方关系：
2.说明：
（1）注意“同角”，至于角的形式无关重要，如等；
（2）注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的，如
；
（3）对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、反用、变形用），如：
， ， 等。

类型一：任意角的三角函数
例1．已知角α的终边经过点，求α的三个函数制值。
解：

练习：已知角的终边过点，求角的正弦、余弦和正切值.
解：,,.

例2．求下列各角的三个三角函数值：
（1）； （2）； （3）．
解：（1）sin0=0 cos0=1 tan0=0
（2）
（3）
类型二：三角函数的定义与三角函数的符号
1.利用三角函数值的符号确定角的终边所在的象限
例3 确定下列三角函数值的符号
（1）； （2）； （3）； （4）.
导思：直接根据三角函数值的符号法则来确定.
解析：（1）因为是第三象限角，故；
（2）因为是第四象限角，故；.
（3），而是第一象限角，故；
（4），而是第四象限角，故.
练习：1.点位于第________象限；
2.，，的大小关系是_________________(用“”号连接).
2.利用三角函数的定义求值
例4 已知角终边上一点与轴的距离和与轴的距离之比为:(且均不为零)，求的值.
导思：直接根据三角函数的定义进行求解，应注意距离之比是绝对值之比.
解析：若角的终边过点，则；
若角的终边过点，则；
若角的终边过点，则；
若角的终边过点，则.
点评：若点是角的终边上异于原点的一点，求角的三角函数值只需用定义即可.
练习：设角的终边过点，求、和的值.
解析：因为，，故.当时，，则，，；当时，，则，，.
点评：任意角的三角函数的定义是通过角的终边上的点的坐标确立的，与点的位置无关，只与角的终边的位置有关.本题中点的位置有两种可能，故的三角函数值有两组.
类型三：同角三角函数的基本关系
例5. 已知，，求、的值．
【答案】，.
【解析】方法一：∵，∴，
∵，
∴，.
方法二：∵，∴，
由图形可以知道：，.
【总结升华】①利用公式：求解时，要注意角的范围，从而确定三角函数值的符号；②三角赋值法多用于选择题和填空题，其理论基础源于“实数由符号和绝对值两部分组成”.
练习：
1.已知，，求、.
【答案】；．
【解析】∵，∴，
∵，
∴，.
2.已知，，求.
【答案】.
例6.证明
【解析】左边

右边
【总结升华】证明三角恒等式的原则是由繁到简，常用的方法为（1）从一边开始证得另一边；（2）证明左右两边都等于同一个式子；（3）分析法．三角变化中还要注意使用“化弦法”.
练习：
1.证明
【解析】分析法：要证成立，
只要证成立
只要证成立
因为上式是成立的，所以原式成立.
例7.已知 ，求下列各式的值：
（1） （2）
【解析】方法一：由可得，即，
（1） 原式.
（2） 原式.
方法二：由已知得，
（1） 原式.
（2） 原式.
【总结升华】
已知的条件下，求关于的齐次式问题，解这类问题必须注意以下几点：
1. 一定是关于的齐次式（或能化为齐次式）的三角函数式.
2. 因为，所以可以用除之，这样可以将被求式化为关于的表达式，可整体代入，从而完成被求式的求值运算.
3. 注意的应用.
练习：1.已知,则（ ）

【答案】
例8．已知，且．求、的值；
【答案】；
【解析】
方法一：由可得：，
即，∴
∵，
∴、是方程的两根，
∴或
∵， ∴，
∴，，
∴
方法二：由可得：，
即，∴
∵，∴，∴，∴
由
∴
【总结升华】对于这三个式子，已知其中一个式子的值，可以求出其余两个式子的值，如：
；
；
.
练习：
1.已知，求的值.
【答案】
【解析】由可得：；
于是，
∴．

1.(文)(2011·绵阳二诊)已知角A同时满足sinA>0且tanA<0，则角A的终边一定落在(　　)
A．第一象限　　　　　　 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[答案]　B
[解析]　由sinA>0且tanA<0可知，cosA<0，所以角A的终边一定落在第二象限．选B.
2.(理)(2012·广西田阳高中月考)若sinαtanα<0，且<0，则角α是(　　)
A．第一象限角　　　　　 B．第二象限角
C．第三角限角 D．第四象限角
[答案]　C
[解析]　根据各象限内三角函数值的符号进行判断即可．
由sinαtanα<0可知sinα，tanα异号，从而α为第二或第三象限角．
由<0可知cosα，tanα异号，从而α为第三或第四象限角．
综上可知，α为第三象限角．
3．已知点P(－3,4)在角α的终边上，则的值为(　　)
A．－ B.
C. D．－1
[答案]　B
[解析]　由条件知tanα＝－，
∴＝＝.
4.(理)(2011·海口模拟)已知点P(sinα－cosα，tanα)在第一象限，则在[0,2π]内α的取值范围是(　　)
A．(，) B．(π，)
C．(，) D．(，)∪(π，)
[答案]　D
[解析]　∵P点在第一象限，∴
如图，使sinα>cosα的角α终边在直线y＝x上方，使tanα>0的角α终边位于第一、三象限，又0≤α≤2π，∴<α<或π<α<.

5.(理)函数f(x)＝sinx在区间[a，b]上是增函数，且f(a)＝－1，f(b)＝1，则cos＝(　　)
A．0 B.
C．－1 D．1
[答案]　D
[解析]　由条件知，a＝－＋2kπ　(k∈Z)，b＝＋2kπ，∴cos＝cos2kπ＝1.
6．(2011·太原调研)已知角α的顶点在原点，始边与x轴正半轴重合，点P(－4m,3m)(m>0)是角α终边上一点，则2sinα＋cosα＝________.
[答案]　
[解析]　由条件知x＝－4m，y＝3m，r＝＝5|m|＝5m，∴sinα＝＝，cosα＝＝－，
∴2sinα＋cosα＝.
7．(2011·江西文)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(4，y)是角θ终边上的一点，且sinθ＝－，则y＝________.
[答案]　－8
[解析]　|OP|＝，根据任意角三角函数的定义得，＝－，解得y＝±8，
又∵sinθ＝－<0及P(4，y)是角θ终边上一点，
可知θ为第四象限角，∴y＝－8.
8.(理)如图所示，角α的终边与单位圆(圆心在原点，半径为1的圆)交于第二象限的点A（cosα，），则cosα－sinα＝________.

[答案]　－
[解析]　由条件知，sinα＝，
∴cosα＝－，∴cosα－sinα＝－.
9．已知角θ的终边上有一点M(3，m)，且sinθ＋cosθ＝－，则m的值为________．
[答案]　－4
[解析]　r＝＝，
依题意sinθ＝，cosθ＝，
∴＋＝－.
即＝－，
解得m＝－4或m＝－，
经检验知m＝－不合题意，舍去．
故m＝－4.

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基础巩固
一、选择题
1．(2014·全国大纲文，2)已知角α的终边经过点(－4,3)，则cosα＝(　　)
A． B．
C．－ D．－
[答案]　D
[解析]　考查了三角函数的定义．
由条件知：x＝－4，y＝3，则r＝5，∴cosα＝＝－.
2．若sinθ·cosθ<0，则θ在(　　)
A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第一、四象限 D．第二、四象限
[答案]　D
[解析]　∵sinθcosθ<0，∴sinθ，cosθ异号．当sinθ>0，cosθ<0时，θ在第二象限；当sinθ<0，cosθ>0时，θ在第四象限．
3．已知角α的终边经过点P(－b,4)，且sinα＝，则b等于(　　)
A．3 B．－3
C．±3 D．5
[答案]　C
[解析]　r＝|OP|＝，sinα＝＝，
∴b＝±3.
4．设△ABC的三个内角为A、B、C，则下列各组数中有意义且均为正值的是(　　)
A．tanA与cosB B．cosB与sinC
C．sinC与tanA D．tan与sinC
[答案]　D
[解析]　∵0<A<π，∴0<<，
∴tan>0，又0<C<π，∴sinA>0，故选D.
5．点A(sin2 014°，cos2 014°)在直角坐标平面上位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[答案]　C
[解析]　∵2 014°＝5×360°＋214°，
∵2 014°角与214°角的终边相同，
又∵214°是第三象限角，
∴2 014°角是第三象限角，
根据三角函数定义知，sin2 014°<0，
cos2 014°<0，故选C.
6．已知角α的终边上一点P(－8m,15m)(m<0)，则cosα的值是(　　)
A． B．－
C．或－ D．根据m确定
[答案]　A
[解析]　∵m<0，∴点P到原点的距离r＝＝－17m，
∴cosα＝＝＝.
二、填空题
7．(2014·四川成都市树德协进中学高一阶段测试)已知角α终边上一点P(5,12)，则sinα＋cosα＝________.
[答案]　
[解析]　∵角α终边过点P(5,12)，∴x＝5，y＝12，r＝13.
∴sinα＝＝，cosα＝＝，
∴sinα＋cosα＝.
8．使得lg(cosθ·tanθ)有意义的角θ是第__________象限角．
[答案]　一或二
[解析]　要使原式有意义，必须cosθ·tanθ>0，即需cosθ、tanθ同号，
∴θ是第一或第二象限角．
三、解答题
9．求函数y＝＋＋的值域．
[解析]　要使函数有意义，应有，据三角函数定义应有，∴x≠kπ＋且x≠kπ(k∈Z)，即角x的终边不能落在坐标轴上．
当x为第一象限角时，sinx>0，cosx>0，tanx>0，∴y＝3；
当x为第二象限角时，sinx>0，cosx<0，tanx<0，∴y＝－1；
当x为第三象限角时，sinx<0，cosx<0，tanx>0，∴y＝－1；
当x为第四象限角时，sinx<0，cosx>0，tanx<0，∴y＝－1.
综上可知，函数y＝＋＋的值域为{－1,3}．

能力提升
一、选择题
1．若α是第三象限角，则下列各式中不成立的是(　　)
A．sinα＋cosα<0 B．tanα－sinα<0
C．cosα－cotα<0 D．cotαcscα<0
[答案]　B
[解析]　∵α是第三象限角，∴tanα>0，sinα<0
∴tanα－sinα>0.故选B.
2．下列说法正确的是(　　)
A．正角的三角函数值是正的，负角的三角函数值是负的，零角的三角函数值是0
B．角α终边上一点为P(x，y)，则sinα的值随y的增大而增大
C．对任意角α，若α终边上一点坐标为(x，y)，都有tanα＝
D．对任意角α(α≠，k∈Z)，都有|tanα＋cotα|＝|tanα|＋|cotα|
[答案]　D
[解析]　∵tanα、cotα的符号相同，
∴|tanα＋cotα|＝|tanα|＋|cotα|.
3．已知|cosθ|＝cosθ，|tanθ|＝－tanθ，则的终边在(　　)
A．第二、四象限 B．第一、三象限
C．第一、三象限或x轴上 D．第二、四象限或x轴上
[答案]　D
[解析]　∵|cosθ|＝cosθ，∴cosθ≥0，
又|tanθ|＝－tanθ，∴tanθ≤0，∴2kπ＋<θ≤2kπ＋2π，
∴kπ＋<≤kπ＋π，k∈Z.∴应选D.
4．若角α的终边在直线y＝3x上且sinα<0，又P(m，n)是α终边上一点，且|OP|＝，则m－n＝(　　)
A．2 B．－2
C．4 D．－4
[答案]　A
[解析]　∵P(m，n)在直线y＝3x上，且sinα<0，
∴P位于第三象限，∴m<0，n<0.
|OP|＝＝＝，
∴m2＝1，∴m＝－1，n＝－3，
∴m－n＝2.
二、填空题
5．函数y＝tanx＋lgsinx的定义域为________．
[答案]　(2kπ＋)∪(2kπ＋，2kπ＋π)(k∈Z)
[解析]　要使函数有意义，应满足，
∴，
即2kπ<x<2kπ＋或2kπ＋<x<2kπ＋π(k∈Z)．
6．若点P(3a－9，a＋2)在角α的终边上，且cosα≤0，sinα>0，则实数a的取值范围是__________．
[答案]　(－2,3]
[解析]　∵cosα≤0，sinα>0，
∴角α的终边在第二象限或在y轴的正半轴上，
∴，∴－2<a≤3.
∴a的范围是(－2,3]．
三、解答题
7．求函数f(x)＝的定义域．
[解析]　由题意，得，
∴
解得0≤x<.
故函数的定义域为.
8．已知角α的终边上一点P(4t，－3t)(t≠0)，求sinα、cosα、tanα的值．
[解析]　∵点P的坐标是(4t，－3t)，且t≠0，
∴r＝OP＝＝5|t|.
当t>0时，α是第四象限的角，r＝OP＝5t.
∴sinα＝＝＝－，cosα＝＝＝，
tanα＝＝＝－；
当t<0时，α是第二象限的角，
r＝OP＝－5t.
∴sinα＝＝＝，cosα＝＝＝－，
tanα＝＝＝－.
9．已知：cosα<0，tanα<0.
(1)求角α的集合；
(2)求角的终边所在的象限；
(3)试判断sin、cos、tan的符号．
[解析]　(1)∵cosα<0，∴角α的终边可能位于第二或第三象限或x轴的非正半轴上．
∵tanα<0，∴角α的终边可能位于第二或第四象限．∴角α的终边只能位于第二象限．
故角α的集合为.
(2)∵＋2kπ<α<π＋2kπ(k∈Z)，∴＋kπ<<＋kπ(k∈Z)．
当k＝2n(k∈Z)时，＋2nπ<<＋2nπ(n∈Z)，∴是第一象限角；
当k＝2n＋1(n∈Z)时，＋2nπ<<＋2nπ(n∈Z)，∴是第三象限角．
(3)由(2)可知，当是第一象限角时，sin>0，cos>0，tan>0；
当是第三象限角时，sin<0，cos<0，tan>0.

备选题目：
1.（2015福建卷）．若，且为第四象限角，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
答案：D
2.（2015年1月·延庆期末·4．若角的终边经过点，则
A．
B．
C．
D.
答案：C
3.（2015年1月·昌平期末·2）已知角的终边经过点，则
（A） （B） （C） （D）
答案：D
4.（2015年1月·西城期末·12．已知是第二象限的角，且，则．
答案：
5.（2015年1月·顺义期末·9．已知角的终边经过点，则的值为_______.
答案：
6.（2015年1月·石景山期末·11．若，且的终边过点，则 .
答案:
7.（2015年1月·石景山期末·12．=，则＝ .
答案:3
8.（2015年1月·房山期末·12）若角的终边经过点，则 ， ．
答案:；
9.（2015年1月·丰台期末·12．已知点为角的终边与单位圆的交点，则 ；
答案:
10.（2015年1月·丰台期末·18）（本小题满分9分）
已知为锐角
（Ⅰ）若，求的值；
解：（Ⅰ）　　　　　┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄４分
11..（2015年1月·昌平期末·18）(本小题共14分)

-1
-1
1
1
B
A
O
y
x
在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边分别与单位圆交于两点，两点的横坐标分别为.
（I）写出的值；（只需写出结果）
（II）求的值；

解:（Ⅰ）；. ……………………2分
（Ⅱ）因为，，
所以. ……………………4分
所以. ……………………6分

19