人教版高数必修四第9讲:两角和与差的正余弦及正切公式(教师版).doc
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1、两角和与差的正余弦、正切公式及二倍角公式_1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导.2、灵活运用所学公式进行求值、化简、证明.一、 两角和的余弦公式: 的推导:复习:两点间的距离公式: 设, 推导过程:设角、角为任意角如左图在平面直角坐标系中作,则作单位圆,设角、角的终边分别与单位圆交于点B,点C再作由三角函数定义知: , , , ,由已知:; 展开并整理得: 上述公式称为两角和的余弦公式记为 解:那么, 所以cos()=cos=二、两角和与差的正弦公式: sin(+)=cos-(+)=cos(-)-=cos(-)cos+sin(-)sin=sincos+cossin. sin(-)=si
2、n+(-)=sincos(-)+cossin(-)=sincos-cossin.三、 两角和与差的正切公式:当cos(+)0时,tan(+)=如果coscos0,即cos0且cos0时,分子、分母同除以coscos得tan(+)=,据角、的任意性,在上面的式子中,用-代之,则有tan(-)=cos(+)=coscos-sinsinsin(+)=sincos+cossin,sin(-)=sincos-cossin.tan(+)=tan(-)= 四、 公式汇编:1两角和与差的三角函数;。2二倍角公式;。3三角函数式的化简常用方法:直接应用公式进行降次、消项;三角公式的逆用;切割化弦,异名化同名,异
3、角化同角等。(2)化简要求:能求出值的应求出值;使三角函数种数尽量少;使项数尽量少;尽量使分母不含三角函数;尽量使被开方数不含三角函数。(1)降幂公式; ; 。(2)辅助角公式,=公式的推导:令,则,于是有: 其中由,和共同确定类型一:正用公式例1.已知:,求的值.【思路点拨】直接利用两角差的余弦公式.【解析】由已知可求得.当在第一象限而在第二象限时,.当在第一象限而在第三象限时,.当在第二象限而在第二象限时,.当在第二象限而在第三象限时,.【点评】例1是对公式的正用当三角函数值的符号无法确定时,注意分类讨论.练习:【变式1】已知,则 .【答案】.【变式2】已知,则 .【答案】【变式3】已知和
4、是方程的两个根,求的值.【答案】【解析】由韦达定理,得, , .【高清课堂:三角恒等变换397881 例1】【变式4】某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数.(1)(2)(3)(4)(5) 试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数 根据()的计算结果,将该同学的发现推广三角恒等式,并证明你的结论.【解析】.选择(2)式计算如下 .证明: 例2已知,,,求的值.【思路点拨】注意到,将,看做一个整体来运用公式.【解析】,,【点评】1、给出某些角的三角函数式的值,求另外一些角的三角函数值,解题关键在于“变角”,例2中应用了的变换 ,体现了灵活解决问题的能力,应着重体会,常见的
5、变换技巧还有, 等.2、已知某一个(或两个)角的三角函数值,求另一个相关角的三角函数值,基本的解题策略是从“角的关系式”入手切入或突破.角的关系主要有互余(或互补)关系,和差(为特殊角)关系,倍半关系等.对于比较复杂的问题,则需要两种关系的混合运用.练习:【变式1】已知,是第二象限角,且,求的值.【答案】【解析】由且是第二象限角,得, ,.【变式2】函数的最大值为( )A B C D 【答案】C; 【解析】,.所以其最大值为2,故选C.【变式3】已知【答案】【解析】角的关系式:(和差与倍半的综合关系) , 【变式4】已知,求的值。【答案】【解析】 , , , 。 类型二:逆用公式例3.求值:(
6、1);(2);(3); (4).【思路点拨】逆用两角和(差)正(余)弦公式,正切公式.【解析】(1)原式=;(2)原式; (3)原式;(4)原式.【点评】把式中某函数作适当的转换之后,再逆用两角和(差)正(余)弦公式,二倍角公式等,即所谓“逆用公式”。辅助角公式:,其中角在公式变形过程中自然确定. 练习:【变式1】化简.【答案】【变式2】已知,那么的值为( )A B C D 【答案】A; 【解析】,.例4. 求值:(1);(2)【思路点拨】要使能利用公式化简,分子分母同乘以第一个角的正弦值.【解析】(1)原式=;(2)原式= 【点评】此种类型题比较特殊,特殊在:余弦相乘;后一个角是前一个角的2
7、倍;最大角的2倍与最小角的和与差是p。三个条件缺一不可。另外需要注意2的个数。应看到掌握了这些方法后可解决一类问题,若通过恰当的转化,转化成具有这种特征的结构,则可考虑采用这个方法。练习:【变式】求值:(1);(2).【答案】(1);(2)【解析】(1)原式=(2) 类型三:变用公式例5求值:(1) ;(2)(2)【思路点拨】通过正切公式,注意到与之间的联系.【解析】(1),原式.(2),.【点评】本题是利用了两角和正切公式的变形,找出与三者间的关系,进行转化,即所谓“变用公式”解决问题;变用公式在一些解三角问题中起着重要作用,需灵活掌握.但它是以公式原型为基础,根据题目需要而采取的办法,如:
8、,.练习:【变式1】求值:= 【答案】1【变式2】在中,,,试判断的形状.【答案】等腰三角形【解析】由已知得,即,又,故,故是顶角为的等腰三角形.类型四:三角函数式的化简与求值例6. 化简:(1);(2)【思路点拨】(1)中函数有正弦有正切,一般将切化弦处理;(2)中有平方,而且角度之间也有关系,所以要用二倍角公式降次.【解析】(1)原式=(2)原式=【点评】三角变换所涉及的公式实际上正是研究了各种组合的角(如和差角,倍半角等)的三角函数与每一单角的三角函数关系。因而具体运用时,注意对问题所涉及的角度及角度关系进行观察。三角变换中一般采用“降次”、“化弦”、“通分”的方法;在三角变换中经常用到
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