人教版高数必修四第9讲：两角和与差的正余弦及正切公式(教师版).doc

两角和与差的正余弦、正切公式
及二倍角公式

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1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导.
2、灵活运用所学公式进行求值、化简、证明.

一、 两角和的余弦公式： 的推导：
复习：两点间的距离公式：
设，
推导过程：
设角、角为任意角
如左图在平面直角坐标系中
作,
则
作单位圆，
设角、角的终边分别与单位圆交于点B，点C
再作

由三角函数定义知：
， , ， ，
由已知：;

展开并整理得:

上述公式称为两角和的余弦公式
记为
解：那么，
所以cos（α－β）
=cos==

二、两角和与差的正弦公式：
sin(α+β)=cos［-(α+β)］=cos［(-α)-β］=cos(-α)cosβ+sin(-α)sinβ=sinαcosβ+cosαsinβ.
sin(α-β)=sin［α+(-β)］=sinαcos(-β)+cosαsin(-β)=sinαcosβ-cosαsinβ.
三、 两角和与差的正切公式：
当cos(α+β)≠0时，tan(α+β)=
如果cosαcosβ≠0,即cosα≠0且cosβ≠0时,分子、分母同除以cosαcosβ得
tan(α+β)=，据角α、β的任意性，在上面的式子中，β用-β代之，则有
tan(α-β)=

cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ.
tan(α+β)=
tan(α-β)=
四、 公式汇编：
1．两角和与差的三角函数
；
；
。
2．二倍角公式
；
；
。
3．三角函数式的化简
常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②三角公式的逆用；③切割化弦，异名化同名，异角化同角等。
（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数。
（1）降幂公式
； ； 。
（2）辅助角公式
，
=公式的推导：

令，则，于是有：

其中由，和共同确定

类型一：正用公式
例1.已知:，求的值.
【思路点拨】直接利用两角差的余弦公式.
【解析】由已知可求得.
当在第一象限而在第二象限时，
.
当在第一象限而在第三象限时，
.
当在第二象限而在第二象限时，
.
当在第二象限而在第三象限时，
.
【点评】例1是对公式的正用．当三角函数值的符号无法确定时，注意分类讨论.
练习：
【变式1】已知，，则 .
【答案】.
【变式2】已知，则 .
【答案】
【变式3】已知和是方程的两个根，求的值.
【答案】
【解析】由韦达定理，得， ，
∴ .
【高清课堂：三角恒等变换397881 例1】
【变式4】某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
Ⅰ 试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数
Ⅱ 根据(Ⅰ)的计算结果,将该同学的发现推广三角恒等式,并证明你的结论.
【解析】Ⅰ.选择(2)式计算如下
Ⅱ.证明:

例2．已知，,，求的值.
【思路点拨】注意到，将，看做一个整体来运用公式.
【解析】,，
，
，

【点评】1、给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，例2中应用了的变换 ，体现了灵活解决问题的能力，应着重体会，常见的变换技巧还有,,, 等.
2、已知某一个（或两个）角的三角函数值，求另一个相关角的三角函数值，基本的解题策略是从“角的关系式”入手切入或突破.角的关系主要有互余（或互补）关系，和差（为特殊角）关系，倍半关系等.对于比较复杂的问题，则需要两种关系的混合运用.
练习：
【变式1】已知，是第二象限角，且，求的值.
【答案】
【解析】由且是第二象限角，得，
∵，
∴.

【变式2】函数的最大值为（ ）
A． B．　 C． D．
【答案】C；
【解析】∵，
.
所以其最大值为2，故选C.

【变式3】已知
【答案】
【解析】角的关系式：（和差与倍半的综合关系）
∵，∴
∴

∴＝

【变式4】已知，，，，求的值。
【答案】
【解析】∵ ， ∴，
∵ ， ∴。
∴

类型二：逆用公式
例3.求值：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
【思路点拨】逆用两角和（差）正（余）弦公式，正切公式.
【解析】
（1）原式=；
（2）原式；
（3）原式；
（4）原式

.
【点评】
①把式中某函数作适当的转换之后，再逆用两角和（差）正（余）弦公式，二倍角公式等，即所谓“逆用公式”。
②辅助角公式：，其中角在公式变形过程中自然确定.
练习：
【变式1】化简.
【答案】
【变式2】已知，那么的值为（ ）
A． B．　 C． D．
【答案】A；
【解析】∵，
∴.
例4. 求值：
（1）；（2）
【思路点拨】要使能利用公式化简，分子分母同乘以第一个角的正弦值.
【解析】
（1）原式=；
（2）原式=

【点评】此种类型题比较特殊，特殊在：①余弦相乘；②后一个角是前一个角的2倍；③最大角的2倍与最小角的和与差是p。三个条件缺一不可。另外需要注意2的个数。应看到掌握了这些方法后可解决一类问题，若通过恰当的转化，转化成具有这种特征的结构，则可考虑采用这个方法。
练习：
【变式】求值：
（1）；（2）.
【答案】（1）；（2）
【解析】
（1）原式=
=
=
（2）
类型三：变用公式
例5．求值：
（1） ；（2）
（2）
【思路点拨】通过正切公式，注意到与之间的联系.
【解析】
（1），

原式.
（2），
，

.
【点评】本题是利用了两角和正切公式的变形，找出与三者间的关系，进行转化，即所谓“变用公式”解决问题；变用公式在一些解三角问题中起着重要作用，需灵活掌握.但它是以公式原型为基础，根据题目需要而采取的办法，如：，.
练习：
【变式1】求值：= ．
【答案】1
【变式2】在中，,，试判断的形状.
【答案】等腰三角形
【解析】由已知得
,,
即，，
，，

又,故,
故是顶角为的等腰三角形.
类型四：三角函数式的化简与求值

例6. 化简：
（1）；(2）
【思路点拨】（1）中函数有正弦有正切，一般将切化弦处理；（2）中有平方，而且角度之间也有关系，，所以要用二倍角公式降次.
【解析】
（1）原式

=

（2）原式=

【点评】
①三角变换所涉及的公式实际上正是研究了各种组合的角（如和差角，倍半角等）的三角函数与每一单角的三角函数关系。因而具体运用时，注意对问题所涉及的角度及角度关系进行观察。
②三角变换中一般采用“降次”、“化弦”、“通分”的方法；在三角变换中经常用到降幂公式：，.
练习：
【变式1】化简：
（1）；（2）； （3）
【答案】
（1）原式=；
（2）原式=；
（3）原式=
=.
【变式2】若，且，则___________.
【答案】由，，得，
.

例7．已知，，且，求的值.
【思路点拨】题设中给出是角的正切值，故考虑正切值的计算，同时通过估算的区间求出正确的值.
【解析】，
而，故，
又，，故，
从而，
而，，而，
，
又，

【点评】对给值求角问题，一般是通过求三角函数值实现的，先求出某一种三角函数值，再考虑角的范围，然后得出满足条件的角．本例就是给值求角，关键是估算的区间，给值求角一定要将所求角限制在某个单值区间内，这是关键点也是难点．在本例中使用了配角技巧，，，这些都要予以注意.
练习：
【变式1】已知，为锐角，则的值是（ ）
A. B. C. 或 D.
【答案】A
【变式2】已知，，求。
【解析】∵，
，
解得, ，
∴.

一、选择题
1．cos75°cos15°－sin435°sin15°的值是(　　)
A．0 B．
C． D．－
[答案]　A
[解析]　cos75°cos15°－sin435°sin15°
＝cos75°cos15°－sin(360°＋75°)sin15°
＝cos75cos15°－sin75°sin15°
＝cos(75°＋15°)＝cos90°＝0.
2．在△ABC中，若sinAsinB<cosAcosB，则△ABC一定为(　　)
A．等边三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．钝角三角形
[答案]　D
[解析]　∵sinAsinB<cosAcosB，
∴cosAcosB－sinAsinB>0，
∴cos(A＋B)>0，
∵A、B、C为三角形的内角，
∴A＋B为锐角，
∴C为钝角．
3．化简sin(x＋y)sin(x－y)＋cos(x＋y)cos(x－y)的结果是(　　)
A．sin2x B．cos2y
C．－cos2x D．－cos2y
[答案]　B
[解析]　原式＝cos[(x＋y)－(x－y)]＝cos2y.
4．sin15°cos75°＋cos15°sin105°等于(　　)
A．0 B．
C． D．1
[答案]　D
[解析]　sin15°cos75°＋cos15°sin105°
＝sin15°cos(90°－15°)＋cos15°sin(90°＋15°)
＝sin15°sin15°＋cos15°cos15°
＝cos(15°－15°)＝cos0°＝1.
5．sin－cos的值是(　　)
A．0 B．－
C． D．2
[答案]　B
[解析]　原式＝－2
＝－2·
＝－2cos＝－2×＝－.
6．△ABC中，cosA＝，且cosB＝，则cosC等于(　　)
A．－ B．
C．－ D．
[答案]　B
[解析]　由cosA>0，cosB>0知A、B都是锐角，
∴sinA＝＝，sinB＝＝，
∴cosC＝－cos(A＋B)＝－(cosAcosB－sinAsinB)
＝－＝.
二、填空题
7．若cosα＝，α∈(0，)，则cos(α＋)＝________.
[答案]　
[解析]　∵cosα＝，α∈(0，)，
∴sinα＝.
∴cos(α＋)＝cosαcos－sinαsin＝×－×＝.
8．已知cosx－cosy＝，sinx－siny＝，则cos(x－y)＝________.
[答案]　
[解析]　∵cosx－cosy＝，sinx－siny＝，
∴cos2x－2cosxcosy＋cos2y＝，
sin2x－2sinxsiny＋sin2y＝，
两式相加得2－2cos(x－y)＝，
∴cos(x－y)＝.
三、解答题
9．已知sinα＋sinβ＝sinγ，cosα＋cosβ＝cosγ.
求证：cos(α－γ)＝.
[解析]　sinα＋sinβ＝sinγ⇒sinα－sinγ＝－sinβ①
cosα＋cosβ＝cosγ⇒cosα－cosγ＝－cosβ②
①2＋②2得2－2(cosαcosγ＋sinαsinγ)＝1，
即得cos(α－γ)＝.

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基础巩固
1．若sin x＋cos x＝4－m，则实数m的取值范围是(　　)．
A．2≤m≤6 B.－6≤m≤6
C．2<m<6 D.2≤m≤4
解析　∵sin x＋cos x＝2＝2＝2cos＝4－m，
∴cos＝，∴≤1，解得2≤m≤6.
答案　A
2.的值是(　　)．
A. B.
C. D.
解析　＝＝＝
＝＝.
答案　C
3．(2012·齐齐哈尔高一检测)若cos(α－β)＝，cos 2α＝，并且α、β均为锐角，且α<β，则α＋β的值为(　　)．
A. B.
C. D.
解析　∵0<α<β<，
∴－<α－β<0,0<2α<π，
∴由cos(α－β)＝，得sin (α－β)＝－，
由cos 2α＝，得sin 2α＝.
∴cos(α＋β)＝cos
＝cos 2αcos(α－β)＋sin 2αsin(α－β)
＝×＋3×＝－.
又α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝.
答案　C
4．cos 15°＋sin 15°＝________.
解析　cos 15°＋sin 15°
＝(cos 15°cos 45°＋sin 15°sin 45°)
＝cos(45°－15°)＝cos 30°＝.
答案　
5．(2012·成都高一检测)若cos θ＝－，θ∈，则cos＝________.
解析　∵cos θ＝－，θ∈，
∴sin θ＝－，
∴cos＝cos θcos＋sin θsin
＝－×＋×＝－.
答案　－
6．已知α，β∈，sin＝－，sin＝，则cos＝________.
解析　∵α，β∈，
∴α＋β∈，β－∈，
又sin(α＋β)＝－，sin＝，
∴cos(α＋β)＝＝，
cos＝－ ＝－.
∴cos＝cos
＝cos(α＋β)cos＋sin(α＋β)sin
＝×＋×＝－.
答案　－
7．已知：sin α＝，cos(α＋β)＝－，0<α<，π<α＋β<π，求cos β的值．
解　因为sin α＝，0<α<，所以cos α＝＝ ＝.因为cos(α＋β)＝－，π<α＋β<π，
所以sin(α＋β)＝－＝－＝－.所以cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝×＋×＝－1.

8．(2012·蚌埠高一检测)若sin x＋cos x＝cos(x＋φ)，则φ的一个可能值为
(　　)．
A．－ B.－
C. D.
解析　sin x＋cos x＝cos xcos＋sin xsin＝cos，故φ的一个可能值为－.
答案　A
9．已知cos ＝，则cos α＋sin α的值为________．
解析　cos＝cos cos α＋sin sin α
＝cos α＋sin α
＝＝，
故cos α＋sin α＝.
答案　
10．已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，|a－b|＝，求cos(α－β)．
解　∵a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，
∴a－b＝(cos α－cos β，sin α－sin β)．
∴|a－b|＝
＝
＝＝，
∴2－2cos(α－β)＝，
∴cos(α－β)＝.
能力提升
一、选择题
1. 已知，，则（ ）
Α. B. C. D.
答案：D ，
2. 函数的最小正周期是（ ）
Α. B. C. D.
答案： D
3. 在△ΑBC中，，则△ABC为（ ）
Α. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法判定
答案： C 为钝角
4. 设，，,则大小关系（ ）
Α. B.
C. D.
答案： D ，，
5. 函数是（ ）
Α. 周期为的奇函数 B. 周期为的偶函数
C. 周期为的奇函数 D. 周期为的偶函数
答案： C ，为奇函数，
6. 已知，则的值为（ ）
Α. B. C. D.

答案： B

二、填空题

1. 求值：_____________.
答案：

2. 若则 .
答案：

3. 已知那么的值为 ,的值为 .
答案：
4. 的三个内角为、、，当为 时，取得最大值，且这个最大值为 .
答案：

当，即时，得

三、解答题

1. ① 已知求的值.
解：

.
②若求的取值范围.
解：令，则

2. 求值：

解：原式

3. 已知函数
①求取最大值时相应的的集合；
②该函数的图象经过怎样的平移和伸变换可以得到的图象.
解：
（1）当，即时，取得最大值
为所求

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