2012-2013-2014年概率论与数理统计期末考试试卷答案.doc

2012年概率论与数理统计期末考试试卷
一. 填空题(每题5分, 共30分)
1. 设随机变量服从正态分布, 已知, 其中表示标准正态分布的分布函数, 则.
解:
2. 设概率, 则= 0.1 .
解: ,
.
3. 设随机变量的数学期望分布是-2, 1, 方差分别是1, 4, 两者相关系数是—0.5, 则由契比雪夫不等式估计 13/36 .
解: 由已知条件得, ,

,
所以, .
4. 已知是具有相同分布的两个独立随机变量, 且,
, 则 1/2 .
解:

5. 设是来自的样本, S是样本均方差, 则服从t(15).
解: 由定理3知, 即.
6. 设, 要检验假设, 则当为真时, 用于检验的统计量服从的分布是.
解: 由定理1值, .
二. 解答下列各题:
7. (10分)已知男人中色盲人数所占比例是5%, 女人中色盲人数所占比例是0.25%. 现从男女人数各占一半的人群中随机选取一人, 求该人恰是色盲者的概率.
解: 设=“该人是色盲”, =“该人是男人”, =“该人是女人”.
由全概率公式知, .
8. (10分) 从只含3红, 4白两种颜色的球袋中逐次取一球, 令. 实在不放回模式下求的联合分布律, 并考虑独立性(要说明原因).
X1 X2
0
1

0
2/7
2/7
4/7
1
2/7
1/7
3/7

4/7
3/7

因为, 所以不独立.
9. (10分)设随机向量的联合概率密度函数为

求的边缘概率密度函数.
解: 当时, .
所以,
当时, ;
当时, ; 所以,
10. (10分) 设相互独立, 且, , 令求的分布律.
解:

所以, 的分布律为
Z
0
1
P
2p(1-p)

11. (10分)设是来自具有分布

-1
1

的总体的随机样本,试用中心极限定理计算.(已知.)
解: 由题知,,故.
由中心极限定理知,.
所以,
.
12. (10分)设总体X的密度函数为求的矩估计并计算.
解: 依题意,,得参数的矩估计量为.
.
而,故.
13. (10分) 某电器零件平均电阻一直保持在2.64,使用新工艺后,测得100个零件平均电阻在2.62,如改变工艺前后电阻均方差保持在0.06,问新工艺对零件电阻有无显著影响?(取).
解: 设为零件的平均电阻, 则.
(1)假设;
(2)取统计量;
(3)由, 确定临界值, , 使得;
(4)由样本值, 得统计量的观察值
.
(5)因为,所以拒绝原假设,认为新工艺对零件电阻有显著影响.
2013年概率论与数理统计期末考试试卷
一. 填空题(每题4分, 共20分)
1. 设随机变量相互独立, 且同分布, , , 则 1/2 .
解:
2. .
解: 因为, 所以, 即.
3. 设连续型随机变量的密度函数, , 则
, .
解: 因为, 所以.
4. 设总体, 为来自总体的简单随机样本, 则
.
解: 由定理1知, .
5. 设袋中有8个红球, 2个黑球, 每次从袋中摸取一个球并且不放回, 那么第一次与第三次都摸到红球的概率是 28/45 .
解: 记“第次摸到红球”, .

.
二. 解答题
6. (12分) 某矿内有甲乙两个报警系统, 单独使用时甲的有效性为0.92, 乙为0.93, 且在甲失灵的条件下乙有效的概率为0.85, 求意外发生时, 甲乙至少有一个有效的概率, 以及乙失灵时甲有效的概率. 参考练习册反12第4题.
解: 设“甲有效”, “乙有效”.
题目转为: 已知, , 求和.
因为,
所以, .
所以, ;
.
7. (12分)设连续型随机变量的分布函数为, 求常数以及随机变量的密度函数.
解: 根据分布函数的性质得
所以
的密度函数为.
8. (14分) 设某种类型人造卫星的寿命(单位: 年)的密度函数为

若2颗这样的卫星同时升空投入使用, 试求:
(1) 3年后这2颗卫星都正常运行的概率;
(2) 3年后至少有1颗卫星正常运行的概率. 参考教材P37例3
解: 1颗卫星3年内正常运行的概率为
.
记表示2颗卫星在3年内正常运行的颗数, 则.
(1) 3年后这2颗卫星都正常运行的概率;
(2) 3年后至少有1颗卫星正常运行的概率.
9. (14分) 设某高校英语考试成绩近似服从均值为72的正态分布, 96分以上的考生占总数的2.3%(已知满分为100, 合格线为60), 试求:
(1) 考生成绩在60-84之间的概率;
(2) 该校考生的合格率.
解: 设某高校英语考试成绩为, 则.
由题意知, 即,
所以, 即.
因此, .
(1) 考生成绩在60-84之间的概率
(2) 合格率

10. (14分) 一工厂生产的某种电池的寿命服从正态分布, 现在从这种电池中随机抽取16个, 测得平均寿命为23.8小时, 由此能否断定: 在显著性水平为时, 该种电池的平均寿命小于25小时.
解: 设为电池寿命, 则.
(1)假设;
(2)取统计量;
(3) 由, 确定临界值, 使得;
(4)由样本均值, 得统计量的观察值
.
(5)因为,此时没有充分理由说明小概率事件一定发生.
所以接受原假设, 认为这种电池的平均寿命不小于25小时.
注: 原假设不能设为,此时取不到,统计量就没有意义了!

11. (14分)设总体是离散型随机变量, 其所有可能的取值为0, 1, 2,
已知, , 为参数. 对取容量为10的样本如下
1, 1, 0, 2, 2, 1, 1, 1, 0, 2.
求参数的矩估计和极大似然估计.
解: 利用期望的概念及分布律的性质, 得的分布律为
X
0
1
2
P

(1) 由, 得的矩估计量为; 结合,
的矩估计值为.
(2) 构造似然函数为
,
取对数,
求导数,
得的极大似然估计值为.
2014年概率论与数理统计期末考试试卷
一. 填空题(共40分, 每空5分)
1. 设, , 且X与Y独立, 则~()分布;
2. 设, 则的密度函数();
3. 设总体的方差为, 为样本, 为样本均值, 则期望();
4. 设为样本, 则统计量的名称为(样本2阶原点矩);
5. 设总体, 为来自该总体的样本, 则服从()分布;
6. 一批产品中有5个正品, 3个次品, 从中任取2个, 恰有1个次品, 1个正品的概率为();
7. 样本的特性是(独立、同分布且与总体分布相同);
8. 在假设检验中, 可能犯两类错误. 其中第一类错误也称为弃真, 弃真的确切含义为(当原假设是真的时，拒绝了它).
二. 计算题(60分, 每题10分)
1. 假设某贪官收受一次贿赂而被曝光的概率为0.05, 到目前为止共收受80次贿赂, 假设案发前每次收受贿赂是否曝光相互独立. 试用概率说明 “多行不义必自毙”. (取)
解：记为事件“第次收受贿赂而被曝光”（），---------------------2
于是案发的概率为 ------------- ------------- -----------------4
----------------------6
。 -------------8
故 案发是大概率事件，大概率事件是很可能发生的，从而从概率角度说明“多行不义必自毙”的道理. ------------------------------------10

2. 设随机变量与的联合密度函数为
.
求: (1) 常数A; (2) ; (3) 边缘密度函数; (5) 及.
解：① ， ；
② =；均匀分布等价于几何概型；
③ ；
④ ;
.
3. 设全国电脑的开机时间, 已知电脑开开机时间为51秒, 超越(即击败)40%的电脑, 电脑乙开机时间为86秒, 超越(即击败)8%的电脑. 求参数的值(保留二位小数). (已知, )
解: 依题意知， 即,
, 所以, , .
4. 观察新生女婴儿的体重(它是一个随机变量), 取20名按出生顺序测得体重如下: (单位: g)
2800 2500 2700 3500 3500 3600 3080 3800 3200 3100
3100 3200 3300 3020 3040 3420 2900 3440 3000 2620
把这20个数据分成5组(每组不包括上限), 画出每组频率直方图(取区间[2500, 3800]), 并计算前5个数据的均值和方差.
解：将区间[2500,3800]等分成5个小区间为[2500,2760）、[2760,3020)、[3020,3280)、[3280,3540)、[3540,3800].落入各区间的频数分别为3、3、7、5、2，相应的频率分别为0.15、0.15、0.35、0.25、0.1.
,
样本方差.
5. 某灯泡厂某天生产了一大批灯泡, 其寿命是一个随机变量, 假设(参数为指数分布), 是未知参数. 从中任意取出个进行寿命试验, 测得数据如下(单位: 小时): (均大于0). 试求参数极大似然估计值及极大似然估计量.
解: 设, 则的密度函数为.
构造似然函数 ，
令 ，
得的极大似然估计值为 ；
的极大似然估计量为 .
6.已知某厂生产灯泡的寿命(单位: )服从正态分布, 根据经验, 灯泡的平均寿命不超过1500 h, 现测试了25只采用新工艺生产的灯泡的寿命, 测得其平均值为1575 h. 试问新工艺是否提高了灯泡的寿命. (取显著性水平, 查表: , )
解: (1)假设;
(2)取统计量;
(3) 由, 确定临界值, 使得;
(4)由样本均值, 得统计量的观察值
.
(5)因为,此时说明小概率事件发生, 所以拒绝原假设,即认为新工艺提高了灯泡的寿命.
注: 原假设不能设为,此时取不到,统计量就没有意义了!