初中数学九大几何模型(2).doc

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初中数学九大几何模型
一、 手拉手模型----旋转型全等
（1） 等边三角形

【条件】：△OAB和△OCD均为等边三角形；
【结论】：①△OAC≌△OBD；②∠AEB=60°；③OE平分∠AED
（2） 等腰直角三角形

【条件】：△OAB和△OCD均为等腰直角三角形；
【结论】：①△OAC≌△OBD；②∠AEB=90°；③OE平分∠AED
（3） 顶角相等的两任意等腰三角形

【条件】：△OAB和△OCD均为等腰三角形；
且∠COD=∠AOB
【结论】：①△OAC≌△OBD；
②∠AEB=∠AOB；
③OE平分∠AED

二、 模型二：手拉手模型----旋转型相似
（1） 一般情况
【条件】：CD∥AB，
将△OCD旋转至右图的位置

【结论】：①右图中△OCD∽△OAB→→→△OAC∽△OBD；
②延长AC交BD于点E，必有∠BEC=∠BOA
（2） 特殊情况
【条件】：CD∥AB，∠AOB=90°
将△OCD旋转至右图的位置
【结论】：①右图中△OCD∽△OAB→→→△OAC∽△OBD；
②延长AC交BD于点E，必有∠BEC=∠BOA；
③tan∠OCD；④BD⊥AC；
⑤连接AD、BC，必有；⑥
三、 模型三、对角互补模型
（1） 全等型-90°
【条件】：①∠AOB=∠DCE=90°；②OC平分∠AOB
【结论】：①CD=CE；②OD+OE=OC；③
证明提示：
①作垂直，如图2，证明△CDM≌△CEN
②过点C作CF⊥OC，如图3，证明△ODC≌△FEC
※当∠DCE的一边交AO的延长线于D时（如图4）：
以上三个结论：①CD=CE；②OE-OD=OC；
③

（2） 全等型-120°
【条件】：①∠AOB=2∠DCE=120°；②OC平分∠AOB
【结论】：①CD=CE；②OD+OE=OC；③
证明提示：①可参考“全等型-90°”证法一；
②如右下图：在OB上取一点F，使OF=OC，证明△OCF为等边三角形。

（3） 全等型-任意角ɑ
【条件】：①∠AOB=2ɑ，∠DCE=180-2ɑ；②CD=CE；
【结论】：①OC平分∠AOB；②OD+OE=2OC·cosɑ；
③
※当∠DCE的一边交AO的延长线于D时（如右下图）：
原结论变成：① ；
② ；
③ 。
可参考上述第②种方法进行证明。请思考初始条件的变化对模型的影响。

对角互补模型总结：
①常见初始条件：四边形对角互补，注意两点：四点共圆有直角三角形斜边中线；
②初始条件“角平分线”与“两边相等”的区别；
③注意OC平分∠AOB时，
∠CDE=∠CED=∠COA=∠COB如何引导？

四、 模型四：角含半角模型90°
（1） 角含半角模型90°---1
【条件】：①正方形ABCD；②∠EAF=45°；
【结论】：①EF=DF+BE；②△CEF的周长为正方形ABCD周长的一半；
也可以这样：
【条件】：①正方形ABCD；②EF=DF+BE；
【结论】：①∠EAF=45°；

（2） 角含半角模型90°---2
【条件】：①正方形ABCD；②∠EAF=45°；
【结论】：①EF=DF-BE；

（3） 角含半角模型90°---3
【条件】：①Rt△ABC；②∠DAE=45°；
【结论】：（如图1）
若∠DAE旋转到△ABC外部时，结论仍然成立（如图2）

（4） 角含半角模型90°变形
【条件】：①正方形ABCD；②∠EAF=45°；
【结论】：△AHE为等腰直角三角形；
证明：连接AC（方法不唯一）
∵∠DAC=∠EAF=45°，
∴∠DAH=∠CAE，又∵∠ACB=∠ADB=45°；
∴△DAH∽△CAE，∴
∴△AHE∽△ADC，∴△AHE为等腰直角三角形

模型五：倍长中线类模型
（1） 倍长中线类模型---1
【条件】：①矩形ABCD；②BD=BE；
③DF=EF；
【结论】：AF⊥CF
模型提取：①有平行线AD∥BE；②平行线间线段有中点DF=EF；
可以构造“8”字全等△ADF≌△HEF。
（2） 倍长中线类模型---2
【条件】：①平行四边形ABCD；②BC=2AB；③AM=DM；④CE⊥AB；
【结论】：∠EMD=3∠MEA
辅助线：有平行AB∥CD，有中点AM=DM，延长EM，构造△AME≌△DMF，连接CM构造
等腰△EMC，等腰△MCF。（通过构造8字全等线段数量及位置关系，角的大小转化）

模型六：相似三角形360°旋转模型
（1）相似三角形（等腰直角）360°旋转模型---倍长中线法
【条件】：①△ADE、△ABC均为等腰直角三角形；②EF=CF；
【结论】：①DF=BF；②DF⊥BF
辅助线：延长DF到点G，使FG=DF，连接CG、BG、BD，证明△BDG为等腰直角三角形；
突破点：△ABD≌△CBG；
难点：证明∠BAO=∠BCG

（2）相似三角形（等腰直角）360°旋转模型---补全法
【条件】：①△ADE、△ABC均为等腰直角三角形；②EF=CF；
【结论】：①DF=BF；②DF⊥BF
辅助线：构造等腰直角△AEG、△AHC；
辅助线思路：将DF与BF转化到CG与EF。

（3） 任意相似直角三角形360°旋转模型---补全法
【条件】：①△OAB∽△ODC；②∠OAB=∠ODC=90°；③BE=CE；
【结论】：①AE=DE；②∠AED=2∠ABO
辅助线：延长BA到G，使AG=AB，延长CD到点H使DH=CD，补全△OGB、△OCH构造旋转模型。转化AE与DE到CG与BH，难点在转化∠AED。

（4） 任意相似直角三角形360°旋转模型---倍长法
【条件】：①△OAB∽△ODC；②∠OAB=∠ODC=90°；③BE=CE；
【结论】：①AE=DE；②∠AED=2∠ABO
辅助线：延长DE至M，使ME=DE，将结论的两个条件转化为证明△AMD∽△ABO，此为难点，
将△AMD∽△ABC继续转化为证明△ABM∽△AOD，使用两边成比例且夹角相等，此处难点在证明∠ABM=∠AOD

模型七：最短路程模型
（1） 最短路程模型一（将军饮马类）
总结：右四图为常见的轴对称类最短路程问题，
最后都转化到：“两点之间，线段最短：解决；
特点：①动点在直线上；②起点，终点固定

（2） 最短路程模型二（点到直线类1）
【条件】：①OC平分∠AOB；②M为OB上一定点；③P为OC上一动点；④Q为OB上一动点；
【问题】：求MP+PQ最小时，P、Q的位置？
辅助线：将作Q关于OC对称点Q’，转化PQ’=PQ，过点M作MH⊥OA，
则MP+PQ=MP+PQ’MH(垂线段最短）

（3） 最短路程模型二（点到直线类2）
【条件】：A(0,4),B(-2,0),P(0,n）
【问题】：n为何值时，最小？
求解方法：①x轴上取C(2,0),使sin∠OAC=；②过B作BD⊥AC，交y轴于点E，即为所求；③tan∠EBO=tan∠OAC=，即E（0，1）

（4） 最短路程模型三（旋转类最值模型）
【条件】：①线段OA=4，OB=2；②OB绕点O在平面内360°旋转；
【问题】：AB的最大值，最小值分别为多少？
【结论】：以点O为圆心，OB为半径作圆，如图所示，将问题转化为
“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”。
最大值：OA+OB；最小值：OA-OB

【条件】：①线段OA=4，OB=2；②以点O为圆心，OB，OC为半径作圆；
③点P是两圆所组成圆环内部（含边界）一点；
【结论】：若PA的最大值为10，则OC= 6 ；若PA的最小值为1，则OC= 3 ；
若PA的最小值为2，则PC的取值范围是 0<PC<2

【条件】：①Rt△OBC，∠OBC=30°；
②OC=2；③OA=1；④点P为BC上动点（可与端点重合）；
⑤△OBC绕点O旋转
【结论】：PA最大值为OA+OB=；PA的最小值为
如下图，圆的最小半径为O到BC垂线段长。

模型八：二倍角模型
【条件】：在△ABC中，∠B=2∠C；
辅助线：以BC的垂直平分线为对称轴，作点A的对称点A’，连接AA’、BA’、CA’、
则BA=AA’=CA’(注意这个结论）
此种辅助线作法是二倍角三角形常见的辅助线作法之一，不是唯一作法。

模型九：相似三角形模型
（1） 相似三角形模型--基本型
平行类：DE∥BC；
A字型 8字型 A字型
结论：(注意对应边要对应）

（2） 相似三角形模型---斜交型
【条件】：如右图，∠AED=∠ACB=90°；
【结论】：AE×AB=AC×AD

【条件】：如右图，∠ACE=∠ABC；
【结论】：AC2=AE×AB

第四个图还存在射影定理：AE×EC=BC×AC；BC2=BE×BA；CE2=AE×BE；
（3） 相似三角形模型---一线三等角型
【条件】：（1）图：∠ABC=∠ACE=∠CDE=90°；
（2）图：∠ABC=∠ACE=∠CDE=60°；
（3）图：∠ABC=∠ACE=∠CDE=45°；
【结论】：①△ABC∽△CDE；②AB×DE=BC×CD；
一线三等角模型也经常用来建立方程或函数关系。

（4） 相似三角形模型---圆幂定理型
【条件】：（2）图：PA为圆的切线；
【结论】：（1）图：PA×PB=PC×PD；
（2）图：PA2=PC×PB;
（3）图：PA×PB=PC×PD；
以上结论均可以通过相似三角形进行证明。

清代“红顶商人”胡雪岩说：“做生意顶要紧的是眼光，看得到一省，就能做一省的生意；看得到天下，就能做天下的生意；看得到外国，就能做外国的生意。”可见，一个人的心胸和眼光，决定了他志向的短浅或高远；一个人的希望和梦想，决定了他的人生暗淡或辉煌。
　　人生能有几回搏，有生不搏待何时！所有的机遇和成功，都在充满阳光，充满希望的大道之上！我们走过了黑夜，就迎来了黎明；走过了荆棘，就迎来了花丛；走过了坎坷，就走出了泥泞；走过了失败，就走向了成功！
　　一个人只要心存希望，坚强坚韧，坚持不懈，勇往直前地去追寻，去探索，去拼搏，他总有一天会成功。正如郑板桥所具有的人格和精神： “咬定青山不放松，立根原在破岩中。千磨万击还坚劲，任尔东南西北风。”
　　梦想在，希望在，人就有奔头；愿奋斗，勇拼搏，事就能成功。前行途中，无论我们面对怎样的生活，无论我们遭遇怎样的挫折，只要坚定执着地走在充满希望的路上，就能将逆境变为顺境，将梦想变为现实。
实现人生的梦想，我们必须希望和拼搏同在，机遇和奋斗并存，要一如既往，永远走在充满希望的路上！

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