东师大2014《概率论与数理统计》期末作业考核答案.doc

2014年春季 期末作业考核
《概率论与数理统计》

满分100分

一、判断正误，在括号内打√或×（本题共10小题，每小题2分，共20分）
（×）1．是取自总体的样本，则服从分布；
（×）2．设随机向量的联合分布函数为，其边缘分布函数是；
（√）3．设，，，则表示；
（×）4．若，则一定是空集；
（×）5．对于任意两个事件，必有；
（×）6．设表示3个事件，则表示“中不多于一个发生”；
（√）7．为两个事件，则；
（√）8．已知随机变量与相互独立，，则；
（√）9．设总体， ,,是来自于总体的样本，则是的无偏估计量；
（√）10．回归分析可以帮助我们判断一个随机变量和另一个普通变量之间是否存在某种相关关系。
二、填空题（本题共10小题，每小题3分，共30分）
1．设是3个随机事件，则“三个事件都不发生”用表示为 ；
2．若事件相互独立，则
= ；
3．设离散型随机变量的概率分布为

…

…
对应取值的概率

…

…
除了要求每个0之外，这些还应满足 + + …=1 ；
4．若随机变量服从区间上的均匀分布，则 π ；
5．设随机变量的概率分布列为，则 λ ；
6．为二维随机向量，其协方差与相互系数的关系为 ；
7．已知，，则 30 ；
8．设离散型随机变量的概率分布为

0
1
2

0.5
0.3
0.2
其分布函数为，则 1 ；
9．设为总体的一个简单随机样本，若方差未知，则的的置信区间为 。
10．设样本，，…，来自，且，则对检验：：，采用统计量是 。
三、计算题(每题5分,共35分)
1．设，试求的概率密度为。
解：因为随机变量X服从正态分布，所以它的概率密度具有如下形式：

进而，将 代入上述表达式可得所求的概率密度为：

2．随机变量的密度函数为，其中为正的常数，试求。
解： 依题意可得：

则：
因为A＞0 所以 A=1

3．设随机变量服从二项分布，即，且，，试求。
解：可以如下求解：=3,=21

4．已知一元线性回归直线方程为，且，，试求。
解：由题意得
故

5．设随机变量与相互独立，且，求。
解：因为随机变量与相互独立，则：
D(X-4Y)=D(X)-D(4Y)=D(X)-16D(Y)=3-16×4=-61

6．设总体的概率密度为 式中>－1是未知参数，是来自总体的一个容量为的简单随机样本，用最大似然估计法求的估计量。
解：似然函数为

似然方程为

解得

.
即为θ最大似然估计值。

7．设是取自正态总体的一个样本，其中未知。已知估计量是的无偏估计量，试求常数。
解：
四、证明题(共15分)
1．若事件与相互独立，则与也相互独立。(8分)
证明：P(B）＝P(B)-P(AB)=P(B)-P(A)P(B)=(1-P(A))P(B)=P()P(B)
所以与B独立

2．若事件，则。(7分)
证明：，
由于事件，
所以，。
从而
4