广东省惠州市2019届高三第三次调研考试数学文试题(含解析).doc

惠州市2019届高三第三次调研考试
文科数学
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。
2．作答选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。
3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
（1）已知集合，集合，则集合（ ）
A． B． C． D．
（2）要得到函数的图象，只需要将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
（3）若、满足约束条件，则的最大值为（ ）
A． 2 B． 6 C． 7 D． 8
（4）已知双曲线：的一条渐近线方程为，
则双曲线的离心率等于（ ）
A． B． C． D．
（5）已知函数是奇函数，若，
则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（6）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
（7）如图所示，△ABC中，，点E是线段AD的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
（8）已知函数，则函数的大致图象为（ ）

A． B． C． D．
（9）已知直线过点，当直线与圆有两个交点时，
其斜率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
（10）榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，榫和卯咬合，起到连接作用，代表建筑有：北京的紫禁城、天坛祈年殿、正视图
侧视图
俯视图
6
3
3
2
2
2
山西悬空寺等，如图所示是一种榫卯的三视图，则该空间几何体的表面积为（ ）
A. 192 B. 186 C. 180 D. 198
（11）直线过抛物线的焦点且与抛物线交于,两点，若线段的长分别为，则的最小值是（ ）
A.10 B．9 C．8 D．7
（12）已知是定义在上的偶函数，且，当时，．若在区间内关于的方程且有且只有4个不同的根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
（13）从3男3女共6名学生中任选2名（每名同学被选中的机会相等），
则2名都是女同学的概率等于______.
（14）某商场一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，
下列说法中正确的是______.
①2至3月份的收入的变化率与11至12月份的收入的变化率相同；
②支出最高值与支出最低值的比是6:1；
③第三季度平均收入为50万元；
④利润最高的月份是2月份。
（15）在中，角的对边分别为，已知，则____________.
（16）如图，将边长为2的正沿着高折起，使，若折起后、、、四点都在球的表面上，则球的表面积为______平方单位.

三．解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
（17）（本小题满分12分）
已知数列的前项和满足.
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和.

（18）（本小题满分12分）
A
B
C
F
E
A1
C1
B1
如图，在直三棱柱中，分别为的中点，，.
（1）求证：平面；
（2）求三棱锥的体积.

（19）（本小题满分12分）
已知椭圆的一个顶点为，焦点在轴上，若椭圆的右焦点到直线的距离是3.
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点的直线与该椭圆交于另一点，当弦的长度最大时，
求直线的方程.

（20）（本小题满分12分）
随着“互联网+交通”模式的迅猛发展，“共享自行车”在很多城市相继出现。某运营公司为了了解某地区用户对其所提供的服务的满意度，随机调查了40个用户，得到用户的满意度评分如下：
用户编号
评分

用户编号
评分

用户编号
评分

用户编号
评分
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
78
73
81
92
95
85
79
84
63
86
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
88
86
95
76
97
78
88
82
76
89
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
79
83
72
74
91
66
80
83
74
82
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
93
78
75
81
84
77
81
76
85
89
用系统抽样法从40名用户中抽取容量为10的样本，且在第一分段里随机抽到的评分数据为92.
（1）请你列出抽到的10个样本的评分数据；
（2）计算所抽到的10个样本的均值和方差；
（3）在（2）条件下，若用户的满意度评分在之间，则满意度等级为“级”。试应用样本估计总体的思想，根据所抽到的10个样本，估计该地区满意度等级为“级”的用户所占的百分比是多少？
（参考数据：）

（21）（本小题满分12分）
已知函数.
（1）当时，求函数在处的切线方程；
（2）当时，求证：.
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。答题时请写清题号并将相应信息点涂黑。
（22） [选修4-4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）写出曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）已知点是曲线上动点，求点到曲线的最小距离．

（23） [选修4-5：不等式选讲]
已知.
（1）求不等式的解集；
（2）若时，不等式恒成立，求的取值范围.

惠州市2019届高三第三次调研考试
文科数学参考答案及评分标准
一、 选择题：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
B
C
D
C
D
C
A
C
A
B
D
1.【解析】，∴集合．故选B．
另解：由B 是A∪B的子集，所以选项中包含必有（0,+∞），排除选项ACD，故选B．
2.【解析】，故选B.
3.【解析】作出可行域，如下图中的阴影部分，
易知目标函数过点时取得最大值为7，故选C.
4.【解析】，从而，，故选D.
5.【解析】函数的定义域是R，且为奇函数，故，解得，所以，
可知是增函数，所以由得到，
解得，故选C.
6.【解析】由得,所以，，
所以,故选D.
7.【解析】，故选C.
8.【解析】，故函数非奇非偶，排除B、C，
，故选A．
9.【解析】直线为，又直线与圆有两个交点，
故∴，故选C.
另解：数形结合，通过相切的临界值找出答案。

10.【解析】由三视图还原几何体，可知该几何体为组合体，上部分是长方体，棱长分别为2,6,3，
下部分为长方体，棱长分别为6,6,3，其表面积为，故选A.
11.【解析】设两点的坐标分别为，则，
，
当且仅当，即当时取等号，故选B.
12. 【解析】由得到，所以的周期为4，方程可化为，分别作出函数的图象，可知当时，两图象有4个不同的交点，解得，故选D.
二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13、， 14、①②③， 15、， 16、.
13.【解析】记三名男生分别为，三名女生分别为，从6名学生中任选2名共有15种不同的结果，其中2名都是女生的结果有3种，故概率为.
14.【解析】对于④，利润最高的月份是10月份，所以④不正确。
15.【解析】由正弦定理得，即
∴，因为，∴，从而．
16.【解析】设球的半径为由题意可知，，所在截面圆的半径为，
从而，所以球的表面积为.
三．解答题：
17. 【解析】（1）当时,，………………1分
当时，，又………………2分
两式相减得，所以 ………………4分
………………5分
（2）由（1）知………………8分
∴……………9分
……………11分
A
B
C
F
E
A1
C1
B1
D
………………12分
18. 【解析】〖解法1〗
（1）如图，设为边的中点，连接
∵，分别为，的中点，∴……1分
又∵，∴ …………2分
∴ 四边形为平行四边形，∴ ……………………3分
又平面，平面，…………4分
∴平面. ……………………5分
（2）在直三棱柱中，
又，平面，平面，，……………6分
∴平面， ……………………7分
面，∴， ……………………8分
由三角形的面积为2，可得三角形的面积为1，……………………9分
由（1）平面知：到平面的距离等于到平面的距离…………10分
∴……………………11分
∴.
所以三棱锥的体积为. ……………………12分
18. 【解析】〖解法2〗
（1）设为边的中点，连接
D
A
B
C
F
E
A1
C1
B1
∵，，分别为，，的中点，∴………1分
又∵,∴,……………………2分
又∵,∴,……………………3分
∵ ，,
∴ ……………………4分
∴平面. ……………………5分
注意：由线线平行直接推出面面平行的证明过程须扣2分，即第一问最多可给3分。
（2）在直三棱柱中，
又，平面，平面，，……………………6分
∴平面， ……………………7分
知， ……………………8分
在直角三角形中，为边的中点，
……………………9分
又…………10分
∴……………………11分
∴
所以三棱锥的体积为. ……………………12分
19. 【解析】（1）由题意，， …………1分
右焦点到直线的距离,，……2分
………………3分
∵椭圆的焦点在轴上，所以椭圆的方程为 ………………4分
（2）〖解法1〗当不存在时， ………………5分
当存在时，设直线方程为，联立，得，…………6分
………………7分
………………8分
令则………………9分
所以，当，即，得时…………10分
的最大值为，即的最大值为…………11分
直线的方程为. ………………12分
（2）〖解法2〗设直线的倾斜角为，则直线的参数方程为（为参数），……5分
设点对应的参数分别为，且;
将参数方程代入椭圆方程可得：，
化简可得：，…………6分
若，则上面的方程为，则,矛盾；…………7分
若，则，，
则弦长为………8分

上式，…………9分
……10分
当且仅当即或，时等号成立. …………11分
直线方程为：或.…………12分
20. 【解析】
（1）通过系统抽样抽取的样本编号为：4，8，12，16，20，24，28，32，36，40…………2分
则样本的评分数据为：92，84，86，78，89，74，83，78，77，89. ………… 4分
【评分要求】
1、样本编号为等差数列，写错任意一个数扣1分；
2、样本编号写错2个数扣2分，且后续解答过程有错就不再给分，即整题0分。
3、样本编号正确的前提下，样本数据写错1个数据可认为笔误不扣分，写错2个数据扣1分，写错3个数据扣2分。
（2）由（1）中的样本评分数据可得
…………………………5分
， ……………………… 6分
则有
………7分
…………………… 8分
所以均值，方差.
（3）由题意知评分在即之间满意度等级为“A级”，…… 10分
由（1）中容量为10的样本评分在之间有5人，
则该地区满意度等级为“A级”的用户所占的百分比约为.…………12分
21. 【解析】（1）当时， ……………1分
……………2分
………3分
所以，切线方程为，即 ……………4分
（2）当时，
，，所以在上单调递增，…………5分
又，
所以，使得，即……………6分
所以函数在上单调递减，在上单调递增，……………7分
所以函数的最小值为……………8分
又函数是单调减函数，所以，……………9分
即恒成立。 ……………10分
又，所以 ……………11分
又所以，所以……………12分
22.【解析】（1）消去参数得到， ………………………1分
故曲线的普通方程为 ………………………2分
，由 ……3分（注意：无写出此公式本得分点不给分）
得到，……4分
即,故曲线的普通方程为.………………………5分
（2）〖解法1〗设点的坐标为，………………………6分
点到曲线的距离，……8分
所以，当时，的值最小，………………………9分
所以点到曲线的最小距离为. ………………………10分
（2）〖解法2〗设平行直线：的直线方程为……………6分
当直线与椭圆相切于点P时，P到直线的距离取得最大或最小值。
由得，……………7分
令其判别式，解得，……8分
经检验，当时，点P到直线的距离最小，最小值为………9分
所以点到曲线的最小距离为. ………………………10分
23. 【解析】（1）由题意得，…………………1分
所以，…………………2分
化简得………………3分
解得，…………………4分
故原不等式的解集为．…………5分
（2）由已知可得，恒成立，设，………6分
则,…………………7分
由的单调性可知，时，取得最大值1，…………………9分
所以的取值范围是．…………………10分