高中物理必修二讲义全.doc

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第五章 平抛运动
§5-1 曲线运动 & 运动的合成与分解
一、 曲线运动
1.定义：物体运动轨迹是曲线的运动。
2.条件：运动物体所受合力的方向跟它的速度方向不在同一直线上。
3.特点：①方向：某点瞬时速度方向就是通过这一点的曲线的切线方向。
②运动类型：变速运动（速度方向不断变化）。
③F合≠0，一定有加速度a。
④F合方向一定指向曲线凹侧。
⑤F合可以分解成水平和竖直的两个力。
4. 运动描述
P
蜡块的位置
v
vx
vy
涉及的公式：

θ

二、 运动的合成与分解
1. 合运动与分运动的关系：等时性、独立性、等效性、矢量性。
2. 互成角度的两个分运动的合运动的判断：
①两个匀速直线运动的合运动仍然是匀速直线运动。
②速度方向不在同一直线上的两个分运动，一个是匀速直线运动，一个是匀变速直线运动，其合运动是匀变速曲线运动，a合为分运动的加速度。
③两初速度为0的匀加速直线运动的合运动仍然是匀加速直线运动。
④两个初速度不为0的匀加速直线运动的合运动可能是直线运动也可能是曲线运动。当两个分运动的初速度的和速度方向与这两个分运动的和加速度在同一直线上时，合运动是匀变速直线运动，否则即为曲线运动。
三、 有关“曲线运动”的两大题型
（一） 小船过河问题
v
v水
v船
θ
，

d
d
v
v水
v船
θ
当v水<v船时，xmin=d，
，

模型一：过河时间t最短： 模型二：直接位移x最短： 模型三：间接位移x最短：

A
v水
v船
θ
当v水>v船时，，
，

θ
v船
d

[触类旁通]1．(2011 年上海卷)如图 5－4 所示，人沿平直的河岸以速度 v 行走，且通过不可伸长的绳拖船，船沿绳的方向行进．此过程中绳始终与水面平行，当绳与河岸的夹角为α时，船的速率为（ C ）。

解析：依题意，船沿着绳子的方向前进，即船的速度总是沿着绳子的，根据绳子两端连接的物体在绳子方向上的投影速度相同，可知人的速度 v 在绳子方向上的分量等于船速，故
v船＝v cosα，C 正确．
2．(2011 年江苏卷)如图 5－5 所示，甲、乙两同学从河中O 点出发，分别沿直线游到 A 点和 B 点后，立即沿原路线返回到 O 点，OA、OB 分别与水流方向平行和垂直，且 OA＝OB.若水流速度不变，两人在静水中游速相等，则他们所用时间 t甲、t乙的大小关系为(C)
A．t甲<t乙 B．t甲＝t乙
C．t甲>t乙 D．无法确定
解析：设游速为v，水速为v0，OA＝OB＝l，则t甲＝＋；乙沿OB运动，乙的速度矢量图如图4所示，合速度必须沿OB方向，则t乙＝2·，联立解得t甲>t乙，C正确．
（二） 绳杆问题(连带运动问题)
1、实质：合运动的识别与合运动的分解。
2、关键：①物体的实际运动是合速度，分速度的方向要按实际运动效果确定；
②沿绳（或杆）方向的分速度大小相等。
模型四：如图甲，绳子一头连着物体B，一头拉小船A，这时船的运动方向不沿绳子。
B
O
O
A
vA
θ
v1
v2
vA
甲
乙

处理方法：如图乙，把小船的速度vA沿绳方向和垂直于绳的方向分解为v1和v2，v1就是拉绳的速度，vA就是小船的实际速度。
[触类旁通]如图，在水平地面上做匀速直线运动的汽车，通过定滑轮用绳子吊起一个物体，若汽车和被吊物体在同一时刻的速度分别为 v1 和 v2，则下列说法正确的是( C）
A．物体做匀速运动，且 v2＝v1 B．物体做加速运动，且 v2>v1
C．物体做加速运动，且 v2<v1 D．物体做减速运动，且 v2<v1
解析：汽车向左运动，这是汽车的实际运动，故为汽车的合运动．汽车的运动导致两个效果：一是滑轮到汽车之间的绳变长了；二是滑轮到汽车之间的绳与竖直方向的夹角变大了．显然汽车的运动是由沿绳方向的直线运动和垂直于绳改变绳与竖直方向的夹角的运动合成的，故应分解车的速度，如图，沿绳方向上有速度v2＝v1sin θ.由于v1 是恒量，而θ逐渐增大，所以 v2 逐渐增大，故被吊物体做加速运动，且 v2＜v1，C 正确．
§5-2 平抛运动 & 类平抛运动
一、抛体运动
1.定义：以一定的速度将物体抛出，在空气阻力可以忽略的情况下，物体只受重力的作用，它的运动即为抛体运动。
2.条件：①物体具有初速度；②运动过程中只受G。
二、平抛运动
1.定义：如果物体运动的初速度是沿水平方向的，这个运动就叫做平抛运动。
2.条件：①物体具有水平方向的加速度；②运动过程中只受G。
（1） 位移：
（2） 速度：，，，
（3） 推论：①从抛出点开始，任意时刻速度偏向角θ的正切值等于位移偏向角φ的正切值的两倍。证明如下：,tanθ=tanα=2tanφ。
②从抛出点开始，任意时刻速度的反向延长线对应的水平位移的交点为此水平位移的中点，即如果物体落在斜面上，则位移偏向角与斜面倾斜角相等。
3.处理方法：平抛运动可以看作两个分运动的合运动：一个是水平方向的匀速直线运动，一个是竖直方向的自由落体运动。
4.规律：

α

[牛刀小试]如图为一物体做平抛运动的 x－y 图象，物体从 O 点抛出，x、y 分别表示其水平位移和竖直位移．在物体运动过程中的某一点 P(a，b)，其速度的反向延长线交于 x 轴的 A 点(A 点未画出)，则 OA 的长度为(B）
A.a B.0.5a C.0.3a D.无法确定
解析：作出图示(如图5－9所示)，设v与竖直方向的夹角为α，根据几何关系得tan α＝①，由平抛运动得水平方向有a＝v0t②，竖直方向有
b＝vyt③，由①②③式得tan α＝ ，在Rt△AEP中，AE＝b tan α＝，所以OA＝.
5.应用结论——影响做平抛运动的物体的飞行时间、射程及落地速度的因素
a、 飞行时间：，t与物体下落高度h有关，与初速度v0无关。
b、 水平射程：由v0和h共同决定。
c、 落地速度：，v由v0和vy共同决定。
处理方法：1.沿水平方向的匀速运动和竖直方向的自由落体运动；2.沿斜面方向的匀加速运动和垂直斜面方向的竖直上抛运动。
考点一：物体从A运动到B的时间：根据
考点二：B点的速度vB及其与v0的夹角α：

考点三：A、B之间的距离s：
三、平抛运动及类平抛运动常见问题
模型一：斜面问题：

[触类旁通](2010 年全国卷Ⅰ)一水平抛出的小球落到一倾角为θ的斜面上时，其速度方向与斜面垂直，运动轨迹如图 5－10 中虚线所示．小球在竖直方向下落的距离与在水平方向通过的距离之比为(D）

解析：如图5所示，平抛的末速度与竖直方向的夹角等于斜面倾角θ，有tan θ＝，则下落高度与水平射程之比为＝＝＝，D正确．
思路分析：排球的运动可看作平抛运动，把它分解为水平的匀速直线运动和竖直的自由落体运动来分析。但应注意本题是“环境”限制下的平抛运动，应弄清限制条件再求解。关键是要画出临界条件下的图来。
例：如图1所示，排球场总长为18m，设球网高度为2m，运动员站在离网3m的线上（图中虚线所示）正对网前跳起将球水平击出。（不计空气阻力）
（1）设击球点在3m线正上方高度为2.5m处，试问击球的速度在什么范围内才能使球即不触网也不越界？
（2）若击球点在3m线正上方的高度小余某个值，那么无论击球的速度多大，球不是触网就是越界，试求这个高度？

模型二：临界问题：

考点一：沿初速度方向的水平位移：根据
考点二：入射的初速度：
考点三：P到Q的运动时间：
模型三：类平抛运动：

[综合应用](2011 年海南卷)如图 所示，水平地面上有一个坑，其竖直截面为半圆，ab 为沿水平方向的直径．若在 a 点以初速度 v0 沿 ab 方向抛出一小球，小球会击中坑壁上的 c 点．已知 c点与水平地面的距离为坑半径的一半，求坑的半径。
解：设坑的半径为r，由于小球做平抛运动，则
x＝v0t ①
y＝0.5r＝gt2 ②
过c点作cd⊥ab于d点，则有Rt△acd∽Rt△cbd
可得cd2＝ad·db
即为()2＝x(2r－x) ③
又因为x>r，联立①②③式解得r＝v.
§5-3 圆周运动 & 向心力 & 生活中常见圆周运动
一、匀速圆周运动
1.定义：物体的运动轨迹是圆的运动叫做圆周运动，物体运动的线速度大小不变的圆周运动即为匀速圆周运动。
2.特点：①轨迹是圆；②线速度、加速度均大小不变，方向不断改变，故属于加速度改变的变速曲线运动，匀速圆周运动的角速度恒定；③匀速圆周运动发生条件是质点受到大小不变、方向始终与速度方向垂直的合外力；④匀速圆周运动的运动状态周而复始地出现，匀速圆周运动具有周期性。
3.描述圆周运动的物理量：
（1）线速度v是描述质点沿圆周运动快慢的物理量，是矢量；其方向沿轨迹切线，国际单位制中单位符号是m/s，匀速圆周运动中，v的大小不变，方向却一直在变；
（2）角速度ω是描述质点绕圆心转动快慢的物理量，是矢量；国际单位符号是rad／s；
（3）周期T是质点沿圆周运动一周所用时间，在国际单位制中单位符号是s；
（4）频率f是质点在单位时间内完成一个完整圆周运动的次数，在国际单位制中单位符号是Hz；
（5）转速n是质点在单位时间内转过的圈数，单位符号为r/s，以及r/min．
4.各运动参量之间的转换关系：

5. 三种常见的转动装置及其特点：
A
B
r2
r1
r
R
O
B
A

模型一：共轴传动 模型二:皮带传动 模型三：齿轮传动
A
B
O
r
R
O

[触类旁通]1、一个内壁光滑的圆锥形筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定，有质量相同的小球A和B沿着筒的内壁在水平面内做匀速圆周运动，如图所示，A的运动半径较大，则( AC )
A．A球的角速度必小于B球的角速度
B．A球的线速度必小于B球的线速度
C．A球的运动周期必大于B球的运动周期
D．A球对筒壁的压力必大于B球对筒壁的压力
解析：小球A、B的运动状态即运动条件均相同，属于三种模型中的皮带传送。则可以知道，两个小球的线速度v相同，B错；因为RA>RB，则ωA<ωB,TA<TB,A.C正确；又因为两小球各方面条件均相同，所以，两小球对筒壁的压力相同，D错。所以A、C正确。
2、两个大轮半径相等的皮带轮的结构如图所示，AB两点的半径之比为2 : 1，CD两点的半径之比也为2 : 1，则ABCD四点的角速度之比为 1∶1∶2∶2 ，这四点的线速度之比为 2∶1∶4∶2 。
二、向心加速度
1.定义：任何做匀速圆周运动的物体的加速度都指向圆心，这个加速度叫向心加速度。
注：并不是任何情况下，向心加速度的方向都是指向圆心。当物体做变速圆周运动时，向心加速度的一个分加速度指向圆心。
2.方向：在匀速圆周运动中，始终指向圆心，始终与线速度的方向垂直。向心加速度只改变线速度的方向而非大小。
3.意义：描述圆周运动速度方向方向改变快慢的物理量。
4.公式：

O
O
an
an
r
r
v一定
ω一定
5.两个函数图像：

A
B
[触类旁通]1、如图所示的吊臂上有一个可以沿水平方向运动的小车A，小车下装有吊着物体B的吊钩。在小车A与物体B以相同的水平速度沿吊臂方向匀速运动的同时，吊钩将物体B向上吊起。A、B之间的距离以d = H－2t2(SI)(SI表示国际单位制，式中H为吊臂离地面的高度)规律变化。对于地面的人来说，则物体做( AC )
　　Ａ．速度大小不变的曲线运动
　　Ｂ．速度大小增加的曲线运动
　　Ｃ．加速度大小方向均不变的曲线运动
Ｄ．加速度大小方向均变化的曲线运动
2、如图所示，位于竖直平面上的圆弧轨道光滑，半径为R，OB沿竖直方向，上端A距地面高度为H，质量为m的小球从A点由静止释放，到达B点时的速度为，最后落在地面上C点处，不计空气阻力，求：
(1)小球刚运动到B点时的加速度为多大，对轨道的压力多大；
(2)小球落地点C与B点水平距离为多少。

三、向心力
1.定义：做圆周运动的物体所受到的沿着半径指向圆心的合力，叫做向心力。
2.方向：总是指向圆心。
3.公式：
4.几个注意点：①向心力的方向总是指向圆心，它的方向时刻在变化，虽然它的大小不变，但是向心力也是变力。②在受力分析时，只分析性质力，而不分析效果力，因此在受力分析是，不要加上向心力。③描述做匀速圆周运动的物体时，不能说该物体受向心力，而是说该物体受到什么力，这几个力的合力充当或提供向心力。
四、变速圆周运动的处理方法
1.特点：线速度、向心力、向心加速度的大小和方向均变化。
2.动力学方程：合外力沿法线方向的分力提供向心力：。合外力沿切线方向的分力产生切线加速度：FT=mωaT。
3. 离心运动：
（1） 当物体实际受到的沿半径方向的合力满足F供=F需=mω2r时，物体做圆周运动；当F供<F需=mω2r时，物体做离心运动。
（2） 离心运动并不是受“离心力”的作用产生的运动，而是惯性的表现，是F供<F需的结果；离心运动也不是沿半径方向向外远离圆心的运动。
五、 圆周运动的典型类型
类型
受力特点
图示
最高点的运动情况
用细绳拴一小球在竖直平面内转动
绳对球只有拉力

①若F＝0，则mg＝，v＝
②若F≠0，则v>
小球固定在轻杆的一端在竖直平面内转动
杆对球可以是拉力也可以是支持力

①若F＝0，则mg＝，v＝
②若F向下，则mg＋F＝m，v>
③若F向上，则mg－F＝或mg－F＝0，则0≤v<
小球在竖直细管内转动
管对球的弹力FN可以向上也可以向下

依据mg＝判断，若v＝v0，FN＝0；若v<v0，FN向上；若v>v0，FN向下
球壳外的小球
在最高点时弹力FN的方向向上

①如果刚好能通过球壳的最高点A，则vA＝0，FN＝mg
②如果到达某点后离开球壳面，该点处小球受到壳面的弹力FN＝0，之后改做斜抛运动，若在最高点离开则为平抛运动

六、有关生活中常见圆周运动的涉及的几大题型分析
（一） 解题步骤：
①明确研究对象；
②定圆心找半径；
③对研究对象进行受力分析；
④对外力进行正交分解；
⑤列方程：将与和物体在同一圆周运动平面上的力或其分力代数运算后，另得数等于向心力；
⑥解方程并对结果进行必要的讨论。
（二） 典型模型：
I、圆周运动中的动力学问题
谈一谈：圆周运动问题属于一般的动力学问题，无非是由物体的受力情况确定物体的运动情况，或者由物体的运动情况求解物体的受力情况。解题思路就是，以加速度为纽带，运用那个牛顿第二定律和运动学公式列方程，求解并讨论。
a、涉及公式：①
②，由①②得：。
b、分析：设转弯时火车的行驶速度为v，则：
（1） 若v>v0，外轨道对火车轮缘有挤压作用；
（2） 若v<v0，内轨道对火车轮缘有挤压作用。
模型一：火车转弯问题：
FN
F合
mg
h
L

a、涉及公式：,所以当，
此时汽车处于失重状态，而且v越大越明显，因此汽车过拱桥时不宜告诉行驶。
b、分析：当：
（1） ，汽车对桥面的压力为0，汽车出于完全失重状态；
（2） ，汽车对桥面的压力为。
（3） ，汽车将脱离桥面，出现飞车现象。
c、注意：同样，当汽车过凹形桥底端时满足，汽车对桥面的压力将大于汽车重力，汽车处于超重状态，若车速过大，容易出现爆胎现象，即也不宜高速行驶。

模型二：汽车过拱桥问题：

[触类旁通]1、铁路在弯道处的内外轨道高度是不同的，已知内外轨道平面与水平面的倾角为θ，如图所示，弯道处的圆弧半径为R，若质量为m的火车转弯时速度小于，则( A )
　　A．内轨对内侧车轮轮缘有挤压
　　B．外轨对外侧车轮轮缘有挤压
　　C．这时铁轨对火车的支持力等于
D．这时铁轨对火车的支持力大于
解析：当内外轨对轮缘没有挤压时，物体受重力和支持力的合力提供向心力，此时速度为。
2、 如图所示，质量为m的物体从半径为R的半球形碗边向碗底滑动，滑倒最低点时的速度为v。若物体滑倒最低点时受到的摩擦力是f，则物体与碗的动摩擦因数μ为（ B ）。
A、 B、 C、 D、
解析：设在最低点时，碗对物体的支持力为F，则，解得，由
f=μF解得，化简得，所以B正确。
II、圆周运动的临界问题
A. 常见竖直平面内圆周运动的最高点的临界问题
谈一谈：竖直平面内的圆周运动是典型的变速圆周运动。对于物体在竖直平面内做变速圆周运动的问题，中学物理只研究问题通过最高点和最低点的情况，并且经常出现有关最高点的临界问题。
（注意：绳对小球只能产生沿绳收缩方向的拉力.）
（1）临界条件：小球到达最高点时，绳子的拉力或单轨的弹力刚好等于0，小球的重力提供向心力。即：
。
（2） 小球能过最高点的条件：，绳对球产生向下的拉力或轨道对球产生向下的压力。
（3） 小球不能过最高点的条件：（实际上球还没到最高点时就脱离了轨道）。
模型三：轻绳约束、单轨约束条件下，小球过圆周最高点：

v
v
v
O
绳O
R

模型四：轻杆约束、双轨约束条件下，小球过圆周最高点：
杆O
v
甲
v
乙
③当时，FN=0；
④当时，轻杆对小球有指向圆心的拉力，其大小随速度的增大而增大。
（3） 如图乙所示的小球过最高点时，光滑双轨对小球的弹力情况：
①当v=0时，轨道的内壁下侧对小球有竖直向上的支持力FN，其大小等于小球的重力，即FN=mg；
②当时，轨道的内壁下侧对小球仍有竖直向上的支持力FN，大小随小球速度的增大而减小，其取值范围是；
③当时，FN=0；
④当时，轨道的内壁上侧对小球有竖直向下指向圆心的弹力，其大小随速度的增大而增大。

（1）临界条件：由于轻杆和双轨的支撑作用，小球恰能到达最高点的临街速度
（2）如图甲所示的小球过最高点时，轻杆对小球的弹力情况：①当v=0时，轻杆对小球有竖直向上的支持力FN，其大小等于小球的重力，即FN=mg；
②当时，轻杆对小球的支持力的方向竖直向上，大小随小球速度的增大而减小，其取值范围是；

两种情况：
（1）若使物体能从最高点沿轨道外侧下滑，物体在最高点的速度v的限制条件是
（2）若，物体将从最高电起，脱离圆轨道做平抛运动。
模型五：小物体在竖直半圆面的外轨道做圆周运动：

[触类旁通]1、如图所示，质量为0.5 kg的小杯里盛有1 kg的水，用绳子系住小杯在竖直平面内做“水流星”表演，转动半径为1 m，小杯通过最高点的速度为4 m/s，g取10 m/s2，求：
　　(1)在最高点时，绳的拉力？
b
a
O
　　(2)在最高点时水对小杯底的压力？
(3)为使小杯经过最高点时水不流出, 在最高点时最小速率是多少?
答案：(1)9 N，方向竖直向下；(2)6 N，方向竖直向上；(3)m/s = 3.16 m/s
2、如图所示，细杆的一端与一小球相连，可绕过O点的水平轴自由转动，现给小球一初速度，使其做圆周运动，图中a、b分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对球的作用力可能是( AB )
Q
P
M
O
L
A
F
A．a处为拉力，b处为拉力 B．a处为拉力，b处为推力
C．a处为推力，b处为拉力 D．a处为推力，b处为推力
3、 如图所示，LMPQ是光滑轨道，LM水平，长为5m，MPQ是一半径R=1.6m的半圆，QOM在同一竖直面上，在恒力F作用下，质量m=1kg的物体A从L点由静止开始运动，当达到M时立即停止用力，欲使A刚好能通过Q点，则力F大小为多少？（取g=10m/s2）
解析：物体A经过Q
P
M
mg
FN
O
Q时，其受力情况如图所示：
由牛顿第二定律得：
物体A刚好过A时有FN=0；解得，
对物体从L到Q全过程，由动能定理得：
，解得F=8N。
B.物体在水平面内做圆周运动的临界问题
谈一谈：在水平面内做圆周运动的物体，当角速度ω变化时，物体有远离或向着圆心运动（半径变化）的趋势。这时要根据物体的受力情况判断物体所受的某个力是否存在以及这个力存在时方向如何（特别是一些接触力，如静摩擦力、绳的拉力等）。
处理方法：先对A进行受力分析，如图所示，注意在分析时不能忽略摩擦力，当然，如果说明盘面为光滑平面，摩擦力就可以忽略了。受力分析完成后，可以发现支持力N与mg相互抵销，则只有f充当该物体的向心力，则有，接着可以求的所需的圆周运动参数等。

O
A
N
mg
f
等效为
O
B
R
模型六：转盘问题

等效处理：O可以看作一只手或一个固定转动点，B绕着O经长为R的轻绳或轻杆的牵引做着圆周运动。还是先对B进行受力分析，发现，上图的f在此图中可等效为绳或杆对小球的拉力，则将f改为F拉即可，根据题意求出F拉，带入公式，即可求的所需参量。

【综合应用】
1、如图所示，按顺时针方向在竖直平面内做匀速转动的轮子其边缘上有一点 A，当 A 通过与圆心等高的 a 处时，有一质点 B 从圆心 O 处开始做自由落体运动．已知轮子的半径为 R，求：
(1)轮子的角速度ω满足什么条件时，点 A 才能与质点 B 相遇？
(2)轮子的角速度ω′满足什么条件时，点 A 与质点 B 的速度才有可能在某时刻相同？
解析：(1)点 A 只能与质点 B 在 d 处相遇，即轮子的最低处，则点 A 从 a 处转到 d 处所转过的角度应为θ＝2nπ＋π，其中n为自然数．
由h＝gt2知，质点B从O点落到d处所用的时间为t＝，则轮子的角速度应满足条件
ω＝＝(2n＋)π，其中n为自然数．
(2)点 A 与质点 B 的速度相同时，点 A 的速度方向必然向下，因此速度相同时，点 A 必然运动到了 c 处，则点 A 运动到 c 处时所转过的角度应为θ’＝2nπ＋π，其中 n 为自然数．
转过的时间为
此时质点 B 的速度为 vB＝gt′，又因为轮子做匀速转动，所以点 A 的速度为 vA＝ω′R
由 vA＝vB 得，轮子的角速度应满足条件，其中n为自然数．
2、(2009年高考浙江理综)某校物理兴趣小组决定举行遥控赛车比赛．比赛路径如下图所示，赛车从起点A出发，沿水平直线轨道运动L后，由B点进入半径为R的光滑竖直圆轨道，离开竖直圆轨道后继续在光滑平直轨道上运动到C点，并能越过壕沟．已知赛车质量m＝0.1 kg，通电后以额定功率P＝1.5 W工作，进入竖直轨道前受到的阻力恒为0.3 N，随后在运动中受到的阻力均可不记．图中L＝10.00 m，R＝0.32 m，h＝1.25 m，x＝1.50 m．问：要使赛车完成比赛，电动机至少工作多长时间？(取g＝10 m/s2)
解析：设赛车越过壕沟需要的最小速度为v1，由平抛运动的规律
x＝v1t，h＝gt2，解得：v1＝x＝3 m/s
设赛车恰好越过圆轨道，对应圆轨道最高点的速度为v2，最低点的速度为v3，由牛顿第二定律及机械能守恒定律得
mg＝m ， mv＝mv＋mg(2R)
解得v3＝＝4 m/s
通过分析比较，赛车要完成比赛，在进入圆轨道前的速度最小应该是
vmin＝4 m/s
设电动机工作时间至少为t，根据功能关系
Pt－FfL＝mv，由此可得t＝2.53 s.
3、如下图所示，让摆球从图中A位置由静止开始下摆，正好到最低点B位置时线被拉断．设摆线长为L＝1.6 m，摆球的质量为0.5kg，摆线的最大拉力为10N，悬点与地面的竖直高度为H=4m，不计空气阻力，g取10 m/s2。求：
（1）摆球着地时的速度大小．（2）D到C的距离。
解析：（1）小球刚摆到B点时，由牛顿第二定律可知：
①，由①并带入数据可解的：，
小球离开B后，做平抛运动.
竖直方向：②，落地时竖直方向的速度：③
落地时的速度大小：④，由①②③④得：
（2） 落地点D到C的距离

第六章 万有引力与航天
§6-1 开普勒定律
一、两种对立学说（了解）
1.地心说：
（1）代表人物：托勒密；（2）主要观点：地球是静止不动的，地球是宇宙的中心。
2.日心说：
（1）代表人物：哥白尼；（2）主要观点：太阳静止不动，地球和其他行星都绕太阳运动。
二、开普勒定律
1.开普勒第一定律（轨道定律）：所有行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上。
2.开普勒第二定律（面积定律）：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等时间内扫过相等的面积。此定律也适用于其他行星或卫星绕某一天体的运动。
3.开普勒第三定律（周期定律）：所有行星轨道的半长轴R的三次方与公转周期T的二次方的比值都相同，即值是由中心天体决定的。通常将行星或卫星绕中心天体运动的轨道近似为圆，则半长轴a即为圆的半径。我们也常用开普勒三定律来分析行星在近日点和远日点运动速率的大小。
[牛刀小试]1、关于“地心说”和“日心说”的下列说法中正确的是( AB )。
A．地心说的参考系是地球　　B．日心说的参考系是太阳
C．地心说与日心说只是参考系不同，两者具有等同的价值　　D．日心说是由开普勒提出来的
2、开普勒分别于1609年和1619年发表了他发现的行星运动规律，后人称之为开普勒行星运动定律。关于开普勒行星运动定律，下列说法正确的是( B )
　　A．所有行星绕太阳运动的轨道都是圆，太阳处在圆心上
　　B．对任何一颗行星来说，离太阳越近，运行速率就越大
　　C．在牛顿发现万有引力定律后，开普勒才发现了行星的运行规律
　　D．开普勒独立完成了观测行星的运行数据、整理观测数据、发现行星运动规律等全部工作

§6-2 万有引力定律
一、万有引力定律
1.月—地检验：①检验人：牛顿；②结果：地面物体所受地球的引力，与月球所受地球的引力都是同一种力。
2.内容：自然界的任何物体都相互吸引，引力方向在它们的连线上，引力的大小跟它们的质量m1和m2乘积成正比，跟它们之间的距离的平方成反比。
3.表达式：，
4.使用条件：适用于相距很远，可以看做质点的两物体间的相互作用，质量分布均匀的球体也可用此公式计算，其中r指球心间的距离。
5.四大性质：
①普遍性：任何客观存在的有质量的物体之间都存在万有引力。
②相互性：两个物体间的万有引力是一对作用力与反作用力，满足牛顿第三定律。
③宏观性：一般万有引力很小，只有在质量巨大的星球间或天体与天体附近的物体间，其存在才有意义。
④特殊性：两物体间的万有引力只取决于它们本身的质量及两者间的距离，而与它们所处环境以及周围是否有其他物体无关。
6.对G的理解：①G是引力常量，由卡文迪许通过扭秤装置测出，单位是。
②G在数值上等于两个质量为1kg的质点相距1m时的相互吸引力大小。
③G的测定证实了万有引力的存在，从而使万有引力能够进行定量计算，同时标志着力学实验精密程度的提高，开创了测量弱相互作用力的新时代。
[牛刀小试]1、关于万有引力和万有引力定律理解正确的有( B )
　　A．不可能看作质点的两物体之间不存在相互作用的引力
　　B．可看作质点的两物体间的引力可用F = 计算
　　C．由F = 知，两物体间距离r减小时，它们之间的引力增大，紧靠在一起时，万有引力非常大
D．引力常量的大小首先是由卡文迪许测出来的，且等于6.67×10－11N·m2 / kg2
2、下列说法中正确的是( ACD )
　　A．总结出关于行星运动三条定律的科学家是开普勒
　　B．总结出万有引力定律的物理学家是伽俐略
　　C．总结出万有引力定律的物理学家是牛顿
D．第一次精确测量出万有引力常量的物理学家是卡文迪许
7.万有引力与重力的关系：
(1)“黄金代换”公式推导：
当时，就会有。
(2)注意：①重力是由于地球的吸引而使物体受到的力，但重力不是万有引力。
②只有在两极时物体所受的万有引力才等于重力。
③重力的方向竖直向下，但并不一定指向地心，物体在赤道上重力最小，在两极时重力最大。
④随着纬度的增加，物体的重力减小，物体在赤道上重力最小，在两极时重力最大。
⑤物体随地球自转所需的向心力一般很小，物体的重力随纬度的变化很小，因此在一般粗略的计算中，可以认为物体所受的重力等于物体所受地球的吸引力，即可得到“黄金代换”公式。
[牛刀小试]设地球表面的重力加速度为g0，物体在距地心4 R(R为地球半径)处，由于地球的作用而产生的重力加速度为g，则g∶g0为( D )
　　A．16∶1 B．4∶1 C．1∶4 D．1∶16
8.万有引力定律与天体运动：
(1) 运动性质：通常把天体的运动近似看成是匀速圆周运动。
(2) 从力和运动的关系角度分析天体运动：
天体做匀速圆周运动运动，其速度方向时刻改变，其所需的向心力由万有引力提供，即F需=F万。如图所示，由牛顿第二定律得：
，从运动的角度分析向心加速度：

（3） 重要关系式：
[牛刀小试]1、两颗球形行星A和B各有一颗卫星a和b，卫星的圆形轨道接近各自行星的表面，如果两颗行星的质量之比，半径之比= q，则两颗卫星的周期之比等于。
2、 地球绕太阳公转的角速度为ω1，轨道半径为R1，月球绕地球公转的角速度为ω2，轨道半径为R2，那么太阳的质量是地球质量的多少倍？
解析：地球与太阳的万有引力提供地球运动的向心力，月球与地球的万有引力提供月球运动的向心力，最后算得结果为。
3、假设火星和地球都是球体，火星的质量M1与地球质量M2之比= p；火星的半径R1与地球的半径R2之比= q，那么火星表面的引力加速度g1与地球表面处的重力加速度g2之比等于( A )
A． B．p q2 C． D．p q
9.计算大考点：“填补法”计算均匀球体间的万有引力：
谈一谈：万有引力定律适用于两质点间的引力作用，对于形状不规则的物体应给予填补，变成一个形状规则、便于确定质点位置的物体，再用万有引力定律进行求解。
模型：如右图所示，在一个半径为R，质量为M的均匀球体中，紧贴球的边缘挖出一个半径为R/2的球形空穴后，对位于球心和空穴中心连线上、与球心相距d的质点m的引力是多大？
思路分析：把整个球体对质点的引力看成是挖去的小球体和剩余部分对质点的引力之和，即可求解。
根据“思路分析”所述，引力F可视作F=F1+F2：
,
,
则挖去小球后的剩余部分对球外质点m的引力为。
[能力提升]某小报登载：×年×月×日，×国发射了一颗质量为100kg，周期为1h的人造环月球卫星。一位同学记不住引力常量G的数值且手边没有可查找的材料，但他记得月球半径约为地球的，月球表面重力加速度约为地球的，经过推理，他认定该报道是则假新闻，试写出他的论证方案。(地球半径约为6.4×103km)
证明：因为G＝mR，所以T＝2π，
又G＝mg得g＝，故Tmin＝2π＝2π＝2π
＝2π＝2πs＝6.2×103s≈1.72h。
环月卫星最小周期约为1.72h，故该报道是则假新闻。

§6-3 由“万有引力定律”引出的四大考点
一、 解题思路——“金三角”关系：

（1） 万有引力与向心力的联系：万有引力提供天体做匀速圆周运动的向心力，即
是本章解题的主线索。
（2） 万有引力与重力的联系：物体所受的重力近似等于它受到的万有引力，即为对应轨道处的重力加速度，这是本章解题的副线索。
（3） 重力与向心力的联系：为对应轨道处的重力加速度，适用于已知g的特殊情况。
二、 天体质量的估算
模型一：环绕型：
谈一谈：对于有卫星的天体，可认为卫星绕中心天体做匀速圆周运动，中心天体对卫星的万有引力提供卫星做匀速圆周运动的向心力，利用引力常量G和环形卫星的v、ω、T、r中任意两个量进行估算（只能估计中心天体的质量，不能估算环绕卫星的质量）。
①已知r和T:
②已知r和v:
③已知T和v:
模型二：表面型：
谈一谈：对于没有卫星的天体（或有卫星，但不知道卫星运行的相关物理量），可忽略天体自转的影响，根据万有引力等于重力进行粗略估算。

变形：如果物体不在天体表面，但知道物体所在处的g，也可以利用上面的方法求出天体的质量：
处理：不考虑天体自转的影响，天体附近物体的重力等于物体受的万有引力，即：
[触类旁通]1、(2013·福建理综，13)设太阳质量为M，某行星绕太阳公转周期为T，轨道可视作半径为r的圆。已知万有引力常量为G，则描述该行星运动的上述物理量满足(　A　)
A．GM＝　　B．GM＝ C．GM＝ D．GM＝
解析：本题考查了万有引力在天体中的应用。是知识的简单应用。由＝mr可得
GM＝，A正确。

2、(2013·全国大纲卷，18)“嫦娥一号”是我国首次发射的探月卫星，它在距月球表面高度为200km的圆形轨道上运行，运行周期为127分钟。已知引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2，月球半径约为1.74×103km。利用以上数据估算月球的质量约为(　D　)
A．8.1×1010kg B．7.4×1013kg C．5.4×1019kg D．7.4×1022kg
解析：本题考查万有引力定律在天体中的应用。解题的关键是明确探月卫星绕月球运行的向心力是由月球对卫星的万有引力提供。由G＝mr得M＝，又r＝R月＋h，代入数值得月球质量M＝7.4×1022kg，选项D正确。
3、 土星的9个卫星中最内侧的一个卫星，其轨道为圆形，轨道半径为1.59×105 km，公转周期为18 h 46 min，则土星的质量为 5.21×1026 kg。
4、 宇航员站在一颗星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一个小球。经过时间t，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L。若抛出时的初速度增大到2倍，则抛出点与落地点之间的距离为。已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R，万有引力常数为G。求该星球的质量M。
解析：在该星球表面平抛物体的运动规律与地球表面相同，根据已知条件可以求出该星球表面的加速度；需要注意的是抛出点与落地点之间的距离为小球所做平抛运动的位