高等数学2期末复习题与答案.doc
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《高等数学》2期末复习题 一、填空题: 1. 函数的定义域是 1≦X^2+Y^2<3 . 2.设则 . 3.函数在点的全微分 4.设则 . 设则 . 5.设 而 则 6.函数 在点(1,2)处沿从点(1,2)到点(2,)的方向导数是 7.改换积分次序 ; . 8.若L是抛物线 上从点A到点B的一段弧,则= 9.微分方程的通解为 . 二、选择题: 1. 等于 ( )(上下求导) A.2, B. C.0 D.不存在 2.函数 的定义域是( D ) A. B. C. D. 3. ( B ) A. B. C. D. 5.设,且F具有导数,则(D ) A.; B.; C. ; D. . 6.曲线 ,,,在 处的切向量是 ( D ) A. B. C. D. 7.对于函数 ,原点 ( A ) A.是驻点但不是极值点 B.不是驻点 C.是极大值点 D.是极小值点 8.设I=, 其中D是圆环所确定的闭区域,则必有( ) A.I大于零 B.I小于零 C.I等于零 D.I不等于零,但符号不能确定。 9. 已知L是平面上不包含原点的任意闭曲线,若曲线积分 ,则a等于 ( ). A -1 B 1 C 2 D -2 10.若L为连接及两点的直线段,则曲线积分=( ) A.0 B.1 C. D.2 11.设D为则( ) A.; B. ; C. ; D. . 12. 微分方程的通解为( ) A.; B.;C.;D. 13.( )是微分方程在初始条件下的特解. A.;B.;C.;D.. 三、计算题: 1.设,求 及,其中f 具有一阶连续偏导数. 2. 设, 求 , 3. 求旋转抛物面 在点处的切平面及法线方程。 4. 求函数的极值 5. 计算,其中D是由圆周 及轴所围成的右 半闭区域. 6. 计算,其中D是以O(0,0),A(1,1),B(0,1)为顶点的三角 形闭区域. 7.计算 ,其中是三个坐标面与平面 所围成的区域. 8.计算 ,其中L为圆 的正向边界。 9.计算曲线积分 其中L是从O(0, 0)沿上半圆到A(2, 0). 10.验证:在整个面内,是某个函数的全微分,并求出这样的一个函数. 11.求微分方程 的通解. 12.求解微分方程的特解: 13.解微分方程 . 四、应用题: 1.用钢板制造一个容积为V的无盖长方形水池,应如何选择水池的长、宽、高才最省钢板. 2.已知矩形的周长为24cm,将它绕其一边旋转而构成一圆柱体,试求所得圆柱体体积最大时的矩形面积. 3.求抛物线所围成的闭区域的面积. 4.求抛物面与锥面所围成的立体的体积. 高等数学2期末复习题答案 一、填空题: 1、 2、 3、 4、 5、 6、 (注:方向导数) 7、; 8、 (注:) 9、 二、选择题: 1、A; 2. D; 3. B; 4.缺 5. D; 6. D; 7. A; 8. A; 9. A; 10.C; 11. C; 12.C; 13.D 三、计算题: 1.解:令,则 2. 解:两方程分别两边对求偏导数,注意是关于的二元函数,得 即 这是以为未知量的二元线性方程组。 当 时,有 , 3. 解:旋转抛物面 在点处的切向量 于是,所求切平面方程为 ,即 法线方程为 4. 解:解方程组, 得四个驻点.又 . 对且,则是函数的极小值点; 对,则不是极值点; 对,则不是极值点; 对,且,则是函数的极大值点. 于是,函数有极小值, 极大值 . 5. 解:利用极坐标变换,令,则,且D可表示为:.于是 . 6. 解:三角形区域D由直线及轴围成,选择先对积分, . (注:此题也可以参看课本167页例2的解法) 7.解题过程见课本124页例1. 8. 解:在L围成的圆域D:上全在连续的偏导数,,从而 .于是由格林公式,得 . 9. 解:,有 在整个平面上恒成立,所以曲线积分与路径无关,故可取轴上线段OA作为积分路径. OA的方程为,且从0变到2,,从而 . 10. 解:,有 ,, 即有在整个平面上恒成立,因此在整个面内,是某个函数的全微分. 取ARB为积分路径,其中各点坐标分别为,得 . 11. 解法一:方程可改写为 ,这是一阶非齐次线性微分方程.先求对应的齐次线性方程的通解. 由,分离变量,得,两边积分,解得 . 用常数变易法,将换成.即,. 代入原方程,化简得 .故 . 于是方程的通解为 . 解法二:方程可改写为 . 这是一阶非齐次线性微分方程,其中.利用通解公式 . 12. 课本212页第8题第(1)小题。 解:原方程可写成 .令,即 ,有 ,则原方程成为 ,分离变量,得 .两边积分,得. 代入并整理,得通解 . 由初始条件得 .于是所求特解为 . 13.解题过程见课本212页例5. 四、应用题: 1.解法一:设水池的长、宽、高分别是.已知xyz=V,从而高,水池表面的面积 S的定义域. 这个问题就是求二元函数S在区域D内的最小值. 解方程组 在区域D内解得唯一得驻点. 根据实际问题可知最小值在定义域内必存在,因此可断定此唯一驻点就是最小值点.即当长,宽均为,高为时,水池所用材料最省. 解法二:设水池的长、宽、高分别是.已知xyz=V,水池表面的面积 S的定义域.此题就是求函数在约束条件xyz=V下的最小值. 构造拉格朗日函数 . 解方程组 比较(1),(2),(3)式,得 x=y=2z,代入(4)式中,有,即. 于是,x,y,z只有唯一一组解. 由问题的实际意义最小值在定义域内必存在.因此,函数S在其唯一驻点处必取得最小值. 故当长方形水池的长,宽,高分别是时所用材料最省. 2.解题过程见课本98页例4. 3.利用二重积分求闭区域的面积 解:所求区域的面积为 ,其中D为抛物线所围成的闭区域.两曲线交于两点(0,0),(1,2).选择先对积分,于是, . 4.利用三重积分计算立体的体积. 解法一:所求立体的体积为 ,其中是抛物面与锥面所围成的立体. 利用直角坐标计算.由与消去,解得,即在面上的投影区域D为圆域.于是 . 因此 = (用极坐标) . 解法二:所求立体的体积为 ,其中是抛物面与锥面所围成的立体. 利用柱面坐标计算. 由与消去,解得,即在面上的投影区域D为圆域.于是,在柱面坐标变换下 . 因此 . 13- 配套讲稿:
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