北京中考第二轮复习讲解(一)二次函数与一元二次方程的综合.doc

课外学业辅导讲义 张老师整理15010251586

第一讲：二次函数与一元二次方程的综合
考试要求
中考第二轮复习 代数综合题

内容
要求
中考分值
考察类型
二次函数与一元二次方程综合题
会根据二次函数的解析式求其图象与坐标轴的交点坐标，会确定图象的顶点、开口方向和对称轴；会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解
7
二次函数与一元二次方程

方法策略

1. 熟练掌握二次函数的有关知识点
2. 掌握二次函数与一元二次方程的联系。
例题精讲

27题图
【例1】（2015怀柔1※27）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=（a-1）x2+2x+1与x轴有交点，a为正整数.
（1）求a的值.
（2）将二次函数y=（a-1）x2+2x+1的图象向右平移m个单位，
向下平移m2+1个单位，当 -2≤x≤1时，二次函数有最小值-3，
求实数m的值.
27.解：（1）∵二次函数y=（a-1）x2+2x+1与x轴有交点，
令y=0，则（a-1）x2+2x+1=0，
∴，解得a≤2. …………………………………1分.
∵a为正整数. ∴a=1、2
又∵y=（a-1）x2+2x+1是二次函数，∴a-1≠0，∴a≠1，
∴a的值为2. ………………………………………2分
（2）∵a=2，∴二次函数表达式为y=x2+2x+1，
将二次函数y=x2+2x+1化成顶点式y=（x+1）2
二次函数图象向右平移m个单位，向下平移m2+1个单位
后的表达式为y=（x+1-m）2-（m2+1）.
此时函数的顶点坐标为（m-1, -m2-1）. …………………………………4分
当m-1＜-2，即m＜-1时， x=-2时，二次函数有最小值-3，
∴-3=（-1-m）2-（m2+1），解得且符合题目要求. ………………………………5分
当 -2≤m-1≤1,即-1≤m≤2,时，当 x= m-1时，二次函数有最小值-m2-1=-3，
解得.∵不符合-1≤m≤2的条件，舍去.
∴.……………………………………6分
当m-1＞1，即m＞2时，当 x=1时，二次函数有最小值-3，
∴-3=（2-m）2-（m2+1），解得,不符合m＞2的条件舍去.
综上所述，m的值为或 ……………………………………7分
【例2】（2015昌平1※23） 已知二次函数．
（1）二次函数的顶点在轴上，求的值；
（2）若二次函数与轴的两个交点A、B均为整数点（坐标为整数的点），当为整数时，求A、B两点的坐标.
23.解：（1）方法一∵二次函数顶点在轴上，
∴，且 ……………………1分
即，且
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……………………3分
（2）∵二次函数与轴有两个交点，
∴，且．　　　　　　　　　　　　 ……………………４分
即，且．
当且时，即可行．
∵、两点均为整数点，且为整数
∴

……………………5分
当时，可使，均为整数，
∴当时，、两点坐标为和……………………6分
【例3】（2015门头沟1※27）已知：关于x的一元二次方程－x2+(m+1)x+(m+2)=0（m＞0）．
（1）求证：该方程有两个不相等的实数根；
（2）当抛物线y=－x2+(m+1)x+(m+2)经过点（3，0），求该抛物线的表达式；
（3）在（2）的条件下，记抛物线y=－x2+(m+1)x+(m+2)在第一象限之间的部分为图象G，如果直线
y=k(x+1)+4与图象G有公共点，请结合函数的图象，求直线y=k(x+1)+4与y轴交点的纵坐标t的取值范围．

（1）证明：∵ △= (m+1)2－4×(－1)×(m+2)
=(m+3)2. ……………………………………………………………1分
∵ m＞0，
∴ (m+3)2＞0，
即 △＞0，
∴ 原方程有两个不相等的实数根. …………………………………2分
（2）解：∵ 抛物线抛物线y=－x2+(m+1)x+(m+2)经过点（3，0），
∴ －32+3(m+1)+(m+2)=0，………………………………………………3分
∴ m=1.
∴ y=－x2+2x+3. ………………………………………………………4分
（3）解：∵ y=－x2+2x+3=－(x－1)2+4，
∴ 该抛物线的顶点为（1，4）.
∴ 当直线y=k(x+1)+4经过顶点（1，4）时，
∴ 4=k(1+1)+4，
∴ k=0，
∴ y=4.
∴ 此时直线y=k(x+1)+4与y轴交点的纵坐标为4. ………………………5分
∵ y=－x2+2x+3，
∴ 当x=0时，y=3，
∴ 该抛物线与y轴的交点为（0，3）.
∴ 此时直线y=k(x+1)+4与y轴交点的纵坐标为3. ………………………6分
∴ 3＜t≤4. …………………………………………………………………7分

【例4】（2014门头沟1※23）已知关于x的一元二次方程.
（1）求证：无论m取何实数时，原方程总有两个实数根；
（2）若原方程的两个实数根一个大于3，另一个小于8，求m的取值范围；
（3）抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），现坐标系内有一矩形OCDE，如图11，点C（0，-5)，D（6，-5) ，E（6，0),当m取第（2）问中符合题意的最小整数时，将此抛物线上下平移个单位，使平移后的抛物线与矩形OCDE有两个交点，请结合图形写出h的取值或取值范围（直接写出答案即可）．

.解：(1)证明： Δ=………………1分
=
=
∵ ≥0， ………………2分
∴ 无论m取何实数时，原方程总有两个实数根.
（2） 解关于x的一元二次方程，
得 . ………………3分
由题意得 ………………4分
解得 . ………………5分
（3）或 . ……………7分

逆袭训练
1. （2015通州2※27）已知关于x的方程mx2－(3m－1)x+2m－2=0
（1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根．
（2）若关于x的二次函数y= mx2－(3m－1)x+2m－2的图象与x轴两交点间的距离为2时，求二次函数的表达式．
.解：(1)△=9m2-6m+1-8m2+8m=m2+2m+1，
=（m+1）2；
∴△=（m+1）2≥0，………………………………………….(1分)
∴无论m取任何实数时，方程恒有实数根；
(2)设x1，x2为抛物线y=mx2-（3m-1）x+2m-2与x轴交点的横坐标．
令y=0，则mx2-（3m-1）x+2m-2=0
由求根公式得，x1=2，， …………………………….(2分)
∴抛物线y=mx2-（3m-1）x+2m-2不论m为任何不为0的实数时恒过定点（2，0）．∴x2=0或x2=4，∴m=1或 )
当m=1时，y=x2-2x，，∴抛物线解析式为y=x2-2x
当 时,
答：抛物线解析式为y=x2-2x；或 ……….(3分)
2. （2015朝阳2※27）已知：关于的一元二次方程．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两个实数根分别为，（其中＞）．若是关于的函数，且，求这个函数的表达式；
（3）在（2）的条件下，结合函数的图象回答：若使，则自变量的取值范围为 ．

（1）证明：是关于的一元二次方程，
1分
=4．
即．
方程有两个不相等的实数根． 2分
（2） 解：由求根公式，得．
∴或． 3分
，＞，
，． 4分
．
即为所求．………………………………………………………5分
（3）0＜≤． …………………………………………………………………………7分
3. （2015石景山2※27）已知关于的方程．
（1）求证：无论取任何实数时，方程恒有实数根；
（2）若关于的二次函数的图象经过坐标原点，得到抛物线．将抛物线向下平移后经过点进而得到新的抛物线,直线经过点和点，求直线和抛物线的解析式；
（3）在直线下方的抛物线上有一点，求点到直线的距离的最大值．
解：（1）当时，
当时，

∵，∴
综上所述：无论取任何实数时，方程恒有实数根；………………………3分
（2）∵二次函数的图象经过坐标原点
∴
∴………………………4分
B
抛物线的解析式为：

抛物线的解析式为：
设直线所在函数解析式为：
将和点代入
∴直线所在函数解析式为：………5分
（3）据题意：过点作轴交于，
可证 ,则
设，，
∴
………………………6分
∵
∴当时，
∵随增大而增大，
∴为所求.………………………7分

4. （2015顺义2※27）已知关于x的方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）求证：抛物线总过x轴上的一个定点；
（3）在平面直角坐标系xOy中，若（2）中的“定点”记作A，抛物线与x轴的另一个交点为B，与y轴交于点C，且△OBC的面积小于或等于8，求m的取值范围．
解：（1）=........................................................1分
=
=
=
∵，
∴方程总有两个实数根．..............................................2分
（2）=．...............................................3分
∴，，
∴抛物线总过x轴上的一个定点（-1,0）．................4分
（3）
∵抛物线与x轴的另一个交点为B，与y轴交于点C，
∴B（3-m,0），C（0, m-3），...................................................................................5分
∴△OBC为等腰直角三角形，
∵△OBC的面积小于或等于8，
∴OB，OC小于或等于4，
∴3-m 4或m-3 4， .......................................................................................6分
∴m-1或m 7．
∴-1m7且．............................................................................................7分

5.（2014朝阳1※23）已知关于x的一元二次方程 .
（1）如果该方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
（2）在（1）的条件下，当关于x的抛物线与x轴交点的横坐标都是整数，且时，求m的整数值．
解：（1）由题意 m≠ 0， ………………………………………………………… 1分
∵ 方程有两个不相等的实数根，
∴ △>0． ……………………………………………………………… 2分
即 ．
得 m≠﹣3． ………………………………………………………………… 3分
∴ m的取值范围为m≠0和m≠﹣3；
（2）设y=0，则．
∵ ， ∴ ．
∴ ，．……………………………………………… 5分
当 是整数时，
可得m=1或m=-1或m=3．………………………………………………………… 6分
∵ ，
∴ m的值为﹣1或3 ． …………………………………………………………… 7分

6.（2014东城2※23）已知：关于的一元二次方程．
（1）求证：无论取何值，此方程总有两个实数根；
（2）设抛物线，证明：此函数图像一定过轴，轴上的两个定点（设轴上的定点为点A，轴上的定点为点C）；
（3）设此函数的图像与轴的另一交点为B，当△ABC为锐角三角形时，求的取值范围．
解：（1）
∵
∴无论m取何值，此方程总有两个实数根.…………2分
（2）由公式法：
∴x1=－1,x2=.…………4分
∴此函数图像一定过轴，轴上的两个定点，分别为A（－1，0）,C（0，－3）
……4分
（3）由（2）可知抛物线开口向上，且过点A（－1，0）,C（0，－3）和B（，0）.
观察图象，当m＜0时，△ABC为钝角三角形，不符合题意.
当m＞0时，可知若∠ACB=90°时，
可证△AOC∽△COB.
∴.
∴.
∴32=1×.
∴OB=9.即B(9,0) .
∴当时，△ABC为锐角三角形.
即当m>时，△ABC为锐角三角形.…………7分
7.（2012东城1※23）已知关于x的一元二次方程.
（1）求证：无论m取何实数时，原方程总有两个实数根；
（2）若原方程的两个实数根一个大于2，另一个小于7，求m的取值范围；
（3）抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，当m取（2）中符合题意的最小整数时，将此抛物线向上平移n个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在△ABC的内部（不包括△ABC的边界），求n的取值范围（直接写出答案即可）．
解：(1)证明： Δ=
=
=
∵ ≥0，
∴ 无论m取何实数时，原方程总有两个实数根. ………………2分
（2） 解关于x的一元二次方程，
得 . ………………3分
由题意得 ………………4分
解得 . ………………5分
（3）符合题意的n的取值范围是 . ……………7分

8.（2014海淀2※23）已知关于的方程：①和②，其中.
（1）求证：方程①总有两个不相等的实数根；
（2）设二次函数的图象与轴交于、两点（点在点的左侧），将、两点按照相同的方式平移后，点落在点处，点落在点处，若点的横坐标恰好是方程②的一个根，求的值；
（3）设二次函数，在（2）的条件下，函数，的图象位于直线左侧的部分与直线（）交于两点，当向上平移直线时，交点位置随之变化，若交点间的距离始终不变，则的值是________________.

解：（1），……………………………1分
由知必有，故.
方程①总有两个不相等的实数根. ……………………………………………2分
（2）令，依题意可解得，.
∵平移后，点落在点处，
∴平移方式是将点向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到.
∴点按相同的方式平移后，点为. ……………………3分
则依题意有. …………………………4分
解得，（舍负）.
的值为3. ………………………………………………………………………5分
（3）. ………………………………………………………………………7分

课后练习

1.（2013东城1※23）已知关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0．
（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
（2）当m为何整数时，原方程的根也是整数．
解：(1)证明： Δ=
=
=
=．
∵ ≥0，
∴ ＞0．
∴ 无论m取何实数时，原方程总有两个不相等的实数根. …………2分
（2） 解关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0，
得 . ………………3分
要使原方程的根是整数，必须使得是完全平方数.
设，
则.
∵ +和的奇偶性相同，
可得或
解得或. ………………5分
将m=-1代入，得
符合题意. ………………6分
∴ 当m=-1 时 ，原方程的根是整数. ……………7分

2．（2013顺义1※23）已知关于的方程
（1）求证：无论取任何实数时，方程恒有实数根.
（2）若关于的二次函数的图象与轴两个交点的横坐标均为正整数，且为整数，求抛物线的解析式.
（1）证明：①当时，方程为，所以 ，方程有实数根.…… 1分
②当时,
=
=
= ………………………………2分
所以,方程有实数根
综①②所述，无论取任何实数时，方程恒有实数根 …………3分
（2）令，则
解关于的一元二次方程，得 ， ……………………5分
二次函数的图象与轴两个交点的横坐标均为正整数，且为整数，
所以只能取1，2
所以抛物线的解析式为或………………7分
3.（2014东城1※23）已知：关于x的一元二次方程mx2﹣（4m+1）x+3m+3=0 （m＞1）．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1＞x2），若y是关于m的函数，且y=x1﹣3x2，求这个函数的解析式；
（3）将（2）中所得的函数的图象在直线m=2的左侧部分沿直线m=2翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当关于m的函数y=2m+b的图象与此图象有两个公共点时，b的取值范围．

解：（1）证明：

所以方程有两个不等实根. ………………2分

………………5分
（3）作出函数的图象，并将图象在直线左侧部分沿此直线翻折，所得新图形如图所示.易知点的坐标分别为
当直线 过点 A 时，可求得
过点B时，可求得
因此，

……………7分

4.（2014石景山1※23）已知关于的方程有两个实数根，且为非负整数.
（1）求的值；
（2）将抛物线：向右平移个单位，再向上平移个单位得到抛物线，若抛物线过点和点，求抛物线的表达式；
（3）将抛物线绕点()旋转得到抛物线，若抛物线与直线有两个交点且交点在其对称轴两侧，求的取值范围．
解：（1）∵方程有两个实数根，
∴且， ……………………1分
则有且
∴且
又∵为非负整数，
∴. ………………………………2分
（2）抛物线：平移后，得到抛物线：，……3分
∵抛物线过，，可得，
同理：，可得， …………………………4分
∴： . …………5分
（3）将抛物线：绕点()旋转180°后得到的抛物线顶点为（）， ………………6分
当时，，
由题意，，
即：． ……………………………7分
5.（2014石景山2※23） 关于的一元二次方程．
（1）求证：无论为何值时，方程总有一个根大于；
（2）若函数与x轴有且只有一个交点，求的值；
（3）在（2）的条件下，将函数的图象沿直线翻折，得到新的
函数图象．在轴上分别有点(t，0)，(0，2t)，其中，当线段与函数图象
只有一个公共点时，求的值．
解：

（1）证明：∴，
∵∴无论为何值时，方程总有一个根大于；
（2）解：∵若函数与x轴有且只有一个交点∴ ∴
（3）解： 当时，函数
依题意，沿直线翻折后的解析式为:
，图象如图所示．
可得，与，轴的 交点分别为，．
设直线的解析式为，
由，(0，2t)．
∴直线的解析式为………5分
①当线段与函数图象相切时，

∴
②当线段经过点时，∴
综上：当或时，线段与函数图象只有一个公共点．
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