2015届湖北省第一次八校联考理科数学试题及答案.doc

鄂南高中 黄冈中学 黄石二中 荆州中学
襄阳四中 襄阳五中 孝感高中 华师一附中
湖北省 八校

2015届高三第一次联考
数学试题（理科）

命题学校：襄阳五中 出题人：何宇飞 王丹 审题人：丁全华
考试时间：2014年12月11日下午15:00—17:00 试卷满分150分 考试用时120分钟

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.
1．已知复数R)，，若为纯虚数，则
A． B．
C．2 D．
2．如图给出的是计算的值的程序框图，其中
判断框内应填入的是
A． B．
C． D．
3．设，则二项式展开式中含
项的系数是
A． B．193
C． D．7
4．棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个
几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是
A． B．4
C． D．3
5．“且”是“”的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既非充分条件也非必要条件
6．已知实数等比数列{an}的前n项和为Sn，则下列结论中一定成立的
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
7．用表示非空集合A中的元素个数，定义．若，
，且，由a的所有可能值构成的集合为S，那么C(S)等于
A．1 B．2 C．3 D．4
8．已知x, y, R，且，则的最小值是
A．20 B．25 C．36 D．47
9．已知抛物线的一条过焦点F的弦PQ，点R在直线PQ上，且满足，R在抛物线准
线上的射影为S，设，是△PQS中的两个锐角，则下列四个式子
① ② ③ ④
中一定正确的有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．设定义在D上的函数在点处的切线方程为，当时，若
在D内恒成立，则称P为函数的“类对称点”，则的
“类对称点”的横坐标是
A．1 B． C．e D．

二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对
应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．
（一）必考题（11—14题）
11．随机向边长为5，5，6的三角形中投一点P，则点P到三个顶点的距离都不小于1的概率是____．
12．已知直线过点，若可行域的外接圆直径为20，则n=_____．
13．已知函数，将f(x)的图像与x轴围成的封闭图形绕x轴旋转一周，则所得旋转体的体积为________．
14．以(0, m)间的整数N)为分子，以m为分母组成分数集合A1，其所有元素和为a1；以
间的整数N)为分子，以为分母组成不属于集合A1的分数集合A2，其所有元素和为
a2；……，依次类推以间的整数N)为分子，以为分母组成不属于A1，A2，…，
的分数集合An，其所有元素和为an；则=________．

(二）选考题(从两个小题中选择一个小题作答，两题都作答的按15题记分)
15．（选修4-1：几何证明选讲）如图，C是以AB为直径的半圆O上的一
点，过C的直线交直线AB于E，交过A点的切线于D，BC∥OD .若
AD =AB= 2，则EB=_________．
16．（选修4-4：坐标系与参数方程）在极坐标系内，已知曲线C1的方程
为，以极点为原点，极轴方向为正
半轴方向，利用相同单位长度建立平面直角坐标系，曲线C2的参数
方程为(为参数)．设点P为曲线C2上的动点，过点P作曲线C1的两条切线，则这两
条切线所成角余弦的最小值是_______．

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.[源
17．（本小题满分12分）已知△ABC的三内角A, B, C所对边的长依次为a,b,c，若，
．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若，求△ABC的面积．

18．（本小题满分12分）有一种密码，明文是由三个字符组成，密码是由明文对应的五个数字组成，编
码规则如下表：明文由表中每一排取一个字符组成，且第一排取的字符放在第一位，第二排取的字
符放在第二位，第三排取的字符放在第三位，对应的密码由明文对应的数字按相同的次序排成一组
组成.
第一排
明文字符
A
B
C
D
密码字符
11
12
13
14
第二排
明文字符
E
F
G
H
密码字符
21
22
23
24
第三排
明文字符
M
N
P
Q
密码字符
1
2
3
4
设随机变量表示密码中所含不同数字的个数.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求随机变量的分布列和它的数学期望．

19．（本小题满分12分）如图1，平面四边形ABCD关于直线AC对称，，，，
把△ABD沿BD折起（如图2），使二面角为直二面角．如图2，
图2
B
C
D
A
D
C
B
A
图1
（Ⅰ）求AD与平面ABC所成的角的余弦值；
（Ⅱ）求二面角的大小的正弦值．

20．（本小题满分12分）已知等比数列{an}的公比，前n项和为Sn，S3=7，且，，
成等差数列，数列{bn}的前n项和为Tn，，其中N*．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{bn}的通项公式；
（Ⅲ）设，，，求集合C中所有元素之和．
21．（本小题满分13分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的离心率为，
过椭圆右焦点作两条互相垂直的弦AB与CD．当直线AB斜率为0时，．

（第21题）

（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求由A，B，C，D四点构成的四边形的面积的取值范围．

22．（本小题满分14分）已知，设函数．
（Ⅰ）若在(0, 2)上无极值，求t的值；
（Ⅱ）若存在，使得是在[0, 2]上的最大值，求t的取值范围；
（Ⅲ）若为自然对数的底数)对任意恒成立时m的最大值为1，求t的取
值范围．

2015届高三第一次联考理科数学参考答案

一、选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
D
B
A
B
D
C
A
C
C
B
二、填空题
11. 12. 13. 14. 15. 16.
解析如下：
1．由于为纯虚数,则,则,故选择D.
2．由程序知道,都应该满足条件,不满足条件,故应该选择B.
3．由于
则含项的系数为,故选择A.

4．几何体如图，体积为：,故选择B

5．且推不出,例如时
推不出且,例如，故“且”是“”的既不充分又不必要条件，故选择D
6．设，因为所以A，B不成立,对于C,当时,,因为与同号,所以,选项C正确,对于D,取数列：-1，1，-1，1，……，不满足条件，D错.故选C
7．由于的根可能是2个,3个,4个,而|A-B|=1,故只有3个根,
故,,故选A.
8．由于
则(当且仅当即时取等号.故选C
9．由于△PQS是直角三角形，则，故①②③都对，
当PQ垂直对称轴时，故选C
10．由于，则在点P处切线的斜率.
所以切线方程为
，
则，.
当时，在上单调递减，所以当时， 从而有时，；
当时，在上单调递减，所以当时， 从而有时，；
所以在上不存在“类对称点”. 当时，，所以在上是增函数，故
所以是一个类对称点的横坐标. （可以利用二阶导函数为0，求出，则）
故选择B
11．分别以三角形的三个顶点为圆心，1为半径作圆，则在三角形内部且在三圆外部的区域即为与三角形三个顶点距离不小于1的部分，即.
12．作图可知，，则
13．将的图像与轴围成的封闭图形绕轴旋转一周，所得旋转体为一个圆锥和一个半个球的组合体，其中球的半径为2，棱锥的底面半径为2，高为1，所以所得旋转体的体积为.
14．由题意＝++…+
＝++…+++…+++…+=++…+ -(++…+)＝++…+ -a1
a3＝++…+ -a2-a1
an＝++…+ -an-1…-a2-a1
所以=++…+=·[1+2+…+(mn-1)]＝
15．连接则则则，则是半圆的切线
设，由BC∥OD得，则，则，则
16．曲线的一般方程为:即,圆心为,半径为1.
曲线的一般方程为:
点到直线的距离是：，
则这两条切线所成角余弦的最小值是.
三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.[源
17．( I )依题设：sinA＝＝＝，sinC＝＝＝，
故cosB＝cos[π－(A＋C)]＝－cos (A＋C)＝－(cosAcosC-sinAsinC)＝－(－)＝.
则:sinB＝＝＝
所以4:5:6…………………………………………6分
( II ) 由( I )知：4:5:6，
不妨设：a＝4k，b＝5k，c＝6k，k＞0.故知：||＝b＝5k，||＝a＝4k.
依题设知：||2＋||2＋2||||cosC＝46 46k2＝46，又k＞0k＝1.
故△ABC的三条边长依次为：a＝4，b＝5，c＝6.
△ABC的面积是…………………………………………12分
18．（I）密码中不同数字的个数为2的事件为密码中只有两个数字，注意到密码的第1，2列分别总是
1，2，即只能取表格第1，2列中的数字作为密码. ………4分
（II）由题意可知，的取值为2，3，4三种情形.
若，注意表格的第一排总含有数字1，第二排总含有数字2则密码中只可能取数字1，2，
3或1，2，4.
若（或用求得）. ……8分
的分布列为：

2
3
4

……………………………………12分
19．如图2所示，以的中点为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，所在的
直线为轴建立空间直角坐标系，则
,
（Ⅰ）设面的法向量为
取有
,
与面所成角的余弦值是. ………………………………6分
（Ⅱ）同理求得面的法向量为 ，则
则二面角的正弦值为. …………………………12分
20．（Ⅰ）∵，∴ ①
∵，，成等差数列，∴ ② ………………2分
②－①得，即 ③
又由①得， ④
消去得，，解得或（舍去）
∴ ……………………………………………………4分
（Ⅱ）当N*时，，当时，
∴当时，，即 ……………………6分
∴，，，…，
∴，即
∵，∴，
故N*) ……………………………………………8分
（Ⅲ）， …………………………10分
∵A与B的公共元素有1，4，16，64，其和为85，
∴集合C中所有元素之和 ………………12分
21．（Ⅰ）由题意知，，则，，
所以．所以椭圆的方程为． ………………4分
（Ⅱ）① 当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，
由题意知； …………………………5分
②当两弦斜率均存在且不为0时，设，，
且设直线的方程为，
则直线的方程为．
将直线的方程代入椭圆方程中，并整理得，
所以． ……………8分
同理，． …………………………9分
所以
，
当且仅当时取等号 …………11分
∴
综合①与②可知， …………………………………………13分
22．（Ⅰ），又在(0, 2)无极值
…………………………………………3分
（Ⅱ）①当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增，

由得：在时无解
②当时，不合题意；
③当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增，
即
④当时，在单调递增，在单调递减，满足条件
综上所述：时，存在，使得是在[0,2]上的最大值. …8分
（Ⅲ）若对任意恒成立
即对任意恒成立
令， 由于的最大值为1，
则恒成立，否则存在使得
则当，时，不恒成立.
由于，则 ……………………10分
当时，，则，若
则在上递减，在上递增，
则
在上是递增的函数
，满足条件
的取值范围是…………………………14分

八校2015届高三第一次联考数学理科试题 第 10 页 共 10 页