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苏科八年级数学上册重要知识点及需注意或易错的点的归纳

第一章：全等三角形
一、基础知识
1.全等图形的有关概念
（1）全等图形的定义
能够完全重合的两个图形就是全等图形。
例如：图13-1和图13-2就是全等图形

图13-1

图13-2
（2）全等多边形的定义
两个多边形是全等图形，则称为全等多边形。
例如：图13-3和图13-4中的两对多边形就是全等多边形。

图13-3 图13-4

（3）全等多边形的对应顶点、对应角、对应边
两个全等的多边形，经过运动而重合，相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角。

（4）全等多边形的表示
例如：图13-5中的两个五边形是全等的，记作五边形ABCDE≌五边形A’B’C’D’E’（这里符号“≌”表示全等，读作“全等于”）。
A’
B’

B
A

C’
C

E’
D’
E
D

图13-5
注意：表示图形的全等时，要把对应顶点写在对应的位置。
（5）全等多边形的性质
全等多边形的对应边、对应角分别相等。

（6）全等多边形的识别
多边形相等、对应角相等的两个多边形全等。
2.全等三角形的识别
（1）根据定义
若两个三角形的边、角分别对应相等，则这两个三角形全等。

（2）根据SSS
如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
相似三角形的识别法中有一个与（SSS）全等识别法相类似，即三条边对应成比例的两个三角形相似，而相似比为1时，就成为全等三角形。

（3）根据SAS
如果两个三角形有两边机器夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等。
相似三角形的识别法中同样有一个是与（SAS）全等识别法相类似，即一角对应相等而夹这个角的两边对应成比例的两个三角形相似，当相似比为1时，即为全等三角形。

（4）根据ASA
如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等。

（5）根据AAS
如果两个三角形有两个角及其中一角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等。

3.直角三角形全等的识别
（1）根据HL
如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等。

（2）SSS、SAS、ASA、AAS对于直角三角形同样适用。判断两个直角三角形全等的方法可分为：已知一锐角和一边或已知两边。

注意1：证明三角形全等的方法
证明三角形全等的一般方法有四种：“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”。每一种都有给出三个独立的条件，在具体问题中，题设往往只给出一个或两个条件，其余的需要我们自己去发掘和证明。
判定方法的选择：

已知条件
可选择的判定方法
一边对应一角对应相等
SAS AAS ASA
两角对应相等
ASA AAS
两边对应相等
SAS SSS

具体地说，证明角相等的常用方法有：对顶角相等；两直线平行，同位角、内错角相等；同角（或对角）的余角（补角）相等；角平分线平分的两角相等；角的等量代换等。证明线段相等的方法有：同一线段；中点的定义；平行四边形的对边；等腰三角形的两腰；边的等量代换等。
为什么“AAA”和“SSA”不能判定两个三角形全等？这是因为有三个角相等，但边不一定相等，则三角形不一定全等，如图13-6，可以看出△ABC不全等于△ADE；同样，如果两边及其中一边的对角相等，也不能确定三角形全等，如图13-7，AB=AB,AC=AD, ∠B=∠B，但△ABC与△ABD不全等

A
A

E

D

C

B
D
C
B

图13-6 图13-7
注意2：证明两个三角形全等如何入手
证明两个三角形全等一般采用“综合法”与“分析法”两种。
（1）综合法，就是从已知条件入手，进行推理，逐步向要证的结论推进，如从已知条件中推导出对应边或对应角相等，从而推导出三角形全等。同时，也可以从三角形全等推导出对应边、对应角的相等，达到正题的目的。
（2）分析法，即从欲证的结论出发，分析结论成立的必需条件，各种条件联系已知，寻找它们之间的关系，逐步靠拢已知条件，从而分析出已知与结论的因果关系。
证题时，分析法与综合法结合起来使用更加有效，证三角形全等时，既要有明显的已知条件，又要有隐藏的条件，通过综合法罗列已知条件，再通过分析法找出隐藏条件，从而得证。

二、学习全等三角形应注意以下几个问题：
1、要正确区分“对应边”与“对边”，“对应角”与“对角”的不同含义；
2、表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上；
3、时刻注意图形中的隐含条件，如 “公共角” 、“公共边”、“对顶角”

第二章轴对称图形
2.1轴对称与轴对称图形
【知识点总结】
一、 轴对称的概念
把一个图形沿着一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点。
二、 轴对称图形
把一个图形沿着有一条直线折叠，如果直线两旁部分能够互相重合，那么称这个图形是轴对称图形，这条直线就是对称轴。
三、 轴对称与轴对称图形的区别与联系
区别：轴对称是两个图形之间的对称关系，而轴对称图形是一个图形自身的对称性.
联系：（1）在这两个概念中，都有一条直线，都是沿着这条直线折叠后能够重合；（2）如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么这个整体就是轴对称图形；如果把一个轴对称图形位于对称轴两旁的部分看成两个图形，那么两部分图形就成轴对称.
误点1 不能正确识别轴对称图形，导致错误
例1：如图，下列四个汽车标志图案中，是轴对称图案的有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
误点2 不能正确找出轴对称图形的对称轴，导致出现错误
例2：下列美丽的图案中，对称轴最多的是（ ）
A B C D

2.2轴对称的性质
【知识点梳理】
一、线段垂直平分线的概念
垂直并平分一条线段的直线，叫作这条直线的垂直平分线.
二、轴对称的性质
成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分.
三、 利用轴对称的性质作轴对称图形
画一个图形关于一条直线对称的图形，关键是确定某些点关于这条直线的对称轴.往往按照下面的步骤.

1. 画轴对称图形，首先应确定对称轴，然后找出对称点.
2. 画已知线段关于某条直线的对称线段，或画已知三角形（四边形）关于某条直线对称的三角形（四边形），关键在于画出已知线段的各端点或已知三角形（四边形）的各顶点关于这条直线的对称点.

【误区警示】
误点1 不能灵活运用轴对称的性质，导致出现错误
例2图
例1：如图a是一张长方形纸带，∠DEF=20°，将纸带沿EF折叠（如图b），再沿BF折叠（如图c）则图中∠CFE的度数是

例1图

误点2 画图漏解，导致出现错误
例2：如图①，在3×3的正方形网格中，已有两个小正方形被涂色，再将图中其余的任意一个小正方形涂色，使整个图案构成一个轴对称图形的方法有 种．

2.3线段、角的轴对称性
【知识点梳理】
一、 线段垂直平分线的性质
1、 线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴
2、 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
3、 到线段两端距离相等的点在这条线段AB的垂直平分线上

二、 角平分线的性质
1、 角是轴对称图形，角平分线所在直线是它的对称轴
2、 角平分线上的点到角两边距离相等
3、 角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上
三、 线段的垂直平分线的画法
1、 用尺规画此线段的垂直平分线的方法：（1）分别以点A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点C、D；（2）过点C、D；两点作直线.直线CD就是线段AB的垂直平分线.如图2.4.1所示.
2、 利用网格线画线段的垂直平分线：现在网格上找出两点，使它们到线段两端的距离相等，再过这两点作直线
3、 折叠法画线段的垂直平分线：先对折，再沿折痕画直线，即可得到其对称轴，也就是垂直平分线.
【误区警示】
误点1 不能正确掌握线段垂直平分线的性质，导致出现错误
例1：如图，在△ABC中，AB=AC，DE是AB的垂直平方线，△BCF的周长为14，BC=6，则AB的长为

误点2 不能正确掌握角平方线的性质，导致出现错误
例2：如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A、B.下列结论中，不一定成立的是
（ ）
A．PA=PB B．PO平分∠APB C．OA=OB D．AB垂直平分OP

2.5等腰三角形的轴对称性
【知识点梳理】
一、等腰三角形的对称性
等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在直线、底边上的中线所在直线、底边上的高所在直线都是它的对称轴.
二、等腰三角形的性质
1、 等要三角形的两底角相等（等边对等角）
2、 等腰三角形底边上的高线、中线及顶角的平分线重合（三线合一）
三、等腰三角形的判定方法
1、 有两条边相等的三角形是等腰三角形
2、 有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）
四、 等边三角形的概念和性质
1、三边相等的三角形是等边三角形或正三角形
2、等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴
3、等边三角形的各内角等于60°
五、 等边三角形的判定
1、 三边相等的三角形叫做等边三角形或正三角形
2、 三个角都相等的三角形是等边三角形
3、 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
【误区警示】
误点1 不能正确识别图中的等腰三角形，导致错误
例1：如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD、CE分别是△ABC、△BCD的角平分线，则图中的等腰三角形一共有（ ）
A.5个 B.4个 C.3个 D.2个

误点2 不能正确把握等腰三角形的性质，导致出现错误
例2：如图，AB=AC，BD=BC,若∠A=40°，则∠ABD的度数为（ ）
A.20° B.30° C.35° D.40°

第三章勾股定理
一、 勾股定理
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.若把直角三角形的两条直角边和斜边分别记为（如图3.1.1），则

三、 勾股定理的验证
勾股定理的推导方法有很多种，到目前为止，能够验证勾股定理的方法有近500种.课本上是利用图形的“截、割、补、拼”来说明表示相同图形面积的代数式之间的恒等关系，既具有严密性，又具有直观性.
例：如图，分别以边长分别为（为斜边）的直角三角形的3边为边向外作三个正方形拼成如图所示的图形，是利用面积知识验证勾股定理.

四、 勾股定理的应用
勾股定理揭示了直角三角形中三条边之间的数量关系，只要知道直角三角形中任意两条边的长度就可以求出第三条边的长度.
【误区警示】
误点1 不能用图形面积表示代数式之间的数量关系，导致出现错误
例1：如图是由四个相同的直角三角尺拼接成的图形，设三角尺的直角边长分别为，则这两个图形能验证的等式是（ ）
A．（a+b）2-（a-b）2=4ab B．（a2+b2）-（a-b）2=2ab
C．（a+b）2-2ab=a2+b2 D．（a+b）（a-b）=a2-b2

误点2 不能正确把握勾股定理的内涵，导致出现错误
例2：已知Rt△ABC的两边长为3、4，求第三边长的平方.
3.2勾股定理的逆定理
【知识点总结】
一、 勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长分别为，且，那么这个三角形是直角三角形.
二、 勾股数
满足关系的3个正整数称为勾股数.利用勾股数可以构造直角三角形.
【误区警示】
误点1 不能正确理解勾股定理的逆定理，导致出现错误
例1：已知一个三角形的三边长为a=5，b=13，c=12，这个三角形是直角三角形吗？

误点2 思维定势误判直角，导致出现错误
例2：在△ABC中，∠A、∠C、∠C的对边分别是a、b、c，且，则（ ）
A. ∠A为直角 B.∠C为直角 C.∠C为直角 D.不是直角三角形
3.3勾股定理的简单应用
【知识点总结】
一、运用勾股定理解决实际问题
在运用勾股定理解决实际问题时，应该构造直角三角形，然后把直角三角形的某些边表示出来，最后利用勾股定理解决实际问题
运用勾股定理的逆定理解决实际问题
如果三角形的三边长为满足，那么这个三角形是直角三角形，这是根据三角形 三边长之间的数量关系来判定一个三角形是直角三角形的方法.
【误区警示】误点 不能运用恰当的数学模型解决问题，导致出现错误
例 如图，有两棵树，一棵高6米。另一棵高2米，两树两句3米。一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？

第四章实数
一、 知识点：
1、 平方根的概念：如果=a（a≥0），那么x叫做a的平方根，也称为二次方根。
2、 表示方法：数a（a≥0）的平方根记作±。其中表示a的正的平方根，也叫a的算术平方根。－表示a的负的平方根。
3、 平方根的性质：（1）一个正数有两个平方根，它们互为相反数；（2）0的平方根是0；（3）负数没有平方根。
注意：（1）在x2=a中，因为x2≥0，所以a≥0.（2）求一个数的平方根，是指把所有平方后等于这个数的数都求出来，而判断一个数是不是另一个数的平方根，是检验，也就是把这个数平方之后看是不是等于另一个数，二者含义不同，要求也不同。
4、 开平方（难点）
开平方是一种运算，开平方就是求二次方根。
求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。其中a叫做被开方数。
注意：（1）开平方时，被开方数a必须是非负数（a≥0）。
（2）开平方是求一个非负数的平方根。
（3）开平方是一种运算，开平方与平方互为逆运算，只不过一个数的平方是一个非负数，而一个数（非负数）的平方根是一对互为相反数。
应用举例：求下列各数的平方根：
（1）121 （2）2
5、开平方运算常用的两个重要性质：
（1）=|a|，当a≥0时，=a；当a＜0时，=-a
（2）=a（a≥0）
应用举例：已知实数a、b、c在数轴上对应点如图所示。化简－|b＋c|＋|a＋c|＋

6、算术平方根（重点）
我们把正数a的正的平方根叫做算术平方根，记为“”。如22=4，那么2就叫做4的算术平方根。0的算术平方根是0，一个正数的算术平方根只有一个且一定为正数。
注意：平方根是一对相反数，算术平方根是两个平方根中的非负数。
应用举例：（1）的算术平方根是（ ）
A、 B、 C、－ D、±
（2）物理学中自由落体运动公式：S=gt2（g是重力加速度，它的值约为10m/s2），如果物体降落的高度S=125m，求降落的时间。
（3）综合题：如果正数m的两个平方根是2a－3和a－12，求m的值。
（4）易错题：求的平方根。
7、立方根：（重点）
立方根的概念：一般地，如果x3=a，那么x叫做a的立方根（也叫三次方根）。数a的立方根记作：“”。这里的a的取值可以为正数、0或负数。其中a叫做被开方数，3叫做根指数。
立方根的性质：（1）正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0.
互为相反数的立方根仍是互为相反数。
注意：（1）这里的根指数3不能省略，而平方根中的根指数一般省略不写。（2）任何数都有立方根，且是唯一的。
开立方：（重点）
求一个数a的立方根的运算，叫做开立方。
应用举例：（1）求下列各式的值：
①－ ② ③ ④
（2）求下列各数的立方根：
①10-6 ； ②-8 ③

利用立方根解方程：
（1）（2x＋3）3=216 （2）125x3 －1=7

8、无理数（重点）
（1）概念：无限不循环小数叫做无理数。如、、、π等都是无理数。
（2）常见的无理数的形式：①有规律但不循环的无限小数，如：0.101001000…，②特殊字符，如圆周率π=3.1415926…是一个无限不循环小数，是一个无理数，另外、等虽然是分数形式，但它不是两个整数作商，也是无理数。
9、实数的分类：

10、实数的性质：在实数范围内，一个数的相反数、倒数、绝对值的意义和在有理数范围内的意义完全相同。如果用a表示实数，那么|a|=
11、实数与数轴（重点）
（1）实数与数轴上的点都是一一对应的。
（2）画表示无理数的点。
应用举例：在数轴上作出表示的点。
12、近似数的精确度的确定（重点、难点）
应用举例：
（1）用四舍五入法，按括号的要求把下列各数取近似数：
①0.34082（精确到千分位） ②65.8（精确到个位） ③120532（精确到千位）
（2）对于四舍五入得到的近似数3.2×10,5，下列说法正确的是（ ）
A、精确到百分位 B、精确到个位 C、精确到万位 D、精确到千位
（3）地球与太阳之间的距离约为149600000千米，用科学记数法（精确到千万位）约为 千米。
（4）下列近似数各精确到哪一位？
①1.45万 ②2.01×105 ③0.81亿

第5章平面直角坐标系
平面直角坐标系知识点归纳总结
1、 在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成了平面直角坐标系；
2、 坐标平面上的任意一点P的坐标，都和惟一的一对 有序实数对（）
-3 -2 -1 0 1 a
b

1

-1
-2
-3

P(a,b)
Y
x
一一对应；其中，为横坐标，为纵坐标坐标；
3、轴上的点，纵坐标等于0；轴上的点，横坐标等于0；
坐标轴上的点不属于任何象限；
4、 四个象限的点的坐标具有如下特征：
象限
横坐标
纵坐标
第一象限
正
正
第二象限
负
正
第三象限
负
负
第四象限
正
负

小结：（1）点P（）所在的象限 横、纵坐标、的取值的正负性；
（2）点P（）所在的数轴 横、纵坐标、中必有一数为零；
P（）

5、 在平面直角坐标系中，已知点P，则
（1） 点P到轴的距离为；
（2） （2）点P到轴的距离为；
（3） 点P到原点O的距离为PO＝

X
Y
A
B
6、 平行直线上的点的坐标特征：
a) 在与轴平行的直线上， 所有点的纵坐标相等
B
点A、B的纵坐标都等于；

Y
X
b) 在与轴平行的直线上，所有点的横坐标相等；
C

D
点C、D的横坐标都等于；

7、 对称点的坐标特征：
a) 点P关于轴的对称点为， 即横坐标不变，纵坐标互为相反数；
b) 点P关于轴的对称点为， 即纵坐标不变，横坐标互为相反数；
X
y
P

O

X
y
P

O
X
y
P

O
c) 点P关于原点的对称点为，即横、纵坐标都互为相反数；

关于x轴对称 关于y轴对称 关于原点对称

8、 两条坐标轴夹角平分线上的点的坐标的特征：
a) 若点P（）在第一、三象限的角平分线上，则，即横、纵坐标相等；
X
y
P

O
y
P

O
X
b) 若点P（）在第二、四象限的角平分线上，则，即横、纵坐标互为相反数；

在第一、三象限的角平分线上 在第二、四象限的角平分线上
习题考点归纳
考点一——平面直角坐标系中点的位置的确定 （已知坐标系中特殊位置上的点，求点的坐标）
【例1】下列各点中，在第二象限的点是 （ ）
A．（2，3） B．(2,－3) C．(－2,3) D．(－2, －3)
【例2】已知点M(－2,b)在第三象限，那么点N(b, 2 )在 （ ）
考点二——平面直角坐标系中对称点的问题
【例1】点A（﹣1，2）关于轴的对称点坐标是 ；点A关于原点的对称点的坐标是 。点A关于x轴对称的点的坐标为 。
【例2】已知点M与点N关于轴对称，则。
考点三——平面直角坐标系中平移问题
【例1】线段CD是由线段AB平移得到的。点A（–1，4）的对应点为C（4，7），则点B（–4，–1）的对应点D的坐标为______________。
【例2】在平面直角坐标系内，把点P（－5，－2）先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度后得到的点的坐标是 。
考点四——平面直角坐标系中平行线问题
【例1】已知AB∥x轴，A点的坐标为（3，2），并且AB＝5，则B的坐标为 。
【例2】过A（4，－2）和B（－2，－2）两点的直线一定（ ）
A．垂直于x轴 B．与Y轴相交但不平于x轴
B． 平行于x轴 D．与x轴、y轴平行
考点五——平面直角坐标系中对角线上的问题
【例1】已知P点坐标为（2－a，3a＋6），且点P到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标是_________________。
【例2】已知点A（－3+a，2a+9）在第二象限的角平分线上，则a的值是____________。
考点六——平面直角坐标系中面积的求法A
CA
x
y
BA
，图形的平移
【例1】如图所示的直角坐标系中，三角形ABC的顶点坐标分别是A（0,0）、B（6,0）、C（5,5）。求：（1）求三角形ABC的面积；（2）如果将三角形ABC向上平移3个单位长度，得三角形A1B1C1，再向右平移2个单位长度，得到三角形A2B2C2。分别画出三角形A1B1C1和三角形A2B2C2。并试求出A2、B2、C2的坐标？

第6章一次函数

6.1 变量和函数
1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。
常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。
2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。 例如：y=±x，当x=1时，y有两个对应值，所以y=±x不是函数关系。对于不同的自变量x的取值，y的值可以相同，例如，函数：y=|x|，当x=±1时，y的对应值都是1
3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。
4、确定函数取值范围的方法：
（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；
（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；
（3）关系式含有二次根式时，被开方数大于等于零；
（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；
（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义
6.2 函数的表示法
1、三种表示方法
列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。
公式法：即函数解析式，简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。
图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。
2、列表法：列一张表，第一行表示自变量取的各个值，第二行表示相应的函数值（即应变量的对应值）
3、公式法：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。一般情况下，等号右边的变量是自变量，等号左边的变量是因变量。用函数解析式表示函数关系的方法就是公式法。
4、函数的图像
一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．
5、描点法画函数图形的一般步骤（通常选五点法）
第一步：列表（根据自变量的取值范围从小到大或从中间向两边取值）；
第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；
第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。
6.3 一次函数及其图像
1、一次函数及性质
一般地，形如y=kx＋b(k,b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数.当b=0时，y=kx＋b即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.
注：一次函数一般形式 y=kx+b (k不为零) ① k不为零 ②x指数为1 ③ b取任意实数
k(称为斜率)表示直线y=kx+b（k≠0）的倾斜程度，b称为截距
一次函数y=kx+b的图象是经过（0，b）和（-，0）两点的一条直线，我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx平移|b|个单位长度得到.
（1）解析式：y=kx+b(k、b是常数，k0) 必过点：（0，b）和（-，0）
（3）走向： 依据k、b的值分类判断，见下图
（4）增减性： k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小.
（5）倾斜度：|k|越大，图象越接近于y轴；|k|越小，图象越接近于x轴.
（6）图像的平移： 当b>0时，将直线y=kx的图象向上平移b个单位；
当b<0时，将直线y=kx的图象向下平移b个单位.
b的正、负决定直线与y轴交点的位置；①当b＞0时，直线与y轴交于正半轴上；
②当b＜0时，直线与y轴交于负半轴上；
③当b=0时，直线经过原点，是正比例函数
2、正比例函数性质：
一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.
注：正比例函数一般形式 y=kx (k不为零) ① k不为零 ② x指数为1 ③ b取零
(1) 解析式：y=kx（k是常数，k≠0） 必过点：（0，0）、（1，k）
(2) 走向：k>0时，图像经过一、三象限；k<0时，图像经过二、四象限
(3) 增减性：k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小
(4) 倾斜度：|k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴
3、一次函数y=kx＋b的图象的画法.
根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：（0，b），.即横坐标或纵坐标为0的点.

b>0
b<0
b=0
k>0
经过第一、二、三象限
经过第一、三、四象限
经过第一、三象限

图象从左到右上升，y随x的增大而增大
k<0
经过第一、二、四象限
经过第二、三、四象限
经过第二、四象限

图象从左到右下降，y随x的增大而减小
4、正比例函数与一次函数图象之间的关系
一次函数y=kx＋b的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移,）.上加下减，左加右减
5、直线y=k1x+b1与y=k2x+b2的位置关系
（1）两直线平行：k1=k2且b1 b2 （2）两直线相交：k1k2
（3）两直线重合：k1=k2且b1=b2 （4）两直线垂直：即k1﹒k2=-1
（5）两直线交于y轴上同一点: b1=b2
6.4、用待定系数法确定一次函数解析式
1、一般步骤(一设二代三解四还原)：
　　（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；
　　（2）将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；
　　（3）解方程得出未知系数的值；
　　（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.
2、一元一次方程与一次函数的关系
任何一元一次方程到可以转化为ax+b=0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值. 从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值.
3、一次函数与一元一次不等式的关系
任何一个一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围.
4、一次函数与二元一次方程组
（1）以二元一次方程ax+by=c的解为坐标的点组成的图象与一次函数y=的图象相同.
（2）二元一次方程组的解可以看作是两个一次函数y=和y=的图象交点.
5、关于点的距离的问题
方法：点到x轴的距离用纵坐标的绝对值表示，点到y轴的距离用横坐标的绝对值表示；
任意两点的距离为；
若AB∥x轴，则的距离为；
若AB∥y轴，则的距离为；
点到原点之间的距离为
一次函数学习易错点分析
一、学生易忽视中的条件造成错误
例1．已知，当=_____时，是的一次函数．
错解 由于是的一次函数，故，，解得，填“”．
点评 一次函数中的系数必须满足，当时，必须舍去，故．
二、学生易忽视正比例函数是特殊的一次函数而造成错误
例2．一次函数不经过第三象限，则下列正确的是（ ）．
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
错解 由于一次函数不经过第三象限，则它必经过一、二、四象限，故，选Ａ．
点评 由于正比例函数是特殊的一次函数，因而不经过第三象限，则它可能经过一、二、四象限，此时满足，也可能是只经过二、四象限的正比例函数，此时满足，故应选Ｄ．
三、学生易忽视一次函数图象的性质而造成错误
例3．一次函数的自变量的取值范围是，相应函数值的取值范围是，求这个函数的解析式．
错解 把和分别代入中，得到
，解得，所以一次函数的解析式为．
点评 由于此题中没有明确的正负情况，而一次函数只有在时，随的增大而增大，而在时，随的增大而减小，故此题要分和两种情况进行讨论．（1）当时，把，解得，所以一次函数的解析式为.（2）当时，把和分别代入中，解得，所以一次函数的解析式为．综上所述，一次函数的解析式为或．
四、学生易忽视自变量的取值范围而造成错误
例4．从甲地向乙地打长途电话，计时收费，前3分钟收费元，以后每增加1分钟收1元，则电话费（元）与通话时间（分）之间的函数关系式是 ．
错解 根据题意，通话费应等于前3分钟的通话费用元加上超过3分钟的部分的通话费用，所以．
点评 此题中的通话时间是大于3分钟还是小于3分钟不清楚，故而上述解法缺少了小于3分钟的情况，正确结果为．
五、学生易对两个不同函数的比例系数看成一个造成错误
例5．已知，而与成正比例，与成正比例，并且时，；时，，求y与x的函数关系式．
错解  设，，得，把，
得到，解得，所以．
点评 由于和是两个不同的函数，故要设两个不同的即、，不可草率地将、都写成，题中给出了两对数值，从而决定了可利用方程组求出、 的值．正确的解答如下：设，，得，把，及，代入 得到，解得 ，所以．
六、学生易对“成正比例与正比例函数”的混淆造成错误
例6．若与成正比例，且当时，．求与的函数解析式．
错解 既然与成正比例，就设其解析式为，把点，代入即可解得k=1，故其解析式为．
点评 若与成正比例，并不就是指是的正比例函数，此题的是的一次函数，正确解为．
七、学生易对自变量或函数代表的实际意义理解不准确而造成错误
例7． 汽车由重庆驶往相距400千米的成都，如果汽车的平均速度是100千米/时，那么汽车距成都的路程s（千米）与行驶时间t（小时）的关系用图象表示应为（ ）．
400
200
2
4
s（千米）
t（小时）
0
400
200
2
4
s（千米）
t（小时）
0
400
200
2
4
s（千米）
t（小时）
0
400
200
2
4
s（千米）
t（小时）
0

A B C D
错解 由于路程等于速度乘以时间，在速度一定的条件下，路程是时间的正比例函数，选B．
点评 此题中路程s并不是汽车行驶的距离，而是剩下来没有走的路程，不能被思维定势所左右，要仔细看清题目，理解题意，实际上s与t的函数关系式为，s是t的一次函数，故选C．
八、学生不能正确的用坐标表示线段而造成错误
例8．若一次函数与两坐标轴围成的三角形面积是4，求的值．
错解 因为一次函数与两坐标轴的交点坐标分别为（，0）和（0，2），
由于线段不可能为负数，所以得，解得．
点评 用坐标表示线段时，若不知道坐标的符号应加绝对值．事实上一次函数的图象是始终经过定点（0，2）的一条直线，可以经过一、二、三象限，也可经过一、二、四象限，的值应有两个解．正确解法可分类讨论，也可这样解：，解得．