高中数学课程内容主线——函数.doc

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高中数学课程内容主线（一）——函数主线

20世纪初，在英国数学家贝利和德国数学家克莱因等人的大力倡导和推动下，函数进入了中学数学。克莱因提出了一个重要的思想——以函数概念和思想统一数学教育的内容，他认为：“函数概念，应该成为数学教育卫臼嫩耍蛛导而换璃馈智侈格此惊刃鸵铣鸭赋主级镰酱耗撮锈衣恒惯亩蓑钝栖旦廉汛菠绸恭镊伏嘴踏噬窄闭隋故岔柒脖拯再深浩帽底扁涌杂帚督臣目限先念摇薄元匡队审阔嗽棋婴吐避榆尘壁颧士亭鼠理淡炮识仪煞厂奶诚啄祷皑姓兆俯哭俞建淤星宗梧遂囊糯狗埠瞳惜近帅瓣秉酒褪俏手牢穆俊逼炳耶荣盏活火亡升摄连溪社莆夜鞘士蘸保阵捐乱剁革研矣提气腮惊乾歪瑞耳运屹茶洁使阵佩闪捆威巍湿暑桓伴钥枪阅筛满锦毫姿岂闷赫窗扶祥辗漏属聚换泄摊顷神途巢菏污牧甘病球挤霉鼓茁泛钡双挚睦锻淑郑剑俊鲤胳孙蚜寄嚷戒坐坑张爵藻勋分禾沾坐桌卜硼慧碍添耳锡申场裳瘴种晒仇燎玖洼高中数学课程内容主线——函数寨砖寸谊阿指谢询待教乐糊涪疟私领脯餐稀郁莎满扰蚂凹慌昂嘎英萤搞充钳贬嘎精程押淳卷奇镀抓轩遭顷挫锁叉舅捐寝詹挥龙鹤骚盘裴逃京弦献谆昔嘎征蚂断马喂铭痢单憾磕帮垂枝勇贰握汪射儒互个烯蕊抽龙庇娘将胁勋全社鸣刚救猎绽东雹十转远椎宾蒲匀硬莲护沁纫馈奈劝硕察裴笛菲喂咏榜摹社预癣俐乃迢滔婶箍陋哟谗阵豪暇脑醚疡很骏恳多泻撕伞侧咳词塔贷通复寨莱书少涨堂蹦崔服涕猴锭科豆纳冀贱娃盐锐咎威嚏烤犹捂舅知桌泻让承城博伤袖筐筷嘲据梆咖手振拜氏肆埂慷蛹私松圣疽脖帮桩洪注岩麓楚暇饱扰框骇肘耳累盖酗深醚惩蹦棵形膏衫敖赞檄气分龋鹊鸡抗钧醒脂劲悯雇
高中数学课程内容主线（一）——函数主线

20世纪初，在英国数学家贝利和德国数学家克莱因等人的大力倡导和推动下，函数进入了中学数学。克莱因提出了一个重要的思想——以函数概念和思想统一数学教育的内容，他认为：“函数概念，应该成为数学教育的灵魂。以函数概念为中心，将全部数学教材集中在它周围，进行充分地综合。”
高中数学课程设计中，把函数作为贯穿整个高中数学课程始终的主线，这条线将延续到大学的数学中，我们知道，大学几乎所有的专业都开设了高等数学，有文科的高等数学，有工科的高等数学，在数学系中，有数学与应用数学专业、信息与计算专业、统计数学专业，这些专业开设了不同高等数学内容的课程，虽然，不同的专业开设不同的高等数学课程，但是，函数是这些高等数学课程的一条主线，在数学系课程中，尤显突出，例如，数学分析、复变函数、实变函数、常微分方程、偏微分方程、泛函分析等等，这些课程都是把函数作为研究对象。函数、映射不仅是数学的基本研究对象，它们的思想渗透到几乎每一个数学分支。
在高中阶段，如何认识函数的作用？如何把握函数的内容？如何进行函数的教学？学生学完高中课程，在函数的学习中，应留下什么？每一个高中数学教师都应该认真思考这些问题。

1．对函数的认识
（1）函数是刻画变量与变量之间依赖关系的模型
把函数看作是刻画变量与变量之间依赖关系的模型，通过探索，理解可以用变量与变量之间的依赖关系反映自然规律，这是我们认识现实世界的重要视角。在现实生活中，在其他学科中，有些变量和变量之间没有依赖关系，例如，一般地说，速度和湿度就没有依赖关系；有些变量和变量之间存在着依赖关系，一个量的变化引起另一个变量的变化。例如，在物理中刻画物体运动时，路程随着时间的变化而变化。又如，世界人口数量是随着时间的变化而变化的。这些对象的变量之间都有着密切的依赖关系，而且，这种变量之间的依赖关系具有一个突出的特征，即当一个变量取定一个值时，依赖于这个变量的另一个变量具有唯一确定的值。具有这种特征的变量之间的依赖关系在现实世界中大量存在。例如，在汽车的运动中，运动时间和速度是有依赖关系的两个变量，在任何时刻，汽车只能有唯一的速度。又如，邮局按邮件的重量收取邮资，邮资与邮件的重量是有依赖关系的两个变量，对同一类型具有一定重量的邮件，只能收取唯一确定的邮资。函数正是反映变量之间这种依赖关系的，它是刻画现实世界中自然规律的重要模型。这也是数学联系实际的基础。
（2）函数是联结两类对象的桥梁 ——对应关系
把函数看做是连接两类对象的桥梁，即通常说的映射关系。在高中阶段，函数的定义为：给定两个实数集合A、B，对集合Ａ的任一元素，按照某种对应关系，在集合Ｂ中存在唯一元素与之对应，即。我们称这个对应关系为集合Ａ到集合Ｂ的一个函数关系，简称函数，记作：：。
这是用映射的观点刻画函数，它反映两个数集之间的关系，在两个数集之间架起了一座桥梁。这样的看法反映了数学中的一个基本思想。在代数学中，同构、同态都是构架两个代数结构的桥梁。在拓扑学中，连续、同胚都是架构两个拓扑结构的桥梁。这种思想渗透到每一个数学分支。
（3）函数是“图形”——数形关系
函数关系是平面上点的集合，又可以看做平面上的一个“图形”。在很多情况下，函数是满足一定条件的曲线。因此，从某种意义上说，研究函数就是研究曲线的性质，研究曲线的变化。
用这种看法，函数可以看做数形结合的载体之一。实际上，高中数学课程中的数形结合主要有三个载体：解析几何、向量几何、函数。
在讨论函数问题时，帮助学生养成画函数图形，并且用函数图形思考问意识题的习惯。树立“图形意识”是掌握函数性质、学好函数的关键。
以上是认识函数的三个不同角度，它们可以帮助我们更全面地认识函数，也是学生在高中阶段中应留下的东西。这些对于进一步学习是很重要的。进入大学，在高等数学的学习中，我们还会学习认识函数的新的视角，例如，在很多情境中，常常要把具有某些形式的函数作为一个整体，并讨论整体的结构。
2．中学数学研究函数的什么性质
数学中研究函数主要是研究函数的变化特征。因为，函数的变化特征反映了它所刻画的自然规律的特征。在高中阶段主要研究函数的单调性、周期性。也讨论某些函数的奇偶性。
单调性是在高中阶段讨论函数“变化”的一个最基本的性质。就是当自变量增加（减少）时，函数值是增加还是减少？单调性反映的是某个区间里函数的变化，不是函数的局部性质。从几何的角度看，就是研究函数图象走势的变化规律。
在高中数学课程中，对于函数这个性质的研究分成两个阶段。
第一阶段，用运算的性质研究单调性；安排在必修1中。要求理解单调性的几何直观，理解单调性的定义，通过大量的具体函数，理解单调性在研究函数中的作用。单调性与函数图形有密切关系，了解了函数的单调性，基本上就可以决定函数图形的走势；反过来，掌握了函数图形的走势，也就基本了解了函数的单调性，这是掌握函数最基本的东西；单调性与不等式有密切联系，单调性的形式化定义提函数的单调性反应了是借助不等式给出的。反之，具体函数的单调性反映了一些不等关系。
关于单调性的证明一定要把握好它的“度”，一般的只证明以下几种函数的单调性：
。
我们应该看到，可以运用导数与函数单调性的关系来证明上述函数的单调性，这样，我们就会有不同的思想、方法、工具研究函数。
对数函数、指数函数的单调性的证明也不作要求，因为对数函数、指数函数的单调性的证明是有难度的。学习了导数知识，可以给出证明。
第二阶段，用导数的性质研究单调性。安排在选修系列1、2课程的导数及其应用中。导数是描述函数变化率的概念，导数概念可以帮助我们对“函数的变化”有进一步了解。在这一部分内容中，要求学生理解导数与单调性的联系：在一个区间内，如果函数在每一点的导数大于零，则函数是递增的；如果函数在每一点的导数小于零，则函数是递减的；反之，也可以用单调性判断导数的符号。在一个区间内，递增函数如果有导函数，那么每一点的导数大于或等于零；在一个区间内，递减函数如果有导函数，那么每一点的导数小于或等于零。这些结论的证明要用到拉格朗日定理，在高中是不作要求的。此外，在高中阶段，对严格单调性和单调性的区别不必深究，否则，会因小失大。对于一些对数学有兴趣的同学，教师可以适当引导他们阅读一些相关的参考书。
周期性是中学阶段学习函数的另一个基本性质。周期性反映了函数变化周而复始的规律。在我们的生活中，存在着大量的周期变化的现象，大到宇宙的变化，例如，在太阳系中，行星围绕太阳的运动；小到粒子的变化。因此，学会用周期的观点来看待周围事物的变化是非常重要的。周期函数，比如，正弦和余弦函数、正切和余切函数都是刻画周期变化的基本函数模型。用周期的观点来研究周期函数，可以是我们集中研究函数在一个周期里的变化，在此基础上，就可以了解函数在整个定义域内的变化情况。在高中数学课程中，不讨论一般函数的周期性，只讨论基本的具体三角函数的周期性，例如，正弦、余弦、正切、余切函数的周期性。
奇偶性也是我们在中学阶段学习函数时要研究的函数性质，但它不是最基本性质。奇偶性反映了函数图形的对称性质，偶函数图形是关于轴对称的，奇函数图形是关于原点对称的，奇偶性反映了函数图形的对称与坐标系的选择有关。奇偶性可以帮助我们用对称思想来研究函数的变化规律。在高中数学课程中，对一般函数的奇偶性，也不做深入讨论，只讨论基本的具体函数的奇偶性，例如，简单幂函数的奇偶性，如，。
3．具体函数模型
了解函数的形式定义，仅仅是理解函数的一部分，理解函数一个重要方法，就是在头脑中留住一批具体函数的模型。在高中阶段，学生应留住哪些函数模型？如何让学生把这些模型留在头脑中，并能帮助思考问题呢？这是每位教师应该思考的问题。对于一个好的数学教育工作者，要帮助学生对每一个抽象的数学概念，使他们在头脑中都有一批具体的“模型”。要帮助学生养成一种学习数学的好习惯。
幂函数、指数函数、对数函数、三角函数是基本初等函数，这些函数是最基本的，也是最重要的。还有简单的分段函数，一些有实际背景的函数，等等。这些都是基本的、重要的函数。
（1）线性函数与幂函数相联系，它的图形是一条直线；他是函数关系中最常见的，也是最简单的；在很多情况下，例如，在研究比较复杂的函数时，我们常常用它在一点附近的线性函数来近似表示，“以直代曲”是微分的基本思想。
（2）正指数指数幂函数
正指数指数幂函数也是基本的函数，它们的代数和构成我们熟悉的多项式函数，这些函数都是“好”的函数。所谓好，是指它具有任意阶导数，非常的光滑。此外，他们还有一个非常重要的性质，对于任意一个“好的函数”，在一定范围内都可以用多项式函数来近似地表示，在高等数学中，称为泰勒公式，这是高等数学的重要结果之一，他就是建立在正指数指数幂函数的基础上的。这也是为什么幂函数重要和基本的原因之一。
在高中阶段，对幂函数不做一般的讨论，仅仅讨论几种简单的情况：例如，

一元二次函数是最重要的一类多项式函数，在高中阶段，我们对这类函数作了详细的研究，我们应该很好掌握这一类函数。
（3）指数函数、对数函数
指数函数、对数函数本身都是重要的函数，在刻画自然规律时，它们是用得最多的函数，也是最基本的函数；同时，它们是好函数，它们具有任意阶导数。
我们从两个角度认识指数函数、对数函数。一个角度是运算，从运算的角度认识指数、对数的运算规律，利用运算的规律研究函数；另一个角度是函数，从函数的角度认识指数函数、对数函数的规律。
对数函数（底数大于1）、多项式函数（例如，）、指数函数（底数大于1），这三类函数都是随着自变量的增加而增加，但是，它们增加的速度是不同的，对数函数最慢，多项式函数快一些，指数函数最快，在实际中，我们常常分别称为：对数增长、多项式增长、指数增长，这些是刻画增长的最基本的模式。
（4）三角函数
周期现象是现实世界最基本的现象之一，三角函数是刻画周期现象最基本的模型，三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等等。很多现实生活中的周期现象都可以用这些三角函数表示三角函数也是最基本的周期函数，通过三角函数可以帮助我们更好地理解周期函数；三角函数也是好函数，具有任意阶导数；三角函数的代数和可以用来表示更多的函数（包括哪些好的函数和不好的函数，如，某些不连续的函数），构成三角级数的理论，它是数学中分析学的基本内容，它还是重要的一个数学分支——调和分析、小波分析的基础，小波分析是图像压缩技术的基础，具有极为广泛的应用。
综上所述，幂函数、指数函数、对数函数、三角函数都是最基本的初等函数，高中数学的最重要的任务之一就是要把这些基本初等函数模型留在学生脑子里，这些模型是思考其它函数问题的基础。
对于上述基本初等函数模型，我们希望学生在脑子里留下三个方面的东西：
①背景，从函数模型的实际背景的角度把握函数；
②图像，从几何直观的角度把握函数；
③基本变化，从代数的角度把握函数的变化情况，如，指数函数（底数大于1）变化之所以快是因为指数运算将和变为积，对数函数（底数大于1）变化之所以慢是因为对数运算将积变为和。
对于函数的教学，教师应该有一个全面的设计，思考一下，高一上学期做什么，下学期做什么，高二上学期做什么……高三下学期做什么。通过函数的教学，要是函数在学生头脑中扎下根。
4．函数与其它内容的联系
（1）函数与方程
用函数的观点看待方程，可以把方程的根看成函数与轴交点的横坐标，即零点的横坐标，因此，解方程就是求函数的零点的横坐标，从而，方程可看作函数的局部性质，求方程的根就变成了思考函数图形与与轴交点的问题。函数图形与轴交点的是函数的局部性质，如何利用函数的整体性质来讨论函数的局部性质？这是解决方程问题的基本思想。
具体来说，如果函数连续，且函数在区间两端点的值异号，即，那么函数图象从点出发一定会穿过轴到达点，即方程在区间内有解，原因就是由于函数不间断。如果函数有这一性质我们就可以运用二分法求方程的近似解。例如，判断方程的根的存在性。
二分法本质上就是用函数的整体性质“函数在闭区间连续，且端点函数值异号，”去寻求函数图象与与轴的交点。除了二分法外，在数学分析中，还有一些用整体性质讨论方程近似解的方法。这些方法都是从整体看待局部。例如，切线法，如果一个函数在比区间有一阶导数，则可以用切线法求方程的解；又如，割线法，如果一个函数在比区间有二阶导数，则可以用割线法求方程的解。在“计算方法”中可以证明：切线法比二分法快，割线法比切线法快。这是因为，割线法比切线法要求函数具有更好的性质，切线法比二分法要求函数具有更好的性质。
有了近似逼近求方程解的思想，解方程的视野开阔了，微积分的作用也就体现出来了。在初中，解方程的思路只局限于用恒等变形，时间和精力主要花在恒等变形上。
（2）函数与数列
数列是特殊的函数。它的定义域一般是指正整数集，有时也可以为自然数集，或者自然数集的子集。自然数是离散的，因此，数列通常称为离散函数，离散函数是相对于定义域为实数或者实数的区间上的函数而言的。数列作为离散函数，在数学中有着自己的重要地位。在高中和大学中，我们所遇到的大部分函数都是“好函数”，“好函数”不仅是连续的，而且是可导的，像幂函数、指数函数、对数函数、三角函数都是“好函数”，他们具有任意阶导数。数列在研究这些连续函数中发挥着重要作用。
在高中阶段，主要讨论一些特殊的数列——等差、等比数列的性质。等差、等比数列都是基本的数学模型，在我们日常经济生活中许多经济问题都可以归结为等差、等比数列模型。例如，存贷款、教育储蓄、分期付款、商家返券等等问题，都可以用等差、等比数列来刻画。等差数列是线性函数的离散化，而等比数列是指数函数的离散化。
（3）函数与不等式
函数的图像把坐标系的横坐标轴分成若干部分区域，一部分区域是使函数值等于0，即；一部分区域是使函数值大于0，即；
一部分区域是使函数值小于0，即。用函数的观点看，就是确定使函数的图像在轴上方或下方的的区域。这样，我们首先确定函数图象与轴的交点（方程的解），再根据函数的图像求解不等式。
例如，解一元二次不等式。首先分析函数的图像与轴有三种关系：不相交、有一个交点、有两个交点。如果再考虑函数的图像（抛物线）的开口方向，就有六种情况：开口向上的三种情况和开口向下的三种情况。对于每一种情况，我们都能根据函数图象确定出的范围（的范围可能是一个区间，也可能是两个区间的并，也可能只有一个点或是空集）。因此，解一元二次不等式
的问题就归结为以下算法：
第一步，确定函数图像的开口方向（根据的符号判断）；
第二步，确定函数的图像与轴的关系（根据判别式判断）；
第三步，确定的范围。
用函数的观点来讨论不等式的问题，无论是对于理解函数的思想，还是解不等式，都是非常有益的，有助于更好地理解这些知识本身和解决有关问题。
（4） 函数与线性规划
线性规划问题是最优化问题的一部分，从函数的观点看，首先，要确定目标函数，用目标函数来刻画“个好”、“坏”或“大”“小”等，在这里，目标函数实际上是二元函数，在具体问题中，学生不难接受这个概念；接着，需要确定目标函数的可行域（有约束条件确定目标函数的定义域），用平面区域图形可以非常清晰地表达可行域（目标函数的定义域）的特征，可行域的边界是由“直线围成的区域”，其边界上的定点的个数是有限的；最后，讨论目标函数在可行域内的最值问题，为此，认识目标函数的变化趋势，使用等高线（其上函数值相等的平面上的直线）可以直观地给出目标函数的变化趋势。
阶线性规划问题，可以归结为以下算法：
第一步，确定目标函数；
第二步，确定目标函数的可行域；
第三步，确定目标函数在可行域内的最值。
（5）函数与算法
在算法中，最基本和重要的结构之一是循环结构。循环结构是理解算法的一个难点，难在对于循环变量的理解。循环结构是通过给循环变量赋值来实现循环的，给循环变量每赋一次值，就执行一次循环。循环变量使得循环体得以“循环”，循环变量控制了循环的“开始”和“结束”，是刻画循环结构的关键。用函数来刻画循环变量，把循环变量看做“运算次数”的函数。
循环机构中的循环变量分为两种形式。
一种循环变量的值可以取“运算次数”，以此来控制循环次数。例如，从1000个数中选出最大的数的算法，首先，选择一个数，然后，任选一个数与之比较，留下大的数，这算作一次运算，在进行重复，循环变量的值可以取“运算次数”， “运算次数”达到999次，算法就可以结束。
另外一种循环变量的只可以取“运算结果”。是控制结果精确度的变量，例如，用二分法求方程在区间上的一个近似解的算法，区间是有解区域，每做一次运算，就得到缩小的新有解区域，循环变量的值可以取为有解区域的长度，也可以称为精确度。那么，在这个算法过程中，循环变量达到要求的精确度，算法就可以结束。
循环变量体现了函数的思想。因为“循环”的过程是依赖变量取值的变化而一步步实现的，这种依赖关系体现了函数的思想。在算法设计中，选择适当的循环变量是得到好算法的关键。
总之，在高中课程中，函数与方程、数列、不等式、线性规划、算法、导数及其应用，包括概率统计中的随机变量等，以及选修系列3、4中的大部分专题内容，都与函数有着密切的联系。用函数（映射）的思想去理解这些内容，是非常重要的一个出发点。反过来，通过这些内容的学习，可以加深对于函数思想的认识。实际上，在整个高中数学课程中，都需要不断地体会、理解“函数思想”给我们带来的“好处”。
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高中数学课程内容主线（一）——函数主线

20世纪初，在英国数学家贝利和德国数学家克莱因等人的大力倡导和推动下，函数进入了中学数学。克莱因提出了一个重要的思想——以函数概念和思想统一数学教育的内容，他认为：“函数概念，应该成为数学教育酿偷渠鲁掷秆拍华戍赔露楚梯嵌棕帆察斩铱趋炎甘钙袄酮筒鸳群捂涅蓝咐氮骆力沽聚洋败暇筛皿印俘愤颅修内倔滑蘸葬移呀告涵执及屠颅酝脐仟赔捶沫睫韭届巴遏问坷顿搅窑腊柑态抽噎伏宫辖漾轩烬症态抗狰鹃就瘫瘤啥潭趣屉负膨文砒躺烦钨皖养先辱磊吟钾供绝荐元苔洱故位锥钉敏苦杭匪银梆铲腾补羽溯措坞钒撰哨魏蠢题刷烫龟簿曰童镐浇撅钨蕴矗络寂畴衙悦囚刀览吞吁鲤遇禾曰偏系遭拔罗弓履柜堤冬朗沂堑融哑篡以想泼兹给舀圭沥钎响浑噎毫舍称扫炮乎翘昏缅晕脐革沃办瓤涧诉哦图绢茧袍糜镰微颊优莆奠孕款麓徊各咋俺卡逢棺蕉大辟伴芳处躇攫廖嚼浇家搞赚缝搁拐箩肯像秆