高中数学立体几何经典大题训练.doc

高中数学立体几何大题训练
1.如图所示，在长方体中，AB=AD=1，AA1=2，M是棱CC1的中点
（Ⅰ）求异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值；
（Ⅱ）证明：平面ABM⊥平面A1B1M1

2.如图， 在矩形中，点分别在线段上，.沿直线将 翻折成，使平面.（Ⅰ）求二面角的余弦值；
（Ⅱ）点分别在线段上，若沿直线将四边形向上翻折，使与重合，求线段的长。

3.如图，直三棱柱中，，，为的中点，为上的一点，．
（Ⅰ）证明：为异面直线与的公垂线；
（Ⅱ）设异面直线与的夹角为45°，求二面角的大小．

4.如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形PA⊥平面ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E，F分别是PB,PC的中点.
(Ⅰ)证明：EF∥平面PAD；
(Ⅱ)求三棱锥E—ABC的体积V.

5.如图，棱柱的侧面是菱形，
（Ⅰ）证明：平面平面；
（Ⅱ）设是上的点，且平面，求的值.

6.已知三棱锥P－ABC中，PA⊥ABC，AB⊥AC，PA=AC=½AB， N为AB上一点，AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.
（Ⅰ）证明：CM⊥SN；
（Ⅱ）求SN与平面CMN所成角的大小.

7.如图△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD平面BCD，AB平面BCD，。
（1） 求点A到平面MBC的距离；
（2） 求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值。

8.如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB=2EF=2，EF∥AB,EF⊥FB,∠BFC=90°，BF=FC,H为BC的中点，
(Ⅰ)求证：FH∥平面EDB;
（Ⅱ）求证：AC⊥平面EDB;
（Ⅲ）求四面体B—DEF的体积；

9.如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC,EF∥AC,AB=，CE=EF=1.
（Ⅰ）求证：AF∥平面BDE；
（Ⅱ）求证：CF⊥平面BDE；
（Ⅲ）求二面角A-BE-D的大小。

10.已知正方体ABCD－A'B'C'D'的棱长为1，点M是棱AA'的中点，点O是对角线BD'的中点.
（Ⅰ）求证：OM为异面直线AA'和BD'的公垂线；
（Ⅱ）求二面角M－BC'－B'的大小；
（Ⅲ）求三棱锥M－OBC的体积. w_w w. k#s5_u.c o*m

参考答案
1.

2.（Ⅰ）解：取线段EF的中点H，连结，因为=及H是EF的中点，所以,
又因为平面平面.如图建立空间直角坐标系A-xyz
则（2，2，），C（10，8，0），
F（4，0，0），D（10，0，0）.
故=（-2，2，2），=（6，0，0）.
设=（x,y,z）为平面的一个法向量，
-2x+2y+2z=0
所以
6x=0.

取，则。
又平面的一个法向量，
故。
所以二面角的余弦值为
（Ⅱ）解：设则，
因为翻折后，与重合，所以，
故， ，得，
经检验，此时点在线段上，所以。
方法二：
（Ⅰ）解：取线段的中点,的中点,连结。
因为=及是的中点，所以
又因为平面平面，所以平面,
又平面,故，
又因为、是、的中点，
易知∥，所以，于是面，
所以为二面角的平面角，
在中，=，=2，=
所以.
故二面角的余弦值为。
（Ⅱ）解：设,
因为翻折后，与重合，所以，
而，

得，经检验，此时点在线段上，
所以。
3.（I）连接A1B，记A1B与AB1的交点为F.
因为面AA1BB1为正方形，故A1B⊥AB1，且AF=FB1，又AE=3EB1，所以FE=EB1，又D为BB1的中点，故DE∥BF，DE⊥AB1. ………………3分
作CG⊥AB，G为垂足，由AC=BC知，G为AB中点.
又由底面ABC⊥面AA1B1B.连接DG，则DG∥AB1，故DE⊥DG，由三垂线定理，得DE⊥CD.
所以DE为异面直线AB1与CD的公垂线.
（II）因为DG∥AB1，故∠CDG为异面直线AB1与CD的夹角，∠CDG=45°
设AB=2，则AB1=，DG=，CG=，AC=.
作B1H⊥A1C1，H为垂足，因为底面A1B1C1⊥面AA1CC1，故B1H⊥面AA1C1C.又作HK⊥AC1，K为垂足，连接B1K，由三垂线定理，得B1K⊥AC1，因此∠B1KH为二面角A1-AC1-B1的平面角，由此可求出二面角大小
4.解 (Ⅰ)在△PBC中，E，F分别是PB，PC的中点，∴EF∥BC.
又BC∥AD,∴EF∥AD,
又∵AD平面PAD,EF平面PAD,
∴EF∥平面PAD.

(Ⅱ)连接AE,AC,EC,过E作EG∥PA交AB于点G,
则BG⊥平面ABCD,且EG=PA.
在△PAB中，AD=AB,PAB°,BP=2,∴AP=AB=,EG=.
∴S△ABC=AB·BC=××2=,
∴VE-ABC=S△ABC·EG=××=.
5. 解：（Ⅰ）因为侧面BCC1B1是菱形，所以
又已知
所又平面A1BC1，又平面AB1C ，
所以平面平面A1BC1 .
（Ⅱ）设BC1交B1C于点E，连结DE，
则DE是平面A1BC1与平面B1CD的交线，
因为A1B//平面B1CD，所以A1B//DE.
又E是BC1的中点，所以D为A1C1的中点.
即A1D：DC1=1.
6.证明：
设PA=1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系如图。

则P（0,0,1），C（0,1,0），B（2,0,0），M（1,0,），N（,0,0），S（1,,0）.
（Ⅰ）,
因为，
所以CM⊥SN
（Ⅱ）,
设a=（x，y，z）为平面CMN的一个法向量，
则
因为
所以SN与片面CMN所成角为45°。
7.解法一：（1）取CD中点O，连OB，OM，则OB⊥CD，
OM⊥CD.又平面平面,则MO⊥平面，所以MO∥AB，A、B、O、M共面.延长AM、BO相交于E，则∠AEB就是AM与平面BCD所成的角.OB=MO=，MO∥AB，MO//面ABC，M、O到平面ABC的距离相等，作OHBC于H，连MH，则MHBC，求得：
OH=OCsin600=,MH=,利用体积相等得：。
（2）CE是平面与平面的交线.
由（1）知，O是BE的中点，则BCED是菱形.
作BF⊥EC于F，连AF，则AF⊥EC，∠AFB就是二面角A-EC-B的平面角，设为.
因为∠BCE=120°，所以∠BCF=60°.
，
，
所以，所求二面角的正弦值是.
解法二：取CD中点O，连OB，OM，则OB⊥CD，OM⊥CD，又平面平面,则MO⊥平面.
以O为原点，直线OC、BO、OM为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图.
OB=OM=，则各点坐标分别为O（0，0，0），C（1，0，0），M（0，0，），B（0，-，0），A（0，-，2），
（1）设是平面MBC的法向量，则，
，由得；由得；取，则距离

（2），.
设平面ACM的法向量为，由得.解得，，取.又平面BCD的法向量为，则
设所求二面角为，则.
8.（1）设底面对角线交点为G，则可以通过证明EG∥FH，得∥平面；（2）利用线线、线面的平行与垂直关系，证明FH⊥平面ABCD，得FH⊥BC，FH⊥AC，进而得EG⊥AC，平面；（3）证明BF⊥平面CDEF，得BF为四面体B-DEF的高，进而求体积.
9.

证明：（I） 设AC与BD交与点G。
因为EF//AG，且EF=1，AG=AC=1.
所以四边形AGEF为平行四边形.
所以AF//平面EG，
因为平面BDE，AF平面BDE，
所以AF//平面BDE.
（II）因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面
相互垂直，且CEAC，
所以CE平面ABCD.
如图，以C为原点，建立空间直角坐标系C-.
则C（0，0，0），A（，，0），B（0，，0）.
所以，，.
所以,
所以,.
所以BDE.
(III) 由（II）知，是平面BDE的一个法向量.
设平面ABE的法向量,则，.
即
所以且
令则.
所以.
从而。
因为二面角为锐角，
所以二面角的大小为.
10.解法一：（1）连结AC，取AC中点K，则K为BD的中点，连结OK
因为M是棱AA’的中点，点O是BD’的中点
所以AM
所以MOw_w w. k#s5_u.c o*m

由AA’⊥AK，得MO⊥AA’
因为AK⊥BD,AK⊥BB’，所以AK⊥平面BDD’B’
所以AK⊥BD’
所以MO⊥BD’
又因为OM是异面直线AA’和BD’都相交w_w w. k#s5_u.c o*m

故OM为异面直线AA'和BD'的公垂线
（2）取BB’中点N，连结MN，则MN⊥平面BCC’B’
过点N作NH⊥BC’于H，连结MH
则由三垂线定理得BC’⊥MH
从而,∠MHN为二面角M-BC’-B’的平面角
MN=1,NH=Bnsin45°=
在Rt△MNH中，tan∠MHN=w_w w. k#s5_u.c o*m

故二面角M-BC’-B’的大小为arctan2
(3)易知，S△OBC=S△OA’D’，且△OBC和△OA’D’都在平面BCD’A’内
点O到平面MA’D’距离h＝
VM-OBC=VM-OA’D’=VO-MA’D’=S△MA’D’h=
解法二：
以点D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系D-xyz
则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),A’(1,0,1),C’(0,1,1),D’(0,0,1)
(1)因为点M是棱AA’的中点,点O是BD’的中点
所以M(1,0, ),O(,,)
,=(0,0,1),=(-1,-1,1)
=0, +0=0w_w w. k#s5_u.c o*m

所以OM⊥AA’,OM⊥BD’
又因为OM与异面直线AA’和BD’都相交
故OM为异面直线AA'和BD'的公垂线.
(2)设平面BMC'的一个法向量为=(x,y,z)
=(0,-1,), ＝(－1,0,1)
即
取z＝2,则x＝2,y＝1，从而=(2,1,2) w_w w. k#s5_u.c o*m

取平面BC'B'的一个法向量为＝(0,1,0)
cos
由图可知，二面角M-BC'-B'的平面角为锐角
故二面角M-BC'-B'的大小为arccos
(3)易知，S△OBC＝S△BCD'A'＝
设平面OBC的一个法向量为＝(x1,y1,z1) w_w w. k#s5_u.c o*m

＝(－1,－1,1), ＝(－1,0,0)
即
取z1＝1,得y1＝1，从而＝(0,1,1)
点M到平面OBC的距离d＝w_w w. k#s5_u.c o*m

VM－OBC＝