小学小升初奥数类型题总复习.doc

小学奥数知识点及典型题
第一部分 经典小升初奥数类型题集锦
1计算
1）特殊数列求和
运用相关公式：
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦1+2+3+4…（n-1）+n+（n-1）+…4+3+2+1=n
数论
奇偶性问题
奇奇=偶 奇×奇=奇
奇偶=奇 奇×偶=偶
偶偶=偶 偶×偶=偶
位值原则
形如：=100a+10b+c
2）数的整除特征：
数的整除具有如下性质：
性质1 如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数一定能被丙数整除。
性质2 如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差也一定能被这个自然数整除。
性质3 如果一个数能分别被两个互质的自然数整除，那么这个数一定能被这两个互质的自然数的乘积整除。
我们把学过的一些整除的数字特征列出来：
整除数
特 征
2
末尾是0、2、4、6、8
3
各数位上数字的和是3的倍数
5
末尾是0或5
9
各数位上数字的和是9的倍数
11
奇数位上数字的和与偶数位上数字的和，两者之差是11的倍数
4和25
末两位数是4（或25）的倍数
8和125
末三位数是8（或125）的倍数
7、11、13
末三位数与前几位数的差是7（或11或13）的倍数
例1 在下面的数中，哪些能被4整除？哪些能被8整除？哪些能被9整除？
　　234，789，7756，8865，3728，8064。
解：能被4整除的数有7756，3728，8064；
能被8整除的数有3728，8064；
能被9整除的数有234，8865，8064。
例2， 从0，2，5，7四个数字中任选三个，组成能同时被2，5，3整除的数，并将这些数从小到大进行排列。,
解：因为组成的三位数能同时被2，5整除，所以个位数字为0。根据三位数能被3整除的特征，数字和2＋7＋0与5＋7＋0都能被3整除，因此所求的这些数为270，570，720，750。
例3、五位数能被72整除，问：A与B各代表什么数字？
分析与解：已知能被72整除。因为72＝8×9，8和9是互质数，所以既能被8整除，又能被9整除。根据能被8整除的数的特征，要求能被8整除，由此可确定B＝6。再根据能被9整除的数的特征，的各位数字之和为
　　A＋3＋2＋9＋B＝A＋3－f－2＋9＋6＝A＋20，
因为l≤A≤9，所以21≤A＋20≤29。在这个范围内只有27能被9整除，所以A＝7。
练习：
1、六位数5A634B能被33整除，求A+B。

2、七位数3A8629B是88的倍数，求A和B。
2 植树问题
①在直线上或者不封闭的曲线上植树，两端都植树。
基本公式：棵树=段数＋1；棵距（段长）×段数=总长
②在直线上或者不封闭的曲线上植树，两端都不植树。
基本公式：棵树=段数－1；棵距（段长）×段数=总长
③在封闭曲线上植树： 基本公式：棵树=段数；棵距（段长）×段数=总长 关键问题：确定所属类型，从而确定棵数与段数的关系。
基本类型
在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都植树
在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都不植树
在直线或者不封闭的曲线上植树，只有一端植树
封闭曲线上植树
基本公式
棵数=段数＋1
棵距×段数=总长
棵数=段数－1
棵距×段数=总长
棵数=段数
棵距×段数=总长
关键问题
确定所属类型，从而确定棵数与段数的关系

【例题1】一条河堤 136 米，每隔 2 米栽一棵垂柳，头尾都栽，共栽多少棵 垂柳？
解：136÷2＋1＝68＋1＝69（棵）
答：一共要栽 69 棵垂柳。
例2、马路的一边每相隔9米栽有一棵柳树.张军乘汽车5分钟共看到501棵树.问汽车每小时走多少千米？
分析 张军5分钟看到501棵树意味着在马路的两端都植树了；只要求出这段路的长度就容易求出汽车速度.
解：5分钟汽车共走了：9×（501-1）=4500（米），
汽车每分钟走：4500÷5=900（米），
汽车每小时走： 900×60=54000（米）=54（千米）
列综合式：9×（501-1）÷5×60÷1000=54（千米）
1、一个圆形花坛，周长是180米.每隔6米种一棵芍药花，每相邻的两棵芍药花之间均匀地栽两棵月季花.问可栽多少棵芍药？多少棵月季？两棵月季之间的株距是多少米？

2. 一个圆形池塘周长为 400 米，在岸边每隔 4 米栽一棵白杨树，一共能
栽多少棵白杨树？

3,和差倍问题

和差问题
和倍问题
差倍问题
已知条件
几个数的和与差
几个数的和与倍数
几个数的差与倍数
公式适用范围
已知两个数的和，差，倍数关系
公式
①(和－差)÷2=较小数
较小数＋差=较大数
和－较小数=较大数
②(和＋差)÷2=较大数
较大数－差=较小数
和－较大数=较小数
和÷(倍数＋1)=小数
小数×倍数=大数
和－小数=大数
差÷(倍数-1)=小数
小数×倍数=大数
小数＋差=大数
关键问题
求出同一条件下的
和与差
和与倍数
差与倍数
例题1，和倍问题
【含义】已知两个数的和及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之
几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做和倍问题。
【数量关系】总和 ÷（几倍＋1）＝较小的数
总和 － 较小的数 ＝ 较大的数
较小的数 ×几倍 ＝ 较大的数
【解题思路】简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。
【例题】果园里有杏树和桃树共 248 棵，桃树的棵数是杏树的 3 倍，求杏
树、桃树各多少棵？
解：（1）杏树有多少棵？ 248÷（3＋1）＝62（棵）
（2）桃树有多少棵？ 62×3＝186（棵）
答：杏树有 62 棵，桃树有 186 棵。

1. 东西两个仓库共存粮 480 吨，东库存粮数是西库存粮数的 1.4 倍，求 两库各存粮多少吨？
例题2，和差问题

【含义】已知两个数量的和与差，求两个数量各是多少，这类应用题叫和 差问题。
【数量关系】大数＝（和＋差）÷ 2
小数＝（和－差）÷ 2
【解题思路】简单的题目可以直接套用公式；复杂的题目变通后再用公式。

【例题】甲乙两班共学生 98 人，甲班比乙班多 6 人，求两班各有多少人？ 解：甲班人数＝（98＋6）÷2＝52（人）
乙班人数＝（98－6）÷2＝46（人）
答：甲班有 52 人，乙班有 46 人。
1. 长方形的长和宽之和为 18 厘米，长比宽多 2 厘米，求长方形的面积?

16. 有甲乙丙三袋化肥，甲乙两袋共重 32 千克，乙丙两袋共重 30 千克，
甲丙两袋共重 22 千克，求三袋化肥各重多少千克。
例题3，差倍问题
【含义】已知两个数的差及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之
几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做差倍问题。
【数量关系】两个数的差÷（几倍－1）＝较小的数
较小的数×几倍＝较大的数
【解题思路】简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。
【例题】果园里桃树的棵数是杏树的 3 倍，而且桃树比杏树多 124 棵。求
杏树、桃树各多少棵？
解：（1）杏树有多少棵？ 124÷（3－1）＝62（棵）
（2）桃树有多少棵？ 62×3＝186（棵）
答：果园里杏树是 62 棵，桃树是 186 棵。
21. 爸爸比儿子大 27 岁，今年，爸爸的年龄是儿子年龄的 4 倍，求父子
二人今年各是多少岁？

4．年龄问题的三个基本特征：
①两个人的年龄差是不变的；
②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的；
③两个人的年龄的倍数是发生变化的；
【例题】爸爸今年 35 岁，亮亮今年 5 岁，今年爸爸的年龄是亮亮的几倍？
明年呢？
解 35÷5＝7（倍） （35+1）÷（5+1）＝6（倍）
答：今年爸爸的年龄是亮亮的 7 倍，明年爸爸的年龄是亮亮的 6 倍。
28. 母亲今年 37 岁，女儿 7 岁，几年后母亲年龄是女儿的 4 倍？

29. 3 年前父子的年龄和是 49 岁，今年父亲的年龄是儿子年龄的 4 倍，父 子今年各多少岁？

5，平面图形
⑴多边形的内角和
N边形的内角和=(N-2)×180°
⑵等积变形（位移、割补）
① 三角形内等底等高的三角形
② 平行线内等底等高的三角形
③ 公共部分的传递性
④ 极值原理（变与不变）
⑶三角形面积与底的正比关系

S1︰S2 =a︰b ； S1︰S2=S4︰S3 或者S1×S3=S2×S4
⑷相似三角形性质（份数、比例）

① ; S1︰S2=a2︰A2

②S1︰S3︰S2︰S4= a2︰b2︰ab︰ab ; S=（a+b）2
⑸燕尾定理

S△ABG：S△AGC＝S△BGE：S△GEC＝BE：EC；
S△BGA：S△BGC＝S△AGF：S△GFC＝AF：FC；
S△AGC：S△BCG＝S△ADG：S△DGB＝AD：DB；
6，立体图形
⑴规则立体图形的表面积和体积公式
⑵不规则立体图形的表面积
整体观照法
⑶体积的等积变形
①水中浸放物体：V升水=V物
②测啤酒瓶容积：V=V空气+V水
⑷三视图与展开图
最短线路与展开图形状问题
⑸染色问题
几面染色的块数与“芯”、棱长、顶点、面数的关系。
名称
图形
特征
表面积
体积
长方体

8个顶点；6个面；相对的面相等；12条棱；相对的棱相等；
S=2(ab+ah+bh)
V=abh
=Sh
正方体

8个顶点；6个面；所有面相等；12条棱；所有棱相等；
S=6a2
V=a3
圆柱体

上下两底是平行且相等的圆；侧面展开后是长方形；
S=S侧+2S底
S侧=Ch
V=Sh
圆锥体

下底是圆；只有一个顶点；l:母线，顶点到底圆周上任意一点的距离；
S=S侧+S底
S侧=rl
V=Sh
球体

圆心到圆周上任意一点的距离是球的半径。
S=4r2
V=r3
5．鸡兔同笼问题
基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来；
基本思路：①假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）：
②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少；
③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因；
④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。
基本公式：
①把所有鸡假设成兔子：鸡数＝（兔脚数×总头数－总脚数）÷（兔脚数－鸡脚数）
②把所有兔子假设成鸡：兔数＝（总脚数一鸡脚数×总头数）÷（兔脚数一鸡脚数）
关键问题：找出总量的差与单位量的差。
例1、鸡兔同笼，头共46，足共128，鸡兔各几只？
解：先假设它们全是鸡。于是根据鸡兔的总只数就可以算出在假设下共有几只脚，把这样得到的脚数与题中给出的脚数相比较，看多多少。每多2只脚就说明有一只兔；将所多的脚数除以2，就可以算出共有多少只兔子。
假设全是鸡，则足有：2×46＝92(只)
比总足数少的： 128－92＝36 (只)
这些是因为兔子只算了2足，每只兔子还有2足没算，
所以：兔子有36÷2＝18 (只) 鸡有46－18＝28(只)
例2、鸡与兔共有100只，鸡的脚比兔的脚多80只，问鸡与兔各多少只？
分析 这个例题与前面例题是有区别的，没有给出它们脚数的总和，而是给出了它们脚数的差.这又如何解答呢？
假设100只全是鸡，那么脚的总数是2×100=200（只）这时兔的脚数为0，鸡脚比兔脚多200只，而实际上鸡脚比兔脚多80只.因此，鸡脚与兔脚的差数比已知多了（200-80）=120（只），这是因为把其中的兔换成了鸡.每把一只兔换成鸡，鸡的脚数将增加2只，兔的脚数减少4只.那么，鸡脚与兔脚的差数增加（2+4）=6（只），所以换成鸡的兔子有120÷6=20（只）.有鸡（100-20）=80（只）。
【例题】长毛兔子芦花鸡，鸡兔圈在一笼里。数数头有三十五，脚数共有
九十四。请你仔细算一算，多少兔子多少鸡？
解：假设 35 只全为兔，则鸡数＝（4×35－94）÷（4－2）＝23（只）
兔数＝35－23＝12（只）
也可以先假设 35 只全为鸡，则兔数＝（94－2×35）÷（4－2）＝12（只）
鸡数＝35－12＝23（只）
答：有鸡 23 只，有兔 12 只。

练习. （第二鸡兔同笼问题）鸡兔共有 100 只，鸡的脚比兔的脚多 80 只，
问鸡与兔各多少只？

6．盈亏问题
基本概念：一定量的对象，按照某种标准分组，产生一种结果：按照另一种标准分组，又产生一种结果，由于分组的标准不同，造成结果的差异，由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量．
基本思路：先将两种分配方案进行比较，分析由于标准的差异造成结果的变化，根据这个关系求出参加分配的总份数，然后根据题意求出对象的总量．
基本题型：
①一次有余数，另一次不足；基本公式：总份数＝（余数＋不足数）÷两次每份数的差
②当两次都有余数；基本公式：总份数＝（较大余数一较小余数）÷两次每份数的差
③当两次都不足；基本公式：总份数＝（较大不足数一较小不足数）÷两次每份数的差
基本特点：对象总量和总的组数是不变的。
关键问题：确定对象总量和总的组数。
盈亏问题

【含义】根据一定的人数，分配一定的物品，在两次分配中，一次有余（盈）， 一次不足（亏），或两次都有余，或两次都不足，求人数或物品数，这类 应用题叫做盈亏问题。
【数量关系】一般地说，在两次分配中，
1）如果一次盈，一次亏，则有：
参加分配总人数＝（盈＋亏）÷分配差
2） 如果两次都盈或都亏，
则有： 参加分配总人数＝（大盈－小盈）÷分配差
3）参加分配总人数＝（大亏－小亏）÷分配差
【解题思路】大多数情况可以直接利用数量关系的公式。

【例题】给幼儿园小朋友分苹果，若每人分 3 个就余 11 个；若每人分 4 个就少 1 个。问有多少小朋友？有多少个苹果？ 解：按照“参加分配的总人数＝（盈＋亏）÷分配差”的数量关系：
（1）有小朋友多少人？ （11＋1）÷（4－3）＝12（人）
（2）有多少个苹果？ 3×12＋11＝47（个）
答：有小朋友 12 人，有 47 个苹果。
31. 修一条公路，如果每天修 260 米，修完全长就得延长 8 天；如果每天修 300 米，修完全长仍得延长 4 天。这条路全长多少米？

32. 学校组织春游，如果每辆车坐 40 人，就余下 30 人；如果每辆车坐 45人，就刚好坐完。问有多少车？多少人？

7．牛吃草问题
【含义】牛吃草问题是大科学家牛顿提出的问题，也叫“牛顿问题”。这
类问题的特点在于要考虑草边吃边长这个因素。
【数量关系】草总量＝原有草量＋草每天生长量×天数
【解题思路】解这类题的关键是求出草每天的生长量。
基本思路：假设每头牛吃草的速度为“1”份，根据两次不同的吃法，求出其中的总草量的差；再找出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量。
基本特点：原草量和新草生长速度是不变的；
关键问题：确定两个不变的量。
基本公式：
生长量=（较长时间×长时间牛头数 - 较短时间×短时间牛头数）÷（长时间-短时间）；
总草量= 较长时间×长时间牛头数- 较长时间×生长量；
一、牛吃草问题之基本
例1 牧场上一片青草，每天牧草都匀速生长。这片牧草可供10头牛吃20天，或者可供15头牛吃10天。问：可供25头牛吃几天？
分析与解：牧场上原有的草是不变的，草地每天新长出的草的数量相同。
设1头牛一天吃的草为1份。10头牛20天吃：200份，15头牛10天吃：150份，
200－150＝50（份），20—10＝10（天），说明牧场10天长草50份，1天长草5份。
原有草：（l0—5）× 20＝100（份）或（15—5）×10＝100（份）。
当有25头牛时，每天吃了25份，又新长出来5份，所以每天减少20份
所以，这片草地可供25头牛吃：100÷20＝5（天）。
【例2】一块草地，10 头牛 20 天可以把草吃完，15 头牛 10 天可以把草 吃完。问多少头牛 5 天可以把草吃完？
解：草是均匀生长的，所以，草总量＝原有草量＋草每天生长量×天数。
求“多少头牛 5 天可以把草吃完”，就是说 5 天内的草总量要 5 天吃完 的话，得有多少头牛？设每头牛每天吃草量为 1，按以下步骤解答：
（1）求草每天的生长量
因为，一方面 20 天内的草总量就是 10 头牛 20 天所吃的草，即
（1×10×20）；另一方面，20 天内的草总量又等于原有草量加上 20 天内
的生长量，所以 1×10×20＝原有草量＋20 天内生长量，同理 1×15×10
＝原有草量＋10 天内生长量，由此可知（20－10）天内草的生长量为
1×10×20－1×15×10＝50。因此草每天的生长量为 50÷（20－10）＝5。
（2）求原有草量
原有草量＝10 天内总草量－10 内生长量＝1×15×10－5×10＝100
（3）求 5 天内草总量
5 天内草总量＝原有草量＋5 天内生长量＝100＋5×5＝125
（4）求多少头牛 5 天吃完草
因为每头牛每天吃草量为 1，所以每头牛 5 天吃草量为 5。因此 5 天吃
完草需要牛的头数：125÷5＝25（头）
答：需要 5 头牛 5 天可以把草吃完。
练习. 有一块草场，可供 15 头牛吃 8 天，或可供 8 头牛吃 20 天。如果一群
牛 14 天将这块草场的草吃完，那么这群牛有多少头？

二、牛吃草问题之检票问题
例2 某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。从开始检票到等候检票的队伍消失，同时开4个检票口需30分钟，同时开5个检票口需20分钟。如果同时打开7个检票口，那么需多少分钟？
分析与解：等候检票的旅客人数在变化，“旅客”相当于“草”，“检票口”相当于“牛”，可以用牛吃草问题的解法求解。
旅客总数由两部分组成：一部分是开始检票前已经在排队的原有旅客，另一部分是开始检票后新来的旅客。
设1个检票1分钟检票的人数为1份。
4个检票30分钟通过：（4×30）份，
5个检票20分钟通过：（5×20）份，
说明在（30-20）分钟内新来旅客（4×30-5×20）份，所以每分钟新来旅客
（4×30-5×20）÷（30-20）=2（份）。
可以求出原有旅客为　　（4-2）×30=60（份）或（5-2）×20=60（份）。
同时打开7个检票时，每分钟减少7份，增加2份，就是每分钟减少原有的5份，或者理解为，让2个检票专门通过新来的旅客，其余的检票通过原来的旅客，需要60÷（7-2）=12（分）。
三、牛吃草问题之抽水问题
例3、 一个水池装一个进水管和三个同样的出水管。先打开进水管，等水池存了一些水后，再打开出水管。如果同时打开2个出水管，那么8分钟后水池空；如果同时打开3个出水管，那么5分钟后水池空。那么出水管比进水管晚开多少分钟？
分析与解：先进的水相当于原有的草，后放的水相当于后长的草，出水管排水相当于牛吃草。
设出水管每分钟排出水池的水为1份，则2个出水管8分钟所排的水是2×8＝16（份），3个出水管5分钟所排的水是3×5＝15（份），两者相差1份，相差3分，所以每分钟的进水量是,可以求出先放过水的水量为　16－×8＝13　因为每分进，的以用的时间是13÷＝40分
答：出水管比进水管晚开40分钟。
四、牛吃草问题之天牛吃草
例4 由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定的速度在减少。已知某块草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天。照此计算，可供多少头牛吃10天？
分析与解：与例1不同的是，不仅没有新长出的草，而且原有的草还在减少。但是，我们同样可以利用例1的方法，求出每天减少的草量和原有的草量。
设1头牛1天吃的草为1份。20头牛5天吃100份，15头牛6天吃90份，
相差：100-90 =10（份），相差1天，所以牧场1天减少青草10份，或者说寒冷相当于10头牛吃草。所以牧场原有草：20×5＋10×5＝150（份）。　　150÷10－10＝5头。
五、牛吃草问题之上楼梯问题
例5 自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼。已知男孩每分钟走20级梯级，女孩每分钟走15级梯级，结果男孩用了5分钟到达楼上，女孩用了6分钟到达楼上。问：该扶梯共有多少级？
分析与解：“扶梯的梯级总数”相当于 “总的草量”，“梯级上升”相当于“牛吃掉”，也可以看成牛吃草问题。
男孩5分钟走了20×5＝ 100（级），
女孩6分钟走了15×6＝90（级），
女孩比男孩多走一分钟，电梯也就多转一分钟，多了10（级），说明电梯1分钟上升10级。
由男孩5分钟到达楼上，他走了20×5＝100级
扶梯5分钟本身上升10×5＝50级，
所以：100＋50＝150（级）。
练习：
1、有三块草地，面积分别为5，6和8公顷。草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草地可供11头牛吃10天，第二块草地可供12头牛吃14天。问：第三块草地可供19头牛吃多少天？

2、经测算，地球上的资源可供100亿人生活100年，或可供80亿人生活300年。假设地球新生成的资源增长速度是一定的，为使人类有不断发展的潜力，地球最多能养活多少亿人？

8，逻辑推理
逻辑推理的方法主要不是依靠数学概念、法则、公式进行运算，而是 根据条件和结论之间的逻辑关系进行合理的推理，做到正确的判断，最终 找到问题的答案。逻辑推理问题的条件一般说来都具有一定的隐蔽性和迷 惑性，并且没有一定的解题模式。因此，要正确解决这类问题，不仅需要 始终保持灵活的头脑，更需要遵循逻辑思维的基本规律 同一律，矛盾律 和排中律。
①“矛盾律”指的是在同一思维过程中，对同一对象的思想不能自相矛盾。
②“排中律”指的是在同一思维过程中，一个思想或为真或为假，不能既
不真也不假。
③“同一律”指的是在同一思维过程中，对同一对象的思想必须是确定的，
在进行判断和推理的过程中，每一概念都必须在同一意义下使用。
例1、李明、王宁、张虎三个男同学都各有一个妹妹，六个人在一起打羽毛球，举行混合双打比赛.事先规定.兄妹二人不许搭伴。
　　第一盘，李明和小华对张虎和小红；
　　第二盘，张虎和小林对李明和王宁的妹妹。
请你判断，小华、小红和小林各是谁的妹妹。
解：因为张虎和小红、小林都搭伴比赛，根据已知条件，兄妹二人不许搭伴，所以张虎的妹妹不是小红和小林，那么只能是小华，剩下就只有两种可能了。
　　第一种可能是：李明的妹妹是小红，王宁的妹妹是小林；
　　第二种可能是：李明的妹妹是小林，王宁的妹妹是小红。
对于第一种可能，第二盘比赛是张虎和小林对李明和王宁的妹妹.王宁的妹妹是小林，这样就是张虎、李明和小林三人打混合双打，不符合实际，所以第一种可能是不成立的，只有第二种可能是合理的。
所以判断结果是：张虎的妹妹是小华；李明的妹妹是小林；王宁的妹妹是小红。
练习：
1、甲、乙、丙、丁四位同学的运动衫上印有不同的号码。
赵说：“甲是2号，乙是3号.”
钱说：“丙是4号，乙是2号.”
孙说：“丁是2号，丙是3号.”
李说：“丁是4号，甲是1号.”
又知道赵、钱、孙、李每人都只说对了一半，那么丙的号码是几？

9. 浓度问题

【含义】在生产和生活中，我们经常会遇到溶液浓度问题。这类问题研究 的主要是溶剂（水或其它液体）、溶质、溶液、浓度这几个量的关系。例 如，水是一种溶剂，被溶解的东西叫溶质，溶解后的混合物叫溶液。溶质 的量在溶液的量中所占的百分数叫浓度，也叫百分比浓度。
【数量关系】溶液＝溶剂＋溶质 浓度＝溶质÷溶液×100%
【解题思路】简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。

【例题】爷爷有 16%的糖水 50 克，（1）要把它稀释成 10%的糖水，需加 水多少克？（2）若要把它变成 30%的糖水，需加糖多少克？ 解：（1）需要加水多少克？ 50×16%÷10%－50＝30（克）
（2）需要加糖多少克？ 50×（1－16%）÷（1－30%）－50＝10（克）
答：（1）需要加水 30 克，（2）需要加糖 10 克。
1. 要把 30%的糖水与 15%的糖水混合，配成 25%的糖水 600 克，需要 30%
和 15%的糖水各多少克？

10.工程问题

【含义】工程问题主要研究工作量、工作效率和工作时间三者之间的关系。 这类问题在已知条件中，常常不给出工作量的具体数量，只提出“一项工 程”、“一块土地”、“一条水渠”、“一件工作”等，在解题时，常常 用单位“1”表示工作总量。
【数量关系】 解答工程问题的关键是把工作总量看作“1”，这样，工 作效率就是工作时间的倒数（它表示单位时间内完成工作总量的几分之 几），进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者的关系列出算式。 工作量＝工作效率×工作时间
工作时间＝工作量÷工作效率
工作时间＝总工作量÷（甲工作效率＋乙工作效率）
【解题思路】变通后可以利用上述数量关系的公式。

　　1、一项工程，甲乙两队合作需12天完成，乙丙两队合作需15天完成，甲丙两队合作需20天完成，如果由甲乙丙三队合作需几天完成？

　　2、师徒二人合作生产一批零件，6天可以完成任务，师傅先做5天后，因事外出，由徒弟接着做3天，共完成任务的7/10，如果每人单独做这批零件各需几天？

　　3、一件工作甲先做6小时，乙接着做12小时可以完成，甲先做8小时，乙接着做6小时也可以完成，如果甲做3小时后由乙接着做，还需要多少小时完成？

　　4、蓄水池有一条进水管和一排水管，要灌满一池水，单开进水管需要5小时，排光一池水，单开排水管需3小时。现在池内有半池水，如果按进水、排水、进水、排水……的顺序轮流各开1小时，问：多上时间后水池的水刚好排完？（精确到分钟）

　　5、甲乙二人植树，单独植完这批树甲比乙所需要的时间多1/3，如果二人一起干，完成任务时乙比甲多植树36棵，这批树一共多少棵？

　　6、一项工程，甲单独做需要12小时完成，乙单独做需要18小时完成，若甲先做1小时，然后乙接着做1小时，再由甲接着做1小时，…，两人如此交替工作，问完成任务时，共用了多少小时？

7，一项工程，甲队单独做需要 10 天完成，乙队单独做需要 15 天完 成，现在两队合作，需要几天完成？ 解：题中的“一项工程”是工作总量，由于没有给出这项工程的具体数量， 因此，把此项工程看作单位“1”。由于甲队独做需 10 天完成，那么每天 完成这项工程的 1/10；乙队单独做需 15 天完成，每天完成这项工程的
1/15；两队合做，每天可以完成这项工程的（1/10＋1/15）。 由此可以列出算式： 1÷（1/10＋1/15）＝1÷1/6＝6（天） 答：两队合做需要 6 天完成。
练习1，. 一批零件，甲独做 6 小时完成，乙独做 8 小时完成。现在两人合做，
完成任务时甲比乙多做 24 个，求这批零件共有多少个？

2. 一件工作，甲独做 12 小时完成，乙独做 10 小时完成，丙独做 15 小 时完成。现在甲先做 2 小时，余下的由乙丙二人合做，还需几小时才 能完成？

11（综合行程问题）
基本概念：行程问题是研究物体运动的，它研究的是物体速度、时间、路程三者之间的关系.
　　基本公式：路程=速度×时间；路程÷时间=速度；路程÷速度=时间
　　关键问题：确定运动过程中的位置和方向。
　　相遇问题：速度和×相遇时间=相遇路程（请写出其他公式）
　　追及问题：追及时间＝路程差÷速度差（写出其他公式）
　　流水问题：顺水行程=（船速+水速）×顺水时间
　　逆水行程=（船速-水速）×逆水时间
　　顺水速度=船速+水速
　　逆水速度=船速-水速
　　静水速度=（顺水速度+逆水速度）÷2
水 速=（顺水速度-逆水速度）÷2
　　流水问题：关键是确定物体所运动的速度，参照以上公式。
　　过桥问题：关键是确定物体所运动的路程，参照以上公式。
　　主要方法：画线段图法
　　基本题型：已知路程（相遇路程、追及路程）、时间（相遇时间、追及时间）、速度（速度和、速度差）中任意两个量，求第三个量。
多次相遇
线型路程： 甲乙共行全程数=相遇次数×2-1
环型路程： 甲乙共行全程数=相遇次数
其中甲共行路程=单在单个全程所行路程×共行全程数
环形跑道
行程问题中正反比例关系的应用
路程一定，速度和时间成反比。
速度一定，路程和时间成正比。
时间一定，路程和速度成正比。
钟面上的追及问题。
时针和分针成直线；
时针和分针成直角。
结合分数、工程、和差问题的一些类型。
行程问题时常运用“时光倒流”和“假定看成”的思考方法。
例题1，相遇问题

【含义】两个运动的物体同时由两地出发相向而行，在途中相遇。这类应 用题叫做相遇问题。
【数量关系】相遇时间＝总路程÷（甲速＋乙速）
总路程＝（甲速＋乙速）×相遇时间
【解题思路和方法】简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利 用公式。
【例 1】 甲、乙二人分别从相距 30 千米的两地同时出发相向而行，甲每
小时走 6 千米，乙每小时走 4 千米，问：二人几小时后相遇？
【解】30÷（6＋4）＝3（小时）
答：3 小时后两人相遇.
【例 2】甲、乙两人分别沿周长为 400 米的操场，同时出发同向而行，甲 每分钟走 60 米，乙每分钟走 40 米，问两人多少分钟后再次相遇？
【解】两人相遇的情况是：甲领先乙以后，超过乙 1 圈再度赶上乙。则此
题转化为追击问题了。追击路程为 1 个周长。
400÷（60-40）=20（分钟）
答：20 分钟后两人再度相遇.
巩固练习
1.甲乙两地相距 300 千米，一辆客车和货车同时从两地相向而行，5 小
时后，在途中相遇，客车每小时行 40 千米，货车每小时行多少千米？

2.从北京到沈阳的铁路长 738 千米．两列火车从两地同时相对开出，北 京开出的火车，平均每小时行 59 千米；沈阳开出的火车，平均每小 时行 64 千米．两车开出后几小时相遇？

 例题2 ，追及问题
【含义】两个运动物体在不同地点同时出发（或者在同一地点而不是同时 出发，或者在不同地点又不是同时出发）作同向运动，在后面的，行进速 度要快些，在前面的，行进速度较慢些，在一定时间之内，后面的追上前 面的物体。这类应用题就叫做追及问题。
【数量关系】追及时间＝追及路程÷（快速－慢速） 追及路程＝（快速－慢速）×追及时间
【解题思路和方法】简单的题目直接用公式，复杂的题目变通后利用公式。
【例 1】下午放学时，弟弟以每分钟 40 米的速度步行回家.5 分钟后，哥 哥以每分钟 60 米的速度也从学校步行回家，哥哥出发后，经过几分钟可 以追上弟弟？（假定学校到家足够远，即哥哥追上弟弟时，仍没有回到家）.
【解】若经过 5 分钟，弟弟已到了 A 地，此时弟弟已走了 40×5=200；

40×5÷（60-40）=10（分钟）
答：哥哥 10 分钟可以追上弟弟。

【例 2】甲、乙二人分别从 A、B 两地同时出发，如果两人同向而行，甲
26 分钟赶上乙；如果两人相向而行，6 分钟可相遇，又已知乙每分钟行 50
米，求 A、B 两地的距离。
【解】 先画图如下

若设甲、乙二人相遇地点为 C，甲追及乙的地点为 D，则由题意可知 甲从 A 到 C 用 6 分钟.而从 A 到 D 则用 26 分钟，因此，甲走 C 到 D 之间的 路程时，所用时间应为：（26-6）=20（分）。同时，由上图可知，C、D 间的路程等于 BC 加 BD.即等于乙在 6 分钟内所走的路程与在 26 分钟内所 走的路程之和，为 50×（26＋6）=1600（米）.所以，甲的速度为 1600÷
20＝80（米/分），由此可求 A、B 间的距离。
50×（26+6）÷（26-6）=50×32÷20＝80（米/分）
（80+50）×6＝130×6=780（米）
答：A、B 间的距离为 780 米。

巩固练习
233.好马每天走 120 千米，劣马每天走 75 千米，劣马先走 12 天，好马几
天能追上劣马？

234.一辆客车从甲站开往乙站，每小时行 48 千米；一辆货车同时从乙站 开往甲站，每小时行 40 千米，两车在距两站中点 16 千米处相遇，求 甲乙两站的距离。

,例题3， 火车过桥
【例 1】一条隧道长 360 米，某列火车从车头入洞到全车进洞用了 8 秒钟， 从车头入洞到全车出洞共用了 20 秒钟。这列火车长多少米？ 分析与解：画出示意图

解：：火车 8 秒钟行的路程是火车的全长，20 秒钟行的路程是隧道长加火 车长。因此，火车行隧道长（360 米）所用的时间是（20-8）秒钟，即可 求出火车的速度。
火车的速度是 360÷（20-8）=30（米/秒）。
火车长 30×8=240（米）。
答：这列火车长 240 米
【例 2】铁路旁的一条与铁路平行的小路上，有一行人与骑车人同时向南 行进，行人速度为 3.6 千米/时，骑车人速度为 10.8 千米/时，这时有一 列火车从他们背后开过来，火车通过行人用 22 秒，通过骑车人用 26 秒， 这列火车的车身总长是多少？
解：本题属于追及问题，行人的速度为 3.6 千米/时=1 米/秒，骑车人的速 度为 10.8 千米/时=3 米/秒。火车的车身长度既等于火车车尾与行人的路 程差，也等于火车车尾与骑车人的路程差。如果设火车的速度为 x 米/秒， 那么火车的车身长度可表示为（x-1）×22 或（x-3）×26，由此不难列出 方程。
法一：设这列火车的速度是 x 米/秒，依题意列方程，得
（x-1）×22=（x-3）×26。
解得 x=14。所以火车的车身长为 （14-1）×22=286（米）。 法二：直接设火车的车长是 x, 那么等量关系就在于火车的速度上。 可得：x/26＋3＝x/22＋1
这样直接也可以 x=286 米 法三：既然是路程相同我们同样可以利用速度和时间成反比来解决。 两次的追及时间比是：22：26＝11：13
所以可得：（V 车－1）：（V 车－3）＝13：11
可得 V 车＝14 米/秒
所以火车的车长是（14-1）×22=286（米）
例题4， 流水行船

流水问题是研究船在流水中的行程问题，因此，又叫行船问题。在小 学数学中涉及到的题目，一般是匀速运动的问题。这类问题的主要特点是， 水速在船逆行和顺行中的作用不同。
顺水速度=船速+水速 （1）
逆水速度=船速-水速 （2）
这里，顺水速度是指船顺水航行时单位时间里所行的路程；船速是指
船本身的速度，也就是船在静水中单位时间里所行的路程；水速是指水在
单位时间里流过的路程。
公式（1）表明，船顺水航行时的速度等于它在静水中的速度与水流 速度之和。这是因为顺水时，船一方面按自己在静水中的速度在水面上行