高中数学导数与应用知识点汇总.doc

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导数知识点归纳及其应用
●知识点归纳
一、相关概念
1．导数的概念
函数y=f(x),如果自变量x在x处有增量，那么函数y相应地有增量=f（x+）－f（x），比值叫做函数y=f（x）在x到x+之间的平均变化率，即=。如果当时，有极限，我们就说函数y=f(x)在点x处可导，并把这个极限叫做f（x）在点x处的导数，记作f’（x）或y’|。
即f’（x）==。
说明：
（1）函数f（x）在点x处可导，是指时，有极限。如果不存在极限，就说函数在点x处不可导，或说无导数。
（2）是自变量x在x处的改变量，时，而是函数值的改变量，可以是零。
由导数的定义可知，求函数y=f（x）在点x处的导数的步骤：
① 求函数的增量=f（x+）－f（x）；
② 求平均变化率=；
③ 取极限，得导数f’(x)=。
例：设f(x)= x|x|, 则f′( 0)= .
[解析]：∵ ∴f′( 0)=0
2．导数的几何意义
函数y=f（x）在点x处的导数的几何意义是曲线y=f（x）在点p（x，f（x））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f（x）在点p（x，f（x））处的切线的斜率是f’（x）。
相应地，切线方程为y－y=f/（x）（x－x）。
例：在函数的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是 ( )
A．3 B．2 C．1 D．0
[解析]：切线的斜率为
又切线的倾斜角小于，即
故
解得：
故没有坐标为整数的点

3.导数的物理意义
如果物体运动的规律是s=s（t），那么该物体在时刻t的瞬间速度v=（t）。
如果物体运动的速度随时间的变化的规律是v=v（t），则该物体在时刻t的加速度a=v′（t）。
例。汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程看作时间的函数，其图像可能是（ ）
s
t
O
A．
s
t
O
s
t
O
s
t
O
B．
C．
D．

答：A。
练习：已知质点M按规律做直线运动（位移单位：cm，时间单位：s）。
（1） 当t=2，时，求；
（2） 当t=2，时，求；
（3） 求质点M在t=2时的瞬时速度。
答案：（1）8.02（2）8.002；（3）8
二、导数的运算
1．基本函数的导数公式:
①（C为常数）
②
③;
④;
⑤
⑥;
⑦;
⑧.
例1：下列求导运算正确的是 ( )
A．(x+ B．(log2x)′=
C．(3x)′=3xlog3e D． (x2cosx)′=-2xsinx

例2：设f0(x) ＝ sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x) ＝ fn′(x)，n∈N，则f2005(x)＝ ( )
A．sinx　 B．－sinx　 C．cosx D．－cosx

2．导数的运算法则
法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，
即： (
法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个
函数乘以第二个函数的导数，即：
若C为常数,则.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：
法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：（v0）。

例：设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x＜0时,＞0.且g(3)=0.则不等式f(x)g(x)＜0的解集是 ( )
A． (-3,0)∪(3,+∞) B． (-3,0)∪(0, 3)
C． (-∞,- 3)∪(3,+∞) D． (-∞,- 3)∪(0, 3)
[解析]：∵当x＜0时,＞0 ，即
∴当x＜0时，f(x)g(x)为增函数，
又g(x)是偶函数且g(3)=0，∴g(-3)=0，∴f(-3)g(-3)=0
故当时，f(x)g(x)＜0，又f(x)g(x)是奇函数，
当x>0时，f(x)g(x)为增函数，且f(3)g(3)=0
故当时，f(x)g(x)＜0
故选D

3.复合函数的导数
形如y=f的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：
分解——>求导——>回代。
法则：y＇|= y＇| ·u＇|或者.

练习：求下列各函数的导数：
（1） （2）
（3） （4）

三、导数的应用
1.函数的单调性与导数
（1）设函数在某个区间（a，b）可导，如果，则在此区间上为增函数；如果，则在此区间上为减函数。
（2）如果在某区间内恒有，则为常数。
例：函数是减函数的区间为 ( )
A． B． C． D．（0，2）

2．极点与极值：
曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；
例：函数已知时取得极值，则= ( )
A．2 B．3 C．4 D．5

3．最值：
在区间[a，b]上连续的函数f在[a，b]上必有最大值与最小值。但在开区间（a，b）内连续函数f（x）不一定有最大值，例如。
求最值步骤：
①求函数ƒ在(a，b)内的极值；②求函数ƒ在区间端点的值ƒ(a)、ƒ(b)；
③将函数ƒ的各极值与ƒ(a)、ƒ(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。

说明：（1）函数的最大值和最小值是一个整体性的概念，最大值必须是整个区间上所有函数值中的最大值，最小值必须在整个区间上所有函数值中的最小值。
（2）函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的，函数的极值是比较极值点附件的函数值得出来的。函数的极值可以有多有少，但最值只有一个，极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值，极值可能成为最值，最值只要不在端点处必定是极值。
例：函数在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是 .

●经典例题选讲
例1. 已知函数的图象如图所示（其中 是函数的导函数），下面四个图象中的图象大致是 ( )

例2.设恰有三个单调区间，试确定a的取值范围，并求其单调区间。

例3. 已知函数的图象过点P（0,2）,且在点M处的切线方程为.
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）求函数的单调区间.

例4. 设函数，已知是奇函数。
（Ⅰ）求、的值。 （Ⅱ）求的单调区间与极值。

例5. 已知f（x）=在x=1，x=时，都取得极值。
（1）求a、b的值。
（2）若对，都有恒成立，求c的取值范围。

例6. 已知是函数的一个极值点，其中，
（I）求与的关系式；
（II）求的单调区间；
（III）当时，函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于3，求的取值范围.

例7：（2009天津理20）已知函数其中
（1） 当时，求曲线处的切线的斜率；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（2） 当时，求函数的单调区间与极值。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。满分12分。

参考答案：
例1 [解析]：由函数的图象可知：
当时， <0，>0，此时增
当时，>0，<0，此时减
当时，<0，<0，此时减
当时，>0，>0，此时增，故选C
例2.
解：
若，对恒成立，此时只有一个单调区间，矛盾
若， ∴ ，也只有一个单调区间，矛盾
若 ∵ ，此时恰有三个单调区间
∴ 且单调减区间为和，单调增区间为

例3 .
解：（Ⅰ）由的图象经过P（0，2），知d=2，
所以

由在处的切线方程是，知

故所求的解析式是
（Ⅱ）
解得 当
当
故内是增函数，
在内是减函数，在内是增函数.

例4.
解：（Ⅰ）∵，∴。从而＝是
一个奇函数，所以得，由奇函数定义得；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，从而，由此可知，
和是函数是单调递增区间；是函数是单调递减区间；
在时，取得极大值，极大值为，
在时，取得极小值，极小值为。
例5.
解：（1）由题意f/（x）=的两个根分别为1和
由韦达定理，得：1=，
则，
（2）由（1），有f（x）=，f/（x）=
当时，，当时，，当时，，
当时，有极大值，，
∴ 当，的最大值为
对，都有恒成立，∴，
解得或
例6.
解：(I)因为是函数的一个极值点,
所以,即，所以
（II）由（I）知，=
当时，有，当变化时，与的变化如下表：

1

0

0

调调递减
极小值
单调递增
极大值
单调递减
故有上表知，当时，在单调递减，
在单调递增，在上单调递减.
（III）由已知得，即
又所以即①
设，其函数开口向上，由题意知①式恒成立，
所以解之得 又
所以 即的取值范围为
例7.
解：（I）

（II） w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

以下分两种情况讨论。
（1）＞，则＜.当变化时，的变化情况如下表：

+
0
—
0
+

↗
极大值
↘
极小值
↗

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

（2）＜，则＞，当变化时，的变化情况如下表：

+
0
—
0
+

↗
极大值
↘
极小值
↗

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