高中数学导数压轴题(二).doc

高中数学导数压轴题（二）Collect by LX 2017.02.261已知f（x）=xlnx，g（x）=x3+ax2x+2（）如果函数g（x）的单调递减区间为，求函数g（x）的解析式；（）在（）的条件下，求函数y=g（x）的图象在点P（1，1）处的切线方程；（）若不等式2f（x）g（x）+2恒成立，求实数a的取值范围2已知f（x）=x3+bx2+cx+d在（，0）上是增函数，在0，2上是减函数，且方程f（x）=0有三个根，它们分别为，2，（1）求c的值；（2）求证f（1）2；（3）求|的取值范围3设函数f（x）=lnxbx（）当a=b=时，求函数f（x）的单调区间；（）令F（x）=f（x）+x3），其图象上任意一点P（x0，y0）处切线的斜率k恒成立，求实数a的取值范围；（）当a=0，b=1时，方程f（x）=mx在区间1，e2内有唯一实数解，求实数m的取值范围4已知函数，a为正常数（1）若f（x）=lnx+（x），且，求函数f（x）的单调增区间；（2）若g（x）=|lnx|+（x），且对任意x1，x2（0，2，x1x2，都有，求a的取值范围5已知函数（）函数f（x）在区间（0，+）上是增函数还是减函数？证明你的结论；（）当x0时，恒成立，求整数k的最大值；（）试证明：（1+12）（1+23）（1+34）（1+n（n+1）e2n36已知函数，且f（1）=0（）试用含a的代数式表示b；（）求f（x）的单调区间；（）令a=1，设函数f（x）在x1，x2（x1x2）处取得极值，记点M（x1，f（x1），N（x2，f（x2），证明：线段MN与曲线f（x）存在异于M、N的公共点7已知函数f（x）=x2alnx在区间（1，2内是增函数，g（x）=xa在区间（0，1内是减函数（1）求f（x），g（x）的表达式；（2）求证：当x0时，方程f（x）g（x）=x22x+3有唯一解；（3）当b1时，若f（x）2bx在x（0，1内恒成立，求b的取值范围8已知函数f（x）=，g（x）=（）|xm|，其中mR且m0（）判断函数f（x）的单调性；（）当m2时，求函数F（x）=f（x）+g（x）在区间2，2上的最值；（）设函数h（x）=，当m2时，若对于任意的x12，+），总存在唯一的x2（，2），使得h（x1）=h（x2）成立，试求m的取值范围9已知f（x）=xexax2x（1）若f（x）在（，1上递增，1，0上递减，求f（x）的极小值；（2）若x0时，恒有f（x）0，求实数a的取值范围10对于函数f（x）和g（x），若存在常数k，m，对于任意xR，不等式f（x）kx+mg（x）都成立，则称直线y=kx+m是函数f（x），g（x）的分界线已知函数f（x）=ex（ax+1）（e为自然对数的底，aR为常数）（）讨论函数f（x）的单调性；（）设a=1，试探究函数f（x）与函数g（x）=x2+2x+1是否存在“分界线”？若存在，求出分界线方程；若不存在，试说明理由11已知函数f（x）=ln（1+ax2），aR且a0（1）当a=4时，求F（x）=f（x）2x的最大值；（2）求f（x）的单调区间；（3）当nN*，求证：ln212已知函数（a为实常数）（）当a=1时，求函数g（x）=f（x）2x的单调区间；（）若函数f（x）在区间（0，2）上无极值，求a的取值范围；（）已知nN*且n3，求证：13已知函数f（x）=ax，g（x）=lnx，其中aR（）若函数F（x）=f（x）g（x）有极值点1，求a的值；（）若函数G（x）=fsin（1x）+g（x）在区间（0，1）上为增函数，求a的取值范围；（）证明：14设函数f（x）=lnxax2bx（1）若x=1是f（x）的极大值点，求a的取值范围（2）当a=0，b=1时，函数F（x）=f（x）x2有唯一零点，求正数的值15已知函数f（x）=xalnx，g（x）=，（aR）（）若a=1，求函数f（x）的极值；（）设函数h（x）=f（x）g（x），求函数h（x）的单调区间；（）若在1，e（e=2.718）上存在一点x0，使得f（x0）g（x0）成立，求a的取值范围16已知函数（a为常数，a0）（）若是函数f（x）的一个极值点，求a的值；（）求证：当0a2时，f（x）在上是增函数；（）若对任意的a（1，2），总存在 ，使不等式f（x0）m（1a2）成立，求实数m的取值范围17已知函数f（x）=alnxax3（aR，a0）（）求函数f（x）的单调区间；（）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2）处的切线的倾斜角为，问：m在什么范围取值时，对于任意的t1，2，函数在区间t，3上总存在极值？（）当a=2时，设函数，若在区间1，e上至少存在一个x0，使得h（x0）f（x0）成立，试求实数p的取值范围18已知函数（1）若f（x）是单调函数，求a的取值范围；（2）若f（x）有两个极值点x1，x2，证明：f（x1）+f（x2）32ln219设x=m和x=n是函数f（x）=2lnx+x2（a+1）x的两个极值点，其中mN，a0（1）若a=2时，求m，n的值；（2）求f（m）+f（n）的取值范围；（3）若a+1（e是自然对数的底数），求证：f（n）f（m）2e+20已知函数f（x）=x3ax23x（1）若f（x）在区间1，+）上是增函数，求实数a的取值范围；（2）若x=是f（x）的一个极值点，求f（x）在1，a上的最大值；（3）在（2）的条件下，是否存在实数b，使得函数g（x）=bx的图象与函数f（x）的图象恰有3个交点，若存在，请求出实数b的取值范围；若不存在，试说明理由21已知函数f（x）=ax2+lnx（aR）（1）当a=时，求f（x）在区间1，e上的最大值和最小值；（2）如果函数g（x），f1（x），f2（x），在公共定义域D上，满足f1（x）g（x）f2（x），那么就称g（x）为f1（x），f2（x）的“活动函数”已知函数+2ax若在区间（1，+）上，函数f（x）是f1（x），f2（x）的“活动函数”，求a的取值范围22已知函数f（x）=ax2+xxlnx（a0）（1）若函数满足f（1）=2，且在定义域内f（x）bx2+2x恒成立，求实数b的取值范围；（2）若函数f（x）在定义域上是单调函数，求实数a的取值范围；（3）当xy1时，试比较与的大小23已知函数f（x）的图象在a，b上连续不断，定义：f1（x）=minf（t）|atx（xa，b），f2（x）=maxf（t）|atx（xa，b）其中，minf（x）|xD表示函数f（x）在D上的最小值，maxf（x）|xD表示函数f（x）在D上的最大值若存在最小正整数k，使得f2（x）f1（x）k（xa）对任意的xa，b成立，则称函数f（x）为a，b上的“k阶收缩函数”（1）若f（x）=cosx，x0，试写出f1（x），f2（x）的表达式；（2）已知函数f（x）=x2，x1，4，试判断f（x）是否为1，4上的“k阶收缩函数”，如果是，求出对应的k；如果不是，请说明理由；（3）已知b0，函数f（x）=x3+3x2是0，b上的2阶收缩函数，求b的取值范围24已知函数f（x）=x3（2a+1）x2+（a2+a）x（）若f（x）在x=1处取得极大值，求实数a的值；（）若mR，直线y=kx+m都不是曲线y=f（x）的切线，求k的取值范围；（）若a1，求f（x）在区间0，1上的最大值25已知函数f（x）=x3+bx2+cx+d，设曲线y=f（x）在与x轴交点处的切线为y=4x12，f（x）为f（x）的导函数，满足f（2x）=f（x）（）设g（x）=x，m0，求函数g（x）在0，m上的最大值；（）设h（x）=lnf（x），若对一切x0，1，不等式h（x+1t）h（2x+2）恒成立，求实数t的取值范围26已知定义在正实数集上的函数，g（x）=3e2lnx+b（其中e为常数，e=2.71828），若这两个函数的图象有公共点，且在该点处的切线相同（）求实数b的值；（）当x1，e时，恒成立，求实数a的取值范围27设f（x）=xlnx，g（x）=x21（1）令h（x）=f（x）g（x），求h（x）的单调区间；（2）若当x1时，f（x）mg（x）0恒成立，求实数m的取值范围28已知函数（a为常数）（1）求f（x）；（2）当a=1时，求f（x）在x上的最大值和最小值（e2.71828）；（3）求证：ln（n1，且nN*）29已知函数f（x）=lnx+，其中a为常数，且a0（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线与直线y=垂直，求a的值；（2）若函数f（x）在区间1，2上的最小值为，求a的值30已知函数f（x）=（x2+ax+2）ex，（x，aR）（1）当a=0时，求函数f（x）的图象在点A（1，f（1）处的切线方程；（2）若f（x）在R上单调，求a的取值范围；（3）当时，求函数f（x）的极小值2017年02月26日LX的高中数学组卷2参考答案与试题解析一解答题（共30小题）1（2015宿州三模）已知f（x）=xlnx，g（x）=x3+ax2x+2（）如果函数g（x）的单调递减区间为，求函数g（x）的解析式；（）在（）的条件下，求函数y=g（x）的图象在点P（1，1）处的切线方程；（）若不等式2f（x）g（x）+2恒成立，求实数a的取值范围【考点】函数的单调性与导数的关系；利用导数研究曲线上某点切线方程菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题【分析】（I）求出g（x）的导函数，令导函数小于0得到不等式的解集，得到相应方程的两个根，将根代入，求出a的值（II）求出g（x）的导数在x=1的值即曲线的切线斜率，利用点斜式求出切线的方程（III）求出不等式，分离出参数A，构造函数h（x），利用导数求出h（x）的最大值，令a大于等于最大值，求出a的范围【解答】解：（I）g（x）=3x2+2ax1由题意3x2+2ax10的解集是即3x2+2ax1=0的两根分别是将x=1或代入方程3x2+2ax1=0得a=1g（x）=x3x2x+2（4分）（II）由（）知：g（x）=3x22x1，g（1）=4，点p（1，1）处的切线斜率k=g（1）=4，函数y=g（x）的图象在点p（1，1）处的切线方程为：y1=4（x+1），即4xy+5=0（8分）（III）2f（x）g（x）+2即：2xlnx3x2+2ax+1对x（0，+）上恒成立可得对x（0，+）上恒成立设，则令h（x）=0，得（舍）当0x1时，h（x）0；当x1时，h（x）0当x=1时，h（x）取得最大值2a2a的取值范围是2，+）（13分）【点评】解决不等式恒成立问题，常用的方法是分离出参数，构造新函数，求出新函数的最值，得到参数的范围2（2015梅州校级模拟）已知f（x）=x3+bx2+cx+d在（，0）上是增函数，在0，2上是减函数，且方程f（x）=0有三个根，它们分别为，2，（1）求c的值；（2）求证f（1）2；（3）求|的取值范围【考点】函数的单调性与导数的关系；函数与方程的综合运用菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题【分析】（1）根据f（x）在（，0上是增函数，在（0，2上是减函数；得到x=0是f（x）=0的根，求导f（x）=3x2+2bx+c，即可求得f（0）=0，c=0；（2）根据f（1）=1+b+d，f（2）=0，得到d=84b且b3，利用不等式的基本性质可证f（1）=1+b84b=73b2；（3）由f（x）=0有三根，2，；得到f（x）=（x）（x2）（x）=x3（+2）x22，因此；故|2=（+）24=（b+2）2+2d=b2+4b+4168b=b24b12=（b2）216，利用b3，求得|3【解答】解：（1）f（x）在（，0上是增函数，在（0，2上是减函数；x=0是f（x）=0的根，又f（x）=3x2+2bx+c，f（0）=0，c=0（2）f（x）=0的根为，2，f（2）=0，8+4b+d=0，又f（2）0，12+4b0，b3，又d=84bd4f（1）=1+b+d，f（2）=0d=84b且b3，f（1）=1+b84b=73b2（3）f（x）=0有三根，2，；f（x）=（x）（x2）（x）=x3（+2）x22；|2=（+）24=（b+2）2+2d=b2+4b+4168b=b24b12=（b2）216又b3，|3【点评】本题考查函数单调性与导数之间的关系以及函数与方程的综合应用，利用韦达定理求解|的取值范围，体现了方程的思想，同时考查了学生灵活应用知识分析解决问题的能力和运算能力，难度较大，综合性强，属难题3（2015南开区二模）设函数f（x）=lnxbx（）当a=b=时，求函数f（x）的单调区间；（）令F（x）=f（x）+x3），其图象上任意一点P（x0，y0）处切线的斜率k恒成立，求实数a的取值范围；（）当a=0，b=1时，方程f（x）=mx在区间1，e2内有唯一实数解，求实数m的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断；利用导数研究曲线上某点切线方程菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题【分析】（I）先求导数f（x）然后在函数的定义域内解不等式f（x）0和f（x）0，f（x）0的区间为单调增区间，f（x）0的区间为单调减区间（II）先构造函数F（x）再由以其图象上任意一点P（x0，y0）为切点的切线的斜率k恒成立，知导函数恒成立，再转化为所以a（，x02+x0）max求解（III）先把程f（x）=mx有唯一实数解，转化为有唯一实数解，再利用单调函数求解【解答】解：（）依题意，知f（x）的定义域为（0，+）（1分）当a=b=时，f（x）=lnxx2x，f（x）=x=（2分）令f（x）=0，解得x=1当0x1时，f（x）0，此时f（x）单调递增；当x1时，f（x）0，此时f（x）单调递减（3分）所以函数f（x）的单调增区间（0，1），函数f（x）的单调减区间（1，+）（4分）（）F（x）=lnx+，x（0，3，所以k=F（x0）=，在x0（0，3上恒成立，（6分）所以a（x02+x0）max，x0（0，3（7分）当x0=1时，x02+x0取得最大值 所以a（9分）（）当a=0，b=1时，f（x）=lnx+x，因为方程f（x）=mx在区间1，e2内有唯一实数解，所以lnx+x=mx有唯一实数解，设g（x）=，则g（x）=令g（x）0，得0xe；g（x）0，得xe，g（x）在区间1，e上是增函数，在区间e，e2上是减函数，g（1）=1，g（e2）=1+=1+，g（e）=1+，所以m=1+，或1m1+【点评】本题主要考查函数的单调性、极值、不等式、方程的解等基本知识，同时考查运用导数研究函数性质的方法，分类与整合及化归与转化等数学思想4（2015江苏二模）已知函数，a为正常数（1）若f（x）=lnx+（x），且，求函数f（x）的单调增区间；（2）若g（x）=|lnx|+（x），且对任意x1，x2（0，2，x1x2，都有，求a的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的几何意义菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题；分类讨论【分析】（1）先对函数y=f（x）进行求导，然后令导函数大于0（或小于0）求出x的范围，根据f（x）0求得的区间是单调增区间，f（x）0求得的区间是单调减区间，即可得到答案（2）设h（x）=g（x）+x，依题意得出h（x）在（0，2上是减函数下面对x分类讨论：当1x2时，当0x1时，利用导数研究函数的单调性从及最值，即可求得求a的取值范围【解答】解：（1），令f（x）0，得x2，或，函数f（x）的单调增区间为，（2，+）（2），设h（x）=g（x）+x，依题意，h（x）在（0，2上是减函数当1x2时，令h（x）0，得：对x1，2恒成立，设，则，1x2，m（x）在1，2上递增，则当x=2时，m（x）有最大值为，当0x1时，令h（x）0，得：，设，则，t（x）在（0，1）上是增函数，t（x）t（1）=0，a0综上所述，【点评】本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究函数的单调性、导数的几何意义、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题5（2015东营二模）已知函数（）函数f（x）在区间（0，+）上是增函数还是减函数？证明你的结论；（）当x0时，恒成立，求整数k的最大值；（）试证明：（1+12）（1+23）（1+34）（1+n（n+1）e2n3【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用；不等式的证明菁优网版权所有【专题】综合题；压轴题；导数的综合应用【分析】（）求导函数，确定导数的符号，即可得到结论；（）当x0时，恒成立，即在（0，+）上恒成立，构造函数，求出函数的最小值，即可求整数k的最大值；（）由（）知：，从而令，即可证得结论【解答】（）解：由题，（2分）故f（x）在区间（0，+）上是减函数；（3分）（）解：当x0时，恒成立，即在（0，+）上恒成立，取，则，（5分）再取g（x）=x1ln（x+1），则，故g（x）在（0，+）上单调递增，而g（1）=ln20，g（2）=1ln30，g（3）=22ln20，（7分）故g（x）=0在（0，+）上存在唯一实数根a（2，3），a1ln（a+1）=0，故x（0，a）时，g（x）0；x（a，+）时，g（x）0，故，故kmax=3（8分）（）证明：由（）知：，令，（10分）又ln（1+12）（1+23）（1+34）（1+n（n+1）=ln（1+12）+ln（1+23）+ln（1+n（n+1）=即：（1+12）（1+23）（1+34）1+n（n+1）e2n3（14分）【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查恒成立问题，考查不等式的证明，属于中档题6（2015济南校级模拟）已知函数，且f（1）=0（）试用含a的代数式表示b；（）求f（x）的单调区间；（）令a=1，设函数f（x）在x1，x2（x1x2）处取得极值，记点M（x1，f（x1），N（x2，f（x2），证明：线段MN与曲线f（x）存在异于M、N的公共点【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算；利用导数研究函数的极值菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题；分类讨论；反证法【分析】（）：已知f（1）=0，根据求导数的方法先求出f（x），把x=1代入得到关于a和b的等式解出b即可；（）：令f（x）=0求出稳定点时x的值12a和1，根据12a和1的大、小、相等分三种情况讨论函数的增减性即可；（）：利用反证法，假设线段MN与曲线f（x）不存在异于M、N的公共点推出函数不单调矛盾原结论正确【解答】解：（）f（x）=x2+2ax+b依题意，得f（1）=12a+b=0故b=2a1（）由（a）得故f（x）=x2+2ax+2a1=（x+1）（x+2a1）令f（x）=0，则x=1或x=12a分情况讨论得：当x变化时，f（x）与f（x）的变化如下表： x （，12a） （12a，1） （1，+） f（x）+ f（x） 单调递增 单调递减 单调递增（1）当a1时，12a1由此得，函数f（x）的单调增区间为（，12a）和（1，+），单调减区间为（12a，1）（2）当a=1时，12a=1此时f（x）0恒成立，且仅在x=1处f（x）=0故函数f（x）的单调增区间为R（3）当a1时，12a1同理可得函数f（x）的单调增区间为（，1）和（12a，+）单调减区间为（1，12a）（）假设线段MN与曲线f（x）不存在异于M、N的公共点当a=1时，由（a）的b=2a1=3f（x）=x23x就不在区间（1，3）内单调与a=1单调减矛盾所以假设错误故线段MN与曲线f（x）存在异于M、N的公共点【点评】此题考查学生利用导数研究函数单调的方法，以及反证法的运用7（2015和平区一模）已知函数f（x）=x2alnx在区间（1，2内是增函数，g（x）=xa在区间（0，1内是减函数（1）求f（x），g（x）的表达式；（2）求证：当x0时，方程f（x）g（x）=x22x+3有唯一解；（3）当b1时，若f（x）2bx在x（0，1内恒成立，求b的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用菁优网版权所有【专题】综合题；压轴题；转化思想【分析】（1）在（1，2）上恒成立a（2x2）min=2，在（1，2）上恒成立，由此知f（x）=x22lnx，g（x）=x（2）f（x）=g（x）+2，由函数的单调性能导出方程f（x）=g（x）+2在x0时只有唯一解（3）f（x）在（0，1上恒成立在（0，1上恒成立由此能导出b的取值范围【解答】解：（1）由题意知：在（1，2）上恒成立a（2x2）min=2，又在（0，1上恒成立，a=2，f（x）=x22lnx，g（x）=x2（2）f（x）=g（x）+2，则1，x（0，1时，h（x）0，x1，+），h（x）0，解得h（x）在（0，1上单调递减，在1，+）单调递增h（x）min=h（1）=0，即方程f（x）=g（x）+2在x0时只有唯一解（3）f（x）在（0，1上恒成立，在（0，1上恒成立设，则，0x1x220，2lnx0，H（x）0，H（x）d （0，1单调递减，1b1，又b1，【点评】本题考查利用导数判断函数的单调性，具有一定的难度，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化8（2015眉山模拟）已知函数f（x）=，g（x）=（）|xm|，其中mR且m0（）判断函数f（x）的单调性；（）当m2时，求函数F（x）=f（x）+g（x）在区间2，2上的最值；（）设函数h（x）=，当m2时，若对于任意的x12，+），总存在唯一的x2（，2），使得h（x1）=h（x2）成立，试求m的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题；函数的性质及应用；导数的综合应用【分析】（）求导，由导数讨论正负从而确定函数的单调性；（）当m2，2x2时，可判断g（x）与f（x）在2，2上单调递减，从而在2，2上单调递减；从而求最值；（）由题意先求得当m2，x12，+）时；再求得当m2，x22时，；从而化为即可，记函数，从而求解【解答】解：（）依题意，当m0时，解f（x）0得2x2，解f（x）0得x2或x2；所以f（x）在2，2上单调递增，在（，2），（2，+）上单调递减；当m0时，解f（x）0得2x2，f（x）0得x2或x2；所以f（x）在2，2上单调递减；在（，2），（2，+）上单调递增（）当m2，2x2时，在2，2上单调递减，由（）知，f（x）在2，2上单调递减，所以在2，2上单调递减；（）当m2，x12，+）时，由（）知h（x1）在2，+）上单调递减，从而h（x1）（0，f（2），即； 当m2，x22时，在（，2）上单调递增，从而h（x2）（0，g（2），即；对于任意的x12，+），总存在唯一的x2（，2），使得h（x1）=h（x2）成立，只需，即成立即可记函数，易知在2，+）上单调递增，且H（4）=0；所以m的取值范围为2，4）【点评】本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，同时考查了函数的四则运算等，属于难题9（2015洛阳二模）已知f（x）=xexax2x（1）若f（x）在（，1上递增，1，0上递减，求f（x）的极小值；（2）若x0时，恒有f（x）0，求实数a的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题；导数的综合应用【分析】（1）先求导f（x）=ex+xex2ax1，再由题意可得f（1）=e1e1+2a1=0，从而求得2a=1，从而化简f（x）=ex+xexx1=（x+1）（ex1），从而确定极小值点及极小值（2）当x=0时，f（0）=0恒成立，从而化恒成立问题为x0时，恒有f（x）0；即a在x0时恒成立，从而令g（x）=，求导确定函数的单调性，再由洛必达法则求出g（x）=ex=1；从而求实数a的取值范围【解答】解：（1）f（x）=xexax2x，f（x）=ex+xex2ax1，又f（x）在（，1上递增，1，0上递减，f（1）=e1e1+2a1=0，故2a=1，故f（x）=ex+xexx1=（x+1）（ex1），故f（x）在（，1，0，+）上递增，1，0上递减；故f（x）在x=0处取得极小值f（0）=0；（2）当x=0时，f（0）=0恒成立，故x0时，恒有f（x）0可化为x0时，恒有f（x）0；即x0时，xexax2x0恒成立，即a在x0时恒成立，令g（x）=，则g（x）=，令h（x）=xexex+1，则h（x）=xex0，故h（x）在（0，+）上是增函数，故h（x）h（0）=0，故g（x）=0，故g（x）在（0，+）上是增函数，而g（x）=ex=1；故a1【点评】本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，同时考查了构造函数的思想应用及洛必达法则的应用，属于难题10（2015陕西校级二模）对于函数f（x）和g（x），若存在常数k，m，对于任意xR，不等式f（x）kx+mg（x）都成立，则称直线y=kx+m是函数f（x），g（x）的分界线已知函数f（x）=ex（ax+1）（e为自然对数的底，aR为常数）（）讨论函数f（x）的单调性；（）设a=1，试探究函数f（x）与函数g（x）=x2+2x+1是否存在“分界线”？若存在，求出分界线方程；若不存在，试说明理由【考点】利用导数研究函数的单调性；函数单调性的判断与证明菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题；新定义【分析】（）f（x）=ex（ax+1+a），当a0时，f（x）0函数f（x）在区间（1，+）上是增函数，在区间（，1）上是减函数；a=0时，f（x）0，函数f（x）是区间（，+）上的增函数；当a0时，f（x）0axa1，函数f（x）在区间（，1）上是增函数，在区间（1，+）上是减函数（）若存在，则ex（x+1）kx+mx2+2x+1恒成立，令x=0，得m=1，因此x2+（k2）x0恒成立，由此及彼能推导出函数f（x）与函数g（x）=x2+2x+1存在“分界线”【解答】解：（）f（x）=ex（ax+1+a），（2分）当a0时，f（x）0axa1，即x1，函数f（x）在区间（1，+）上是增函数，在区间（，1）上是减函数；（3分）当a=0时，f（x）0，函数f（x）是区间（，+）上的增函数；（5分）当a0时，f（x）0axa1，即x1，函数f（x）在区间（，1）上是增函数，在区间（1，+）上是减函数（7分）（）若存在，则ex（x+1）kx+mx2+2x+1恒成立，令x=0，则1m1，所以m=1，（9分）因此：kx+1x2+2x+1恒成立，即x2+（k2）x0恒成立，由0得到：k=2，现在只要判断ex（x+1）2x+1是否恒成立，（11分）设（x）=ex（x+1）（2x+1），因为：（x）=ex（x+2）2，当x0时，ex1，x+22，（x）0，当x0时，ex（x+2）2ex2，（x）0，所以（x）（0）=0，即ex（x+1）2x+1恒成立，所以函数f（x）与函数g（x）=x2+2x+1存在“分界线”方程为y=2x+1（14分）【点评】本题考查导数函数单调性中的应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地运用导数的性质进行求解11（2015曾都区校级模拟）已知函数f（x）=ln（1+ax2），aR且a0（1）当a=4时，求F（x）=f（x）2x的最大值；（2）求f（x）的单调区间；（3）当nN*，求证：ln2【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值菁优网版权所有【专题】计算题；证明题；压轴题；导数的综合应用【分析】（1）代入a=4化简F（x）=ln（14x2）2x的定义域为；求导并令，从而判断导数的正负以确定单调性，再求最大值；（2）由1+ax20知ax21（a0），再求导，讨论a以确定函数的定义域及导数的正负，从而确定函数的单调性；（3）设不等式左边为Sn，化简Sn=；构造函数，从而化，其中；利用积分的定义可知表示函数g（x）在区间0，1上与x轴围成的面积的过剩近似值；从而证明【解答】解：（1）当a=4时，F（x）=ln（14x2）2x的定义域为；由，可得，；故当，F（x）单调递增，当，F（x）单调递减；故F（x）的最大值为（2）因为1+ax20，可知ax21（a0），又；当a0，f（x）定义域为R，若x0则f（x）0，若x0则f（x）0；故f（x）的单调减区间为（，0），单调增区间为（0，+）当a0，f（x）定义域为，若x0则f（x）0，若x0则f（x）0；故f（x）的单调增区间为，单调减区间为（3）证明：设不等式左边为Sn，则Sn=；构造函数，由（2）可知当a=1时，f（x）=ln（1+x2），f（x）=g（x）；，其中；利用积分的定义可知表示函数g（x）在区间0，1上与x轴围成的面积的过剩近似值；故有；故当nN*，成立【点评】本题考查利用函数的导数解决函数的最值和单调性问题，并通过构造函数利用微积分的思想证明不等式问题，需要较强的综合运用知识和开拓创新能力考查了函数的思想、分类讨论思想、数形结合思想、等价转化思想等常用的数学思想12（2015安徽模拟）已知函数（a为实常数）（）当a=1时，求函数g（x）=f（x）2x的单调区间；（）若函数f（x）在区间（0，2）上无极值，求a的取值范围；（）已知nN*且n3，求证：【考点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性；数列与不等式的综合菁优网版权所有【专题】综合题；压轴题；导数的综合应用【分析】（）求出函数定义域，当a=1时求出g（x），只需解不等式g（x）0，g（x）0即可（）函数f（x）在区间（0，2）上无极值，则f（x）0或f（x）0，由此即可求出a的取值范围（）由（）知，当a=1时，f（x）在（0，+）上的最大值为f（1）=0，得f（x）=0，即ln，令x=适当变形即可证明【解答】解：（I）当a=1时，其定义域为（0，+），g（x）=2+=，令g（x）0，并结合定义域知； 令g（x）0，并结合定义域知；故g（x）的单调增区间为（0，）；单调减区间为（II），（1）当f（x）0即ax在x（0，2）上恒成立时，a0，此时f（x）在（0，2）上单调递减，无极值；（2）当f（x）0即ax在x（0，2）上恒成立时，a2，此时f（x）