[人教版][高三数学一轮复习][第7讲--三角函数的综合问题]演练方阵(学生版).docx

高三数学∙2017秋季

演练方阵
第7讲 三角函数的综合问题

正弦函数和正切函数的图像和性质

类型一: 三角函数的定义域和值域
☞考点说明：考察三角函数的定义域和值域
【易】1．（2016秋•西城区期末）定义在R上，且最小正周期为π的函数是（　　）
A．y=sin|x| B．y=cos|x| C．y=|sinx| D．y=|cos2x|

【易】2．如果x∈[0，2π]，则函数y=sinx+-cosx的定义域为（　　）
A．[0，π] B．[π2，3π2] C．[π2，π] D．[3π2，2π]

【易】3．函数y=|sinx|sinx+cosx|cosx|+|tanx|tanx的值域是（　　）
A．{1，﹣1} B．{﹣1，1，3} C．{1，3} D．{﹣1，3}

【易】4．y=tan（x+π4）的定义域为（　　）
A．{x|x≠π4，x∈R} B．{x|x≠-π4，x∈R}
C．{x|x≠kπ+π4，k∈Z} D．{x|x≠kπ﹣π4，k∈Z}

【易】5．（2016春•丰台区校级期末）函数y=cosx图象的一条对称轴的方程是（　　）
A．x=0 B． C． D．

【中】6．（2017•人大附中校级模拟）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则函数g（x）=Acos（φx+ω）图象的一个对称中心可能为（　　）

A． B． C． D．

【中】7．（2017•通州区一模）如果函数的图象关于点（，0）成中心对称，那么函数f（x）的最小正周期是（　　）
A． B．C．π D．2π

【难】8．（2017•海淀区模拟）已知函数f（x）=|cosx|•sinx，给出下列四个说法：
①；
②函数f（x）的周期为π；
③f（x）在区间上单调递增；
④f（x）的图象关于点中心对称
其中正确说法的序号是（　　）
A．②③ B．①③ C．①④ D．①③④

类型二: 三角函数的单调性
☞考点说明：考察正弦函数、余弦函数和正切函数的单调性
【易】1．（2015秋•西城区期末）若直线x=a是函数y=sin（x+）图象的一条对称轴，则a的值可以是（　　）
A． B． C．﹣ D．﹣

【易】2．（2017春•南沙区校级月考）函数y=tan(x-π4)的单调递增区间为（　　）
A．(kπ-π2，kπ+π2)(k∈Z) B．（kπ，kπ+π）（k∈Z）
C．(kπ-3π4，kπ+π4)(k∈Z) D．(kπ-π4，kπ+3π4)(k∈Z)

【易】3．（2015秋•房山区期末）已知a=tan1，b=tan2，c=tan3，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．c＞a＞b

【易】4．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π2）的部分图象如图所示，则f（x）的递增区间为（　　）

A．(-π12+2kπ，5π12+2kπ)，k∈Z B．(-π12+kπ，5π12+kπ)，k∈Z
C．(-π6+2kπ，5π6+2kπ)，k∈Z D．(-π6+kπ，5π6+kπ)，k∈Z

【中】5．（2016•朝阳区二模）同时具有性质：
①最小正周期是π；
②图象关于直线x=对称；
③在区间上是单调递增函数”的一个函数可以是（　　）
A． B． C． D．

【中】6．（2016•清华附中模拟）函数的单调增区间是（　　）
A．k∈Z B． k∈Z
C．（2kπ，π+2kπ）k∈Z D．（2kπ+π，2kπ+2π）k∈Z

【中】7．（2016春•西城区期末）已知函数f（x）=sin（2x+），下列判断错误的是（　　）
A．函数f（x）的最小正周期为π
B．直线x=是函数f（x）图象的对称轴
C．函数f（x）的图象关于点（﹣，0）对称
D．函数f（x）在区间（﹣，）上单调递增

【中】8．（2015秋•北京期末）函数f（x）=2sinx的图象（　　）
A．关于点（，0）中心对称 B．关于点（，0）中心对称
C．关于点（，0）中心对称 D．关于点（π，0）中心对称

【中】9．（2017•石景山模拟）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，﹣π＜φ≤π．若函数f（x）的最小正周期为6π，且当x=π2时，f（x）取得最大值，则（　　）
A．f（x）在区间[﹣2π，0]上是增函数 B．f（x）在区间[﹣3π，﹣π]上是增函数
C．f（x）在区间[3π，5π]上是减函数 D．f（x）在区间[4π，6π]上是减函数

类型三: 三角函数的周期性、奇偶性和对称性
☞考点说明：主要考察三角函数的周期性、奇偶性和对称性
【易】1．下列函数中同时满足：①在（0，π2）上是增函数；②奇函数；③以π为最小正周期的函数的是（　　）
A．y=tanx B．y=cosx C．y=tanx2 D．y=|sinx|

【易】2．对于函数f（x）=tan2x，下列选项中正确的是（　　）
A．f（x）在（﹣π2，π4）上是递增的 B．f（x）在定义域上单调递增
C．f（x）的最小正周期为π D．f（x）的所有对称中心为（kπ4，0）

【易】3．（2014•红河县校级学业考试）y=tan(2x+π3)(x∈R)的最小正周期为（　　）
A．π2 B．π C．2π D．4π

【中】4．（2017春•朝阳区期末）将函数y=2sin（x﹣）图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位长度后，所得图象的一条对称轴方程为（　　）
A．x= B．x= C．x=﹣ D．x=﹣

【易】5．（2017•西城区一模）函数f（x）=的最小正周期是　 　．

【中】6．（2017•石景山区一模）若函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0）的部分图象如图所示，则ω=　　．

【中】7．（2017秋•西城区期末）已知函数f（x）=sinxtanx．给出下列结论：
①函数f（x）是偶函数；
②函数f（x）在区间上是增函数；
③函数f（x）的最小正周期是2π；
④函数f（x）的图象关于直线x=π对称．
其中正确结论的序号是　 　．（写出所有正确结论的序号）

【难】8．（2017秋•朝阳区期中）已知函数f（x）=sin（cosx）﹣x与函数g（x）=cos（sinx）﹣x在区间内都为减函数，设，且cosx1=x1，sin（cosx2）=x2，cos（sinx3）=x3，则x1，x2，x3的大小关系是（　　）
A．x1＜x2＜x3 B．x3＜x1＜x2 C．x2＜x1＜x3 D．x2＜x3＜x1

三角函数的图象的变换

类型一: 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
☞考点说明：考察两种伸缩变换的方法的区别和联系
【易】1．（2017•深圳一模）将函数y=sin（6x+π4）的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移π8个单位，得到的函数的一个对称中心（　　）
A．(π2，0) B．(π4，0) C．（7π16，0） D．（5π16，0）

【易】2．（2017秋•昌平区校级期末）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象如图所示，其中A＞0，ω＞0，|φ|＜，求函数f（x）的解析式．

【易】3．若奇函数y=g（x）与f（x）=2sin（2x+φ）图象关于直线x=π6对称，要得到y=g（x），则可用y=f（x）的图象变换得到（|φ|＜π2），需经过的变换是（　　）
A．向左平移π6个单位 B．向右平移π6个单位
C．向左平移π3个单位 D．向右平移π3个单位

【中】4．将函数y=sin（2x﹣π6）的图象向左平移π3个单位，再将得到的图象上的点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后得到的函数y=g（x）的图象．若方程g（x）﹣a=0，x∈（π2，3π）有三个根，且这三根可以构成等比数列，则实数a的值为（　　）
A．12 B．22 C．﹣22 D．﹣12

【中】5．（2016•成都校级模拟）设函数f（x）=sin（2x﹣）的图象为C，下面结论中正确的是（　　）
A．函数f（x）的最小正周期是2π
B．函数f（x）在区间（﹣，）上是增函数
C．图象C可由函数g（x）=sin2x的图象向右平移个单位得到
D．图象C关于点（，0）对称

【难】6．（2017•朝阳区二模）已知函数的最小正周期为4π，则（　　）
A．函数f（x）的图象关于原点对称
B．函数f（x）的图象关于直线对称
C．函数f（x）图象上的所有点向右平移个单位长度后，所得的图象关于原点对称
D．函数f（x）在区间（0，π）上单调递增

【难】7．（2015秋•通州区校级期末）已知函数f（x）=πcos（），如果存在实数x1、x2，使得对任意实数x，都有f（x1）≤f（x）≤f（x2），则|x1﹣x2|的最小值是（　　）
A．8π B．4π C．2π D．π

【难】8．（2017秋•海淀区期末）某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：
ωx+φ
0

π

2π
x

y=Asin（ωx+φ）
0
2
0

0
（Ⅰ）请将上表数据补充完整，函数f（x）的解析式为f（x）=　 　（直接写出结果即可）；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅲ）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值．

类型二: 由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
☞考点说明：根据部分函数图像求解函数解析式。
【易】1．（2017•山东二模）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π2）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为（　　）

A．f(x)=2sin(x-π6) B．f(x)=2sin(2x-π6)
C．f(x)=2sin(x+π12) D．f(x)=2sin(2x-π3)

【易】2．（2017•重庆模拟）已知函数y=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，则φ=（　　）

A．π6 B．π4 C．π3 D．π2

【易】3．（2017•人大附中模拟）函数f（x）=sin（ωx+φ）（x∈R）（ω＞0，|φ|＜π2）的部分图象如图所示，如果x1，x2∈(-π6，π3)，且f（x1）=f（x2），则f（x1+x2）=（　　）

A．12 B．22 C．32 D．1

【中】4．如图所示，函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π2）的图象与二次函数y=﹣32x2+12x+1的图象交于A（x1，0）和B（x2，1），则f（x）的解析式为（　　）

A．f（x）=sin（16x+π3） B．f（x）=sin（12x+π3）
C．f（x）=sin（π2x+π3） D．f（x）=sin（π2x+π6）

【中】5．已知函数f（x）=Asinωx（A＞0，ω＞0）的图象如图所示，则A，ω的值分别是　 　．

【中】6．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f(π6)的值是　 　．

【难】7．（2017•海淀区模拟）已知函数f（x）=sin（ωx﹣φ），的图象经过点，且相邻两条对称轴的距离为π2．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及其在[0，π]上的单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，若，求∠A的大小．

和差角公式及三角函数综合

类型一: 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
☞考点说明：两角和与差的正弦、余弦和正切公式的运用
【易】1．已知tanα=2，则tan（α﹣π4）=（　　）
A．14 B．13 C．12 D．﹣3

【易】2．（2017•衡水一模）已知sin（α+π3）+sinα=﹣435，﹣π2＜α＜0，则cos（α+2π3）等于（　　）
A．﹣45 B．﹣35 C．45 D．35

【易】3．已知cosα=35，cos（α﹣β）=7210，且0＜β＜α＜π2，那么β=（　　）
A．π12 B．π6 C．π4 D．π3

【易】4．（2017•四川模拟）已知α是锐角，若cos（α+π6）=513，则sin（α﹣π12）=（　　）
A．﹣17226 B．﹣7226 C．7226 D．17226

【中】5．如图，在平面直角坐标系xOy中，角α，β的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，若点A，B的坐标为（35，45）和（﹣45，35），则cos（α+β）的值为（　　）

A．﹣2425 B．﹣725 C．0 D．2425

【中】6．《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为α、β，且小正方形与大正方形面积之比为4：9，则cos（α﹣β）的值为（　　）

A．59 B．49 C．23 D．0

【中】7．（2017秋•密云县月考）若，则的值为（　　）
A． B． C． D．

【难】8．（2017•丰台区二模）已知函数f（x）=sinxsinx．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间．

【难】9．已知f(x)=sin[π3(x+1)]-3cos[π3(x+1)]，则f（1）+f（2）+…+f（2011）+f（2012）=（　　）
A．0 B．3 C．1 D．23

类型二:二倍角的正弦、余弦和正切公式
☞考点说明：二倍角的应用
【易】1．（2017•新课标Ⅲ）已知sinα﹣cosα=43，则sin2α=（　　）
A．﹣79 B．﹣29 C．29 D．79

【易】2．（2017•山东）已知cosx=34，则cos2x=（　　）
A．﹣14 B．14 C．﹣18 D．18

【易】3．（2017•七星区校级模拟）已知α是第二象限角，且tanα=﹣13，则sin2α=（　　）
A．﹣31010 B．31010 C．﹣35 D．35

【中】4．（2017•吉林三模）2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么sin2θ的值为（　　）

A．13 B．32 C．2324 D．2425

【中】5．（2017秋•通州区期末）已知函数f（x）=2sinxcosx+sin（﹣2x）．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（Ⅱ）求f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．

【中】6．（2016秋•东城区期末）已知函数部分图象如图所示．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及图中x0的值；
（Ⅱ）求f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．

【难】7．（2016秋•东城区期末）已知函数
（Ⅰ）如果点是角α终边上一点，求f（α）的值；
（Ⅱ）设g（x）=f（x）+sinx，求g（x）的单调增区间．

类型三:三角函数综合
☞考点说明：综合利用三角函数知识解决三角函数问题
【易】1．（2017•浙江）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosA=12．
（1）求角A的大小；
（2）若b=2，c=3，求a的值；
（3）求2sinB+cos（π6+B）的最大值．

【易】2．（2017•普陀区二模）已知函数f（x）=asinx+bcosx（a，b为常数且a≠0，x∈R）．当x=π4时，f（x）取得最大值．
p（1）计算f（11π4）的值；
ö（2）设g（x）=f（π4﹣x），判断函数g（x）的奇偶性，并说明理由．÷ø

【易】3．（2016秋•通州区期末）已知函数f（x）=sin2x+2cos2x﹣1．
（Ⅰ）求f（x）最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．

【中】4．（2017•东城区二模）函数的最大值为2，它的最小正周期为2π．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若g（x）=cosx•f（x），求g（x）在区间上的最大值和最小值．

【中】5．（2017春•四中期末）已知函数+cos2x+a（a∈R，a为常数）．
（Ⅰ）求函数的最小正周期；
（Ⅱ）求函数的单调递减区间；
（Ⅲ）若[0，]时，f（x）的最小值为﹣2，求a的值．

【中】6．（2017•金华模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边的锐角α与钝角β的终边与单位圆分别交于点A，B两点，x轴正半轴与单位圆交于点M，已知S△OAM=55，点B的纵坐标是210，
（Ⅰ）求cos（α﹣β）的值；
（Ⅱ）求2α﹣β 的值．

【中】7．（2017•唐山一模）已知函数f（x）=sinx+tanx﹣2x．
（1）证明：函数f（x）在（﹣π2，π2）上单调递增；
（2）若x∈（0，π2），f（x）≥mx2，求m的取值范围．

【难】8．（2017•建邺区校级模拟）园林管理处拟在公园某区域规划建设一半径为r米圆心角为θ（弧度）的扇形景观水池，其中O为扇形AOB的圆心，同时紧贴水池周边建一圈理想的无宽度步道，要求总预算费用不超过24万元，水池造价为每平方米400元，步道造价为每米1000元．
（1）当r和θ分别为多少时，可使广场面积最大，并求出最大值；
（2）若要求步道长为105米，则可设计出水池最大面积是多少．

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