高中物理万有引力练习题及答案解析.doc

高中物理万有引力练习题及答案解析
一．解答题（共14小题）
1．（2015春•锦州校级期中）（1）开普勒行星运动第三定律指出：行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴a的三次方与它的公转周期T的二次方成正比，即=k，k是一个对所有行星都相同的常量．将行星绕太阳的运动按圆周运动处理，请你推导出太阳系中该常量k的表达式．已知引力常量为G，太阳的质量为M太．
（2）一均匀球体以角速度ω绕自己的对称轴自转，若维持球体不被瓦解的唯一作用力是万有引力，则此球的最小密度是多少？
【分析】（1）行星绕太阳的运动按圆周运动处理时，此时轨道是圆，就没有半长轴了，此时=k应改为，再由万有引力作为向心力列出方程可以求得常量k的表达式；
（2）球体表面物体随球体自转做匀速圆周运动，球体有最小密度能维持该球体的稳定，不致因自转而瓦解的条件是表面的物体受到的球体的万有引力恰好提供向心力，物体的向心力用周期表示等于万有引力，再结合球体的体积公式、密度公式即可求出球体的最小密度．
【解答】解：（1）因行星绕太阳作匀速圆周运动，于是轨道的半长轴a即为轨道半径r．根据万有引力定律和牛顿第二定律有
G=mr
于是有 =
即 k=
所以太阳系中该常量k的表达式是．
（2）设位于赤道处的小块物质质量为m，物体受到的球体的万有引力恰好提供向心力，
这时球体不瓦解且有最小密度，
由万有引力定律结合牛顿第二定律得：GM=mω2R
又因ρ=
由以上两式得ρ=．
所以球的最小密度是．
答：（1）太阳系中该常量k的表达式是．（2）若维持球体不被瓦解的唯一作用力是万有引力，则此球的最小密度是．
2．（2017春•德惠市校级月考）月球环绕地球运动的轨道半径为地球半径的60倍，运行周期约为27天，应用开普勒定律计算：在赤道平面内离地多高时，人造地球卫星随地球一起转动，就像停留在天空中不动一样？（R地=6400km）
【分析】月球和同步卫星都绕地球做匀速圆周运动，根据开普勒第三定律列式求解即可．
【解答】解：月球环绕地球运动的轨道半径为地球半径的60倍，运行周期约为27天；同步卫星的周期为1天；
根据开普勒第三定律，有：
解得：
R月=R同==9R同
由于R月=60R地，故R同=，故：
h=R地==36267km．
答：在赤道平面内离地36267km高时，人造地球卫星随地球一起转动，就像停留在天空中不动一样．
3．（2015春•东方校级期中）地球公转运行的轨道半径R1=1.49×1011m，若把地球公转周期称为1年，那么土星运行的轨道半径R2=1.43×1012m，其周期多长？
【分析】根据万有引力提供圆周运动的向心力，列式求圆周运动的周期与半径的关系然后求比值即可．
【解答】解：根据万有引力提供圆周运动的向心力有：
G=mr（）2
得卫星运动的周期：T=
所以有：
因此周期T2==29.7年；
答：土星运行的轨道周期为29.7年．
4．（2015春•浮山县校级期中）卡文迪许把他自己的实验说成是“称地球的重量”（严格地说应是“测量地球的质量”）．如果已知引力常量G、地球半径R和地球表面重力加速度g，计算地球的质量M和地球的平均密度各是多少？
【分析】根据地在地球表面万有引力等于重力公式先计算出地球质量，再根据密度等于质量除以体积求解．
【解答】解：根据地在地球表面万有引力等于重力有：=mg
解得：M=
所以ρ==．
答：地球的质量M和地球的平均密度各是，．
5．（2017春•孝感期末）火星（如图所示）是太阳系中与地球最为类似的行星，人类对火星生命的研究在今年因“火星表面存在流动的液态水”的发现而取得了重要进展．若火星可视为均匀球体，火星表面的重力加速度为g火星半径为R，火星自转周期为T，万有引力常量为G．求：
（1）火星的平均密度ρ．
（2）火星的同步卫星距火星表面的高度h．
【分析】（1）根据万有引力等于重力求出火星的质量，结合火星的体积求出火星的密度．
（2）根据万有引力提供向心力求出火星同步卫星的轨道半径，从而得出距离火星表面的高度．
【解答】解：（1）在火星表面，对质量为m的物体有①
又M=②
联立①②两式解得ρ=．
（2）同步卫星的周期等于火星的自转周期T
万有引力提供向心力，有③
联立解得h=．
答：（1）火星的平均密度ρ为．
（2）火星的同步卫星距火星表面的高度h为．
6．（2017春•蓟县期中）已知万有引力常量G，地球半径R，月球和地球之间的距离r，同步卫星距地面的高度h，月球绕地球的运转周期T1，地球的自转周期T2，地球表面的重力加速度g．某同学根据以上条件，提出一种估算地球质量M的方法：
同步卫星绕地球作圆周运动，由G==m（）2h得M=
（1）请判断上面的结果是否正确，并说明理由．如不正确，请给出正确的解法和结果．
（2）请根据已知条件再提出两种估算地球质量的方法并解得结果．
【分析】（1）根据万有引力提供向心力，列式求解，地球半径较大，不能忽略；
（2）对月球或地球应用万有引力提供向心力，也可根据在地球表面重力等于向心力求解．
【解答】解：（1）上面结果是错误的，地球的半径R在计算过程中不能忽略，正确解法和结果：得
（2）方法一：月球绕地球做圆周运动，
由得；
方法二：在地面重力近似等于万有引力，
由
得 ．
答：（1）上面结果是错误的，地球的半径R在计算过程中不能忽略，正确解法和结果如上所述．
（2）请根据已知条件再提出两种估算地球质量的方法如上所述．
7．（2017春•新余期末）我国志愿者王跃曾与俄罗斯志愿者一起进行“火星﹣500”的实验活动．假设王跃登陆火星后，测得火星的半径是地球半径的，质量是地球质量的．已知地球表面的重力加速度是g，地球的半径为R，忽略火星以及地球自转的影响，求：
（1）火星表面的重力加速度g′的大小；
（2）王跃登陆火星后，经测量发现火星上一昼夜的时间为t，如果要发射一颗火星的同步卫星，它正常运行时距离火星表面将有多远？
【分析】（1）求一个物理量之比，我们应该把这个物理量先表示出来，在进行之比，根据万有引力等于重力，得出重力加速度的关系，根据万有引力等于重力求出火星表面的重力加速度g′的大小；
（2）火星的同步卫星作匀速圆周运动的向心力由火星的万有引力提供，且运行周期与火星自转周期相同，据此求解即可．
【解答】解：（1）在地球表面，万有引力与重力相等，
=m0g
对火星=m0g′
测得火星的半径是地球半径的，质量是地球质量的，
联立解得g′=g
（2）火星的同步卫星作匀速圆周运动的向心力由火星的万有引力提供，且运行周期与火星自转周期相同．设卫星离火星表面的高度为h，则
=m0（）2（R′+h）
GM′=g′R′2
解出同步卫星离火星表面高度h=﹣R
答：（1）火星表面的重力加速度g′的大小为g；
（2）它正常运行时距离火星表面的距离为﹣R．
8．（2017春•邹平县校级期中）地球的两颗人造卫星质量之比m1：m2=1：2，圆周轨道半径之比r1：r2=1：2．
求：（1）线速度之比；
（2）角速度之比；
（3）运行周期之比；
（4）向心力之比．
【分析】（1）根据万有引力充当向心力，产生的效果公式可得出线速度和轨道半径的关系，可得结果；（2）根据圆周运动规律可得线速度和角速度以及半径的关系，直接利用上一小题的结论，简化过程；
（3）根据圆周运动规律可得运行周期和角速度之间的关系，直接利用上一小题的结论，简化过程；（4）根据万有引力充当向心力可得向心力和质量以及半径的关系．
【解答】解：设地球的质量为M，两颗人造卫星的线速度分别为V1、V2，角速度分别为ω1、ω2，运行周期分别为T1、T2，向心力分别为F1、F2；
（1）根据万有引力和圆周运动规律 得
∴=
故二者线速度之比为 ．
（2）根据圆周运动规律 v=ωr 得
∴
故二者角速度之比为 ．
（3）根据圆周运动规律
∴
故二者运行周期之比为 ．
（4）根据万有引力充当向心力公式
∴
故二者向心力之比为 2：1．
9．（2017春•郑州期中）我国月球探测计划“嫦娥工程”已经启动，科学家对月球的探索会越来越深入．
（1）若已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，月球绕地球运动的周期为T，月球绕地球的运动近似看做匀速圆周运动，试求出月球绕地球运动的轨道半径；
（2）若宇航员随登月飞船登陆月球后，在月球表面高度为h的某处以速度v0水平抛出一个小球，小球飞出的水平距离为x．已知月球半径为R月，引力常量为G，试求出月球的质量M月．
【分析】（1）在地球表面重力与万有引力相等，月球绕地球圆周运动的向心力由万有引力提供，据此计算月球圆周运动的半径；
（2）根据平抛运动规律求得月球表面的重力加速度，再根据月球表面的重力与万有引力相等计算出月球的质量M．
【解答】解：（1）设地球质量为M，月球质量为M月，根据万有引力定律及向心力公式得：
…①
在地球表面重力与万有引力大小相等有：
…②
由①②两式可解得：月球的半径为：
（2）设月球表面处的重力加速度为g月，小球飞行时间为t，根据题意
水平方向上有：x=v0t…④
竖直方向上有：…⑤
又在月球表面重力万有引力相等故有：…⑥
由④⑤⑥可解得：
答：（1）月球绕地球运动的轨道半径为；
（2）月球的质量M月为．
10．（2017春•信阳期中）如图所示，宇航员站在某质量分布均匀的星球表面一斜坡上P点沿水平方向以初速度v0抛出一个小球，测得小球经时间t落到斜坡上另一点Q，斜面的倾角为α，已知该星球半径为R，万有引力常量为G，求：
（1）该星球表面的重力加速度；
（2）该星球的密度；
（3）该星球的第一宇宙速度v；
（4）人造卫星绕该星球表面做匀速圆周运动的最小周期T．
【分析】（1）根据平抛运动规律列出水平方向和竖直方向的位移等式，结合几何关系求出重力加速度．
（2）忽略地球自转的影响，根据万有引力等于重力列出等式．根据密度公式求解．
（3）该星球的近地卫星的向心力由万有引力提供，该星球表面物体所受重力等于万有引力，联立方程即可求出该星球的第一宇宙速度υ
【解答】解：（1）设该星球表现的重力加速度为g，根据平抛运动规律：
水平方向：x=v0t
竖直方向：
平抛位移与水平方向的夹角的正切值
得；
（2）在星球表面有：，所以
该星球的密度：；
（3）由，可得v=，
又GM=gR2，所以；
（4）绕星球表面运行的卫星具有最小的周期，即：
故答案为：（1）；（2）该星球的密度；（3）该星球的第一宇宙速度；（4）人造卫星绕该星球表面做匀速圆周运动的最小周期
11．（2015春•长春校级期中）某行星绕太阳沿椭圆轨道运行，它的近日点A到太阳距离为r，远日点B到太阳的距离为R．若行星经过近日点时的速度为vA，求该行星经过远日点时的速度vB的大小．
【分析】由开普勒第二定律行星绕太阳沿椭圆轨道运动时，它和太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等，
在近日点与远日点各取一极短时间，利用扫过的面积相等．得等式：=，进行求解．
【解答】解：根据开普勒第二定律，行星绕太阳沿椭圆轨道运动时，它和太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等．如图所示，
分别以近日点A和远日点B为中心，取一个很短的时间△t，在该时间内扫过的面积如图中的两个曲边三角形所示．由于
时间极短，可把这段时间内的运动看成匀速率运动，从而有
=
所以，该行星经过远日点时的速度大小为
答：行星经过远日点时的速度vB的大小为：．
12．（2017•四模拟）“测某星球表面的重力加速度和该星球的第一宇宙速度”的实验如图甲所示，宇航员做了如下实验：
（1）在半径R=5000km的某星球表面，竖直平面内的光滑轨道由轨道AB和圆弧轨道BC组成，将质量m=0.2kg的小球，从轨道AB上高H处的某点静止滑下，用力传感器测出小球经过C点时对轨道的压力F，改变H 的大小，F随H 的变化关系如图乙所示，圆轨道的半径为　0.2　m，星球表面的重力加速度为　5　m/s2．
（2）第一宇宙速度与贴着星球表面做匀速圆周运动的速度相等，该星球的第一宇宙速度大小为　5000　m/s．
【分析】（1）小球从A到C运动的过程中，只有重力做功，机械能守恒，根据机械能守恒定律和牛顿第二定律分别列式，然后结合F﹣H图线求出圆轨道的半径和星球表面的重力加速度．
（2）第一宇宙速度与贴着星球表面做匀速圆周运动的速度相等，根据万有引力等于重力求出该星球的第一宇宙速度．
【解答】解：（1）小球过C点时满足
又根据
联立解得，由题目可知：时；
时，
可解得，r=0.2m
（2）据
可得
故答案为：（1）0.2 5 （2）5000
13．（2017春•武邑县校级期中）某行星的质量是地球的6倍，半径是地球的1.5倍，地球的第一宇宙速度约为8m/s，地球表面处的重力加速度为10m/s2，此行星的第一宇宙速度约为　32　 m/s，此行星表面处的重力加速度为　　 m/s2．
【分析】本题采用比例法求解．根据万有引力等于重力，得到此行星表面处的重力加速度与地球表面处的重力加速度的比值，再求得行星表面处的重力加速度．再由v=求出行星的第一宇宙速度与地球的第一宇宙速度的比值，从而求得行星的第一宇宙速度．
【解答】解：在星球表面上，根据万有引力等于向心力，有：G=mg，得：g=
所以行星表面处的重力加速度与地球表面处的重力加速度之比为：==×=
则行星表面处的重力加速度为：g行=g地=m/s2．
由mg=m得：v=
可得，行星的第一宇宙速度与地球的第一宇宙速度之比为：===4，则得此行星的第一宇宙速度为：v行=4v地=32km/s
故答案为：32，．
14．（2016春•龙岩期末）已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，不考虑地球自转的影响．
（1）试推导第一宇宙速度v1的表达式（要有详细的推导过程，只写结果不得分）；
（2）若卫星绕地球做匀速圆周运动，运行轨道距离地面高度为h，求卫星的运行周期T．
【分析】（1）在地球表面重力和万有引力相等，万有引力提供卫星圆周运动的向心力；
（2）万有引力提供卫星的向心力，和万有引力等于重力求解即可．
【解答】解：（1）在地球表面有重力等于万有引力：
可得：GM=gR2
所以，近地卫星的向心力由万有引力提供有：
所以有：=
（2）距地面高度为h的卫星，轨道半径为r=R+h，根据万有引力提供向心力有：
所以卫星的周期为T==
答：（1）试推导第一宇宙速度v1的表达式为：；
（2）若卫星绕地球做匀速圆周运动，运行轨道距离地面高度为h，卫星的运行周期T为．
第15页（共15页）