2018—2019学年(上)厦门市九年级质量检测数学试卷.doc

2018—2019学年(上)图3
厦门市九年级质量检测
数学
（试卷满分：150分考试时间：120分钟）
准考证号姓名座位号
注意事项：
1．全卷三大题，25小题，试卷共4页，另有答题卡．
2．答案必须写在答题卡上，否则不能得分．
3．可以直接使用2B铅笔作图．
一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分.每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确）
1.计算－5＋6，结果正确的是
A.1 B.－1 C.11 D.－11
2.如图1，在△ABC中，∠C＝90°，则下列结论正确的是
A. AB＝AC＋BC B.AB＝AC·BC
C.AB2＝AC2＋BC2 D.AC2＝AB2＋BC2
3.抛物线y＝2（x－1）2－6的对称轴是
A.x＝－6 B.x＝－1 C.x＝ D.x＝1
4.要使分式有意义，x的取值范围是
A.x≠0 B.x≠1 C.x＞－1 D.x＞1
5.下列事件是随机事件的是
A.画一个三角形，其内角和是360°
B.投掷一枚正六面体骰子，朝上一面的点数小于7
C.射击运动员射击一次，命中靶心
D.在只装了红球的不透明袋子里，摸出黑球
6.图2，图3分别是某厂六台机床十月份第一天和第二天生
产零件数的统计图.与第一天相比，第二天六台机床生
产零件数的平均数与方差的变化情况是
A.平均数变大，方差不变
B.平均数变小，方差不变
C.平均数不变，方差变小
D.平均数不变，方差变大
7.地面上一个小球被推开后笔直滑行，滑行的距离s与时间t的函数关系如图4中的部分抛
物线所示（其中P是该抛物线的顶点），则下列说法正确的是

A.小球滑行6秒停止
B.小球滑行12秒停止
C.小球滑行6秒回到起点
D.小球滑行12秒回到起点

8.在平面直角坐标系xOy中，已知A（2，0），B（1，－1），将线段OA绕点O逆时针旋转，
设旋转角为α（0°＜α＜135°）.记点A的对应点为A1，若点A1与点B的距离为，则
α为
A.30° B.45° C.60° D.90°
9.点C，D在线段AB上，若点C是线段AD的中点，2BD＞AD，则下列结论正确的是
A.CD＜AD－BD B.AB＞2BD C.BD＞AD D.BC＞AD
10.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的图象经过（0，1），（4，0）.当该二次函数的自
变量分别取x1，x2（0＜x1＜x2＜4）时，对应的函数值为y1，y2，且y1＝y2.设该函数图象
的对称轴是x＝m，则m的取值范围是
A.0＜m＜1 B.1＜m≤2 C.2＜m＜4 D.0＜m＜4
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
11.投掷一枚质地均匀的正六面体骰子，投掷一次，朝上一面的点数为
奇数的概率是 .
12.已知x＝2是方程x2＋ax－2＝0的根，则a＝ .
13.如图5，已知AB是⊙O的直径，AB＝2，C，D是圆周上的点，
且∠CDB＝30°，则BC的长为 .
14.我们把三边长的比为3∶4∶5的三角形称为完全三角形.记命题A：
“完全三角形是直角三角形”.若命题B是命题A的逆命题，请写出命题B：
；并写出一个例子（该例子能判断命题B是错误的）：
.
15.已知AB是⊙O的弦，P为AB的中点，连接OA，OP，将△OPA绕点O逆时针旋转到△OQB. 设⊙O的半径为1，∠AOQ＝135°，则AQ的长为 .
16.若抛物线y＝x2＋bx（b＞2）上存在关于直线y＝x成轴对称的两个点，则b的取值范围
是 .
三、解答题（本大题有9小题，共86分）
17.（本题满分8分）
解方程x2－3x＋1＝0.

18.（本题满分8分）
化简并求值：（1－）÷，其中x＝－1.

19.（本题满分8分）
已知二次函数y＝（x－1）2＋n，当x＝2时y＝2.求该二次函数的解析式，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象.

20.（本题满分8分）
如图6，已知四边形ABCD为矩形.
（1）请用直尺和圆规在边AD上作点E，使得EB＝EC；
（保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若AB＝4，AD＝6，求EB的长.

21.（本题满分8分）
如图7，在△ABC中，∠C＝60°，AB＝4.以AB为直径画⊙O，
交边AC于点D，的长为.求证：BC是⊙O的切线.

22.（本题满分10分）
已知动点P在边长为1的正方形ABCD的内部，点P到边AD，AB的距离分别为m，n.
（1）以A为原点，以边AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图8所示.当点P在对角线AC上，且m＝时，求点P的坐标；
（2）如图9，当m，n满足什么条件时，点P在△DAB的内部？请说明理由.

23.（本题满分10分）
小李的活鱼批发店以44元/公斤的价格从港口买进一批2000公斤的某品种活鱼，在运
输过程中，有部分鱼未能存活.小李对运到的鱼进行随机抽查，结果如表一.由于市场调
节，该品种活鱼的售价与日销售量之间有一定的变化规律，表二是近一段时间该批发店的销售记录.
（1）请估计运到的2000公斤鱼中活鱼的总重量；（直接写出答案）
（2）按此市场调节的规律，
① 若该品种活鱼的售价定为52.5元/公斤，请估计日销售量，并说明理由；
② 考虑到该批发店的储存条件，小李打算8天内卖完这批鱼（只能卖活鱼），且
售价保持不变，求该批发店每日卖鱼可能达到的最大利润，并说明理由.
表一

表二

24.（本题满分12分）
已知P是⊙O上一点，过点P作不过圆心的弦PQ，在劣弧PQ和优弧PQ上分别有动点
A，B（不与P，Q重合），连接AP，BP. 若∠APQ＝∠BPQ，
（1）如图10，当∠APQ＝45°，AP＝1，BP＝2时，求⊙O的半径；
（2）如图11，连接AB，交PQ于点M，点N在线段PM上（不与P，M重合），连接ON，OP，若∠NOP＋2∠OPN＝90°，探究直线AB与ON的位置关系，并证明.

图11
图10

25.（本题满分14分）
在平面直角坐标系xOy中，点A（0，2），B（p，q）在直线l上，抛物线m经过点
B，C（p＋4，q），且它的顶点N在直线l上.
（1）若B（－2，1），
① 请在图12的平面直角坐标系中画出直线l与抛物线m的
示意图；
② 设抛物线m上的点Q的横坐标为e（－2≤e≤0），过点
Q作x轴的垂线，与直线l交于点H.若QH＝d，当d随
e的增大而增大时，求e的取值范围；
（2）抛物线m与y轴交于点F，当抛物线m与x轴有唯一
交点时，判断△NOF的形状并说明理由.

2018—2019学年(上)厦门市九年级质量检测
数学参考答案
说明：解答只列出试题的一种或几种解法．如果考生的解法与所列解法不同，可参照评分量表的要求相应评分.

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
选项
A
C
D
B
C
D
A
B
D
C

二、填空题（本大题共6小题，每题4分，共24分）
11.. 12. －1. 13.1.
14.直角三角形是完全三角形；如：等腰直角三角形，或三边分别为5,12,13的三角形，或三边比为5∶12∶13的三角形等.
15.. 16.b＞3.

三、解答题（本大题有9小题，共86分）
17.（本题满分8分）
解：a＝1，b＝－3，c＝1.
△＝b2－4ac
＝5＞0. ……………………………4分
方程有两个不相等的实数根
x＝
＝. ……………………………6分
即x1＝，x2＝． ……………………………8分

18.（本题满分8分）
解：（1－）÷
＝（）· ……………………………2分
＝· ……………………………5分
＝ ……………………………6分
当x＝－1时，原式＝＝ …………………………8分

19.（本题满分8分）
解：因为当x＝2时，y＝2.
所以 (2−1)＋n＝2.
解得n＝1.
所以二次函数的解析式为：y＝(x−1)＋1…………………4分

x
…
−1
0
1
2
3
…
y
…
5
2
1
2
5
…
列表得：

·
·
·
·
·

如图：

…………………8分

20.（本题满分8分）
（1）（本小题满分3分）
解：如图，点E即为所求.…………………3分

（2）（本小题满分5分）
解法一：
解：连接EB，EC，
由（1）得，EB＝EC.
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠A＝∠D＝90°，AB＝DC.
∴ △ABE≌△DCE. …………………6分
∴ AE＝ED＝AD＝3. …………………7分
在Rt△ABE中，EB＝.
∴ EB＝5. …………………8分

解法二：
如图，设线段BC的中垂线l交BC于点F，
∴ ∠BFE＝90°，BF＝BC.
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠A＝∠ABF＝90°，AD＝BC.
在四边形ABFE中，∠A＝∠ABF＝∠BFE＝90°，
∴ 四边形ABFE是矩形. …………………6分
∴ EF＝AB＝4. …………………7分
在Rt△BFE中，EB＝.
∴ EB＝5. …………………8分

21.（本题满分8分）
证明：如图，连接OD，
∵ AB是直径且AB＝4，
∴ r＝2.
设∠AOD＝n°，
∵ 的长为，
∴ ＝.
解得n＝120 .
即∠AOD＝120° . ……………………………3分
在⊙O中，DO＝AO，
∴ ∠A＝∠ADO.
∴ ∠A＝（180°－∠AOD）＝ 30°. ……………………………5分
∵ ∠C＝60°，
∴ ∠ABC＝180°－∠A－∠C＝90°. …………………………6分
即AB⊥BC. ……………………………7分
又∵ AB为直径，
∴ BC是⊙O的切线. ……………………………8分
22.（本题满分10分）
解（1）（本小题满分5分）
解法一：
如图，过点P作PF⊥y轴于F，
E
F
∵ 点P到边AD的距离为m．
∴ PF＝m＝．
∴ 点P的横坐标为． …………………1分
由题得，C（1，1），可得直线AC的解析式为：y＝x． …………………3分
当x＝时，y＝ ． …………………4分
所以P（，）． …………………5分

解法二：
如图，过点P作PE⊥x轴于E，作PF⊥y轴于F，
∵ 点P到边AD，AB的距离分别为m，n，
∴ PE＝n，PF＝m.
∴ P（m，n）． …………………1分
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AC平分∠DAB． …………………2分
∵ 点P在对角线AC上，
∴ m＝n＝． …………………4分
∴ P（，）． …………………5分

（2）（本小题满分5分）
解法一：如图，以A为原点，以边AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系.
D
A(O)
B
C
y
x
则由（1）得P（m，n）．
若点P在△DAB的内部，
点P需满足的条件是：
①在x轴上方，且在直线BD的下方；
②在y轴右侧，且在直线BD的左侧.
由①，设直线BD的解析式为：y＝kx＋b，
把点B（1，0），D（0，1）分别代入，
可得直线BD的解析式为：y＝－x+1． ……………6分
当x＝m时，y＝－m+1．
由点P在直线BD的下方，可得n＜－m+1． ……………7分
由点P在x轴上方，可得n＞0 ……………8分
即0＜n＜－m+1．
同理，由②可得0＜m＜－n+1． ……………9分
所以m，n需满足的条件是：0＜n＜－m+1且0＜m＜－n+1． ……………10分

解法二：如图，过点P作PE⊥AB轴于E，作PF⊥AD轴于F，
∵ 点P到边AD，AB的距离分别为m，n，
·
P
E
F
M
∴ PE＝n，PF＝m.
在正方形ABCD中，∠ADB＝∠ADC＝45°，∠A＝90°.
∴ ∠A＝∠PEA＝∠PFA＝90°.
∴ 四边形PEAF为矩形.
∴ PE＝FA＝n. ……………6分
若点P在△DAB的内部，
则延长FP交对角线BD于点M.
在Rt△DFM中，∠DMF＝90°－∠FDM＝45°.
∴ ∠DMF＝∠FDM.
∴ DF＝FM.
∵ PF＜FM，
∴ PF＜DF ……………7分
∴ PE+ PF＝FA+ PF＜FA+ DF.
即m+ n＜1. ……………8分
又∵ m＞0， n＞0，
∴ m，n需满足的条件是m+n＜1且m＞0且n＞0. ……………10分

23.（本题满分10分）
解：（1）（本小题满分2分）
估计运到的2000公斤鱼中活鱼的总重量为1760公斤．……………2分
（2）①（本小题满分3分）
根据表二的销售记录可知，活鱼的售价每增加1元，其日销售量就减少40公斤，所以按此变化规律可以估计当活鱼的售价定为52.5元/公斤时，日销售量为300公斤.……………………5分
②（本小题满分5分）
解法一：由（2）①，若活鱼售价在50元/公斤的基础上，售价增加x元/公斤，则可估计日销售量在400公斤的基础上减少40x公斤，
设批发店每日卖鱼的最大利润为w，由题得
w＝(50＋x－) (400－40x) ……………………7分
＝－40x2＋400x
＝－40(x－5)2＋1000.
由“在8天内卖完这批活鱼”，可得8 (400－40x)≤1760，解得x≤4.5.
根据实际意义，有400－40x≥0；解得x≤10.
所以x≤4.5. ……………………9分
因为－40＜0，
所以当x＜5时，w随x的增大而增大，
所以售价定为54.5元/公斤，每日卖鱼可能达到的最大利润为990元.……………………10分

解法二：设这8天活鱼的售价为x元/公斤，日销售量为y 公斤，根据活鱼的售价与日销售量之间的变化规律，不妨设y＝kx＋b.
由表二可知，当x＝50时，y＝400；当x＝51时，y＝360，
所以，
解得，
可得y＝－40x＋2400.
设批发店每日卖鱼的最大利润为w，由题得
w＝(x－) (－40x＋2400) ……………………7分
＝－40x2＋4400x－120000
＝－40(x－55)2＋1000.
由“在8天内卖完这批活鱼”，可得8 (－40x＋2400)≤1760，解得x≤54.5.
根据实际意义，有－40x＋2400≥0；解得x≤60.
所以x≤54.5. ……………………9分
因为－40＜0，
所以当x＜55时，w随x的增大而增大，
所以售价定为54.5元/公斤，每日卖鱼可能达到的最大利润为990元.……………………10分

24.（本题满分12分）
（1）（本小题满分6分）
解：连接AB.
在⊙O中，
∵ ∠APQ＝∠BPQ＝45°，
∴ ∠APB＝∠APQ＋∠BPQ＝90°.…………1分
∴ AB是⊙O的直径. ………………3分
∴ 在Rt△APB中，AB＝
∴ AB＝3. ………………5分
∴ ⊙O的半径是. ………………6分
R
（2）（本小题满分6分）
解：AB∥ON.
证明：连接OA，OB，OQ，
在⊙O中，
∵ ＝，＝，
∴ ∠AOQ＝2∠APQ，∠BOQ＝2∠BPQ.
又∵ ∠APQ＝∠BPQ，
∴ ∠AOQ＝∠BOQ. ……………7分
在△AOB中，OA＝OB，∠AOQ＝∠BOQ，
∴ OC⊥AB，即∠OCA＝90°. ………………………8分
连接OQ，交AB于点C，
在⊙O中，OP＝OQ.
∴ ∠OPN＝∠OQP.
延长PO交⊙O于点R，则有2∠OPN＝∠QOR.
∵ ∠NOP＋2∠OPN＝90°，
又∵ ∠NOP＋∠NOQ＋∠QOR＝180°，
∴ ∠NOQ＝90°. ………………………11分
∴ ∠NOQ＋∠OCA＝180°.
∴ AB∥ON. ………………………12分

B
A
C
25.（本题满分14分）
（1）①（本小题满分3分）
解：如图即为所求
…………………………3分

②（本小题满分4分）
解：由①可求得，直线l：y＝x＋2，抛物线m：y＝－x2＋2.……………5分
因为点Q在抛物线m上，过点Q且与x轴垂直的直线与l交于点H，

所以可设点Q的坐标为（e，－e2＋2），点H的坐标为（e，e＋2），其中（－2≤e≤0）.
当－2≤e≤0时，点Q总在点H的正上方，可得
d＝－e2＋2－(e＋2) ……………6分
＝－e2－e
＝－(e＋1)2＋.
因为－＜0，
所以当d随e的增大而增大时，e的取值范围是－2≤e≤－1.……………7分
（2）（本小题满分7分）
解法一：
因为B（p，q），C（p＋4，q）在抛物线m上，
所以抛物线m的对称轴为x＝p＋2．
又因为抛物线m与x轴只有一个交点，
可设顶点N（p＋2，0）．
设抛物线的解析式为y＝a(x－p－2)2．
当x＝0时，yF＝a(p+2)2．
可得F（0，a(p+2)2）． …………………9分
把B（p，q）代入y＝a(x－p－2)2，可得q＝a(p－p－2)2．
化简可得q＝4a ①．
设直线l的解析式为y＝kx＋2，
分别把B（p，q），N（p＋2，0）代入y＝kx＋2，可得
q＝kp＋2 ②，及0＝k（p＋2）＋2 ③ ．
由①，②，③可得a＝ ．
所以F（0，p＋2）．
又因为N（p＋2，0）， …………………13分
所以ON=OF，且∠NOF＝90°．
所以△NOF为等腰直角三角形．…………………14分

解法二：
因为直线过点A（0，2），
不妨设直线l：y＝kx＋2，
因为B（p，q），C（p＋4，q）在抛物线m上，
所以抛物线m的对称轴为x=p＋2．
又因为抛物线的顶点N在直线l：y＝kx＋2上，
可得N（p＋2，k（p＋2）＋2）．
所以抛物线m：y＝a (x－p－2)2＋k（p＋2）＋2.
当x＝0时，y＝a（p＋2）2＋k（p＋2）＋2．
即点F的坐标是（0，a（p＋2）2＋k（p＋2）＋2）． …………………9分
因为直线l，抛物线m经过点B（p，q），可得
，
可得k＝－2a.
因为抛物线m与x轴有唯一交点，
可知关于x的方程kx＋2＝a (x－p－2)2＋k（p＋2）＋2中，△＝0．
结合k＝－2a，可得k(p＋2)＝－2.
可得N（p＋2，0），F（0， p＋2）． …………………13分
所以ON=OF，且∠NOF＝90°．
所以△NOF是等腰直角三角形. …………………14分

数学试题第13页共13页