四川省泸州市2015-2016学年高一(上)期末数学试卷(解析版).doc

2015-2016学年四川省泸州市高一（上）期末数学试卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.
1．设集合A={1，2，3}，B={2，3}，则A∪B=（　　）
A．{2} B．{2.5} C．{1，2，3} D．{1，2，3，5}
2．函数f（x）=x3的图象经过（　　）
A．第一、三象限 B．第二、三象限 C．第一、二象限 D．第一、四象限
3．下列函数中，在（0，+∞）上单调递增的函数是（　　）
A．f（x）=B．f（x）=sinx C．f（x）=cosx D．f（x）=x
4．函数f（x）=2|x|的大致图象为（　　）
A． B． C． D．
5．方程lnx+2x﹣6=0根的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．在△ABC中，已知点D在BC上，且CD=2BD，设=， =，则=（　　）
A． ﹣B． +C． +D．﹣+
7．若函数f（x）=，则f（f（e））（e是自然对数的底数）的值为
A．1 B．3 C．3e D．ln3e
8．下列不等式中，正确的是（　　）
A．0.8﹣0.1＞0.8﹣0.2B．log0.53＞log0.52
C．sin＜sinD．0.7﹣0.3＞0.82.2
9．函数y=sin2x（x∈[﹣，]）的单调递减区间是（　　）
A．[，]B．[﹣，]C．[﹣，]D．[0，]
10．某小型贸易公司为了实现年终10万元利润目标，特制定了一个销售人员年终绩效奖励方案，当销售利润为x万元（4≤x≤10）时，奖金y万元随销售利润x的增加而增加，但奖金总数不超过2万元，同时奖金不超过销售利润的，则下列函数中，符合该公司奖励方案的函数模型是（参考数据：lg2≈0.3，lg3≈0.48，lg5≈0.7）（　　）
A．y=0.4x B．y=lgx+1 C．y=xD．y=1.125x
11．点P从O点出发，按逆时针方向沿周长为l的图形运动一周，O、P两点间的距离y与点P所走路程x的函数关系如图，那么点P所走的图形是（　　）

A． B． C． D．
12．已知函数f（x）=，若不等式f（﹣2m2+2m﹣1）+f（8m+ek）＞0（e是自然对数的底数），对任意的m∈[﹣2，4]恒成立，则整数k的最小值是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．函数f（x）=logax（其中a＞0，且a≠1）的图象恒过定点　　　　　　．
14．已知平面向量，满足||=2，||=，与的夹角为，则在方向上的投影为　　　　　　．
15．平面直角坐标系中，角α顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与以O为圆心的单位圆交于第四象限的点P，且tanα=﹣，则点P的坐标为　　　　　　．
16．已知实数m＞0，函数f（x）=在[﹣m，m]上的最大值为p，最小值为q，则p+q=　　　　　　．

三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．设全集U=R，集合A={x|﹣1≤x＜3}，B={x|2x﹣4≤x﹣2}．（Ⅰ）求A∩（∁UR）；（Ⅱ）若函数f（x）=lg（2x+a）的定义域为集合C，满足A⊆C，求实数a的取值范围．

18．已知f（α）=．（Ⅰ）求f（）的值；（Ⅱ）若角A是△ABC的内角，且f（A）=，求cos2A﹣sin2A的值．

19．已知a，b满足alog49=1，3b=8，先化简，再求值．

20．在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，已知点A（1，2），B（2，3），C（﹣2，5）．（Ⅰ）试判断△ABC的形状，并给出证明；（Ⅱ）若点Q是直线OA上的任意一点，求•的最小值．

21．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜，x∈R）的部分图象如图：（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若将函数f（x）图象上的所有点的纵坐标保持不变，横坐标缩小到原来的倍，再沿x轴向左平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在[﹣，]上的值域．

22．已知函数f（x）=（x＞0）．
（Ⅰ）求证：函数f（x）在（0，+∞）上为增函数；
（Ⅱ）当x∈（0，1]时，若tf（2x）≥2x﹣2恒成立，求实数t的取值范围；
（Ⅲ）设g（x）=log2f（x），试讨论函数F（x）=|g（x）|2﹣（3m+1）|g（x）|+3m（m∈R）的零点情况．

2015-2016学年四川省泸州市高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.
1．设集合A={1，2，3}，B={2，3}，则A∪B=（　　）
A．{2} B．{2.5} C．{1，2，3} D．{1，2，3，5}
【考点】并集及其运算．
【分析】直接根据并集的定义即可求出．
【解答】解：∵集合A={1，2，3}，B={2，3}，
则A∪B={1，2，3}，
故选：C．

2．函数f（x）=x3的图象经过（　　）
A．第一、三象限 B．第二、三象限 C．第一、二象限 D．第一、四象限
【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．
【分析】根据函数的图象判断即可．
【解答】解：f（x）=x3的图象经过一、三象限，
故选：A．

3．下列函数中，在（0，+∞）上单调递增的函数是（　　）
A．f（x）=B．f（x）=sinx C．f（x）=cosx D．f（x）=x
【考点】函数单调性的判断与证明．
【分析】根据反比例函数和正余弦函数的单调性便可判断前三项错误，而根据增函数的定义和f（x）=的图象便可判断选项D正确．
【解答】解：A.在（0，+∞）上单调递减，∴该选项错误；
B．f（x）=sinx在（0，+∞）上没有单调性，∴该选项错误；
C．f（x）=cosx在（0，+∞）上没有单调性，∴该选项错误；
D.在（0，+∞）上单调递增，∴该选项正确．
故选：D．

4．函数f（x）=2|x|的大致图象为（　　）
A． B． C． D．
【考点】函数的图象．
【分析】化为分段函数，根据指数函数的单调性即可判断．
【解答】解：当x≥0时，f（x）=2x为增函数，
当x＜0时，f（x）=2﹣x为减函数，
故选：C．

5．方程lnx+2x﹣6=0根的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】根的存在性及根的个数判断．
【分析】根据函数与方程的关系转化为函数y=lnx和y=﹣2x+6的交点个数问题，利用数形结合进行求解即可．
【解答】解：由lnx+2x﹣6=0得lnx=﹣2x+6，
作出函数y=lnx和y=﹣2x+6的图象，
则由图象可知两个函数只有一个交点，
即方程lnx+2x﹣6=0根的个数只有1个，
故选：A．

6．在△ABC中，已知点D在BC上，且CD=2BD，设=， =，则=（　　）
A． ﹣B． +C． +D．﹣+
【考点】向量的线性运算性质及几何意义．
【分析】可画出图形，根据条件有，将，带入，并解出，这样即可用表示出，从而找出正确选项．
【解答】解：如图，CD=2BD；
∴；
∴；
∴．
故选C．

7．若函数f（x）=，则f（f（e））（e是自然对数的底数）的值为（　　）
A．1 B．3 C．3e D．ln3e
【考点】函数的值．
【分析】根据分段函数的表达式代入求解即可．
【解答】解：∵f（e）=lne=1，f（1）=3，
∴f（f（e））=f（1）=3，
故选：B

8．下列不等式中，正确的是（　　）
A．0.8﹣0.1＞0.8﹣0.2B．log0.53＞log0.52
C．sin＜sinD．0.7﹣0.3＞0.82.2
【考点】不等式的基本性质．
【分析】根据指数函数以及对数函数的性质判断即可．
【解答】解：对于A：0.8﹣0.1＜0.8﹣0.2，A错误；
对于B：＜，B错误；
对于C：sin＞sin，C错误；
对于D：0.7﹣0.3＞1＞0.82.2，D正确；
故选：D．

9．函数y=sin2x（x∈[﹣，]）的单调递减区间是（　　）
A．[，]B．[﹣，]C．[﹣，]D．[0，]
【考点】正弦函数的图象．
【分析】由条件利用正弦函数的单调性，求得结果．
【解答】解：对于函数y=sin2x，令2kπ+≤2x≤2kπ+，
求得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，可得函数的减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．
再根据x∈[﹣，]，可得函数的减区间为[，]，
故选：A．

10．某小型贸易公司为了实现年终10万元利润目标，特制定了一个销售人员年终绩效奖励方案，当销售利润为x万元（4≤x≤10）时，奖金y万元随销售利润x的增加而增加，但奖金总数不超过2万元，同时奖金不超过销售利润的，则下列函数中，符合该公司奖励方案的函数模型是（参考数据：lg2≈0.3，lg3≈0.48，lg5≈0.7）（　　）
A．y=0.4x B．y=lgx+1 C．y=xD．y=1.125x
【考点】函数模型的选择与应用．
【分析】由题意，符合公司要求的模型只需满足：当x∈[4，10]时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过2；③y≤x，然后一一验证即可．
【解答】解：由题意，符合公司要求的模型只需满足：
当x∈[4，10]时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过2；③y≤x，
A中，函数y=0.4x，易知满足①，但当x＞5时，y＞2不满足公司要求；
B中，函数y=lgx+1，易知满足①，当x=10时，y取最大值2，故满足公司要求；
C中，函数y=，易知满足①，当x＞2时，y＞2不满足公司要求；
D中，函数y=1.125x，易知满足①，但当x＞时，y＞2，不满足公司要求；
故选：B．

11．点P从O点出发，按逆时针方向沿周长为l的图形运动一周，O、P两点间的距离y与点P所走路程x的函数关系如图，那么点P所走的图形是（　　）

A． B． C． D．
【考点】函数的图象．
【分析】认真观察函数的图象，根据其运动特点，采用排除法求解．
【解答】解：观察函数的运动图象，可以发现两个显著特点：
①点P运动到周长的一半时，OP最大；
②点P的运动图象是抛物线．
设点M为周长的一半，如下图所示：
由图可知，

图1中，OM≤OP，不符合条件①，因此排除选项A；
图4中，OM≤OP，不符合条件①，并且OP的距离不是对称变化的，因此排除选项D．
另外，在图2中，当点P在线段OA上运动时，y=x，其图象是一条线段，不符合条件②，因此排除选项B．
故选：C．

12．已知函数f（x）=，若不等式f（﹣2m2+2m﹣1）+f（8m+ek）＞0（e是自然对数的底数），对任意的m∈[﹣2，4]恒成立，则整数k的最小值是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】函数恒成立问题．
【分析】根据条件判断函数的奇偶性和单调性，利用函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化，利用参数分离法，转化求函数的最值即可．
【解答】解：∵f（﹣x）===﹣=﹣f（x），
∴函数f（x）是奇函数，
函数f（x）=．定义域为R，函数f（x）在R上是增函数．
证明：设x1，x2是R内任意两个值，且x1＜x2．
则=①．
又因为x1＜x2，所以，又．
所以①＜0，即f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．
故f（x）是R上的增函数．
则不等式若不等式f（﹣2m2+2m﹣1）+f（8m+ek）＞0等价为若不等式f（8m+ek）＞﹣f（﹣2m2+2m﹣1）=f（2m2﹣2m+1），
即8m+ek＞2m2﹣2m+1，
即ek＞2m2﹣10m+1，
设g（m）=2m2﹣10m+1，则函数的对称轴为m==，
则当m∈[﹣2，4]时，当m=﹣2时，函数g（m）取得最大值g（﹣2）=29，
即ek＞g（m）max=29，
则k＞ln29．
∵k是整数，
∴k的最小值是4，
故选：C．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．函数f（x）=logax（其中a＞0，且a≠1）的图象恒过定点　（1，0）　．
【考点】对数函数的图象与性质．
【分析】根据对数函数的图象恒过（1，0）点，可得答案．
【解答】解：函数f（x）=logax（其中a＞0，且a≠1）为对数函数，
其图象恒过（1，0）点，
故答案为：（1，0）

14．已知平面向量，满足||=2，||=，与的夹角为，则在方向上的投影为　1　．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】根据数量积的几何意义可知，在在方向上的投影方向上的投影为||与向量，夹角的余弦值的乘积，即可求得答案．
【解答】解：根据数量积的几何意义可知，在在方向上的投影方向上的投影为||与向量，夹角的余弦值的乘积，
∴在方向上的投影为||•cos=2×=1，
∴在方向上的投影为1．
故答案为：1．

15．平面直角坐标系中，角α顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与以O为圆心的单位圆交于第四象限的点P，且tanα=﹣，则点P的坐标为　　．
【考点】任意角的三角函数的定义．
【分析】设出P（x，y）（x＞0，y＜0），由题意列关于x，y的方程组，求解方程组得答案．
【解答】解：如图，
设P（x，y）（x＞0，y＜0），
∵tanα=﹣，
∴①，
又x2+y2=1 ②，
联立①②解得：．
∴点P的坐标为（）．
故答案为：（）．

16．已知实数m＞0，函数f（x）=在[﹣m，m]上的最大值为p，最小值为q，则p+q=　4　．
【考点】函数的最值及其几何意义．
【分析】通过令g（x）=﹣可知f（x）=2+g（x）且g（x）为奇函数，利用g（x）在[﹣m，m]上的最大值、最小值和为0及各自与f（x）的最值之间的关系即得结论．
【解答】解：依题意，f（x）==2﹣，
令g（x）=﹣，则f（x）=2+g（x），且g（x）为奇函数，
记g（x）在[﹣m，m]上的最大值为a，最小值为b，则p=a+2，q=b+2，
又∵a+b=0，
∴p+q=（a+b）+4=4，
故答案为：4．

三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．设全集U=R，集合A={x|﹣1≤x＜3}，B={x|2x﹣4≤x﹣2}．
（Ⅰ）求A∩（∁UR）；
（Ⅱ）若函数f（x）=lg（2x+a）的定义域为集合C，满足A⊆C，求实数a的取值范围．
【考点】集合的包含关系判断及应用；交、并、补集的混合运算．
【分析】（Ⅰ）求出∁UB，即可求A∩（∁UB）；
（Ⅱ）求出集合C，利用A⊆C，即可求实数a的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）B={x|x≤2}．
∴∁UB={x|x＞2}
∴A∩（∁UB）={x|2＜x＜3}；
（Ⅱ）函数f（x）=lg（2x+a）的定义域为集合C={x|x＞﹣}，
∵A⊆C，
∴﹣＜﹣1，
∴a＞2．

18．已知f（α）=．
（Ⅰ）求f（）的值；
（Ⅱ）若角A是△ABC的内角，且f（A）=，求cos2A﹣sin2A的值．
【考点】三角函数的化简求值；三角函数中的恒等变换应用．
【分析】（I）利用诱导公式与同角三角函数基本关系式可得f（α）=tanα．代入即可得出f（）．
（II）f（A）=，可得tanA=，可得cos2A﹣sin2A==．
【解答】解：（I）f（α）===tanα．∴f（）===；
（II）f（A）=，∴tanA=，
∴cos2A﹣sin2A====．

19．已知a，b满足alog49=1，3b=8，先化简，再求值．
【考点】对数的运算性质．
【分析】把已知的等式变形求得a，化指数式为对数式求得b，再利用有理指数幂的运算性质化简后代入a，b求解．
【解答】解：∵alog49=1，3b=8，
∴，b=log38=2log32．
∴==．

20．在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，已知点A（1，2），B（2，3），C（﹣2，5）．
（Ⅰ）试判断△ABC的形状，并给出证明；
（Ⅱ）若点Q是直线OA上的任意一点，求•的最小值．
【考点】平面向量数量积的运算；平面向量的坐标运算．
【分析】（Ⅰ）由已知点的坐标求出向量的坐标，然后利用向量数量积为0证明△ABC为直角三角形；
（Ⅱ）利用共线向量基本定理可得（λ∈R），求出的坐标，进一步求得、的坐标，把•化为含有λ的代数式，配方求得答案．
【解答】解：（Ⅰ）△ABC为直角三角形．
证明如下：
∵A（1，2），B（2，3），C（﹣2，5），
∴，
则，
∴．
即△ABC为直角三角形；
（Ⅱ）由题意知，A，O，Q三点共线，
设（λ∈R），
则，
∴，
，
因此
=（2﹣λ）（﹣2﹣λ）+（3﹣2λ）（5﹣2λ）=5λ2﹣16λ+11
=．
∴当时， •取得最小值，此时．

21．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜，x∈R）的部分图象如图：
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若将函数f（x）图象上的所有点的纵坐标保持不变，横坐标缩小到原来的倍，再沿x轴向左平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在[﹣，]上的值域．

【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】（1）根据函数图象确定A，ω和φ的值即可．
（2）根据三角函数平移关系，结合三角函数的单调性进行求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）由图象知函数的周期T=4•[﹣（﹣）]=4π，
即=4π，则ω=，
∵函数图象与x的交点坐标是（，0），
∴Asin（×+φ）=0
即sin（+φ）=0
即+φ=kπ，即φ=kπ﹣，
∵|φ|＜，
∴当k=0时，φ=﹣
即f（x）=Asin（x﹣），
∵f（0）=Asin（﹣）=A=﹣1，
∴A=2，
则f（x）=2sin（x﹣）
（Ⅱ）若将函数f（x）图象上的所有点的纵坐标保持不变，横坐标缩小到原来的倍，得到y=2sin（2x﹣），
再沿x轴向左平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，
即g（x）=2sin[2（x+）﹣]=2sin（2x+），
∵x∈[﹣，]，
∴2x+∈[﹣，]，
则当2x+=时，函数取得最大值2，
当2x+=﹣时，函数取得最小值﹣1，
即函数g（x）在[﹣，]上的值域是[﹣1，2]．

22．已知函数f（x）=（x＞0）．
（Ⅰ）求证：函数f（x）在（0，+∞）上为增函数；
（Ⅱ）当x∈（0，1]时，若tf（2x）≥2x﹣2恒成立，求实数t的取值范围；
（Ⅲ）设g（x）=log2f（x），试讨论函数F（x）=|g（x）|2﹣（3m+1）|g（x）|+3m（m∈R）的零点情况．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（Ⅰ）根据函数单调性的定义证明即可；（Ⅱ）设2t=u，当u∈（1，2]时，u2﹣（2t+1）u﹣2≤0恒成立，得到关于t的不等式组，解出即可；
（Ⅲ）求出y=|g（x）|的值域，问题转化为求方程|g（x）|2﹣（3m+1）|g（x）|+3m=0的实数根，令b=|g（x）|，得到方程b2﹣（3m+1）b+3m=0，求出b的值，通过讨论m的范围，判断即可．
【解答】解：（Ⅰ）设x1，x2是（0，+∞）上的任意两个数，且x1＜x2，
则f（x1）﹣f（x2）=（2﹣）﹣（2﹣）=，
∵x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，∴＜0，
即f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在（0，+∞）上递增；
（Ⅱ）tf（2x）≥2x﹣2即（2t）2﹣（2t+1）2t﹣2≤0，
设2t=u，∵x∈（0，1]，∴u∈（1，2]，
即当u∈（1，2]时，u2﹣（2t+1）u﹣2≤0恒成立，
∴，
解得：t≥0，
∴实数t的范围是[0，+∞）；
（Ⅲ）f（x）=2﹣，
∵x＞0，∴x+1＞1，∴0＜＜2，
即0＜f（x）＜2，
x＞0时，由（Ⅰ）得f（x）递增，y=log2t递增，
∴g（x）=log2f（x）递增，∴g（x）的值域是（﹣∞，1），
∴y=|g（x）|的大致图象如图示：
，
函数F（x）=|g（x）|2﹣（3m+1）|g（x）|+3m（m∈R）的零点
即方程|g（x）|2﹣（3m+1）|g（x）|+3m=0的实数根，
令b=|g（x）|，即b2﹣（3m+1）b+3m=0，解得：b=1或b=3m，
b=1时，满足条件的实数根有且只有一个，
∵3m＞0，
当0＜3m＜1，即m＜0时，函数F（x）有3个零点，
当3m=1，即m=0时，函数F（x）只有1个零点，
当3m＞1，即m＞0时，函数F（x）有2个零点，
综上，m=0时，函数F（x）只有1个零点，
m＞0时，函数F（x）有2个零点，
m＜0时，函数F（x）有3个零点．

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