高中数学必修4平面向量典型例题与提高题.doc

平面向量
【基本概念与公式】 【任何时候写向量时都要带箭头】
1.向量：既有大小又有方向的量。记作：或。
2.向量的模：向量的大小（或长度），记作：或。
3.单位向量：长度为1的向量。若是单位向量，则。
4.零向量：长度为0的向量。记作：。【方向是任意的，且与任意向量平行】
5.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。
6.相等向量：长度和方向都相同的向量。
7.相反向量：长度相等，方向相反的向量。。
8.三角形法则：
；；（指向被减数）
9.平行四边形法则：
以为临边的平行四边形的两条对角线分别为，。
10.共线定理：。当时，同向；当时，反向。
11.基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。
12.向量的模：若，则，，
13.数量积与夹角公式：；
14.平行与垂直：；
题型1.基本概念判断正误：
（1）若与共线， 与共线，则与共线。 （2）若，则。
（3）若，则。 （4）若与不共线，则与都不是零向量。
（5）若，则。 （6）若，则。
题型2.向量的加减运算
4.已知的和向量，且，则 ， 。
5.已知点C在线段AB上，且,则 ， 。
题型3.向量的数乘运算
2.已知，则 。
题型4根据图形由已知向量求未知向量
1.已知在中，是的中点，请用向量表示。

2.在平行四边形中，已知，求。

题型5.向量的坐标运算
6.已知，，，则 。
7.已知是坐标原点，，且，求的坐标。

题型6.判断两个向量能否作为一组基底
1.已知是平面内的一组基底，判断下列每组向量是否能构成一组基底：
A. B. C. D.
题型7.结合三角函数求向量坐标
1.已知是坐标原点，点在第二象限，，，求的坐标。

题型8.求数量积
1.已知，且与的夹角为，求（1），（2），
（3），（4）。

题型9.求向量的夹角
3.已知，，，求。

题型10.求向量的模
1．已知向量与的夹角为θ，定义×为与的“向量积”，且×是一个向量，它的长度|×|=||||sinθ，若
=（2，0），﹣=（1，﹣），则|×（+）|=（　　）

A．
4
B．

C．
6
D．
2
1.已知，且与的夹角为，求（1），（2）。

3.已知，，求。

题型11.求单位向量 【与平行的单位向量：】
1.与平行的单位向量是 2.与平行的单位向量是 。
题型12.向量的平行与垂直
1.已知，，（1）为何值时，向量与垂直？（2）为何值时向量与平行？

2.已知是非零向量，，且，求证：。
3．若向量=（2cosα，﹣1），=（，tanα），且∥，则sinα=（　　）

A．

B．

C．

D．

题型13.三点共线问题
3.已知，则一定共线的三点是 。
4.已知，，若点在直线上，求的值。

5.已知四个点的坐标，，，，是否存在常数，使成立？

题型14.判断多边形的形状
1．已知P为三角形ABC内部任一点（不包括边界），且满足(﹣）•（+﹣2）=0，则△ABC的形状一定为（　　）

A．
等边三角形
B．
直角三角形
C．
钝三角形
D．
等腰三角形
2.在平面直角坐标系内，,求证：是等腰直角三角形。

题型15.平面向量的综合应用
1.已知，，（1）若与的夹角为钝角，求的范围；
（2）若与的夹角为锐角，求的范围。

2.已知三个顶点的坐标分别为，，，
（1）若，求的值；（2）若，求的值。
提高题
1．设向量=，=不共线，且|+|=1，|﹣|=3，则△OAB的形状是（　　）

A．
等边三角形
B．
直角三角形
C．
锐角三角形
D．
钝角三角形
2．已知点G是△ABC的重心，若A=，•=3，则||的最小值为（　　）

A．

B．

C．

D．
2
3．如图，各棱长都为2的四面体ABCD中，=，=2，则向量•=（　　）

A．
﹣
B．

C．
﹣
D．

4．已知函数f（x）=sin（2πx+φ）的部分图象如图所示，点B，C是该图象与x轴的交点，过点C的直线与该图象交于D，E两点，则（）•的值为（　　）

A．

B．

C．
1
D．
2
5．已知P为三角形ABC内部任一点（不包括边界），且满足(﹣）•（+﹣2）=0，则△ABC的形状一定为（　　）

A．
等边三角形
B．
直角三角形
C．
钝三角形
D．
等腰三角形
6．如图所示，设P为△ABC所在平面内的一点，并且=+，则△ABP与△ABC的面积之比等于（　　）

A．

B．

C．

D．

7．在△ABC中，|AB|=3，|AC|=2，=，则直线AD通过△ABC的（　　）

A．
垂心
B．
外心
C．
重心
D．
内心
8．在△ABC中，∠BAC=60°，AB=2，AC=1，E，F为边BC的三等分点，则=（　　）

A．

B．

C．

D．

（向量数量积的运算坐标化）
9．已知空间向量满足，且的夹角为，O为空间直角坐标系的原点，点A、B满足，，则△OAB的面积为（　　）

A．

B．

C．

D．

10．已知向量=（cosθ，sinθ）和．
（1）若∥，求角θ的集合；
（2）若，且|﹣|=，求的值．
11．已知向量且，函数f（x）=2
（I）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（II）若，分别求tanx及的值．

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