中考数学专题复习扇形弧长及面积要点.doc

2017年中考数学专题复习扇形弧长及面积

一．选择题（共10小题）
1．如图，要拧开一个边长为a（a=6mm）的正六边形，扳手张开的开口b至少为（　　）

A．4mm B．6mm C．4mm D．12mm
2．平面直角坐标系中，正六边形ABCDEF的起始位置如图1所示，边AB在x轴上，现将正六边形沿x轴正方向无滑动滚动，第一次滚动后，边BC落在x轴上（如图2）；第二次滚动后，边CD落在x轴上，如此继续下去．则第2016次滚动后，落在x轴上的是（　　）

A．边DE B．边EF C．边FA D．边AB
3．已知⊙O的半径为r，其内接正六边形，正四边形，正三角形的边长分别为a，b，c，则a：b：c的值为（　　）
A．1：2：3 B．3：2：1 C．1：： D．：：1
4．如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，若将△AOB绕点O顺时针旋转90°得到△A′OB′，则A点运动的路径的长为（　　）

A．π B．2π C．4π D．8π
5．如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=3，OB=2，将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°后得Rt△FOE，将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得线段ED，分别以O，E为圆心，OA、ED长为半径画弧AF和弧DF，连接AD，则图中阴影部分面积是（　　）

A．π B． C．3+π D．8﹣π
6．如图，在扇形AOB中∠AOB=90°，正方形CDEF的顶点C是的中点，点D在OB上，点E在OB的延长线上，当正方形CDEF的边长为2时，则阴影部分的面积为（　　）

A．2π﹣4 B．4π﹣8 C．2π﹣8 D．4π﹣4
7．如图，分别以五边形ABCDE的顶点为圆心，以1为半径作五个圆，则图中阴影部分的面积之和为（　　）

A． B．3π C． D．2π
8．如图，从一块直径为24cm的圆形纸片上剪出一个圆心角为90°的扇形ABC，使点A，B，C在圆周上，将剪下的扇形作为一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径是（　　）

A．12cm B．6cm C．3cm D．2cm
9．如图，点A在以BC为直径的⊙O内，且AB=AC，以点A为圆心，AC长为半径作弧，得到扇形ABC，剪下扇形ABC围成一个圆锥（AB和AC重合），若∠BAC=120°，BC=2，则这个圆锥底面圆的半径是（　　）

A． B． C． D．
10．如图，圆锥底面半径为rcm，母线长为10cm，其侧面展开图是圆心角为216°的扇形，则r的值为（　　）

A．3 B．6 C．3π D．6π

二．解答题（共7小题）
11．如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠D=60°且AB=6，过O点作OE⊥AC，垂足为E．
（1）求OE的长；
（2）若OE的延长线交⊙O于点F，求弦AF、AC和弧CF围成的图形（阴影部分）的面积S．

12．如图所示，已知圆锥底面半径r=10cm，母线长为40cm．
（1）求它的侧面展开图的圆心角和表面积．
（2）若一甲出从A点出发沿着圆锥侧面行到母线SA的中点B，请你动脑筋想一想它所走的最短路线是多少？为什么？

13．如图，在边长为4的正方形ABCD中，以AB为直径的半圆与对角线AC交于点E．
（1）求弧BE所对的圆心角的度数．
（2）求图中阴影部分的面积（结果保留π）．

14．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，斜边AB=2，O是AB的中点，以O为圆心，线段OC的长为半径画圆心角为90°的扇形OEF，经过点C，求：
（1）的长．
（2）阴影部分的面积．

15．如图，已知点A、B、C、D均在半径为3的已知圆上，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠C=60°．
（1）求四边形ABCD的周长．
（2）求图中阴影部分的面积（结果保留π）．

16．如图所示，已知扇形AOB的半径为6cm，圆心角的度数为120°，若将此扇形围成一个圆锥，则：
（1）求出围成的圆锥的侧面积为多少？
（2）求出该圆锥的底面半径是多少？

17．如图1，正方形ABCD是一个6×6网格电子屏的示意图，其中每个小正方形的边长为1．位于AD中点处的光点P按图2的程序移动．
（1）请在图1中画出光点P经过的路径；
（2）求光点P经过的路径总长（结果保留π）．

2016年11月05日546730637的初中数学组卷
参考答案与试题解析

一．选择题（共10小题）
1．（2016•河西区模拟）如图，要拧开一个边长为a（a=6mm）的正六边形，扳手张开的开口b至少为（　　）

A．4mm B．6mm C．4mm D．12mm
【分析】根据题意，即是求该正六边形的边心距的2倍．构造一个由半径、半边、边心距组成的直角三角形，且其半边所对的角是30度，再根据锐角三角函数的知识求解．
【解答】解：设正多边形的中心是O，其一边是AB，
∴∠AOB=∠BOC=60°，
∴OA=OB=AB=OC=BC，
∴四边形ABCO是菱形，
∵AB=6mm，∠AOB=60°，
∴cos∠BAC=，
∴AM=6×=3（mm），
∵OA=OC，且∠AOB=∠BOC，
∴AM=MC=AC，
∴AC=2AM=6（mm）．
故选B．

2．（2016•曲靖模拟）平面直角坐标系中，正六边形ABCDEF的起始位置如图1所示，边AB在x轴上，现将正六边形沿x轴正方向无滑动滚动，第一次滚动后，边BC落在x轴上（如图2）；第二次滚动后，边CD落在x轴上，如此继续下去．则第2016次滚动后，落在x轴上的是（　　）

A．边DE B．边EF C．边FA D．边AB
【分析】由正六边形ABCDEF一共有6条边，即6次一循环；易得第2016次滚动后，与第六次滚动后的结果一样，继而求得答案．
【解答】解：∵正六边形ABCDEF一共有6条边，即6次一循环；
∴2016÷6=336，
∵第一次滚动后，边BC落在x轴上（如图2）；第二次滚动后，边CD落在x轴上，如此继续下去，第六次滚动后，边AB落在x轴上，
∴第2016次滚动后，落在x轴上的是：边AB．
故选D．

3．（2016•兰州模拟）已知⊙O的半径为r，其内接正六边形，正四边形，正三角形的边长分别为a，b，c，则a：b：c的值为（　　）
A．1：2：3 B．3：2：1 C．1：： D．：：1
【分析】根据题意画出图形，再由正多边形的性质及直角三角形的性质求解即可．
【解答】解：如图1所示，
在正三角形ABC中，连接OB，过O作OD⊥BC于D，
则∠OBC=30°，BD=OB•cos30°=r，
故a=BC=2BD=r；
如图2所示，
在正方形ABCD中，连接OB、OC，过O作OE⊥BC于E，
则△OBE是等腰直角三角形，
2BE2=OB2，即BE=r，
故b=BC=r；
如图3所示，
在正六边形ABCDEF中，连接OA、OB，过O作OG⊥AB，则△OAB是等边三角形，
故AG=OA•cos60°=r，
c=AB=2AG=r，
∴圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比r：r：r=：：1．
故选：C．

4．（2016•阿坝州）如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，若将△AOB绕点O顺时针旋转90°得到△A′OB′，则A点运动的路径的长为（　　）

A．π B．2π C．4π D．8π
【分析】由每个小正方形的边长都为1，可求得OA长，然后由弧长公式，求得答案．
【解答】解：∵每个小正方形的边长都为1，
∴OA=4，
∵将△AOB绕点O顺时针旋转90°得到△A′OB′，
∴∠AOA′=90°，
∴A点运动的路径的长为：=2π．
故选B．

5．（2016•桂林）如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=3，OB=2，将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°后得Rt△FOE，将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得线段ED，分别以O，E为圆心，OA、ED长为半径画弧AF和弧DF，连接AD，则图中阴影部分面积是（　　）

A．π B． C．3+π D．8﹣π
【分析】作DH⊥AE于H，根据勾股定理求出AB，根据阴影部分面积=△ADE的面积+△EOF的面积+扇形AOF的面积﹣扇形DEF的面积、利用扇形面积公式计算即可．
【解答】解：作DH⊥AE于H，
∵∠AOB=90°，OA=3，OB=2，
∴AB==，
由旋转的性质可知，OE=OB=2，DE=EF=AB=，△DHE≌△BOA，
∴DH=OB=2，
阴影部分面积=△ADE的面积+△EOF的面积+扇形AOF的面积﹣扇形DEF的面积
=×5×2+×2×3+﹣
=8﹣π，
故选：D．

6．（2016•深圳）如图，在扇形AOB中∠AOB=90°，正方形CDEF的顶点C是的中点，点D在OB上，点E在OB的延长线上，当正方形CDEF的边长为2时，则阴影部分的面积为（　　）

A．2π﹣4 B．4π﹣8 C．2π﹣8 D．4π﹣4
【分析】连结OC，根据勾股定理可求OC的长，根据题意可得出阴影部分的面积=扇形BOC的面积﹣三角形ODC的面积，依此列式计算即可求解．
【解答】解：∵在扇形AOB中∠AOB=90°，正方形CDEF的顶点C是的中点，
∴∠COD=45°，
∴OC==4，
∴阴影部分的面积=扇形BOC的面积﹣三角形ODC的面积
=×π×42﹣×（2）2
=2π﹣4．
故选：A．

7．（2016•朝阳）如图，分别以五边形ABCDE的顶点为圆心，以1为半径作五个圆，则图中阴影部分的面积之和为（　　）

A． B．3π C． D．2π
【分析】圆心角之和等于n边形的内角和（n﹣2）×180°，由于半径相同，根据扇形的面积公式S=计算即可求出圆形中的空白面积，再用5个圆形的面积减去圆形中的空白面积可得阴影部分的面积．
【解答】解：n边形的内角和（n﹣2）×180°，
圆形的空白部分的面积之和S==π=π=π．
所以图中阴影部分的面积之和为：5πr2﹣π=5π﹣π=π．
故选：C．

8．（2016•荆门）如图，从一块直径为24cm的圆形纸片上剪出一个圆心角为90°的扇形ABC，使点A，B，C在圆周上，将剪下的扇形作为一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径是（　　）

A．12cm B．6cm C．3cm D．2cm
【分析】圆的半径为12，求出AB的长度，用弧长公式可求得弧BC的长度，圆锥的底面圆的半径=圆锥的弧长÷2π．
【解答】解：AB===12cm，
∴==6π
∴圆锥的底面圆的半径=6π÷（2π）=3cm．
故选C．

9．（2016•贵港）如图，点A在以BC为直径的⊙O内，且AB=AC，以点A为圆心，AC长为半径作弧，得到扇形ABC，剪下扇形ABC围成一个圆锥（AB和AC重合），若∠BAC=120°，BC=2，则这个圆锥底面圆的半径是（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据扇形的圆心角的度数和直径BC的长确定扇形的半径，然后确定扇形的弧长，根据圆锥的底面周长等于扇形的弧长列式求解即可．
【解答】解：如图，连接AO，∠BAC=120°，
∵BC=2，∠OAC=60°，
∴OC=，
∴AC=2，
设圆锥的底面半径为r，则2πr==π，
解得：r=，
故选B．

10．（2016•泉州）如图，圆锥底面半径为rcm，母线长为10cm，其侧面展开图是圆心角为216°的扇形，则r的值为（　　）

A．3 B．6 C．3π D．6π
【分析】直接根据弧长公式即可得出结论．
【解答】解：∵圆锥底面半径为rcm，母线长为10cm，其侧面展开图是圆心角为216°的扇形，
∴2πr=×2π×10，解得r=6．
故选B．

二．解答题（共7小题）
11．（2017•博兴县模拟）如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠D=60°且AB=6，过O点作OE⊥AC，垂足为E．
（1）求OE的长；
（2）若OE的延长线交⊙O于点F，求弦AF、AC和弧CF围成的图形（阴影部分）的面积S．

【分析】（1）根据∠D=60°，可得出∠B=60°，继而求出BC，判断出OE是△ABC的中位线，就可得出OE的长；
（2）连接OC，将阴影部分的面积转化为扇形FOC的面积．
【解答】解：（1）∵∠D=60°，
∴∠B=60°（圆周角定理），
又∵AB=6，
∴BC=3，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵OE⊥AC，
∴OE∥BC，
又∵点O是AB中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE=BC=；

（2）连接OC，

则易得△COE≌△AFE，
故阴影部分的面积=扇形FOC的面积，
S扇形FOC==π．
即可得阴影部分的面积为π．

12．（2015秋•崆峒区期末）如图所示，已知圆锥底面半径r=10cm，母线长为40cm．
（1）求它的侧面展开图的圆心角和表面积．
（2）若一甲出从A点出发沿着圆锥侧面行到母线SA的中点B，请你动脑筋想一想它所走的最短路线是多少？为什么？

【分析】（1）利用圆锥的弧长等于底面周长得到圆锥的侧面展开图的圆心角；圆锥表面积=底面积+侧面积=π×底面半径2+π×底面半径×母线长；
（2）最短路线应放在平面内，构造直角三角形，求两点之间的线段的长度．
【解答】解：（1）=2π×10，
解得n=90．
圆锥侧面展开图的表面积=π×102+π×10×40=500πcm2．

（2）如右图，由圆锥的侧面展开图可见，甲虫从A点出发沿着圆锥侧面绕行到母线SA的中点B所走的最短路线是线段AB的长．
在Rt△ASB中，SA=40，SB=20，
∴AB=20（cm）．
∴甲虫走的最短路线的长度是20cm．

13．（2015秋•江都市期中）如图，在边长为4的正方形ABCD中，以AB为直径的半圆与对角线AC交于点E．
（1）求弧BE所对的圆心角的度数．
（2）求图中阴影部分的面积（结果保留π）．

【分析】（1）连接OE，由条件可求得∠EAB=45°，利用圆周角定理可知弧BE所对的圆心角∠EOB=2∠EAB=90°；
（2）利用条件可求得扇形AOE的面积，进一步求得弓形的面积，利用Rt△ADC的面积减去弓的面积可求得阴影部分的面积．
【解答】解：（1）连接OE，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠EAB=45°，
∴∠EOB=2∠EAB=90°；
（2）由（1）∠EOB=90°，
且AB=4，则OA=2，
∴S扇形AOE==π，S△AOE=OA2=2，
∴S弓形=S扇形AOE﹣S△AOE=π﹣2，
又∵S△ACD=AD•CD=×4×4=8，
∴S阴影=8﹣（π﹣2）=10﹣π．

14．（2015秋•嵊州市校级月考）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，斜边AB=2，O是AB的中点，以O为圆心，线段OC的长为半径画圆心角为90°的扇形OEF，经过点C，求：
（1）的长．
（2）阴影部分的面积．

【分析】（1）根据扇形的弧长公式：l=计算即可；
（2）作OM⊥BC，ON⊥AC，证明△OMG≌△ONH，则S四边形OGCH=S四边形OMCN，求得扇形FOE的面积，则阴影部分的面积即可．
【解答】解：（1）的长为：=；
（2）作OM⊥BC，ON⊥AC．
∵CA=CB，∠ACB=90°，点O为AB的中点，
∴OC=AB=1，四边形OMCN是正方形，OM=，
则扇形FOE的面积是：=．
∵OA=OB，∠AOB=90°，点D为AB的中点，
∴OC平分∠BCA，
又∵OM⊥BC，ON⊥AC，
∴OM=ON，
∵∠GOH=∠MON=90°，
∴∠GOM=∠HON，
则在△OMG和△ONH中，
，
∴△OMG≌△ONH（AAS），
∴S四边形OGCH=S四边形OMCN=．
则阴影部分的面积是：﹣．

15．（2014秋•金华校级期中）如图，已知点A、B、C、D均在半径为3的已知圆上，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠C=60°．
（1）求四边形ABCD的周长．
（2）求图中阴影部分的面积（结果保留π）．

【分析】（1）先根据平行线的性质得出=，故可得出∠ABC=∠C=60°，连接OA，OB，可得出△OCD，△OAB与△OAD均为等边三角形，故可得出AD=AB=CD=3，由此可得出结论；
（2）由（1）知，AD=AB=OB=OA=3，故可得出四边形ABOD是菱形，再由SAS定理得出△ABE≌△ODE，故S阴影=S扇形AOD，由此可得出结论．
【解答】解：（1）∵AD∥BC，∠C=60°，
∴=，
∴∠ABC=∠C=60°．
连接OA，OB，
∵OC=OD=3，∠C=60°，
∴△OCD是等边三角形．
同理可得，△OAB与△OAD均为等边三角形，
∴AD=AB=CD=3，
∴四边形ABCD的周长=BC+CD+AD+AB=6+3+3+3=15；

（2）∵由（1）知，AD=AB=OB=OA=3，
∴四边形ABOD是菱形，
∴AE=OE，BE=DE，
在△ABE与△ODE中，
∵
∴△ABE≌△ODE（SAS），
∴S阴影=S扇形AOD==．

16．（2014秋•霞山区校级期中）如图所示，已知扇形AOB的半径为6cm，圆心角的度数为120°，若将此扇形围成一个圆锥，则：
（1）求出围成的圆锥的侧面积为多少？
（2）求出该圆锥的底面半径是多少？

【分析】（1）根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算；
（2）根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式计算．
【解答】解：（1）圆锥的侧面积==12π（cm2）；
（2）该圆锥的底面半径为r，
根据题意得2πr=，
解得r=2．
即圆锥的底面半径为2cm．

17．（2010•河北）如图1，正方形ABCD是一个6×6网格电子屏的示意图，其中每个小正方形的边长为1．位于AD中点处的光点P按图2的程序移动．
（1）请在图1中画出光点P经过的路径；
（2）求光点P经过的路径总长（结果保留π）．

【分析】（1）按图2中的程序旋转一一找到对应点，第一次是绕点A顺时针旋转90°，得到对应点，再绕点B顺时针旋转90°，得到对应点．再绕点C顺时针旋转90°，得到对应点，再绕点D顺时针旋转90°，得到对应点即可．
（2）从中可以看出它的路线长是4段弧长，根据弧长公式计算即可．
【解答】解：（1）如图；

（2）∵，
∴点P经过的路径总长为6π．

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