中考数学总复习(北师大版)基础讲练-第6讲分式方程.doc

第6讲　分式方程

考纲要求
备考指津
1.理解分式方程的概念，会解可化为一元一次(二次)方程的分式方程(方程中的分式不超过两个)，知道解分式方程的基本思想是把分式方程化为整式方程．
2．了解解分式方程产生增根的原因，会检验和对分式方程出现的增根进行讨论．
3．会列分式方程解决实际问题.
　　中考中多以选择题、填空题、解答题的形式考查以下几点：(1)找分式方程的最简公分母，将分式方程化成整式方程；(2)已知方程有增根，确定未知数的值；(3)解分式方程．列分式方程解决实际问题是中考的重点，也是本课时的难点．

考点一　分式方程
1．分母里含有未知数的有理方程叫分式方程．
2．使分式方程分母为零的未知数的值即为增根；分式方程的增根有两个特征：
(1)增根使最简公分母为零；[来源:]
(2)增根是分式方程化成的整式方程的根．
考点二　分式方程的基本解法
解分式方程的一般步骤：
(1)去分母，把分式方程转化为整式方程；
(2)解这个整式方程，求得方程的根；
(3)检验，把解得整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母为零，则它不是原方程的根，而是方程的增根，必须舍去；如果使最简公分母不为零，则它是原分式方程的根．
考点三　分式方程的实际应用
分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似，不同的是要注意检验：
(1)检验所求的解是否是所列分式方程的解；
(2)检验所求的解是否符合实际．

1．以下是方程－＝1去分母后的结果，其中正确的是(　　)．
A．2－1－x＝1 B．2－1＋x＝1 C．2－1＋x＝2x D．2－1－x＝2x
2．货车行驶25千米与小车行驶35千米所用时间相同，已知小车每小时比货车多行驶20千米，求两车的速度各为多少？设货车的速度为x千米/时，依题意列方程正确的是(　　)．
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
3．已知方程＝3－有增根，则a的值为(　　)．
A．5 B．－5 C．6 D．4

一、去分母解分式方程
【例1】 解方程：＋＝.
解：去分母，得x(x－2)＋(x＋2)2＝8.
x2－2x＋x2＋4x＋4＝8.
整理，得x2＋x－2＝0.
解得x1＝－2，x2＝1.
检验，当x1＝－2时，x2－4＝4－4＝0，
∴x1＝－2是增根；
当x2＝1时，x2－4＝1－4＝－3≠0，
∴x2＝1是原方程的根．
∴原方程的根是x＝1.

解分式方程时应注意以下两点：(1)去分母时，要将最简公分母乘以每一个式子，不要“漏乘”；(2)解分式方程时必须检验，检验时只要代入最简公分母看其是否为0即可．若能使最简公分母为0，则该解是原方程的增根．[来源:]
二、分式方程的增根
【例2】 已知方程＋2＝有增根，求m的值．
解：将分式方程去分母，得到1＋2(4－x2)＝－m(2＋x)．
∵方程＋2＝有增根，
∴由4－x2＝0或x－2＝0，解得x1＝2，x2＝－2.
将x1＝2代入1＋2(4－x2)＝－m(2＋x)，得m＝－；
将x2＝－2代入1＋2(4－x2)＝－m(2＋x)，得等式不成立．
∴x1＝2是方程的增根，x2＝－2不是增根．
∴m的值为－.

利用增根求分式方程中字母的值：(1)确定增根；(2)将原分式方程化成整式方程；(3)增根代入变形后的整式方程，求出字母的值．
三、分式方程的应用
【例3】 2011年开春以来，湖北省发生了严重的旱灾，连续5个多月无有效降水，为抗旱救灾，某部队计划为驻地村民新修水渠3 600米，为了水渠能尽快投入使用，实际工作效率是原计划工作效率的1.8倍，结果提前20天完成修水渠任务．问原计划每天修水渠多少米？
分析：设原计划每天修水渠x米，则按原计划修完水渠需用天，实际修完水渠需用天．等量关系为：按原计划修完水渠用的时间－实际修完水渠用的时间＝20.[来源:]
解：设原计划每天修水渠x米．
根据题意得：－＝20，
解得x＝80.
经检验，x＝80是原分式方程的解．
答：原计划每天修水渠80米．

列分式方程解决实际问题关键是找到“等量关系”，将实际问题抽象为方程问题．同时，既要注意求得的根是否是原分式方程的根，又要根据具体问题的实际意义，检验是否合理．
某镇道路改造工程，由甲、乙两工程队合作20天可完成．甲工程队单独施工比乙工程队单独施工多用30天完成此项工程．[来源:]
(1)求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天？
(2)若甲工程队独做a天后，再由甲、乙两工程队合作__________天(用含a的代数式表示)可完成此项工程；
(3)如果甲工程队施工每天需付施工费1万元，乙工程队施工每天需付施工费2.5万元，甲工程队至少要单独施工多少天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，才能使施工费不超过64万元？

1．(2012四川宜宾)分式方程－＝的解为(　　)．
A．3 B．－3 C．无解 D．3或－3
2．(2011上海)解方程＋＝3时，设＝y，则原方程化为y的整式方程为(　　)．
A．2y2－6y＋1＝0 B．y2－3y＋2＝0 C．2y2－3y＋1＝0 D．y2＋2y－3＝0
3．(2011山东菏泽)解方程：＝.
4．(2011广东)某品牌瓶装饮料每箱价格26元．某商店对该瓶装饮料进行“买一送三”促销活动，若整箱购买，则买一箱送三瓶，这相当于每瓶比原价便宜了0.6元．问该品牌饮料一箱有多少瓶？

1．关于x的一元二次方程(m－2)x2＋x＋m2－4＝0的一个根为0，则m的值是(　　)．
A．±2 B．－2 C．2 D．4
2．若关于x的方程－＝0有增根，则m的值是(　　)．
A．3 B．2 C．1 D．－1
3．分式方程＋2＝的解是(　　)．
A．2 B．4 C．3 D．无解
4．若与1互为相反数，则x的值是__________．
5．分式方程＝的解为__________．
6．某市为治理污水，需要铺设一段全长为300 m的污水排放管道．铺设120 m后，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，后来每天的工效比原计划增加20%，结果共用30天完成这一任务．求原计划每天铺设管道的长度．如果设原计划每天铺设x m管道，那么根据题意，可得方程__________．
7．已知关于x的方程＝3的解是正数，则m的取值范围为__________．
8．解分式方程：(1)＋1＝；
(2)－＝1.
9．入秋以来，云南省发生了百年一遇的旱灾，连续8个多月无有效降水，为抗旱救灾，某部队计划为驻地村民新修水渠3 600米，为了水渠能尽快投入使用，实际工作效率是原计划工作效率的1.8倍，结果提前20天完成修水渠任务．问原计划每天修水渠多少米？
参考答案
基础自主导学
自主测试
1．C　2.C　3.B
规律方法探究
变式训练　解：(1)设乙独做x天完成此项工程，则甲独做(x＋30)天完成此项工程．
由题意，得20＝1，
整理得x2－10x－600＝0，
解得x1＝30，x2＝－20.
经检验：x1＝30，x2＝－20都是分式方程的解．
但x2＝－20不符合题意舍去，x＋30＝60.
答：甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要60天，30天．
(2)设甲独做a天后，甲、乙再合作天，可以完成此项工程．
(3)由题意，得1×a＋(1＋2.5)≤64，
解得a≥36.
答：甲工程队至少要独做36天后，再由甲、乙两队合作完成剩下的此项工程，才能使施工费不超过64万元．[来源:]
知能优化训练
中考回顾
1．C　2.B
3．解：原方程两边同乘以6x，
得3(x＋1)＝2x(x＋1)，
整理得2x2－x－3＝0，
解得x＝－1或x＝.
经验证知它们都是原方程的解，故原方程的解为x＝－1或x＝.
4．解：设该品牌饮料一箱有x瓶，
依题意，得－＝0.6，
化简，得x2＋3x－130＝0，
解得x1＝－13(不合题意，舍去)，x2＝10.
经检验：x＝10符合题意．
答：该品牌饮料一箱有10瓶．
模拟预测
1．B　2.B　3.D
4．－1　5.x＝1
6.＋＝30(或＋＝30)
7．m＞－6且m≠－4
8．解：(1)去分母，得x2＋x(x＋1)＝(2x＋1)(x＋1)，解得：x＝－.
经检验：x＝－是原方程的解，
∴原方程的解为x＝－.
(2)去分母：x－1－2x＝x2－1，
化简：x2＋x＝0，
解得x1＝0，x2＝－1.
检验：x＝－1不是原方程的解．
所以原方程的解为x＝0.
9．解：设原计划每天修水渠x米．
根据题意得－＝20，
解得x＝80.
经检验，x＝80是原分式方程的解．
答：原计划每天修水渠80米．