中考数学-考点跟踪突破7-一元二次方程及其应用.doc

一元二次方程及其应用
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．(2015·重庆)一元二次方程x2－2x＝0的根是(　D　)
A．x1＝0，x2＝－2 B．x1＝1，x2＝2
C．x1＝1，x2＝－2 D．x1＝0，x2＝2
2．(2015·滨州)用配方法解一元二次方程x2－6x－10＝0时，下列变形正确的为(　D　)
A．(x＋3)2＝1 B．(x－3)2＝1
C．(x＋3)2＝19 D．(x－3)2＝19
3．(2015·锦州)一元二次方程x2－2x＋1＝0的根的情况为(　A　)
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
4．(营口模拟)如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为60平方米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若设人行道的宽度为x米，则可以列出关于x的方程是(　C　)

A．x2＋9x－8＝0 B．x2－9x－8＝0
C．x2－9x＋8＝0 D．2x2－9x＋8＝0
5．(2015·烟台)等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2－6x＋n－1＝0的两根，则n的值为(　B　)
A．9 B．10 C．9或10 D．8或10
　点拨：∵三角形是等腰三角形，∴①a＝2，或b＝2，②a＝b两种情况，①当a＝2，或b＝2时，∵a，b是关于x的一元二次方程x2－6x＋n－1＝0的两根，∴x＝2，把x＝2代入x2－6x＋n－1＝0得，22－6×2＋n－1＝0，解得n＝9，当n＝9，方程的两根是2和4，而2，4，2不能组成三角形，故n＝9不合题意，②当a＝b时，方程x2－6x＋n－1＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝(－6)2－4(n－1)＝0，解得n＝10，故选B　
二、填空题(每小题5分，共25分)
6．(2015·兰州)若一元二次方程ax2－bx－2015＝0有一根为x＝－1，则a＋b＝__2015__．
7．(2015·天水)一元二次方程x2＋3－2x＝0的解是__x1＝x2＝__．
8．(鞍山模拟)已知关于x的一元二次方程x2＋x－1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是__k≥1__．
9．已知关于x的方程x2＋mx＋n＝0的一个根是另一个根的3倍，则m，n之间满足的关系式为__3m2＝16n__．
10．(阜新模拟)某校要组织一次乒乓球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排2天，每天安排5场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的方程为__x(x－1)＝2×5__.
三、解答题(共50分)
11．(10分)(1)(辽阳模拟)解方程：x2＋2x＝3；
　解：由原方程，得x2＋2x－3＝0，整理，得(x＋3)(x－1)＝0，则x＋3＝0或x－1＝0，解得x1＝－3，x2＝1　

(2)用配方法解方程：2x2－4x－1＝0.
　解：二次项系数化为1得：x2－2x＝，x2－2x＋1＝＋1，(x－1)2＝，x－1＝±，∴x1＝＋1，x2＝1－　
12．(10分)(2015·江西)观察下列一元二次方程，并回答问题：
第1个方程：x2＋x＝0；
第2个方程：x2－1＝0；
第3个方程：x2－x－2＝0；
第4个方程：x2－2x－3＝0；
…
(1)第2015个方程是__x2－2013x－2014＝0__；
(2)直接写出第n个方程，并求出第n个方程的解；
(3)说出这列一元二次方程的解的一个共同特点．
　解：(2)第n个方程为x2－(n－2)x－(n－1)＝0，解为x1＝－1，x2＝n－1　(3)这列方程的解的共同特点：有一根是－1　

13．(10分)(盘锦模拟)已知关于x的一元二次方程mx2－(m＋2)x＋2＝0.
(1)证明：不论m为何值时，方程总有实数根；
(2)m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．
　解：(1)Δ＝(m＋2)2－8m＝m2－4m＋4＝(m－2)2，∵不论m为何值时，(m－2)2≥0，∴△≥0，∴方程总有实数根　(2)解方程得，x＝，x1＝，x2＝1，∵方程有两个不相等的正整数根，∴m＝1或2，m＝2不合题意，∴m＝1　

14．(10分)(葫芦岛模拟)毕业在即，某商店抓住商机，准备购进一批纪念品，若商店花440元可以购进50个学生纪念品和10个教师纪念品，其中教师纪念品的成本比学生纪念品的成本多8元．
(1)请问这两种不同纪念品的成本分别是多少？
(2)如果商店购进1200个学生纪念品，第一周以每个10元的价格售出400个，第二周若按每个10元的价格仍可售出400个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售(根据市场调查，单价每降低1元，可多售出100个，但售价不得低于进价)，单价降低x元销售一周后，商店对剩余学生纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批纪念品共获利2500元，问第二周每个纪念品的销售价格为多少元？
　解：(1)设学生纪念品的成本是x元，50x＋10(x＋8)＝440，∴x＋8＝14，x＝6，答：学生纪念品成本为6元，教师纪念品成本为14元　(2)第二周单价降低x元后，这周的销售为(400＋100x)件，400×(10－6)＋(10－x－6)(400＋100x)＋(4－6)[(1200－400)－(400＋100x)]＝2500，整理得x2－2x＋1＝0，x1＝x2＝1，∴10－1＝9(元)，答：第二周销售价格为9元　

15．(10分)(铁岭模拟)李明准备进行如下操作实验，把一根长40 cm的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形．
(1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm2，李明应该怎么剪这根铁丝？
(2)李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm2，你认为他的说法正确吗？请说明理由．
　解：(1)设剪成的较短的这段为x cm，较长的这段就为(40－x)cm，由题意，得()2＋()2＝58，解得x1＝12，x2＝28，当x＝12时，较长的为40－12＝28(cm)，当x＝28时，较长的为40－28＝12＜28(舍去)．答：李明应该把铁丝剪成12 cm和28 cm的两段　(2)李明的说法正确．理由如下：设剪成的较短的这段为m cm，较长的这段就为(40－m)cm，由题意，得()2＋()2＝48，变形为：m2－40m＋416＝0，∵Δ＝(－40)2－4×416＝－64＜0，∴原方程无实数根，∴李明的说法正确，这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm2