中考数学总复习(北师大版)基础讲练-第11讲二次函数.doc

第11讲　二次函数

考纲要求
备考指津
1.理解二次函数的有关概念．
2．会用描点法画二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质．
3．会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴(公式不要求记忆和推导)，并能掌握二次函数图象的平移．[来源:]
4．熟练掌握二次函数解析式的求法，并能用它解决有关的实际问题．
5．会用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.
　　二次函数是中考的重点内容，题型主要有选择题、填空题及解答题，而且常与方程、不等式、几何知识等结合在一起综合考查，且一般为压轴题．中考命题不仅考查二次函数的概念、图象和性质等基础知识，而且注重多个知识点的综合考查以及对学生应用二次函数解决实际问题能力的考查．

考点一　二次函数的概念
一般地，如果y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．
注意：(1)二次项系数a≠0；(2)ax2＋bx＋c必须是整式；(3)一次项可以为零，常数项也可以为零，一次项和常数项可以同时为零；(4)自变量x的取值范围是全体实数．
考点二　二次函数的图象及性质
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
图象

(a＞0)

(a＜0)
开口方向
开口向上
开口向下
对称轴
直线x＝－
直线x＝－
顶点坐标

增减性
当x＜－时，y随x的增大而减小；当x＞－时，y随x的增大而增大
当x＜－时，y随x的增大而增大；当x＞－时，y随x的增大而减小
最值
当x＝－时，y有最小值
当x＝－时，y有最大值
考点三　二次函数图象的特征与a，b，c及b2－4ac的符号之间的关系

考点四　二次函数图象的平移
抛物线y＝ax2与y＝a(x－h)2，y＝ax2＋k，y＝a(x－h)2＋k中|a|相同，则图象的形状和大小都相同，只是位置的不同．它们之间的平移关系如下表：

考点五　二次函数关系式的确定
设一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
若已知条件是图象上三个点的坐标，则设一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将已知条件代入，求出a，b，c的值．
考点六　二次函数与一元二次方程的关系
1．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当y＝0时，就变成了ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．[来源:数理化网]
2．ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解是抛物线与x轴交点的横坐标．
3．当Δ＝b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有两个不同的交点；当Δ＝b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有一个交点；当Δ＝b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．

1．当m＝__________时，函数y＝(m－3)xm2－7＋4是二次函数．
2．二次函数y＝(x－4)2＋5的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是(　　)．
A．向上，直线x＝4，(4,5) B．向上，直线x＝－4，(－4,5)
C．向上，直线x＝4，(4，－5) D．向下，直线x＝－4，(－4,5)
3．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列结论正确的是(　　)．

A．a＞0　　　　B．c＜0 C．b2－4ac＜0 D．a＋b＋c＞0
4．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，那么abc，b2－4ac,2a＋b,4a－2b＋c这四个代数式中，值为正的有(　　)．

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
5．把抛物线y＝2x2向上平移5个单位，所得抛物线的解析式为(　　)．
A．y＝2x2＋5 B．y＝2x2－5 C．y＝2(x＋5)2 D．y＝2(x－5)2
6．已知二次函数y＝－x2＋2x＋m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程－x2＋2x＋m＝0的解为__________．

7．如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度OM为12米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系．

(1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；
(2)求这条抛物线的解析式；
(3)若要搭建一个矩形“支撑架”AD—DC—CB，使C，D点在抛物线上，A，B点在地面OM上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？

一、二次函数的图象及性质
【例1】 (1)二次函数y＝－3x2－6x＋5的图象的顶点坐标是(　　)．
A．(－1,8) B．(1,8) C．(－1,2) D．(1，－4)
(2)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的对称轴为直线x＝1，且经过点(－1，y1)，(2，y2)，试比较y1和y2的大小：y1________y2.(填“＞”“＜”或“＝”)
解析：(1)抛物线的顶点坐标可以利用顶点坐标公式或配方法来求．∵－＝－＝－1，
＝＝8.
∴二次函数y＝－3x2－6x＋5的图象的顶点坐标是(－1,8)．
(2)点(－1，y1)，(2，y2)不在对称轴的同一侧，不能直接利用二次函数的增减性来判断y1，y2的大小，可先根据抛物线关于对称轴的对称性，然后再用二次函数的增减性即可．设抛物线经过点(0，y3)，∵抛物线对称轴为直线x＝1，
∴点(0，y3)与点(2，y2)关于直线x＝1对称．∴y3＝y2.
∵a＞0，∴当x＜1时，y随x的增大而减小．
∴y1＞y3.∴y1＞y2.
答案：(1)A　(2)＞

1．将抛物线解析式写成y＝a(x－h)2＋k的形式，则顶点坐标为(h，k)，对称轴为直线x＝h，也可应用对称轴公式x＝－，顶点坐标来求顶点坐标及对称轴．
2．比较两个二次函数值大小的方法：
(1)直接代入自变量求值法；
(2)当自变量在对称轴两侧时，看两个数到对称轴的距离及函数值的增减性判断；
(3)当自变量在对称轴同侧时，根据函数值的增减性判断．
二、利用二次函数图象判断a，b，c的符号
【例2】 如图所示，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，图象经过点(－1,2)和(1,0)，且与y轴交于负半轴．

(1)给出四个结论：①a＞0；②b＞0；③c＞0；④a＋b＋c＝0，其中正确结论的序号是__________；
(2)给出四个结论：①abc＜0；②2a＋b＞0；③a＋c＝1；④a＞1.其中正确结论的序号是__________．
解析：(1)∵抛物线开口向上，∴a＞0；
∵对称轴在y轴右侧，∴－＞0，∴b＜0；
与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0；
当x＝1时，y＝0，∴a＋b＋c＝0，故填①④.
(2)由(1)问知a＞0，b＜0，c＜0，∴abc＞0；
又知－＜1，∴2a＋b＞0；
又知x＝1时，y＝0；x＝－1时，y＝2，
∴∴a＋c＝1；
又知c＜0，∴a＝1－c＞1，故填②③④
答案：(1)①④　(2)②③④[来源:]

根据二次函数的图象确定有关代数式的符号，是二次函数中的一类典型的数形结合问题，具有较强的推理性．解题时应注意开口方向与a的关系，抛物线与y轴的交点与c的关系，对称轴与a，b的关系，抛物线与x轴交点数目与b2-4ac的符号的关系；当x=1时，决定a+b+c的符号，当x=-1时，决定a-b+c的符号．在此基础上，还可推出其他代数式的符号．运用数形结合的思想更直观、更简捷．
已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，有下列结论：

①b2－4ac＞0；②abc＞0；③8a＋c＞0；④9a＋3b＋c＜0.
其中，正确结论的个数是(　　)．
A．1 B．2 C．3 D．4
三、二次函数图象的平移
【例3】 二次函数y＝－2x2＋4x＋1的图象怎样平移得到y＝－2x2的图象(　　)．
A．向左平移1个单位，再向上平移3个单位
B．向右平移1个单位，再向上平移3个单位
C．向左平移1个单位，再向下平移3个单位
D．向右平移1个单位，再向下平移3个单位
解析：首先将二次函数的解析式配方化为顶点式，然后确定如何平移，即y＝－2x2＋4x＋1＝－2(x－1)2＋3，将该函数图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位就得到y＝－2x2的图象．
答案：C

二次函数图象的平移实际上就是顶点位置的变换，因此先将二次函数解析式转化为顶点式确定其顶点坐标，然后按照“左加右减、上加下减”的规律进行操作．
四、确定二次函数的解析式
【例4】 已知一抛物线与x轴的交点是A(－2,0)，B(1,0)，且经过点C(2,8)．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)求该抛物线的顶点坐标．
解：(1)设这个抛物线的表达式为y＝ax2＋bx＋C．
由已知抛物线经过A(－2,0)，B(1,0)，C(2,8)三点，
得解这个方程组，得
所以所求抛物线的表达式为y＝2x2＋2x－4.
(2)y＝2x2＋2x－4＝22－，
所以该抛物线的顶点坐标是.

用待定系数法求二次函数解析式，根据已知条件，用图象上三个点的坐标，设一般式求解．
五、二次函数的实际应用
【例5】 某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件(每件售价不能高于65元)．设每件商品的售价上涨x元(x为正整数)，每个月的销售利润为y元．
(1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；
(2)每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？
(3)每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2 200元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2 200元？
解：(1)y＝(210－10x)(50＋x－40)＝－10x2＋110x＋2 100(0＜x≤15且x为整数)；
(2)y＝－10(x－5.5)2＋2 402.5.∵a＝－10＜0，
∴当x＝5.5时，y有最大值2 402.5.
∵0＜x≤15，且x为整数，
当x＝5时，50＋x＝55，y＝2 400(元)，当x＝6时，50＋x＝56，y＝2 400(元)，
∴当售价定为每件55或56元时，每个月的利润最大，最大的月利润是2 400元．
(3)当y＝2 200时，－10x2＋110x＋2 100＝2 200，解得x1＝1，x2＝10.
∴当x＝1时，50＋x＝51，当x＝10时，50＋x＝60.
∴当售价定为每件51或60元时，每个月的利润为2 200元．
当售价不低于51元且不高于60元且为整数时，每个月的利润不低于2 200元(或当售价分别为51,52,53,54,55,56,57,58,59,60元时，每个月的利润不低于2 200元)．

运用二次函数的性质解决生活和实际生产中的最大值和最小值问题是最常见的题目类型，解决这类问题的方法是：
1．列出二次函数的关系式，列关系式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围．
2．在自变量取值范围内，运用公式法或配方法求出二次函数的最大值和最小值．

1．(2012四川乐山)二次函数y＝ax2＋bx＋1(a≠0)的图象的顶点在第一象限，且过点(－1,0)．设t＝a＋b＋1，则t值的变化范围是(　　)．
A．0＜t＜1 B．0＜t＜2 C．1＜t＜2 D．－1＜t＜1
2．(2011湖南株洲)某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y＝－x2＋4x(单位：米)的一部分，则水喷出的最大高度是(　　)．

A．4米 B．3米 C．2米 D．1米
3．(2011四川雅安)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图，其对称轴x＝－1，给出下列结果①b2＞4ac，②abc＞0，③2a＋b＝0，④a＋b＋c＞0，⑤a－b＋c＜0，则正确的结论是(　　)．

A．①②③④ B．②④⑤ C．②③④ D．①④⑤
4．(2012浙江宁波)把二次函数y＝(x－1)2＋2的图象绕原点旋转180°后得到的图象的解析式为__________．
5．(2011山东枣庄)抛物线y＝ax2＋bx＋c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x
…
－2
－1
0
1
2
…
y
…
0
4
6
6
4
…
从上表可知，下列说法中正确的是__________．(填写序号)
①抛物线与x轴的一个交点为(3,0)；
②函数y＝ax2＋bx＋c的最大值为6；
③抛物线的对称轴是x＝；
④在对称轴左侧，y随x增大而增大．
6．(2012湖南益阳)已知，如图，抛物线y＝a(x－1)2＋c与x轴交于点A(1－，0)和点B，将抛物线沿x轴向上翻折，顶点P落在点P′(1,3)处．

(1)求原抛物线的解析式；
(2)学校举行班徽设计比赛，九年级5班的小明在解答此题时顿生灵感：过点P′作x轴的平行线交抛物线于C，D两点，将翻折后得到的新图象在直线CD以上的部分去掉，设计成一个“W”型的班徽，“5”的拼音开头字母为W，“W”图案似大鹏展翅，寓意深远；而且小明通过计算惊奇地发现这个“W”图案的高与宽(CD)的比非常接近黄金分割比(约等于0.618)．请你计算这个“W”图案的高与宽的比到底是多少？(参考数据：≈2.236，≈2.449，结果可保留根号)

1．二次函数y＝4x2－mx＋5，当x＜－2时，y随x的增大而减小；当x＞－2时，y随x的增大而增大，则当x＝1时，y的值为(　　)．
A．－7 B．1 C．17 D．25
2．将二次函数y＝x2－2x＋3化为y＝(x－h)2＋k的形式，结果为(　　)．
A．y＝(x＋1)2＋4 B．y＝(x－1)2＋4 C．y＝(x＋1)2＋2 D．y＝(x－1)2＋2
3．函数y＝x2－2x－2的图象如图所示，根据其中提供的信息，可求得使y≥1成立的x的取值范围是(　　)．

A．－1≤x≤3 B．－1＜x＜3 C．x＜－1或x＞3 D．x≤－1或x≥3
4．已知一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的两个实数根x1，x2满足x1＋x2＝4和x1·x2＝3，那么二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象有可能是(　　)．

5．已知函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当x＝3时，函数取得最大值，且最大值为4，当x＝0时，y＝－14，则函数表达式为__________．
6．二次函数y＝－2x2＋2kx－3的顶点在x轴上，则k＝__________.
7．抛物线y＝－x2＋bx＋c的图象如图所示，若将其向左平移2个单位，再向下平移3个单位，则平移后的解析式为__________．

8．某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可近似的看做一次函数：y＝－10x＋500.
(1)设李明每月获得利润为w(元)，当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？
(2)如果李明想要每月获得2 000元的利润，那么销售单价应定为多少元？
(3)根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2 000元，那么他每月的成本最少需要多少元？(成本＝进价×销售量)
参考答案
基础自主导学
自主测试
1．－3　2.A　3.D　4.A　5.A　6.x1＝－1，x2＝3
7．解：(1)M(12,0)，P(6,6)．
(2)设抛物线解析式为y＝a(x－6)2＋6.
∵抛物线y＝a(x－6)2＋6经过点(0,0)，
∴0＝a(0－6)2＋6，即a＝－.
∴抛物线解析式为y＝－(x－6)2＋6，
即y＝－x2＋2x.[来源:]
(3)设A(m,0)，则B(12－m,0)，C(12－m，－m2＋2m)，D(m，－m2＋2m)．
∴“支撑架”总长AD＋DC＋CB＝＋(12－2m)＋＝－m2＋2m＋12＝－(m－3)2＋15.
∵此二次函数的图象开口向下，
∴当m＝3时，AD＋DC＋CB有最大值为15米．
规律方法探究
变式训练　D
知能优化训练
中考回顾
1．B　2.A　3.D　4.y＝－(x＋1)2－2 5．①③④
6．解：(1)∵P与P′(1,3)关于x轴对称，
∴P点坐标为(1，－3)．
∵抛物线y＝a(x－1)2＋c过点A(1－，0)，顶点是P(1，－3)，
∴
解得
则抛物线的解析式为y＝(x－1)2－3，即y＝x2－2x－2.
(2)∵CD平行x轴，P′(1,3)在CD上，
∴C，D两点纵坐标为3.
由(x－1)2－3＝3得x1＝1－，x2＝1＋，
∴C，D两点的坐标分别为(1－，3)，(1＋，3)．
∴CD＝2.
∴“W”图案的高与宽(CD)的比＝＝(或约等于0.612 4)．
模拟预测
1．D　2.D　3.D　4.C
5．y＝－2x2＋12x－14　6.±
7．y＝－x2－2x[来源:学§科§网]
8．解：(1)由题意，得ω＝(x－20)·y
＝(x－20)·(－10x＋500)＝－10x2＋700x－10 000＝－10(x－35)2＋2 250.
当x＝35时有最大值为2 250.
答：当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润．
(2)由题意，得－10x2＋700x－10 000＝2 000.
解这个方程得x1＝30，x2＝40.
答：李明想要每月获得2 000元的利润，销售单价应定为30元或40元．
(3)∵抛物线的二次项系数a＝－10＜0，
∴抛物线开口向下．
∴当30≤x≤40时，ω≥2 000.
∵x≤32，
∴当30≤x≤32时，ω≥2 000.
设成本为P(元)，由题意，
得P＝20(－10x＋500)＝－200x＋10 000.
∵k＝－200＜0，∴P随x的增大而减小．
∴当x＝32时，P最小＝3 600.
答：想要每月获得的利润不低于2 000元，每月的成本最少为3 600元．