2012年全国各地中考数学压轴题专集-------平行四边形-矩形-菱形-正方形.doc

2012年全国各地中考数学压轴题专集
-------平行四边形，矩形，菱形，正方形
1．（天津）已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（11，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，得点B′ 和折痕OP．设BP＝t．
（Ⅰ）如图①，当∠BOP＝30°时，求点P的坐标；
（Ⅱ）如图②，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB′ 上，得点C′ 和折痕PQ，若AQ＝m，试用含有t的式子表示m；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当点C′ 恰好落在边OA上时，求点P的坐标（直接写出结果即可）．
A
B
x
O
y
C
P
B′
图②
C′
Q
A
B
x
O
y
C
P
B′
图①

2．（天津模拟）如图，在梯形ABCO中，A（0，2），B（4，2），点C为x轴正半轴上一动点，M为线段BC中点．
（1）设C（x，0），S△AOM ＝y，求y与x的函数关系式；
（2）如果以线段AO为直径的⊙D和以BC为直径的⊙M外切，求点C的坐标；
（2）连接OB交线段AM于N，如果以A、N、B为顶点的三角形与△OMC相似，求直线CN的解析式．
C
A
B
O
M
x
D
y

3．（上海模拟）在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，E是AB边上一点（与A、B不重合），EF⊥CE交AD于点F，过点E作∠AEH＝∠BEC，交射线FD于点H，交射线CD于点N．
（1）如图1，当点H与点F重合时，求BE的长；
（2）如图2，当点H在线段FD上时，设BE＝x，DN＝y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）连接AC，当△FHE与△AEC相似时，求线段DN的长．
A
E
B
F
C
备用图
D
A
E
B
N
D
C
图1
F
(H)
A
B
E
N
D
C
F
H
图2

4．（上海模拟）已知在梯形ABCD中，AB∥DC，AD＝2DE，CE＝2BE，∠ADE＝∠ECD，DE＝CE＝4．
（1）如图1，求证：DE∥CB；
（2）如图2，点F是线段EB上一动点（不与E重合），连接CF并延长交DE的延长线于点G，设EF＝x，DG＝y，求y与x的函数关系式；
C
A
D
E
B
图1
C
A
D
E
B
图2
F
G
（3）点P是线段AE上一动点（不与E重合），连接CP交DE于点Q，当△PQE是等腰三角形时，求AP的长．

C
A
D
E
B
备用图

如需要答案，可联系手机：[phone]
或 电子信箱：gshbao@
或QQ：529115098

5．（上海模拟）如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠D＝90°，AB＝3，DC＝6，BC＝5．点E是边DC上任意一点，点F在边AB的延长线上，且AE＝AF，连接EF，与边BC相交于点G．
（1）设BF＝x，DE＝y，求y关于x的函数关系式，并确定自变量x的取值范围；
（2）当四边形BECF是平行四边形时，求BF的长；
（3）当点E在边DC上移动时，△BFG能否成为等腰三角形？如果能，求BF的长；如果不能，请说明理由．
A
B
D
C
备用图
A
B
D
C
E
F
G

6．（上海模拟）有一张矩形纸片ABCD，已知AB＝2，AD＝5，把这张纸片折叠，使点A落在边BC上的点E处，折痕为MN（MN交AB于M，交AD于N）．
（1）如图1，当BE＝ 时，求AM的长；
（2）当点E在BC上运动时，设BE＝x，AN＝y，求y关于x的函数关系式，并确定函数的定义域；
A
B
D
C
备用图
A
B
D
C
备用图
A
B
D
C
N
E
M
图1
（4）连接DE，是否存在这样的点E，使△AME与△DNE相似？若存在，求出此时BE的长，若不存在，请说明理由．

N
K
G
C
E
D
F
A
B
P
M
7．（上海模拟）如图，在边长为6的正方形ABCD的两侧作正方形BEFG和正方形DMNK，恰好使得N、A、F三点在一直线上，连接MF交线段AD于点P，连接NP，设正方形BEFG的边长为x，正方形DMNK的边长为y．
（1）求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围；
（2）当△NPF的面积为32时，求x的值；
（3）以P为圆心，AP为半径的圆能否与以G为圆心，GF为半径的圆相切？如果能，请求出x的值，如果不能，请说明理由．

8．（上海模拟）已知：正方形ABCD的边长为1，射线AE与射线BC交于点E，射线AF与射线CD交于点F，∠EAF＝45°，连接EF．
（1）如图1，当点E在线段BC上时，试猜想线段EF、BE、DF有怎样的数量关系？并证明你的猜想；
（2）设BE＝x，DF＝y，当点E在线段BC上运动时（不包括点B、C），求y关于x的函数解析式，并指出x的取值范围；
（3）当点E在射线BC上运动时（不含端点B），点F在射线CD上运动．试判断以E为圆心，以BE为半径的⊙E和以F为圆心，以FD为半径的⊙F之间的位置关系；
A
B
D
C
E
F
G
图2
A
B
D
C
E
F
图1
（4）如图2，当点E在BC的延长线上时，设AE与CD交于点G．问：△EGF与△EFA能否相似？若能相似，求出BE的长，若不可能相似，请说明理由．

D
B
A
C
E
9．（上海模拟）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD＝2，AD＝1，连接BD，作∠EBC＝∠ABD，交边CD于E．
（1）设BC＝x，CE＝y，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；
（2）当BE⊥CD时，求BC的长；
（3）当△BDE是等腰三角形时，求BC的长．

10．（重庆）已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝2，BC＝6，AB＝3．E为BC边上一点，以BE为边作正方形BEFG，使正方形BEFG和梯形ABCD在BC的同侧．
（1）当正方形的顶点F恰好落在对角线AC上时，求BE的长；
（2）将（1）问中的正方形BEFG沿BC向右平移，记平移中的正方形BEFG为正方形B′EFG，当点E与点C重合时停止平移．设平移的距离为t，正方形B′EFG的边EF与AC交于点M，连接B′D，B′M，DM．是否存在这样的t，使△B′DM是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）问的平移过程中，设正方形B′EFG与△ADC重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围．
B
A
C
D
B
A
C
D
备用图

D
A
C
B
E
F
11．（浙江金华、丽水）如图，在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝120°，AD＝，AB＝6．在底边AB上取点E，在射线DC上取点F，使得∠DEF＝120°．
（1）当点E是AB的中点时，求线段DF的长；
（2）若射线EF经过点C，求AE的长；
（3）设AE＝x，CF＝y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

12．（浙江嘉兴、舟山）将△ABC绕点A按逆时针方向旋转θ度，并使各边长变为原来的n倍，得△AB′C′，即如图①，∠BAB′＝θ， ＝ ＝ ＝n，我们将这种变换记为[θ，n]．
（1）如图①，对△ABC作变换[60°，]得△AB′C′，则S△AB′C′ : S△ABC ＝_________；直线BC与直线B′C′所夹的锐角为_________度；
（2）如图②，△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝90°，对△ABC作变换[θ，n]得△AB′C′，使点B、C、C′在同一直线上，且四边形ABB′C′ 为矩形，求θ和n的值；
（3）如图③，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BC＝1，对△ABC作变换[θ，n]得△AB′C′，使点B、C、B′ 在同一直线上，且四边形ABB′C′ 为平行四边形，求θ和n的值．
B
A
C
B′
（图②）
C′
B
A
C
B′
（图③）
C′

B
A
C
B′
（图①）
C′

O
x
y
B
G
A
P
F
E
M
D
13．（浙江某校自主招生）如图，矩形ABOD中，AB＝6，AD＝8，M是边AD上的点，且AM : MD＝1 : 3．点E从点A出发，沿AB运动到点B停止．连接EM并延长交射线OD于点F，过M作EF的垂线交射线BO于点G，连接EG、FG．
（1）设AE＝t时，△EFG的面积为S，求S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（2）若P是MG的中点，在E点运动的整个过程中，点P到x轴的距离是否为定值？请说明理由；
（3）请直接写出E点运动的整个过程中点P的运动路线的长．

14．（浙江模拟）如图1，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为A（5，0），C（0，3）．射线y＝kx交折线A－B－C于点P，点A关于OP的对称点为A′．
（1）当点A′ 恰好在CB边上时，求CA′ 的长及k的值；
（2）若经过O、A、A′ 三点的抛物线恰好以A′ 为顶点，求k的值及该抛物线的解析式；
（3）如图2，当点P在AB边上，点A′ 在CB上方时，连接A′O、A′P分别交CB边于点E、F．是否存在实数k使得△A′EF≌△BPF？若存在，求出k值；若不存在，说明理由；
（4）以OP为直径作⊙M，则⊙M与矩形OABC最多有几个公共点，直接写出公共点个数最多时k的取值范围．
B
A
C
x
O
y
备用图
B
A
C
x
O
y
P
A′
图1
B
A
C
x
O
y
P
A′
图2
EP
FP

A
B
D
y
C
O
E
x
15．（浙江模拟）如图，点A的坐标为（0，－4），点B为x轴上一动点，以线段AB为边作正方形ABCD（按逆时针方向标记），正方形ABCD随着点B的运动而相应变动．点E为y轴的正半轴与正方形ABCD某一边的交点，设点B的坐标为（t，0），线段OE的长度为m．
（1）当t＝3时，求点C的坐标；
（2）当t＞0时，求m与t之间的函数关系式；
（3）是否存在t，使点M（－2，2）落在正方形ABCD的边上？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．

16．（浙江模拟）如图，直角梯形OABC的直角顶点C在x轴上，C（8，0），∠AOC＝45°，AB＝5，点D是AB边上的一点，且AD : BD＝2 : 3．有一45°角的顶点E在x轴上运动，角的一边过点D，角的另一边与直线OA交于点F，连接DF．
（1）求点D的坐标；
（2）若点E在x轴正半轴上运动，设CE＝x，OF＝y，求y与x的函数关系式；
（3）在点E的运动过程中，是否存在某一时刻，使得△DEF成为等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．
B
x
O
y
A
D
备用图
C
B
E
x
O
y
A
D
F
C

y
D
A
C
x
O
B
Q
P
17．（浙江模拟）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的顶点A、B的坐标分别是（5，0），（3，2），点D在线段OA上，BD＝BA，点Q是线段BD上一个动点，点P的坐标是（0，3），设直线PQ的解析式为y＝kx＋b．
（1）求k的取值范围；
（2）当k是取值范围内的最大整数时，若抛物线y＝ax 2－5ax的顶点在直线PQ、OA、AB、BC围成的四边形内部，求a的取值范围．

D
B
A
C
O
A′
B′
C′
D′
18．（浙江模拟）如图，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，将矩形ABCD绕中心O顺时针旋转90°得到矩形A′B′C′D′
（1）求点A在旋转过程中所走过的路径的长；
（2）求矩形ABCD在旋转过程中所扫过的面积；
（3）若点P为线段BC上一点，且使得∠APA′＝60°，则满足条件的点P有几个？请你选择一个点P求△APA′ 的面积．

19．（江苏连云港）已知梯形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝1，AB＝2，BC＝3．
问题1：如图1，P为AB边上一点，以PD，PC为边作平行四边形PCQD．请问对角线PQ，DC的长能否相等，为什么？
问题2：如图2，若P为AB边上任意一点，以PD，PC为边作平行四边形PCQD．请问对角线PQ的长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由．
问题3：若P为AB边上任意一点，延长PD到E，使DE＝PD，再以PE，PC为边作平行四边形PCQE．请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由．
B
P
A
D
C
Q
图（3）
E
B
P
A
D
C
Q
图（2）
B
P
A
D
C
Q
图（1）
问题4：如图3，若P为DC边上任意一点，延长PA到E，使AE＝nPA（n为常数），以PE，PB为边作平行四边形PBQE．请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？如果存在，请直接写出最小值；如果不存在，请说明理由．

20．（江苏常州）已知，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，点M为边BC的中点，点P为边CD上的动点（点P异于C，D两点）．连接PM，过点P作PM的垂线与射线DA相交于点E（如图）．设CP＝x，DE＝y．
（1）写出y与x之间的关系式________________；
（2）若点E与点A重合，则x的值为________________；
B
P
A
D
C
E
M
B
P
A
D
C
E
M
（备用图）
（3）是否存在点P，使得点D关于直线PE的对称点D′ 落在边AB上？若存在，求x的值；若不存在，请说明理由．

21．（江苏淮安）如图，矩形OABC在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A（0，4），C（2，0）．将矩形OABC绕点O按顺时针方向旋转135°，得到矩形EFGH（点E与O重合）．
（1）若GH交y轴于点M，则∠FOM＝__________°，OM＝__________；
（2）将矩形EFGH沿y轴向上平移t个单位．
①直线GH与x轴交于点D，若AD∥BO，求t的值；
A
O
CP
FP
BP
x
y
(E)
GP
HP
②若矩形EFHG与矩形OABC重叠部分的面积为S个平方单位，试求当0＜t ≤4－2时，S与t之间的函数关系式．

22．（江苏模拟）如图，点P是正方形ABCD边AB上一动点（不与点A、B重合），连接PD并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90°得到线段PE，PE交边BC于点F，连接BE、DF．
（1）求证：∠ADP＝∠EPB；
A
P
CP
FP
BP
EP
DP
（2）若正方形ABCD边长为4，点F能否为边BC的中点？如果能，请你求出AP的长；如果不能，请说明理由．
（3）当 的值等于多少时，△PFD∽△BFP？并说明理由．

23．（江苏模拟）如图1，正方形ABCD和正方形AEFG，边AE在边AB上，AB＝2AE＝4．将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转α（0°≤α≤60°）．
（1）如图2，当∠BEA＝120°时，求DG的长；
（2）设BE的延长线交直线DG于点P，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转60°，求旋转过程中点P运动的路线长；
（3）在旋转的过程中，是否存在某时刻使得BF＝BC，若存在，试求出DP的长；若不存在，请说明理由．

C
B
A
E
G
D
F
图2
C
B
A
E
G
D
F
图1
C
B
A
D
备用图

24．（江苏模拟）如图，梯形的纸片ABCD中，AD∥BC，AD＝4cm，BC＝8cm，高为8cm．点E是腰AB上的一个动点，过点E作EF∥BC，交DC于点F，设EF＝x cm．
（1）若梯形AEFD的高为h1，梯形EBCF的高为h2，则 ＝___________（用含x的式子表示）；
（2）将梯形AEFD沿EF折叠，点A落在A1处，点D落在D1处，设梯形A1D1FE与梯形BCFE的重叠面积为S．
C
B
A
D
E
F
①求S与x的关系式，并写出x的取值范围；
②当x为何值时，S最大，最大值是多少？

25．（江苏模拟）如图，菱形ABCD的边长为12cm，∠B＝30°，E为AB上一点，且AE＝4cm．动点P从B点出发，以1cm/s的速度沿BC边向点C运动，PE交射线DA于点M，设运动时间为t（s）．
（1）当t为何值时，△MAE的面积为3cm2 ？
（2）在点P出发的同时，动点Q从点D出发，以1cm/s的速度沿DC边向点C运动，连接MQ、PQ，试求△MPQ的面积S（cm2）与t（s）之间的函数关系式，并求出当t为何值时，△MPQ的面积最大，最大值为多少？
（3）连接EQ，则在运动中，是否存在这样的t，使得△PQE的外心恰好在它的一边上？若存在，请直接写出满足条件的t的个数，并选择其一求出相应的t的值；若不存在，请说明理由．
A
B
D
Q
C
P
E
M
A
B
D
C
E
备用图

26．（江苏模拟）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＜BC．分别以AC、BC、AB为边在AB的同侧作正方形ACDE、正方形BCFG和正方形ABHK，设AK与CD交于点M，KH与CF交于点N．
（1）求证：点H在线段FG上；
（2）若四边形AMDE的面积为15，△FNH的面积为1，求正方形ABHK的面积．
G
E
K
F
C
A
B
D
H
M
N

B
C
A
F
D
E
N
M
27．（江苏模拟）如图，点E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，且∠EAF＝45°，AE、AF分别交BD于M、N，连接EF、EN．
（1）求证：EN⊥AF；
（2）若AB＝10，EF＝8，求四边形MEFN的面积．

D
B
A
CF
P
FF
EF
28．（江苏模拟）如图，直角梯形纸片ABCD中，AD⊥AB，AB＝8，AD＝CD＝4，点E在线段AB上，点F在射线AD上．将△AEF沿EF翻折，点A的落点记为P，若点P始终落在直角梯形ABCD内部或边上，求动线段AE长度的最大值．

29．（江苏模拟）如图，已知正方形纸片ABCD的边长为4，⊙O的半径为1，圆心在正方形的中心上．将纸片按图示方式折叠，使EA1恰好与⊙O相切于点A1，延长FA1交CD边于点G．
C
A
D
B
E
F
O
A1
（1）求A1G的长；
（2）求tan∠A1EF的值．

30．（山东烟台）
（1）问题探究
如图1，分别以△ABC的边AC与边BC为边，向△ABC外作正方形ACD1E1和正方形BCD2E2，过点C作直线KH交直线AB于点H，使∠AHK＝∠ACD1，作D1M⊥KH，D2N⊥KH，垂足分别为点M，N．试探究线段D1M与线段D2N的数量关系，并加以证明．
（2）拓展延伸
①如图2，若将“问题探究”中的正方形改为正三角形，过点C作直线K1H1，K2H2，分别交直线AB于点H1，H2，使∠AH1K1＝∠BH2K2＝∠ACD1．作D1M⊥K1H1，D2N⊥K2H2，垂足分别为点M，N．D1M＝D2N是否仍成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．
②如图3，若将①中的“正三角形”改为“正五边形”，其他条件不变．D1M＝D2N是否仍成立？（要求：在图3中补全图形，注明字母，直接写出结论，不需证明）
A
B
D2
N
C
H
K
E1
D1
M
E2
图1
A
B
D2
C
D1
图3
E2
F2
E1
F1
A
B
D2
N
C
H2
K1
D1
M
图2
K2
H1

31．（山东德州）如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．
（1）求证：∠APB＝∠BPH；
（2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？证明你的结论；
（3）设AP的长为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．

A
B
C
G
F
H
D
P
E
A
B
C
G
F
H
D
P
E
（备用图）

32．（山东滨州）如图1，l1，l2，l3，l4是一组平行线，相邻2条平行线间的距离都是1个单位长度，正方形ABCD的4个顶点A，B，C，D都在这些平行线上．过点A作AF⊥l3于点F，交l2于点H，过点C作CE⊥l2于点E，交l3于点G．
（1）求证：△ADF≌△CBE；
（2）求正方形ABCD的面积；
A
B
C
D
E
G
F
H
l1
l2
l3
l4
图2
h1
h2
h3
（3）如图2，如果四条平行线不等距，相邻的两条平行线间的距离依次为h1，h2，h3，试用h1，h2，h3表示正方形ABCD的面积S．
A
B
C
D
E
G
F
H
l1
l2
l3
l4
图1

33．（山东临沂）已知，在矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b，动点M从点A出发沿边AD向点D运动．
（1）如图1，当b＝2a，点M运动到边AD的中点时，请证明∠BMC＝90°；
（2）如图2，当b＞2a时，点M在运动的过程中，是否存在∠BMC＝90°，若存在，请给与证明；若不存在，请说明理由；
（3）如图3，当b＜2a时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由．
图1
A
B
C
D
M
图3
A
B
C
D
M
图2
A
B
C
D
M

34．（山东潍坊）如图，已知平行四边形ABCD，过A作AM⊥BC于M，交BD于E，过C作CN⊥AD于N，交BD于F，连接AF、CE．
（1）求证：四边形AECF为平行四边形；
（2）当AECF为菱形，M点为BC的中点时，求AB : AE的值．
A
D
B
C
E
N
F
M

35．（山东威海）
探索发现
已知：在梯形ABCD中，CD∥AB，AD，BC的延长线相交于点E．AC，BD相交于点O，连接EO并延长交AB于点M，交CD于点N．
（1）如图①，如果AD＝BC，求证：直线EM是线段AB的垂直平分线；
（2）如图②，如果AD≠BC，那么线段AM与BM是否相等？请说明理由．
学以致用
仅用直尺（没有刻度），试作出图③中的矩形ABCD的一条对称轴．（写出作图步骤，保留作图痕迹）
图 ①
A
D
B
C
E
N
O
M
图 ③
A
D
B
C
图 ②
A
D
B
C
E
N
O
M

A
B
D
G
C
E
F
36．（山东淄博）在矩形ABCD中，BC＝4，BG与对角线AC垂直且分别交AC，AD及射线CD于点E，F，G，设AB＝x．
（1）当点G与点D重合时，求x的值；
（2）当点F为AD中点时，求x的值及∠ECF的正弦值．
（3）是否存在x的值，使以点D为圆心的圆与BC、BG都相切？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．

37．（山西模拟）如图1，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点E，以点E为顶点作正方形EFGH，使点A、D分别在EH和EF上，连接BH、AF．
（1）判断BH和AF的数量关系并说明理由；
（2）将正方形EFGH绕点E顺时针方向旋转角θ（0°≤θ＜360°），设AB＝a，EH＝b，且a＜2b．
①如图2，连接AG，设AG＝x，请直接写出x的取值范围；当x取最大值时，直接写出θ的值；
②若四边形ABDH是平行四边形，请在备用图中补全图形，并求a与b的数量关系．
H
G
F
E
A
B
C
D
图1

H
G
F
E
A
B
C
D
图2

E
A
B
C
D
备用图

38．（陕西某校自主招生）已知矩形纸片ABCD中，AB＝2，AD＝4．将矩形纸片的右下角折起，使得该角的顶点B落在矩形的左边AD上，且折痕EF的两端点E、F分别位于边AB、BC上．
A
B
D
C
F
E
θ
（1）求点E在边AB上可移动的最大距离；
（2）设∠EFB＝θ，求θ的取值范围．

39．（陕西模拟）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的四个顶点坐标分别为O（0，0），A（5，0），B（3，2），C（1，2）．
（1）求证：四边形OABC是梯形
（2）若经过AB的中点D的直线恰好平分四边形OABC的面积，求这条直线的解析式，并用尺规作图法画出这条直线（不写作法，保留作图痕迹）
（3）是否在边AB和BC（含端点）上分别存在点M和点N，使得△MON的面积最大时，它的周长还最短？若存在，求出此时点M、N的坐标；若不存在，说明理由．
B
C
O
A
D
1
1
x
y
B
C
O
A
1
1
x
y
备用图

40．（宁夏）在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，P是BC边上的任意一点（P与B、C不重合），过点P作PE⊥AP，垂足为P，PE交CD于点E．
（1）连接AE，当△APE与△ADE全等时，求BP的长；
（2）若设BP为x，CE为y，试确定y与x的函数关系式．.当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？
A
D
B
C
P
E
（3）若PE∥BD，试求出此时BP的长．

A
B
D
F
C
O
E
G
41．（甘肃庆阳）如图，O是正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使CF＝CE，连接DF交BE的延长线于点G，连接OG．
（1）求证：△BCE≌△DCF；
（2）OG与BF有什么数量关系？证明你的结论；
（3）若GE·GB＝4－2 ，求正方形ABCD的面积．

42．（黑龙江牡丹江）如图，OA、OB的长分别是关于x的方程x 2－12x＋32＝0的两根，且OA＞OB．请解答下列问题：
A
B
P
O
x
y
（1）求直线AB的解析式；
（2）若P为AB上一点，且 ＝ ，求过点P的反比例函数的解析式；
（3）在坐标平面内是否存在点Q，使得以A、P、O、Q为顶点
的四边形是等腰梯形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不
存在，请说明理由．

A
G
B
C
O
F
E
(D)
x
y
43．（黑龙江绥化）如图，四边形ABCD为矩形，C点在x轴上，A点在y轴上，D点坐标是（0，0），B点坐标是（3，4），矩形ABCD沿直线EF折叠，点A落在BC边上的G处，E、F分别在AD和AB上，且F点的坐标是（2，4）．
（1）求G点坐标；
（2）求直线EF的解析式；
（3）点N在x轴上，直线EF上是否存在点M，使以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出M点坐标；若不存在，请说明理由．

44．（黑龙江龙东地区）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的边OC、OA分别与x轴、y轴重合，AB∥OC，∠AOC＝90°，∠BCO＝45°，BC＝12，点C的坐标为（－18，0）．
（1）求点B的坐标；
（2）若直线DE交梯形对角线BO于点D，交y轴于点E，且OE＝4，OD＝2BD，求直线DE的解析式；
（3）若点P是（2）中直线DE上的一个动点，在坐标平面内是否存在点Q，使以O、E、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
A
B
C
O
D
E
x
y

45．（辽宁大连）如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝2∠BCD＝2α，点E在AD上，点F在DC上，且∠BEF＝∠A．
（1）∠BEF＝____________（用含α的代数式表示）；
（2）当AB＝AD时，猜想线段EB、EF的数量关系，并证明你的猜想；
（3）当AB≠AD时，将“点E在AD上”改为“点E在AD的延长线上，且AE＞AB，AB＝mDE，AD＝nDE”，其他条件不变（如图2），求 的值（用含m、n的代数式表示）．
A
D
B
C
F
E
图1
A
D
B
C
F
E
图2

46．（辽宁鞍山）如图，正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上，点B坐标为（3，3）．将正方形ABCO绕点A顺时针旋转角度α（0º＜α＜90º），得到正方形ADEF，ED交线段OC于点G，ED的延长线交线段BC于点P，连AP、AG．
B
D
A
C
P
E
x
O
F
1
2
y
G
（1）求证：△AOG≌△ADG；
（2）求∠PAG的度数；并判断线段OG、PG、BP之间的数量关系，说明理由；
（3）当∠1＝∠2时，求直线PE的解析式．

47．（辽宁锦州）已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合）．以AD为边作正方形ADEF，连接CF．
（1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：①BD⊥CF．②CF＝BC－CD．
（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其它条件不变，请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系；
A
B
D
C
E
F
图1
图2
图3
B
D
C
A
E
F
B
D
C
A
E
F
O
（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC的两侧，其它条件不变：①请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系；②若连接正方形对角线AE、DF，交点为O，连接OC，探究△AOC的形状，并说明理由．

48．（辽宁盘锦）如图1，正方形ABCD中，点E、F分别在边DC、AD上，且AE⊥BF于点G．
（1）求证：BF＝AE；
（2）如图2，当点E在DC延长线上，点F在AD延长线上时，（1）中结论是否成立？请说明理由；
D
A
C
G
B
E
F
图2
M
Q
P
N
（3）在图2中，若点M、N、P、Q分别为四边形AFEB四条边AF、EF、EB、AB的中点，且AF : AD＝4 : 3，求S四边形MNPQ : S正方形ABCD．

D
A
C
G
B
E
F
图1

49．（辽宁营口）如图，在矩形ABCD中，AD＝4，M是AD的中点，点E是线段AB上一动点，连接EM并延长交线段CD的延长线于点F．
（1）如图1，求证：AE＝DF
（2）如图2，若AB＝2，过点M作MG⊥EF交线段BC的延长线于点G，判断△GEF的的行状，并说明理由；
A
B
D
M
C
E
F
图3
G
（3）如图3，若AB＝2，过点M作MG⊥EF交线段BC的延长线于点G．
①直接写出线段AE长度的取值范围；
②判断△GEF的形状，并说明理由．
A
B
D
M
C
E
F
图1
A
B
D
M
C
E
F
图2
G

50．（辽宁模拟）在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，CD＝3，AD＝4，tanB＝2．过点C作CH⊥AB于H，点P为线段AD上一动点，PM∥AB分别交BC、CH于点M、Q．以PM为斜边向下作等腰Rt△PMN，直线PN交直线AB于点E，直线MN交直线AB于点F．设PD的长为x，EF的长为y．
（1）求PM的长（用x表示）；
（2）求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；
（3）当点F在线段AH上时，求x的取值范围．
B
A
C
D
P
M
N
H
E
F
Q
B
A
C
D
H
备用图
B
A
C
D
H
备用图

51．（贵州贵阳）如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线．
（1）三角形有_________条面积等分线，平行四边形有_________条面积等分线；
（2）如图①所示，在矩形中剪去一个小正方形，请画出这个图形的一条面积等分线；
（3）如图②，四边形ABCD中，AB与CD不平行，AB≠CD，且S△ABC ＜S△ACD ，过点A画出四边形ABCD的面积等分线，并写出理由．
图②
A
C
B
D
图①

52．（成都某校自主招生）如图，矩形OABC的顶点O在坐标原点，A（2，0），C（0，2），点M是折线A－B－C上的一个动点（点M与点C不重合），点N是点C关于OM的对称点．当△ONA为等腰三角形时，符合条件的点M有几个？分别求出此时点M和点N的坐标．
O
x
y
A
C
B
N
M

53．（成都某校自主招生）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，E是边AD上一点（点E不与点A、D重合）．将△ABE沿直线BE折叠，点A落在点A1处，连接A1C、A1D．
C
A
B
D
A1
E
（1）当点A1落在对角线BD上时，求AE的长；
（2）当△A1CD是等腰三角形时，求AE的长．

A
C
B
D
O
x
y
E
F
54．（四川巴中）如图，在平面直角坐标系中，点A，C分别在x轴、y轴上，四边形ABCO为矩形，AB＝16，点D与点A关于y轴对称，tan∠ACB＝ ．点E，F分别是线段AD、AC上的动点（点E不与点A、D重合），且∠CEF＝∠ACB．
（1）求AC的长和点D的坐标；
（2）