广东省各市中考数学模拟试题分类汇编专题16：压轴题.doc

一、选择题
1．【2016广东省深圳市二模】如图，两个反比例函数y1=（其中k1＞0）和y2=在第一象限内的图象依次是C1和C2，点P在C1上．矩形PCOD交C2于A、B两点，OA的延长线交C1于点E，EF⊥x轴于F点，且图中四边形BOAP的面积为6，则EF：AC为（　　）

A．﹕1 B．2﹕ C．2﹕1 D．29﹕14
【答案】A
考点：1、反比例函数系数k的几何意义，2、以及相似三角形的性质
二、填空题
1．【2016广东省广州市海珠区一模】如图，正方形ABCD的边长为3，对角线AC与BD相交于点O，CM交BD于点N，若BM=1，则线段ON的长为　　　　　　．

【答案】1
考点：1、正方形的性质，2、相似三角形的判定与性质，3、角平分线的性质
2．如图，△AOB与△ACD均为正三角形，且顶点B、D均在双曲线y=（x＞0）上，点A、C在x轴上，连接BC交AD于点P，则△OBP的面积=　　　　　　．

【答案】4
【解析】
试题分析：设等边△AOB的边长为a，等边△ACD的边长为b，由等边三角形的性质找出点B的坐标（a，a），点D的坐标为（a+b，b），过点B作BE⊥x轴于点E，过点P作PF⊥x轴于点F，由等边三角形的性质可找出∠BOA=60°=∠PAC，从而得出BO∥PA，根据平行线的性质即可得出，再由BE⊥x轴，PF⊥x轴得出BE∥PF，由此得出，根据比例关系找出线段PF的长度，通过分割三角形以及三角形的面积公式找出=，由点B的坐标结合反比例函数图象上点的坐标特征即可得出．

考点：1、等边三角形的性质，2、反比例函数图象上点的坐标特征，3、三角形的面积公式，4、平行线的性质
三、解答题
1．【2016广东省东莞市二模】如图，已知直线y=x+与x轴、y轴分别相交于B、A两点，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B两点，且对称轴为x=﹣3．
（1）求A、B两点的坐标，并求抛物线的解析式；
（2）若点P以1个单位/秒的速度从点B沿x轴向点O运动，过点P作y轴的平行线交直线AB于点M，交抛物线于点N，设点P运动的时间为t，MN的长度为s，求s与t之间的函数关系式，并求出当t为何值时，s取得最大值？

【答案】（1）y=﹣（x+3）2+8（2）
【解析】
试题分析：（1）根据直线的解析式分别令x=0、y=0，即可求得A、B的坐标，然后设出抛物线的顶点式，用待定系数法得到二次函数的解析式即可．
（2）设BP=t（0＜t＜7），则OP=7﹣t，P（t﹣7，0），M（t﹣7，），N（t﹣7，﹣（t﹣7+3）2+8），即可得出s=MN=﹣t2+t（0＜t＜7），由﹣＜0，可知S有最大值，然后根据二次函数的性质即可求得s的最大值．

（2）设BP=t（0＜t＜7），则OP=7﹣t，
∴P（t﹣7，0）
∵由于MP与y轴平行，且点M在直线AB上
∴M（t﹣7，），
∵MN与y轴平行，且点N在抛物线上
∴N（t﹣7，﹣（t﹣7+3）2+8），
∴s=MN=﹣（t﹣7+3）2+8﹣=﹣t2+t（0＜t＜7），
∵﹣＜0，即S有最大值
∴当t=﹣时，s最大=﹣×（）2+×=．
考点：1、待定系数法求二次函数解析式；2、一次函数图象与系数的关系；3、二次函数的性质．
2．【2016广东省广州市番禹区】已知二次函数y=mx2+nx+p图象的顶点横坐标是2，与x轴交于A（x1，0）、

B（x2，0），x1＜0＜x2，与y轴交于点C，O为坐标原点，tan∠CAO﹣tan∠CBO=1．
（1）求证：n+4m=0；
（2）求m、n的值；
（3）当p＞0且二次函数图象与直线y=x+3仅有一个交点时，求二次函数的最大值．
【答案】(1)证明见解析（2）m=，n=-1或m=-，n=1（3）4
（2）∵二次函数y=mx2+nx+p与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0），x1＜0＜x2，
∴OA=﹣x1，OB=x2；
x1+x2=，x1•x2=；
令x=0，得y=p，
∴C（0，p），
∴OC=|p|．
由三角函数定义得：tan∠CAO=，tan∠CBO=．
∵tan∠CAO﹣tan∠CBO=1
，即，
化简得： =，
将x1+x2=，x1•x2=代入得：，
化简得：n==±1．
由（1）知n+4m=0，
∴当n=1时，m=-；当n=﹣1时，m=．
∴m、n的值为：m=，n=﹣1（此时抛物线开口向上）或m=-，n=1（此时抛物线开口向下）．

考点：二次函数综合题
3．【2016广东省惠州市惠阳区一模】已知在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点A，B，与y轴相交于点C，直线y=x+4经过A，C两点，
（1）求抛物线的表达式；
（2）如果点P，Q在抛物线上（P点在对称轴左边），且PQ∥AO，PQ=2AO，求P，Q的坐标；
（3）动点M在直线y=x+4上，且△ABC与△COM相似，求点M的坐标．

【答案】（1）（2）P点坐标（﹣5，﹣），Q点坐标（3，﹣）
（3）M点的坐标为（﹣，），（﹣3，1）
（2）PQ=2AO=8，
又PQ∥AO，即P、Q关于对称轴x=﹣1对称，
PQ=8，﹣1﹣4=﹣5，
当x=﹣5时，y=×（﹣5）2﹣（﹣5）+4=﹣，即P（﹣5，﹣）；
﹣1+4=3，即Q（3，﹣）；
P点坐标（﹣5，﹣），Q点坐标（3，﹣）；

当△OCM∽△CAB时，，即，解得CM=3，
如图2，
过M作MH⊥y轴于H，MH=CH=CM=3，
当x=﹣3时，y=﹣3+4=1，
∴M（﹣3，1），
综上所述：M点的坐标为（﹣，），（﹣3，1）．
考点：二次函数综合题
4．【2016广东省汕头市澄海区一模】如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，D，E分别是边AB，AC的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQ⊥BC于Q，过点Q作QR∥BA交AC于R，当点Q与点C重合时，点P停止运动．设BQ=x，QR=y．
（1）求点D到BC的距离DH的长；
（2）求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（3）是否存在点P，使△PQR为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）（2）y=-x+6（3）存在，或6或
试题解析：（1）在Rt△ABC中，
∵∠A=90°，AB=6，AC=8，
∴BC==10．
∵∠DHB=∠A=90°，∠B=∠B．
∴△BHD∽△BAC，
∴，
∴DH=•AC=×8=

②当PQ=RQ时，﹣x+6=，
∴x=6．
③作EM⊥BC，RN⊥EM，
∴EM∥PQ，
当PR=QR时，则R为PQ中垂线上的点，
∴EN=MN，
∴ER=RC，
∴点R为EC的中点，
∴CR=CE=AC=2．
∵tanC=，
∴，
∴x=．
综上所述，当x为或6或时，△PQR为等腰三角形．

考点：一次函数综合题
5．【2016广东省汕头市金平区一模】有一副直角三角板，在三角板ABC中，∠BAC=90°，∠C=60°，AB=6，在三角板DEF中，∠FDE=90°，∠E=45°，EF=6．将这副直角三角板按如图1所示位置摆放，点A与点F重合，点E、F、A、C在同一条直线上．现固定三角板ABC，将三角板DEF以每秒1个单位的速度沿边AC匀速运动，DF与AB相交于点M．
（1）如图2，连接ME，若∠EMA=67.5°，求证：△DEM≌△AEM；
（2）如图3，在三角板DEF移动的同时，点N从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿CB向点B匀速移动，当三角板DEF的顶点D移动到AB边上时，三角板DEF停止移动，点N也随之停止移动．连接FN，设四边形AFNB的面积为y，在三角板DEF运动过程中，y存在最小值，请求出y的最小值；
（3）在（2）的条件下，在三角板DEF运动过程中，是否存在某时刻，使E、M、N三点共线，若存在，请直接写出此时AF的长；若不存在，请直接回答．

【答案】（1）证明见解析（2）（3）不存在
（2）解：如图2中，作FG⊥CB，垂足为G．设AF=x，则CN=2x．
在Rt△ABC中，∠C=60°，AB=6，
∴AC=，
∴CF=2﹣x，
在Rt△CFG中，FG=CF•sin60°=2﹣x）•=3﹣x，
∴y= =AC•AB﹣CN•FG，
=•2×6﹣•2x•（3﹣x）
=x2﹣3x+6

=（x﹣）2+，
∴y的最小值为．

考点：1、三角形综合题、2、全等三角形的判定和性质、3、二次函数、4、勾股定理、5、平行线性质
6．【2016广东省广州市华师附中一模】在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+bx+c（b，c为常数）的顶点为P，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，﹣1），C的坐标为（4，3），直角顶点B在第四象限．
（1）如图，若该抛物线过A，B两点，求该抛物线的函数表达式；
（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P在直线AC上滑动，且与AC交于另一点Q．
（i）若点M在直线AC下方，且为平移前（1）中的抛物线上的点，当以M、P、Q三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点M的坐标；
（ii）取BC的中点N，连接NP，BQ．试探究是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）y=x2+2x﹣1（2）i：M1（4，﹣1），M2（﹣2，﹣7），M3（1+，﹣2+），M4（1﹣，﹣2﹣）；ii:

ii）由（i）可知，PQ=为定值，因此当NP+BQ取最小值时，有最大值．
如答图2所示，作点B关于直线AC的对称点B′，由分析可知，当B′、Q、F（AB中点）三点共线时，NP+BQ最小，最小值为线段B′F的长度．

设平移前抛物线的顶点为P0，则由（1）可得P0的坐标为（2，1），且P0在直线AC上．
∵点P在直线AC上滑动，∴可设P的坐标为（m，m﹣1），
则平移后抛物线的函数表达式为：y=（x﹣m）2+m﹣1．
解方程组：，
解得，
∴P（m，m﹣1），Q（m﹣2，m﹣3）．
过点P作PE∥x轴，过点Q作QF∥y轴，则
PE=m﹣（m﹣2）=2，QF=（m﹣1）﹣（m﹣3）=2．
∴PQ==AP0．
若以M、P、Q三点为顶点的等腰直角三角形，则可分为以下两种情况：

②当PQ为斜边时：MP=MQ=2，可求得点M到PQ的距离为．
如答图2，取AB的中点F，则点F的坐标为（2，﹣1）．
由A（0，﹣1），F（2，﹣1），P0（2，1）可知：
△AFP0为等腰直角三角形，且点F到直线AC的距离为．
过点F作直线l2∥AC，交抛物线y=x2+2x﹣1于点M，则M为符合条件的点．
∴可设直线l2的解析式为：y=x+b2，
∵F（2，﹣1），∴﹣1=2+b2，解得b2=﹣3，
∴直线l2的解析式为：y=x﹣3．
解方程组，得：，
∴M3（1+，﹣2+），M4（1﹣，﹣2﹣）．
综上所述，所有符合条件的点M的坐标为：
M1（4，﹣1），M2（﹣2，﹣7），M3（1+，﹣2+），M4（1﹣，﹣2﹣）．

②当Q为直角顶点时，点M可视为点P绕点Q顺时针旋转90°而成，
将点Q（t﹣2，t﹣3）平移至原点Q′（0，0），则点P平移后P′（2，2），
将点P′绕原点顺时针旋转90°，则点M′（2，﹣2），
将Q′（0，0）平移至点Q（t﹣2，t﹣3），则点M′平移后即为点M（t，t﹣5），
∴，
∴t1=4，t2=﹣2，
∴M1（4，﹣1），M2（﹣2，﹣7），
③当P为直角顶点时，同理可得M1（4，﹣1），M2（﹣2，﹣7），
综上所述，所有符合条件的点M的坐标为：
M1（4，﹣1），M2（﹣2，﹣7），M3（1+，﹣2+），M4（1﹣，﹣2﹣）．
ii）存在最大值．理由如下：
由i）知PQ=为定值，则当NP+BQ取最小值时，有最大值．

考点：二次函数综合题
7．【2016广东省广州市海珠区一模】如图，抛物线1=x2+bx+c与x轴交于点A、B，交y轴于点C（0，﹣2），且抛物线对称轴x=﹣2交x轴于点D，E是抛物线在第3象限内一动点．
（1）求抛物线y1的解析式；
（2）将△OCD沿CD翻折后，O点对称点O′是否在抛物线y1上？请说明理由．
（3）若点E关于直线CD的对称点E′恰好落在x轴上，过E′作x轴的垂线交抛物线y1于点F，①求点F的坐标；②直线CD上是否存在点P，使|PE﹣PF|最大？若存在，试写出|PE﹣PF|最大值．

【答案】（1）y1=x2+2x﹣2；（2）不在（3）①F（2，6﹣2）②存在，6﹣2
②由于点E关于直线CD的对称点E′恰好落在x轴，则PE=PE′，根据三角形三边的关系得|PE′﹣PF|≤E′F（当点P、E′F共线时，取等号），于是可判断直线CD上存在点P，使|PE﹣PF|最大，最大值为6﹣2．
试题解析：（1）∵抛物线对称轴x=﹣2，
∴﹣=﹣2，
解得b=2，
∵点C（0，﹣2）在抛物线y1=x2+bx+c上，
∴c=2，
∴抛物线解析式为y1=x2+2x﹣2；

∵当x=﹣3时，y1=x2+2x﹣2=×9+2×（﹣3）﹣2≠﹣，
∴O′点不在抛物线y1上；

∴DE==4，
∴DE′=4，
∴E′（2，0），
而E′F⊥x轴，
∴F点的横坐标为2，
当x=2时，y1=x2+2x﹣2=6﹣2，
∴F（2，6﹣2）；
②∵点E关于直线CD的对称点E′恰好落在x轴，
∴PE=PE′，
∴|PE′﹣PF|≤E′F（当点P、E′F共线时，取等号），
∴直线CD上存在点P，使|PE﹣PF|最大，最大值为6﹣2．

考点：二次函数综合题
8．【2016广东省广州市增城市一模】如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点B的坐标为（3，0），直线y=﹣x+3恰好经过B，C两点
（1）写出点C的坐标；
（2）求出抛物线y=x2+bx+c的解析式，并写出抛物线的对称轴和点A的坐标；
（3）点P在抛物线的对称轴上，抛物线顶点为D且∠APD=∠ACB，求点P的坐标．

【答案】（1）C（0，3）；（2）y=x2﹣4x+3=（x-1）（x-3），对称轴为x=2，点A（1，0）；（3）（2，2）或（2，﹣2）
【解析】
试题分析：（1）由直线y=﹣x+3可求出C点坐标；
（2）由B，C两点坐标便可求出抛物线方程，从而求出抛物线的对称轴和A点坐标；
（3）作出辅助线OE，由三角形的两个角相等，证明△AEC∽△AFP，根据两边成比例，便可求出PF的长度，从而求出P点坐标．
试题解析：（1）y=﹣x+3与y轴交于点C，故C（0，3）．

（2）∵抛物线y=x2+bx+c过点B，C，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3=（x﹣1）×（x﹣3），
∴对称轴为x=2，点A（1，0）．

过点A作AE⊥BC于点E．
∴∠AEB=90度．
可得，．
在△AEC与△AFP中，∠AEC=∠AFP=90°，∠ACE=∠APF，
∴△AEC∽△AFP．
∴，
解得PF=2．
或者直接证明△ABC∽△ADP得出PD=3，
再得PF=2．
∵点P在抛物线的对称轴上，
∴点P的坐标为（2，2）或（2，﹣2）．
考点：二次函数综合题
9．【2016广东省揭阳市普宁市二模】如图，抛物线y=x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动（点P不与A重合），过点P作PD∥y轴交直线AC于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当D在线段AC上运动时，求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；
（3）在抛物线对称轴上是否存在点M使|MA﹣MC|最大？若存在请求出点M的坐标，若不存在请说明理由．

【答案】（1）y=x2﹣4x+3；（2）；（3）M（2，﹣3）
试题解析：（1）∵抛物线y=x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），
∴，
解得，
∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3；

（3）由抛物线的对称性，对称轴垂直平分AB，
∴MA=MB，
由三角形的三边关系，|MA﹣MC|＜BC，
∴当M、B、C三点共线时，|MA﹣MC|最大，为BC的长度，
设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），
则，
解得，
∴直线BC的解析式为y=﹣3x+3，
∵抛物线y=x2﹣4x+3的对称轴为直线x=2，
∴当x=2时，y=﹣3×2+3=﹣3，
∴点M（2，﹣3），
即，抛物线对称轴上存在点M（2，﹣3），使|MA﹣MC|最大．
考点：二次函数综合题

10．【2016广东省深圳市模拟】抛物线y=ax2+bx+4A（1，﹣1），B（5，﹣1），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，连接CB，若点P在直线BC上方的抛物线上，△BCP的面积为15，求点P的坐标；
（3）如图2，⊙O1过点A、B、C三点，AE为直径，点M为弧ACE上的一动点（不与点A，E重合），∠MBN为直角，边BN与ME的延长线交于N，求线段BN长度的最大值．

【答案】（1）y=x2﹣6x+4；（2）（6，4）或（﹣1，11）（3）
（2）如图所示：

设点P的坐标为P（m，m2﹣6m+4）
∵S△CBP=15，即：S△CBP=S梯形CEDP﹣S△CEB﹣S△PBD，
∴m（5+m2﹣6m+4+1）﹣×5×5﹣（m﹣5）（m2﹣6m+5）=15，
化简得：m2﹣5m﹣6=0，
解得：m=6，或m=﹣1，
∴点P的坐标为（6，4）或（﹣1，11），

将x=0代入抛物线的解析式得：y=4，
∴点C的坐标为（0，4），
设点O1的坐标为（3，m），
∵O1C=O1A，
∴=，
解得：m=2，
∴点O1的坐标为（3，2），
∴O1A=，

考点：1、二次函数的综合应用，2、相似三角形的判定和性质，3、勾股定理，4、圆周角定理
11．【2016广西贵港市三模】已知，点P是Rt△ABC斜边AB上一动点（不与A、B重合），分别过A、B向直线CP作垂线，垂足分别为E、F、Q为斜边AB的中点．
（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是　　　　　　，QE与QF的数量关系是　　　　　　；
（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；
（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明．

【答案】（1）AE∥BF，QE=QF；（2）QE=QF；（3）成立
理由是：∵Q为AB的中点，
∴AQ=BQ，
∵AE⊥CQ，BF⊥CQ，
∴AE∥BF，∠AEQ=∠BFQ=90°，
在△AEQ和△BFQ中

∴△AEQ≌△BFQ，
∴QE=QF，
故答案为：AE∥BF，QE=QF；

（3）当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论成立，
证明：延长EQ交FB于D，如图3，

∵由（1）知：AE∥BF，
∴∠AEQ=∠BDQ，
在△AEQ和△BDQ中

∴△AEQ≌△BDQ，
∴EQ=DQ，
∵∠BFE=90°，
∴QE=QF．
考点：1、平行线的性质和判定，2、全等三角形的性质和判定，3、直角三角形的性质
12．【2015广西桂林市模拟】如图，在矩形ABCD中，AD=6cm，AD=8cm，点E是AD的中点．连接BD，BE．
（1）如图1，点P在DC上，若DP=3cm，连接AP与BD、BE分别交于点M、N
①求MP：MA；
②求MN的长度；
（2）如图2，动点P从点D出发，在射线DC上运动，运动速度均为1cm/s，连接AP与BD、BE分别交于点M、N，设点P的运动时间为x秒，当x为多少时，△DMN是直角三角形？

【答案】（1）①②（2）
【解析】
试题分析：（1）①由四边形是矩形，得到AB∥DC，从而得到比例式即可；②由相似三角形的性质得到比例式，再用勾股定理求出AP即可；
（2）由△ABM∽△ABD和△ABM∽△DPM，得出的比例式，用比例的基本性质即可．
试题解析：①∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥DC，
∵DP=3，AB=8，
∴=．

（2）∵AD=6，AB=8，
∴BD=10，
∵DP=x，
当△DMN为直角三角形，
即：DB⊥AP，
∵△ABM∽△ABD，
∴，
∴，
∴BM=，

考点：四边形综合题
13．【2016广西南宁市马山县一模】如图，已知抛物线y=ax2﹣5ax+2（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于点A（1，0）和点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求直线BC的解析式；
（3）若点N是抛物线上的动点，且点N在第四象限内，过点N作NH⊥x轴，垂足为H，以B，N，H为顶点的三角形是否能够与△OBC相似？若能，请求出所有符合条件点N的坐标；若不能，请说明理由．

【答案】（1）y=x2﹣5ax+2；（2）y=﹣x+2；（3）（2，-1）
【解析】
试题分析：（1）把点A（1，0）在抛物线y=ax2﹣5ax+2上，解方程即可得到结论；
（2）把x=0代入y=x2﹣5ax+2，求得C（0，2），根据抛物线的对称轴为直线x=，得到B（4，0），求出直线BC的解析式y=﹣x+2；
（3）设N（x， x2﹣x+2），根据相似三角形的性质得到，即可得到结论．
试题解析：（1）∵点A（1，0）在抛物线y=ax2﹣5ax+2上，
∴a﹣5a+2=0，∴a=，
∴抛物线的解析式为：y=x2﹣5ax+2；

（3）设N（x， x2﹣x+2），
当△OBC∽△HBN时，如图，
∴，
即，
解得：x1=2，x2=4（不合题意舍去）
故N的坐标为（2，-1）
考点：二次函数的综合
14．【2016广东省深圳市龙岭期中】如图，在平面直角坐标系中，O为原点，平行四边形ABCD的边BC在x轴上，D点在y轴上，C点坐标为（2，0），BC=6，∠BCD=60°，点E是AB上一点，AE=3EB，⊙P过D，O，C三点，抛物线y=ax2+bx+c过点D，B，C三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求证：ED是⊙P的切线；
（3）若点M为此抛物线的顶点，平面上是否存在点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）y=﹣x2﹣x+2；（2）证明见解析（3）点N的坐标为（﹣5，）、（3，）、（﹣3，﹣）

而∠ADE+∠ODE=90°
∴∠CDO+∠ODE=90°，
∴CD⊥DE，
∵∠DOC=90°，
∴CD为⊙P的直径，
∴ED是⊙P的切线；

（3）存在．
∵y=﹣x2﹣x+2=﹣（x+1）2+
∴M（﹣1，），
而B（﹣4，0），D（0，2），如图2，
当BM为平行四边形BDMN的对角线时，点D向左平移4个单位，再向下平移2个单位得到点B，
则点M（﹣1，）向左平移4个单位，再向下平移2个单位得到点N1（﹣5，）；
当DM为平行四边形BDMN的对角线时，点B向右平移3个单位，
再向上平移个单位得到点M，则点D（0，2）向右平移3个单位，再向上平移个单位得到点N2（3，）；

考点：二次函数综合题
15．【2016广东省深圳市二模】如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0）．
（1）求b、c的值；
（2）如图1直线y=kx+1（k＞0）与抛物线第一象限的部分交于D点，交y轴于F点，交线段BC于E点．求的最大值；
（3）如图2，抛物线的对称轴与抛物线交于点P、与直线BC相交于点M，连接PB．问在直线BC下方的抛物线上是否存在点Q，使得△QMB与△PMB的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）b=2，c=3（2）（3）（，）或（，）
试题解析：（1）将点A（﹣1，0）、B（3，0）带入到抛物线解析式中得：
，
解得：．

设点D的坐标为（m，﹣m2+2m+3），则点N的坐标为（m，﹣m+3），
∴DN=﹣m2+3m，CF=3﹣1=2，
∴=，
∵DN=﹣m2+3m=的最大值为，
∴的最大值为．
（3）假设存在符合题意的点Q．
设PM与x轴交于点G，过点G作作直线BC的平行线，如图2所示．

∵抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
∴P点的坐标为（1，4），PM的解析式为x=1，
∵直线BC的解析式为y=﹣x+3，
∴M的坐标为（1，2），
∵点G的坐标为（1，0），
∴PM=GM=2，
∴过点G与BC平行的直线为y=﹣x+1．
考点：1、待定系数法求函数解析式，2、相似三角形的判定及性质，3、二次函数的性质，4、二元二次方程组
16．【2016广东省汕头市潮南区模拟（B卷】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD⊥AB于点D．点P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止．设运动时间为t秒．
（1）求线段CD的长；
（2）设△CPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并确定在运动过程中是否存在某一时刻t，使得S△CPQ： =9：100？若存在，求出t的值；若不存在，则说明理由．
（3）是否存在某一时刻t，使得△CPQ为等腰三角形？若存在，求出所有满足条件的t的值；若不存在，则说明理由．

【答案】（1）4.8（2）t=秒或t=3（3）存在，t为2.4秒或秒或秒时
（2）①过点P作PH⊥AC，垂足为H，如图2所示．
由题可知DP=t，CQ=t．
则CP=4.8﹣t．

∵∠ACB=∠CDB=90°，
∴∠HCP=90°﹣∠DCB=∠B．
∵PH⊥AC，
∴∠CHP=90°．
∴∠CHP=∠ACB．
∴△CHP∽△BCA．
∴．
∴．
∴PH=．
∴=CQ·PH=t·（）=；

（3）存在
①若CQ=CP，如图1，

则t=4.8﹣t．
解得：t=2.4．
②若PQ=PC，如图2所示．

考点：1、相似三角形的判定与性质，2、等腰三角形的性质，3、一元二次方程的应用，4、勾股定理
17．【2016广东省梅州市梅江模拟】如图，已知抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点C，与x轴交于点A、B，且AB=2，抛物线的对称轴为直线x=2；
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如果抛物线的对称轴上存在一点P，使得△APC周长的最小，求此时P点坐标
及△APC周长；
（3）设D为抛物线上一点，E为对称轴上一点，若以点A、B、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标．（直接写出结果）

【答案】（1）y=x2﹣4x+3（2）3+（3）（2，﹣1）、（0，3）、（4，3）

（2）连接AC，BC，BC交对称轴于点P，连接PA，如图1，

由（1）知抛物线的函数表达式为y=x2﹣4x+3，点A，B的坐标分别为（1，0），（3，0），
∴点C的坐标为（0，3），
∴BC==3，AC==．
∵点A，B关于对称轴直线x=2对称，
∴PA=PB，
∴PA+PC=PB+PC，此时，PB+PC=BC，
∴当点P在对称轴上运动时，PA+PC的最小值等于BC，
∴△APC周长的最小值=AC+AP+PC=BC+AC=3+．

②线段AB为边，如图3，

考点：1、二次函数的综合运用，2、行四边形的性质，3、抛物线的对称性
18．【2016广东省东莞市虎门市模拟】如图，抛物线y=﹣x﹣4与坐标轴相交于A、B、C三点，P是线段AB上一动点（端点除外），过P作PD∥AC，交BC于点D，连接CP．
（1）直接写出A、B、C的坐标；
（2）求抛物线y=﹣x﹣4的对称轴和顶点坐标；
（3）求△PCD面积的最大值，并判断当△PCD的面积取最大值时，以PA、PD为邻边的平行四边形是否为菱形．

【答案】（1）A（4，0）、B（﹣2，0）、C（0，﹣4）．（2）（1，﹣）（3）不是菱形
【解析】
试题分析：（1）设y=0，解一元二次方程即可求出A和B的坐标，设x=0，则可求出C的坐标．
（2）抛物线：，所以抛物线的对称轴是直线x=1，顶点坐标是（1，﹣）．
（3）设P（x，0）（﹣2＜x＜4），由PD∥AC，可得到关于PD的比例式，由此得到PD和x的关系，再求出C到PD的距离（即P到AC的距离），利用三角形的面积公式可得到S和x的函数关系，利用函数的性质即可求出三角形面积的最大值，进而得到x的值，所以PD可求，而PA≠PD，所以PA、PD为邻边的平行四边形不是菱形．

当△PCD的面积取最大值时，x=1，PA=4﹣x=3，，
因为PA≠PD，所以以PA、PD为邻边的平行四边形不是菱形．
考点：1、二次函数和坐标轴的交点问题，2、平行线分线段成比例定理，3、特殊角的锐角三角形函数值，4、二次函数的最值问题，5、菱形的判定
19．【2016广东省潮州市潮安区一模】如图，抛物线y=﹣x2+mx+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴直线x=交x轴于点D．
（1）求m的值；
（2）在抛物线的对称轴上找出点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形，直接写出P点的坐标；
（3）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，与x轴相交于点H，连接CF、BF、OE，当四边形CDBF的面积最大时，请你说明四边形OCFE的形状．

【答案】（1）（2）P1（，），P2（，﹣），P3（，4）（3）平行四边形
（2）由勾股定理，得
CD=，当CD=DP=时，P（，），（，﹣），
当CD=CP时，设P点坐标为（，b），
∴=，
解得b=4，P（，4），
综上所述：P1（，），P2（，﹣），P3（，4）；

EF=FH﹣EH=﹣n2+2n，
∵，
=BD·CO=×（4﹣1.5）×2=， =EF·OB=×4×（﹣n2+2n）=﹣n2+4n，
=﹣n2+4n+=﹣（n﹣2）2+，
当n=2时，四边形CDBF的面积最大，此时EF=﹣n2+2n=2，EH=﹣n+2=1，OH=2，OE==．
∵OC=EF=2，OC∥EF，
∴四边形OCFE是平行四边形．
考点：二次函数综合题
20．【2016广东省模拟（一）】如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，CE⊥AD于点E，AD=8cm，BC=4cm，AB=5cm．从初始时刻开始，动点P，Q 分别从点A，B同时出发，运动速度均为1cm/s，动点P沿A﹣B﹣﹣C﹣﹣E的方向运动，到点E停止；动点Q沿B﹣﹣C﹣﹣E﹣﹣D的方向运动，到点D停止，设运动时间为xs，△PAQ的面积为ycm2，（这里规定：线段是面积为0的三角形）
解答下列问题：
（1）当x=2s时，y=　　　　　　cm2；当x=s时，y=　　　　　　cm2．
（2）当5≤x≤14 时，求y与x之间的函数关系式．
（3）当动点P在线段BC上运动时，求出时x的值．
（4）直接写出在整个运动过程中，使PQ与四边形ABCE的对角线平行的所有x的值．

【答案】（1）2；9（2）（2）当5≤x≤9时，y=x2-7x+；当9＜x≤13时， y=-x2+x-35；
当13＜x≤14时，y=-4x+56；（3）y=（4）、或
（2）当5≤x≤9时（如图1）
y= =（5+x-4）×4-×5（x-5）-（9-x）（x-4）
y=x2-7x+
当9＜x≤13时（如图2）
y=（x-9+4）（14-x）
y=-x2+x-35
当13＜x≤14时（如图3）
y=×8（14-x）
y=-4x+56；

当PQ∥BE时，EP=14-x，EQ=x-9，
此时△PEQ∽△BAE，
故，即，
解得x=．
综上所述x的值为：x=、或．
考点：二次函数综合题
21．【2016广东省深圳市南山区二模】如图，平面直角坐标系中，O为菱形ABCD的对称中心，已知C（2，0），D（0，﹣1），N为线段CD上一点（不与C、D重合）．
（1）求以C为顶点，且经过点D的抛物线解析式；
（2）设N关于BD的对称点为N1，N关于BC的对称点为N2，求证：△N1BN2∽△ABC；
（3）求（2）中N1N2的最小值；
（4）过点N作y轴的平行线交（1）中的抛物线于点P，点Q为直线AB上的一个动点，且∠PQA=∠BAC，求当PQ最小时点Q坐标．

【答案】（1）y=﹣（x﹣2）2（2）证明见解析（3）（4）

试题解析：（1）由已知，设抛物线解析式为y=a（x﹣2）2
把D（0，﹣1）代入，得a=﹣
∴y=﹣（x﹣2）2
（2）如图1，连结BN．

∵N1，N2是N的对称点
∴BN1=BN2=BN，∠N1BD=∠NBD，∠NBC=∠N2BC
∴∠N1BN2=2∠DBC
∵四边形ABCD是菱形
∴AB=BC，∠ABC=2∠DBC
∴∠ABC=∠N1BN2，
∴△ABC∽△N1BN2

∵△ABC∽△N1BN2
∴，
，

此时，PQ1最小，最小值为，
∴PQ1=PQ2=．
考点：二次函数综合题
22．【2016广东省深圳市二模】如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）．
（1）求b、c．
（2）如图1，在第一象限内的抛物线上是否存在点D，使得三角形BCD的面积最大？若存在，求出D点坐标，求出三角形BCD的面积最大值；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，抛物线的对称轴与抛物线交于点P，与直线BC相交于点M，连接PB．问在直线BC下方的抛物线上是否存在否存在点Q，使得△QMB与△PMB的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）y=-x2+2x+3；（2）（，），；（3）Q1（，），Q2（，-）
（2）如图1，设D点坐标为（t，﹣t2+2t+3），过点D作DH⊥x轴于H，
则=（﹣t2+2t+3+3）t+（3﹣t）（﹣t2+2t+3）﹣×3×3
=﹣t2+t
=﹣（t﹣）2+，
∵﹣＜0，
∴当t=时，D点坐标是（，），△BCD面积的最大值是；

过E作BC的平行线，交抛物线于点Q，则，
∴．
∵E（1，0），直线BC的解析式为y=﹣x+3，EQ∥BC，
∴直线EQ的解析式为y=﹣x+1．
由，

考点：二次函数综合题