全国中考数学分类解析汇编专题6：面积问题.doc

2 012年全国中考数学分类解析汇编
专题6：面积问题

一、选择题
1. （2012山西省2分）如图是某公园的一角，∠AOB=90°，弧AB的半径OA长是6米，C是OA的中点，点D在弧AB上，CD∥OB，则图中休闲区（阴影部分）的面积是【 】

　 A．米2 B．米2 C．米2 D．米2
【答案】 C。
【考点】扇形面积的计算，勾股定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】连接OD，则。
∵弧AB的半径OA长是6米，C是OA的中点，∴OC=OA=×6=3。
∵∠AOB=90°，CD∥OB，∴CD⊥OA。
在Rt△OCD中，∵OD=6，OC=3，∴。
又∵，∴∠DOC=60°。
∴（米2）。故选C。
2. （2012湖北武汉3分）在面积为15的平行四边形ABCD中，过点A作AE垂直于直线BC于点E，
作AF垂直于直线CD于点F，若AB＝5，BC＝6，则CE＋CF的值为【 】
A．11＋ B．11－
C．11＋或11－ D．11－或1＋
【答案】C。
【考点】平行四边形的性质和面积，勾股定理。
【分析】依题意，有如图的两种情况。设BE=x，DF=y。
如图1，由AB＝5，BE=x，得。
由平行四边形ABCD的面积为15，BC＝6，得，
解得（负数舍去）。
由BC＝6，DF=y，得。
由平行四边形ABCD的面积为15，AB＝5，得，
解得（负数舍去）。
∴CE＋CF=（6－）＋（5－）=11－。
如图2，同理可得BE= ，DF=。
∴CE＋CF=（6＋）＋（5＋）=11＋。
故选C。
3. （2012湖北恩施3分）如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，∠A=120°，则图中阴影部分的面积是【 】

A． B．2 C．3 D．
【答案】A。
【考点】菱形的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】如图，设BF、CE相交于点M，
∵菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，
∴△BCM∽△BGF，∴，即。
解得CM=1.2。∴DM=2﹣1.2=0.8。
∵∠A=120°，∴∠ABC=180°﹣120°=60°。
∴菱形ABCD边CD上的高为2sin60°=2×，
菱形ECGF边CE上的高为3sin60°=3×。
∴阴影部分面积=S△BDM+S△DFM=×0.8×+×0.8×。故选A。
4. （2012湖北随州4分）如图，直线l与反比例函数的图象在第一象限内交于A、B两点，交x轴的正半轴于C点,若AB：BC=(m一l)：1(m>l)则△OAB的面积(用m表示)为【 】

A. B. C. D.
【答案】B。
【考点】反比例函数的应用，曲线上点的坐标与方程式关系，相似三角形的判定和性质，代数式化简。
【分析】如图，过点A作AD⊥OC于点D，过点B作BE⊥OC于点E,
设A(ｘA，ｙA)，B (ｘB，ｙB)，C（c¸0）。
∵AB：BC=(m一l)：1(m>l)，∴AC：BC=m：1。
又∵△ADC∽△BEC，∴AD：BE=DC：EC= AC：BC=m：1。
又∵AD=ｙA，BE=ｙB，DC= c－ｘA，EC= c－ｘB，
∴ｙA：ｙB= m：1，即ｙA= mｙB。
∵直线l与反比例函数的图象在第一象限内交于A、B两点，
∴，。
∴，。
将 又由AC：BC=m：1得（c－ｘA）：（c－ｘB）=m：1，即
，解得。
∴
。
故选B。
5. （2012湖南株洲3分）如图，直线x=t（t＞0）与反比例函数的图象分别交于B、C两点，A为y轴上的任意一点，则△ABC的面积为【 】

　　A．3　　B．t　　C．　　D．不能确定
【答案】C。
【考点】反比例函数系数k的几何意义，曲线上点的坐标与方程的关系。
【分析】把x=t分别代入，得，∴B（t，）、C（t，）。
∴BC=﹣（）=。
∵A为y轴上的任意一点，∴点A到直线BC的距离为t。
∴△ABC的面积=。故选C。
6. （2012辽宁锦州3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°.把△ABC绕点A按顺时针方
向旋转60°后得到△AB＇C ＇，若AB=4，则线段BC在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是
【 】

A. π B. π C. 2π D. 4π
【答案】C。
【考点】旋转的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，扇形面积的计算。
【分析】∵∠ACB=90°，∠BAC=60°，AB=4，∴AC=ABcos∠BAC=2，∠CA C′=60°。
∵△ABC绕点A按顺时针方向旋转60°后得到△AB′C′，∴。
∴
=。
故选C。
7. （2012贵州毕节3分）如图，在正方形ABCD中，以A为顶点作等边△AEF，交BC边于E，交DC边于F；又以A为圆心，AE的长为半径作。若△AEF的边长为2，则阴影部分的面积约是【 】
（参考数据：，π取3.14）

A. 0.64 B. 1.64 C. 1.68 D. 0.36
【答案】A。
【考点】正方形和等边三角形的性质，勾股定理，扇形和三角形面积。
【分析】由图知，。因此，由已知，根据正方形、等边三角形的性质和勾股定理，可得等边△AEF的边长为2，高为；Rt△AEF的两直角边长为；扇形AEF的半径为2圆心角为600。
∴。故选A。
8. （2012山东德州3分）如图，两个反比例函数和的图象分别是l1和l2．设点P在l1上，PC⊥x轴，垂足为C，交l2于点A，PD⊥y轴，垂足为D，交l2于点B，则三角形PAB的面积为【 】

A．3 B．4 C． D．5
【答案】C。
【考点】反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，三角形的面积。
【分析】设P的坐标是，推出A的坐标和B的坐标，求出PA、PB的值，根据三角形的面积公式求出即可：
∵点P在上，∴设P的坐标是。
∵PA⊥x轴，∴A的横坐标是p。
∵A在上，∴A的坐标是。
∵PB⊥y轴，∴B的纵坐标是。∵B在上，∴，解得：x=﹣2p。
∴B的坐标是（﹣2p，）。
∴。
∵PA⊥x轴，PB⊥y轴，x轴⊥y轴，∴PA⊥PB。
∴△PAB的面积是：。故选C。
9. （2012内蒙古赤峰3分）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，以点C为圆心，CD为半径的弧与BC交于点E，四边形ABED是平行四边形，AB=3，则扇形CDE（阴影部分）的面积是【 】

　 A． B． C．π D．3π
【答案】A。
【考点】等腰梯形的性质，平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积的计算。
【分析】∵四边形ABCD是等腰梯形，且AD∥BC，∴AB=CD。
又∵四边形ABED是平行四边形，∴AB=DE（平行四边形的对边相等）。∴DE=DC=AB=3。
∵CE=CD，∴CE=CD=DE=3，即△DCE是等边三角形。∴∠C=60°。
∴扇形CDE（阴影部分）的面积为：。故选A。
10. （2012黑龙江绥化3分）如图，在平行四边形ABCD中，E是CD上的一点，DE：EC=2：3，连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则S△DEF：S△EBF：S△ABF=【 】

A．2：5：25 B．4：9：25 C．2： 3：5 D．4：10：25
【答案】D。
【考点】平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质。
【分析】由DE：EC=2：3得DE：DC=2：5，根据平行四边形对边相等的性质，得DE：AB=2：5
由平行四边形对边平行的性质易得△DFE∽△BFA
∴DF：FB= DE：AB=2：5，S△DEF：S△ABF=4：25。
又∵S△DEF和S△EBF是等高三角形，且DF：FB =2：5，∴S△DEF：S△EBF =2：5=4：10。
∴S△DEF：S△EBF：S△ABF =4：10：25。故选D。
二、填空题
1. （2012安徽省5分）如图，P是矩形ABCD内的任意一点，连接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，设它们的面积分别是S1、S2、S3、S4，给出如下结论：
①S1+S2=S3+S4 ② S2+S4= S1+ S3
③若S3=2 S1，则S4=2 S2 ④若S1= S2，则P点在矩形的对角线上

其中正确的结论的序号是 ▲ （把所有正确结论的序号都填在横线上）.
【答案】②④。
【考点】矩形的性质，相似
【分析】如图，过点P分别作四个三角形的高，
∵△APD以AD为底边，△PBC以BC为底边，
∴此时两三角形的高的和为AB，
∴S1+S3=S矩形ABCD；
同理可得出S2+S4=S矩形ABCD。
∴②S2+S4= S1+ S3正确，则①S1+S2=S3+S4错误。
若S3=2 S1，只能得出△APD与△PBC高度之比，S4不一定等于2S2；故结论③错误。
如图，若S1=S2，则×PF×AD=×PE×AB，
∴△APD与△PBA高度之比为：PF：PE =AB：AD 。
∵∠DAE=∠PEA=∠PFA=90°，∴四边形AEPF是矩形，
∴矩形AEPF∽矩形ABCD。连接AC。
∴PF：CD =PE ：BC=AP：AC，
即PF：CD =AF ：AD=AP：AC。
∴△APF∽△ACD。∴∠PAF=∠CAD。∴点A、P、C共线。∴P点在矩形的对角线上。
故结论④正确。
综上所述，结论②和④正确。
2. （2012广东省4分）如图，在▱ABCD中，AD=2，AB=4，∠A=30°，以点A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接CE，则阴影部分的面积是　 ▲ 　（结果保留π）．

【答案】。
【考点】平行四边形的性质，扇形面积的计算
【分析】过D点作DF⊥AB于点F。
∵AD=2，AB=4，∠A=30°，
∴DF=AD•sin30°=1，EB=AB﹣AE=2。
∴阴影部分的面积=平行四边形ABCD的面积－扇形ADE面积－三角形CBE的面积
=。
3. （2012浙江温州5分）如图，已知动点A在函数(x>o)的图象上，AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，延长CA至点D，使AD=AB，延长BA至点Ｅ，使AE=AC.直线DE分别交x轴，y轴于点P,Q.当QE：DP=4:9时，图中的阴影部分的面积等于 ▲ _.

【答案】。
【考点】反比例函数综合题，曲线上坐标与方程的关系，勾股定理，相似三角形的判定和性质。
【分析】过点D作DG⊥x轴于点G，过点E作EF⊥y轴于点F。
∵A在函数(x>o)的图象上，∴设A（t，），
则AD=AB=DG= ，AE=AC=EF=t。
在Rt△ADE中，由勾股定理，得
。
∵△EFQ∽△DAE，∴QE：DE=EF：AD。∴QE=。
∵△ADE∽△GPD，∴DE：PD=AE：DG。∴DP=。
又∵QE：DP=4：9，∴ 。解得。
∴图中阴影部分的面积=。
4. （2012江苏常州2分）如图，已知反比例函数和。点A在y轴的正半轴上，过点A作直线BC∥x轴，且分别与两个反比例函数的图象交于点B和C，连接OC、OB。若△BOC的面积为，AC：AB=2：3，则= ▲ ，= ▲ 。

【答案】2，－3。
【考点】反比例函数综合题，反比例函数的性质，曲线上点的坐标与方程的关系。
【分析】设点A（0，a）（∵点A在y轴的正半轴上，∴a＞0），则点B（），点C（）。
∴OA= a，AB=（∵），AC=（∵），AB=。
∵△BOC的面积为，∴，即①。
又∵AC：AB=2：3，∴，即②。
联立①②，解得=2，=－3。
5. （2012江苏扬州3分）如图，双曲线经过Rt△OMN斜边上的点A，与直角边MN相交于点B，已知OA＝2AN，△OAB的面积为5，则k的值是　▲　．

【答案】12。
【考点】反比例函数综合题。
【分析】如图，过A点作AC⊥x轴于点C，则AC∥NM，
∴△OAC∽△ONM，∴OC：OM＝AC：NM＝OA：ON。
又∵OA＝2AN，∴OA：ON＝2：3。
设A点坐标为(x0，y0)，则OC＝x0，AC＝y0。
∴OM＝，NM＝。∴N点坐标为(，)。
∴点B的横坐标为，设B点的纵坐标为yB，
∵点A与点B都在图象上，∴k＝x0 •y0＝•yB。∴。
∴B点坐标为()。
∵OA＝2AN，△OAB的面积为5，∴△NAB的面积为。∴△ONB的面积＝。
∴，即。∴。∴k＝12。
6. （2012福建宁德3分）如图，点M是反比例函数y＝在第一象限内图象上的点，作MB⊥x轴于点
B．过点M的第一条直线交y轴于点A1，交反比例函数图象于点C1，且A1C1＝A1M，△A1C1B的面积
记为S1；过点M的第二条直线交y轴于点A2，交反比例函数图象于点C2，且A2C2＝A2M，△A2C2B的
面积记为S2；过点M的第三条直线交y轴于点A3，交反比例函数图象于点C3，且A3C3＝A3M，△A3C3B
的面积记为S3；依次类推…；则S1＋S2＋S3＋…＋S8＝ ▲ ．

【答案】。
【考点】反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，平行线分线段成比例定理。
【分析】过点M作MD⊥y轴于点D，过点A1作A1E⊥BM于点E，过点C1作C1F⊥BM于点F，
∵点M是反比例函数y＝在第一象限内图象上的点，
∴OB×DM=1。∴。
∵A1C1=A1M，即C1为A1M中点，
∴C1到BM的距离C1F为A1到BM的距离A1E的一半。
∴。
∴。
∵A2C2＝A2M，∴C2到BM的距离为A2到BM的距离的。
∴。
同理可得：S3=，S4=，…
∴。
7. （2012湖北十堰3分）如图，直线y=6x，y=x分别与双曲线在第一象限内交于点A，B，若S△OAB=8，则k= 　 ▲ 　．

【答案】6。
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数系数k的几何意义，曲线上点的坐标与方程的关系。
【分析】如图，过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，
设点A（x1，），B（x2，），
由解得，∴A（，）。
由解得，∴B（，）。
∵

∴k=6。
8. （2012湖南岳阳3分）如图，△ABC中，AB=AC，D是AB上的一点，且AD=AB，DF∥BC，E为BD的中点．若EF⊥AC，BC=6，则四边形DBCF的面积为　 ▲ 　．

【答案】15。
【考点】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理。
【分析】如图，过D点作DG⊥AC，垂足为G，过A点作AH⊥BC，垂足为H，
∵AB=AC，点E为BD的中点，且AD=AB，
∴设BE=DE=x，则AD=AF=4x。
∵DG⊥AC，EF⊥AC，
∴DG∥EF，∴，即，解得。
∵DF∥BC，∴△ADF∽△ABC，∴，即，解得DF=4。
又∵DF∥BC，∴∠DFG=∠C，
∴Rt△DFG∽Rt△ACH，∴，即， om]解得。
在Rt△ABH中，由勾股定理，得。
∴。
又∵△ADF∽△ABC，∴，∴
∴。
9. （2012四川攀枝花4分）如图，以BC为直径的⊙O1与⊙O2外切，⊙O1与⊙O2的外公切线交于点D，且∠ADC=60°，过B点的⊙O1的切线交其中一条外公切线于点A．若⊙O2的面积为π，则四边形ABCD的面积是 ▲ ．

【答案】12。
【考点】相切两圆的性质，矩形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理；；切线长定理。
【分析】∵⊙O2的面积为π，∴⊙O2的半径是1。
∵AB和AH是⊙O1的切线，∴AB=AH。
设⊙O2的半径是R，连接DO2，DO1，O2E，O1H，AO1，作O2F⊥BC于F。
∵⊙O1与⊙O2外切，⊙O1与⊙O2的外公切线DC、DA，∠ADC=60°
∴D．O2、O1三点共线，∠CDO1=30°。
∴∠DAO1=60°，∠O2EC=∠ECF=∠CFO2=90°。
∴四边形CFO2E是矩形，
∴O2E=CF，CE=FO2，∠FO2O1=∠CDO1=30°。
∴DO2=2O2E=2，∠HAO1=60°，R+1=2（R﹣1），解得：R=3。
即DO1=2+1+3=6，
在Rt△CDO1中，由勾股定理得：CD=。
∵∠HO1A=90°﹣60°=30°，HO1=3，∴AH==AB。
∴四边形ABCD的面积是：×（AB+CD）×BC=×（+）×（3+3）=12。
10. （2012辽宁朝阳3分）如图，在正方形ABCD内有一折线，其中AE⊥EF，EF⊥FC，并且AE=4，EF=8，FC=12。则正方形与其外接圆形成的阴影部分的面积为 ▲ 。

【答案】。
【考点】对顶角的性质，正多边形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理。
【分析】连接AC，设AC与EF相交于点M。
∵AE丄EF，EF丄FC，∴∠E=∠F=90°。
∵∠AME=∠CMF（对顶角相等），∴△AEM∽△CFM。∴。
∵AE=4，EF=8，FC=12，∴。∴EM=2，FM=6。
∵在Rt△AEM中，，
在Rt△FCM中，，
∴AC=。
在Rt△ABC中，。
∴正方形ABCD的面积=，圆的面积为：。
∴正方形与其外接圆之间形成的阴影部分的面积为。
11. （2012辽宁沈阳4分）如图，菱形ABCD的边长为8cm，∠A=60°，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，则四边形BEDF的面积为 ▲ _cm2.

【答案】。
【考点】菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】如图，连接BD，
根据菱形四边相等和对角相等的性质，得AB=AD=CB=CD，∠C=∠A=60°，
∴△ABD和△BCD是等边三角形。
由DE⊥AB，DF⊥BC，根据等边三角形三线合一的性质，
得AE=BE=BF=CF。
∴△ADE、△BDE、△BDF和△CDF全等。∴四边形BEDF的面积=△ABD的面积。
由∠A=60°，菱形ABCD的边长为8cm，得DE=4cm。
∴四边形BEDF的面积=△ABD的面积=（cm2）。
12. （2012辽宁营口3分）如图，直线与双曲线（x＞0）交于A、B两点，与轴、轴
分别交于E、F两点，连结OA、OB，若，则 ▲ ．

【答案】。
【考点】直线与双曲线的交点问题，曲线上点的坐标与方程的关系，等腰三角形的性质。
【分析】在中，令，解得；令，则。
∴点E（，0）、F（0，）。∴OE=OF。
过点O作OM⊥AB于点M，则ME=MF。
设点A（）、B（），
联立，消掉得，。
根据根与系数的关系，，∴。∴。∴OA=OB。
∴AM=BM（等腰三角形三线合一）。
∵，∴FB=BM=AM=AE。所以点A（）。
∵点A在双曲线上，∴，解得b=。
13. （2012贵州遵义4分）如图，平行四边形ABCD的顶点为A、C在双曲线上，B、D在双曲线上，k1=2k2（k1＞0），AB∥y轴，S△ABCD=24，则k1=　 ▲ 　．

【答案】8。
【考点】反比例函数综合题，平行四边形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征。
【分析】∵在ABCD中，AB∥CD，AB=CD（平行四边形的对边平行且相等），
∴设A（x，y1）、B（x、y2），（x＜0）。
则根据反比例函数的图象关于原点对称的性质知，C（﹣x，﹣y1）、D（﹣x、﹣y2）。
∵A在双曲线上，B在双曲线上，∴，。∴。
又∵k1=2k2（k1＞0），∴y1=﹣2y2。
∵S△ABCD=24，∴，即。解得，k1=8。
14. （2012山东聊城3分）如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点O，且正方形的一组对边与x轴平行，点P（3a，a）是反比例函数（k＞0）的图象上与正方形的一个交点．若图中阴影部分的面积等于9，则这个反比例函数的解析式为　 ▲ 　．

【答案】。
【考点】待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，反比例函数图象的对称性，正方形的性质。
【分析】由反比例函数的对称性可知阴影部分的面积和正好为小正方形面积的，设小正方形的边长为b，图中阴影部分的面积等于9可求出b的值，从而可得出直线AB的表达式，再根据点P（3a，a）在直线AB上可求出a的值，从而得出反比例函数的解析式：
∵反比例函数的图象关于原点对称，∴阴影部分的面积和正好为小正方形的面积。
设正方形的边长为b，则b2=9，解得b=6。
∵正方形的中心在原点O，∴直线AB的解析式为：x=3。
∵点P（3a，a）在直线AB上，∴3a=3，解得a=1。∴P（3，1）。
∵点P在反比例函数（k＞0）的图象上，∴k=3×1=3。
∴此反比例函数的解析式为：。
15. （2012青海省2分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，分别以AC、BC为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为 ▲ （结果保留π）．

【答案】。
【考点】扇形面积的计算。
【分析】设各个部分的面积为：S1、S2、S3、S4、S5，如图所示，
∵两个半圆的面积和是：S1+S5+S4+S2+S3+S4，△ABC的面积是S3+S4+S5，阴影部分的面积是：S1+S2+S4。
∴图中阴影部分的面积为两个半圆的面积减去三角形的面积，即阴影部分的面积=π×4÷2+π×1÷2﹣4×2÷2=。　
16. （2012内蒙古呼和浩特3分）如图是某几何体的三视图及相关数据（单位：cm），则该几何体的侧面积为　 ▲ 　cm．

【答案】2π。
【考点】由三视图判断几何体，圆锥的计算。
【分析】根据三视图易得此几何体为圆锥，由题意得底面直径为2，母线长为2，
∴几何体的侧面积为×2×2π=2π。　
三、解答题
1. （2012广东佛山11分）（1）按语句作图并回答：作线段AC（AC=4），以A为圆心a为半径作圆，再以C为圆心b为半径作圆（a＜4，b＜4，圆A与圆C交于B、D两点），连接AB、BC、CD、DA．
若能作出满足要求的四边形ABCD，则a、b应满足什么条件？
（2）若a=2，b=3，求四边形ABCD的面积．
【答案】解：（1）作图如下：

能作出满足要求的四边形ABCD，则a、b应满足的条件是a+b＞4。
（2）连接BD，交AC于E，
∵⊙A与⊙C交于B、D，∴AC⊥DB，BE=DE。
设CE=x，则AE=4－x，
∵BC= b=3，AB= a=2，
∴由勾股定理得：
解得：。
∴。
∴四边形ABCD的面积是。
答：四边形ABCD的面积是。
【考点】作图（复杂作图），相交两圆的性质，勾股定理。
【分析】（1）根据题意画出图形，只有两圆相交，才能得出四边形，即可得出答案；
（2）连接BD，根据相交两圆的性质得出DB⊥AC，BE=DE，设CE= x，则AE=4－x，根据勾股定理得出关于x的方程，求出x，根据三角形的面积公式求出即可。
2. （2012广东广州14分）如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求点A、B的坐标；
（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求点D的坐标；
（3）若直线l过点E（4，0），M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式．

【答案】解：（1）在中，令y=0，即，解得x1=﹣4，x2=2。
∵点A在点B的左侧，∴A、B点的坐标为A（﹣4，0）、B（2，0）。
（2）由得，对称轴为x=﹣1。
在中，令x=0，得y=3。
∴OC=3，AB=6，。
在Rt△AOC中，。
设△ACD中AC边上的高为h，则有AC•h=9，解得h=。
如图1，在坐标平面内作直线平行于AC，且到AC的距离=h=，这样的直线有2条，分别是L1和L2，则直线与对称轴x=﹣1的两个交点即为所求的点D。
设L1交y轴于E，过C作CF⊥L1于F，则CF=h=，
∴。
设直线AC的解析式为y=kx+b，
将A（﹣4，0），B（0，3）坐标代入，得
，解得
∴直线AC解析式为
直线L1可以看做直线AC向下平移CE长度单位（个长度单位）而形成的，
∴直线L1的解析式为。
则D1的纵坐标为。∴D1（﹣4，）。
同理，直线AC向上平移个长度单位得到L2，可求得D2（﹣1，）。
综上所述，D点坐标为：D1（﹣4，），D2（﹣1，）。
（3）如图2，以AB为直径作⊙F，圆心为F．过E点作⊙F的切线，这样的切线有2条．
连接FM，过M作MN⊥x轴于点N。
∵A（﹣4，0），B（2，0），∴F（﹣1，0），⊙F半径FM=FB=3。
又FE=5，则在Rt△MEF中，-
ME=，sin∠MFE=，cos∠MFE=。
在Rt△FMN中，MN=MN•sin∠MFE=3×，
FN=MN•cos∠MFE=3×。
则ON=。∴M点坐标为（，）。
直线l过M（，），E（4，0），
设直线l的解析式为y=k1x+b1，则有，解得。
∴直线l的解析式为y=x+3。
同理，可以求得另一条切线的解析式为y=x﹣3。
综上所述，直线l的解析式为y=x+3或y=x﹣3。
【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，勾股定理，直线平行和平移的性质，直线与圆的位置关系，直线与圆相切的性质，圆周角定理，锐角三角函数定义。
【分析】（1）A、B点为抛物线与x轴交点，令y=0，解一元二次方程即可求解。
（2）根据题意求出△ACD中AC边上的高，设为h．在坐标平面内，作AC的平行线，平行线之间的距离等于h．根据等底等高面积相等的原理，则平行线与坐标轴的交点即为所求的D点．从一次函数的观点来看，这样的平行线可以看做是直线AC向上或向下平移而形成．因此先求出直线AC的解析式，再求出平移距离，即可求得所作平行线的解析式，从而求得D点坐标。这样的平行线有两条。
（3）本问关键是理解“以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个”的含义．因为过A、B点作x轴的垂线，其与直线l的两个交点均可以与A、B点构成直角三角形，这样已经有符合题意的两个直角三角形；第三个直角三角形从直线与圆的位置关系方面考虑，以AB为直径作圆，当直线与圆相切时，根据圆周角定理，切点与A、B点构成直角三角形．从而问题得解。这样的切线有两条。
3. （2012广东梅州11分）如图，矩形OABC中，A（6，0）、C（0，2）、D（0，3），射线l过点D且与x轴平行，点P、Q分别是l和x轴正半轴上动点，满足∠PQO=60°．

（1）①点B的坐标是　　；②∠CAO=　 　度；③当点Q与点A重合时，点P的坐标为　 　；（直接写出答案）
（2）设OA的中心为N，PQ与线段AC相交于点M，是否存在点P，使△AMN为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的横坐标为m；若不存在，请说明理由．
（3）设点P的横坐标为x，△OPQ与矩形OABC的重叠部分的面积为S，试求S与x的函数关系式和相应的自变量x的取值范围．
【答案】解：（1）①（6，2）。 ②30。③（3，3）。
（2）存在。m=0或m=3﹣或m=2。
（3）当0≤x≤3时，
如图1，OI=x，IQ=PI•tan60°=3，OQ=OI+IQ=3+x；
由题意可知直线l∥BC∥OA，
可得，∴EF=（3+x），
此时重叠部分是梯形，其面积为：

当3＜x≤5时，如图2，

当5＜x≤9时，如图3，

当x＞9时，如图4，
。
综上所述，S与x的函数关系式为：
。
【考点】矩形的性质，梯形的性质，锐角三角函数，特殊角的三角函数值，相似三角形的判定和性质，解直角三角形。
【分析】（1）①由四边形OABC是矩形，根据矩形的性质，即可求得点B的坐标：
∵四边形OABC是矩形，∴AB=OC，OA=BC，
∵A（6，0）、C（0，2），∴点B的坐标为：（6，2）。
②由正切函数，即可求得∠CAO的度数：
∵，∴∠CAO=30°。
③由三角函数的性质，即可求得点P的坐标；如图：当点Q与点A重合时，过点P作PE⊥OA于E，
∵∠PQO=60°，D（0，3），∴PE=3。
∴。
∴OE=OA﹣AE=6﹣3=3，∴点P的坐标为（3，3）。
（2）分别从MN=AN，AM=AN与AM=MN去分析求解即可求得答案：
情况①：MN=AN=3，则∠AMN=∠MAN=30°，
∴∠MNO=60°。
∵∠PQO=60°，即∠MQO=60°，∴点N与Q重合。
∴点P与D重合。∴此时m=0。
情况②，如图AM=AN，作MJ⊥x轴、PI⊥x轴。
MJ=MQ•sin60°=AQ•sin600

又，
∴，解得：m=3﹣。
情况③AM=NM，此时M的横坐标是4.5，
过点P作PK⊥OA于K，过点M作MG⊥OA于G，
∴MG=。
∴。
∴KG=3﹣0.5=2.5，AG= AN=1.5。∴OK=2。∴m=2。
综上所述，点P的横坐标为m=0或m=3﹣或m=2。
（3）分别从当0≤x≤3时，当3＜x≤5时，当5＜x≤9时，当x＞9时去分析求解即可求得答案。
4. （2012广东汕头12分）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC、AC．
（1）求AB和OC的长；
（2）点E从点A出发，沿x轴向点B运动（点E与点A、B不重合），过点E作直线l平行BC，交AC于点D．设AE的长为m，△ADE的面积为s，求s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，连接CE，求△CDE面积的最大值；此时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积（结果保留π）．

【答案】解：（1）在中，
令x=0，得y=－9，∴C（0，﹣9）；
令y=0，即，解得：x1=﹣3，x2=6，∴A（﹣3，0）、B（6，0）。
∴AB=9，OC=9。
（2）∵ED∥BC，∴△AED∽△ABC，∴，即：。
∴s=m2（0＜m＜9）。
（3）∵S△AEC=AE•OC=m，S△AED=s=m2，
∴S△EDC=S△AEC﹣S△AED
=﹣m2+m=﹣（m﹣）2+。
∴△CDE的最大面积为，
此时，AE=m=，BE=AB﹣AE=。
又，
过E作EF⊥BC于F，则Rt△BEF∽Rt△BCO，得：，即：。
∴。
∴以E点为圆心，与BC相切的圆的面积 S⊙E=π•EF2=。
【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值，勾股定理，直线与圆相切的性质。
【分析】（1）已知抛物线的解析式，当x=0，可确定C点坐标；当y=0时，可确定A、B点的坐标，从而确定AB、OC的长。
（2）直线l∥BC，可得出△AED∽△ABC，它们的面积比等于相似比的平方，由此得到关于s、m的函数关系式；根据题目条件：点E与点A、B不重合，可确定m的取值范围。
（3）①首先用m列出△AEC的面积表达式，△AEC、△AED的面积差即为△CDE的面积，由此可得关于S△CDE关于m的函数关系式，根据函数的性质可得到S△CDE的最大面积以及此时m的值。
②过E做BC的垂线EF，这个垂线段的长即为与BC相切的⊙E的半径，可根据相似三角形△BEF、△BCO得到的相关比例线段求得该半径的值，由此得解。
5. （2012广东深圳9分）如图，在平面直角坐标系中，直线：y=－2x＋b (b≥0)的位置随b的不同取值而变化．
(1)已知⊙M的圆心坐标为(4，2)，半径为2．
当b=　　　　时，直线：y=－2x＋b (b≥0)经过圆心M：
当b=　　　　时，直线：y=－2x＋b(b≥0)与OM相切：
(2)若把⊙M换成矩形ABCD，其三个顶点坐标分别为：A(2，0)、B（6，0）、C(6，2).
设直线扫过矩形ABCD的面积为S，当b由小到大变化时，请求出S与b的函数关系式，

【答案】解：（1）10；。
（2）由A(2，0)、B（6，0）、C(6，2)，根据矩形的性质，得D（2，2）。
如图，当直线经过A(2，0)时，b=4；当直线经过D（2，2）时，b=6；当直线经过B（6，0）时，b=12；当直线经过C(6，2)时，b=14。
当0≤b≤4时，直线扫过矩形ABCD的面积S为0。
当4＜b≤6时，直线扫过矩形ABCD的面积S为△EFA的面积（如图1），
在 y=－2x＋b中，令x=2，得y=－4＋b，则E（2，－4＋b），
令y=0，即－2x＋b=0，解得x=，则F（，0）。
∴AF=，AE=－4＋b。
∴S=。
当6＜b≤12时，直线扫过矩形ABCD的面积S为直角梯形DHGA的面积（如图2），
在 y=－2x＋b中，令y=0，得x=，则G（，0），
令y=2，即－2x＋b=2，解得x=，则H（，2）。
∴DH=，AG=。AD=2
∴S=。
当12＜b≤14时，直线扫过矩形ABCD的面积S为五边形DMNBA的面积=矩形ABCD的面积－△CMN的面积（如图2）
在 y=－2x＋b中，令y=2，即－2x＋b=2，解得x=，则M（，0），
令x=6，得y=－12＋b，，则N（6，－12＋b）。
∴MC=，NC=14－b。
∴S=。
当b＞14时，直线扫过矩形ABCD的面积S为矩形ABCD的面积，面积为民8。
综上所述。S与b的函数关系式为：
。
【考点】直线平移的性质，相似三角形的判定和性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，直线与圆相切的性质，勾股定理，解一元二次方程，矩形的性质。
【分析】（1）①∵直线y=－2x＋b (b≥0)经过圆心M(4，2)，
∴2=－2×4＋b，解得b=10。
②如图，作点M垂直于直线y=－2x＋b于点P，过点
P作PH∥x轴，过点M作MH⊥PH，二者交于点H。设直线y=－2x＋b与x，y轴分别交于点A，B。
则由△OAB∽△HMP，得。
∴可设直线MP的解析式为。
由M(4，2)，得，解得。∴直线MP的解析式为。
联立y=－2x＋b和，解得。
∴P（）。
由PM=2，勾股定理得，，化简得。