2019年北京市燕山区中考数学一模试卷解析版.doc

2019年北京市燕山区中考数学一模试卷
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．（2分）下列几何体中，是圆锥的为（　　）
A． B． C． D．
2．（2分）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（　　）

A．a＞0 B．a＞b C．a+b＞a D．a+b＞b
3．（2分）正八边形的每个外角等于（　　）
A．30° B．45° C．60° D．75°
4．（2分）方程组的解为（　　）
A． B． C． D．
5．（2分）马赫是表示速度的量词，通常用于表示飞机、导弹、火箭的飞行速度，一马赫即一倍音速（音速≈340m/s）．我国建造的全球最大口径自由活塞驱动高能脉冲风洞FD﹣21，速度高达15马赫，则FD﹣21的速度约为（　　）
A．5.1×103 m/s B．5.1×104 m/s
C．3.4×103 m/s D．1.5×103 m/s
6．（2分）若＝≠0，则代数式（+1）÷的值为（　　）
A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2
7．（2分）如图是北京市地铁部分线路示意图．若分别以正东、正北方向为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，表示西单的点的坐标为（﹣4，0），表示雍和宫的点的坐标为（4，6），则表示南锣鼓巷的点的坐标是（　　）

A．（5，0） B．（5，3） C．（1，3） D．（﹣3，3）
8．（2分）某汽车刹车后行驶的距离y（单位：m）与行驶的时间t（单位：s）之间近似满足函数关系y＝at2+bt（a＜0）．如图记录了y与t的两组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该汽车刹车后到停下来所用的时间为（　　）

A．2.25s B．1.25s C．0.75s D．0.25s
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）使分式有意义的x的取值范围是　 　．
10．（2分）如图，边长为1的正方形网格中，AB　 　3．（填“＞”，“＝”或“＜”）

11．（2分）用一组整数a，b，c的值说明命题“若a＞b＞c，则a+b＞c”是错误的，这组值可以是a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　．
12．（2分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，DE⊥AC于点E，则AE＝　 　．

13．（2分）如图，AB为⊙O的直径，C，D，E为⊙O上的点，＝，∠ABD＝60°，则∠CEB＝　 　°．

14．（2分）如图，正方形二维码的边长为2cm，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.7左右，据此可估计黑色部分的面积约为　 　cm2．

15．（2分）2019年1月1日起，新个税法全面施行，将个税起征额从每月3500元调整至5000元，首次增加子女教育、大病医疗、赡养老人等6项专项附加扣除．新的税率表（摘要）如下：

调整前
调整后
分级
应纳税额
税率
应纳税额
税率
1
不超过1500元的部分
3%
不超过3000元的部分
3%
2
超过1500元至4500元的部分
10%
超过3000元至12000元的部分
10%
（注：应纳税额＝纳税所得额﹣起征额﹣专项附加扣除）
小吴2019年1月纳税所得额是7800元，专项附加扣除2000元，则小吴本月应缴税款　 　元；与此次个税调整前相比，他少缴税款　 　元．
16．（2分）2018年北京PM2.5平均浓度变化情况如图所示．根据统计图提供的信息，有下面三个推断：
①2018年北京PM2.5全年累计平均浓度值为51微克/立方米；
②2018年7月﹣10月，北京PM2.5平均浓度逐月持续下降；
③2018年下半年，北京PM2.5平均浓度最高的月份是11月．
其中合理的推断的序号是：　 　．

三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27，28题，每小题5分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
17．（5分）计算：4sin60°+|﹣|﹣+（3﹣π）0．
18．（5分）解不等式组：
19．（5分）下面是“过直线外一点作已知直线的垂线”的尺规作图过程．
已知：直线l及直线l外一点P．
求作：直线PQ，使得PQ⊥l，垂足为Q．
作法：如图，

①在直线l上任取一点A；
②以点P为圆心，PA为半径作圆，交直线l于点B；
③分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点C；
④连接PC交直线l于点Q．
则直线PQ就是所求作的垂线．
根据上述尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明：
证明：∵PA＝　 　，AC＝　 　，
∴PQ⊥l．（　 　）（填推理的依据）
20．（5分）关于x的一元二次方程x2+（m﹣3）x﹣3m＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个根都是整数，请写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根．
21．（5分）如图，▱ABCD中，E，F分别是边BC，AD的中点，∠BAC＝90°．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若BC＝4，∠B＝60°，求四边形AECF的面积．

22．（5分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AC边上，以AD为直径作⊙O交BD的延长线于点E，CE＝BC．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若CD＝2，BD＝2，求⊙O的半径．

23．（6分）如图，等边△ABC的边长为3cm，点N在AC边上，AN＝1cm．△ABC边上的动点M从点A出发，沿A→B→C运动，到达点C时停止．设点M运动的路程为xcm，MN的长为ycm．小西根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小西的探究过程，请补充完整：
（1）通过取点、画图、测量，得到了y与x的几组对应值；
x/cm
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
6
y/cm
1
0.87
1
1.32

2.18
2.65
2.29

1.8
1.73
1.8
2
（2）在平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点，画出该函数的图象；

（3）结合函数图象，解决问题：当MN＝2cm时，点M运动的路程为　 　cm．

24．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝kx﹣1（k≠0）与函数y＝（x＞0）的图象交于点A（3，2）．
（1）求k，m的值；
（2）将直线l沿y轴向上平移t个单位后，与y轴交于点C，与函数y＝（x＞0）的图象交于点D．
①当t＝2时，求线段CD的长；
②若≤CD≤2，结合函数图象，直接写出t的取值范围．

25．（6分）为了激发学生爱数学、学数学、用数学的热情，学校开展“魅力数学”趣味竞赛．现随机抽取40名参赛学生的成绩数据（百分制）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．竞赛成绩的频数分布直方图如下（数据分成4组：60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）：
b．竞赛成绩在80≤x＜90这一组的是：
82 83 84 84 85 85 85 86 87 88 88 89
平均数
中位数
众数
81.6
m
94
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中m的值；
（2）小亮说：“这次竞赛我得了84分，在所有参赛学生中排名属中游略偏上!”小亮的说法　 　（填“正确”或“不正确”），理由是　 　；
（3）若成绩不低于85分可以进入决赛，请估计参赛的200名学生中能进入决赛的人数．

26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）的顶点为D，与x轴交于A，B两点（A在B的左侧）．
（1）当a＝1时，求点A，B，D的坐标；
（2）横，纵坐标都是整数的点叫做整点．若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（不含边界）恰有7个整点，结合函数图象，求a的取值范围．

27．（7分）如图，在△ABC中，AB＝BC，∠B＝90°，点D为线段BC上一个动点（不与点B，C重合），连接AD，将线段AD绕点D顺时针旋转90°得到线段DE，连接EC．

（1）①依题意补全图1；
②求证：∠EDC＝∠BAD；
（2）①小方通过观察、实验，提出猜想：在点D运动的过程中，线段CE与BD的数量关系始终不变，用等式表示为：　 　；
②小方把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：
想法1：过点E作EF⊥BC，交BC延长线于点F，只需证△ADB≌△DEF．
想法2：在线段AB上取一点F，使得BF＝BD，连接DF，只需证△ADF≌△DEC．
想法3：延长AB到F，使得BF＝BD，连接DF，CF，只需证四边形DFCE为平行四边形．
……
请你参考上面的想法，帮助小方证明①中的猜想．（一种方法即可）
28．（7分）对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙M（半径为r），给出如下定义：若点P关于点M的对称点为Q，且r≤PQ≤3r，则称点P为⊙M的称心点．

（1）当⊙O的半径为2时，
①如图1，在点A（0，1），B（2，0），C（3，4）中，⊙O的称心点是　 　；
②如图2，点D在直线y＝x上，若点D是⊙O的称心点，求点D的横坐标m的取值范围；
（2）⊙T的圆心为T（0，t），半径为2，直线y＝x+1与x轴，y轴分别交于点E，F．若线段EF上的所有点都是⊙T的称心点，直接写出t的取值范围．

2019年北京市燕山区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．（2分）下列几何体中，是圆锥的为（　　）
A． B． C． D．
【分析】依据圆锥的特征进行判断即可，圆锥有2个面，一个曲面和一个平面．
【解答】解：A．属于长方体（四棱柱），不合题意；
B．属于三棱锥，不合题意；
C．属于圆柱，不合题意；
D．属于圆锥，符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了立体图形，解决问题的关键是掌握圆锥的特征．
2．（2分）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（　　）

A．a＞0 B．a＞b C．a+b＞a D．a+b＞b
【分析】根据有理数大小比较的法则以及不等式的性质，可得答案．
【解答】解：由数轴，得
a＜0＜b，|a|＜|b|，
∴a＜0，A选项结论错误；
a＜b，B选项结论错误；
∵b＞0，
∴a+b＞a，C选项结论正确；
∵a＜0，
∴a+b＜b，D选项结论错误；
故选：C．
【点评】本题考查了实数与数轴，掌握数轴上的点表示的数右边的总比左边的大是解题的关键．
3．（2分）正八边形的每个外角等于（　　）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【分析】由正多边形的外角和是360°，而且每个外角都相等，即可求．
【解答】解：∵正八边形的外角和是360°，
∴每个外角是360°÷8＝45°；
故选：B．
【点评】本题考查正多边形的外角和，每一个外角的都相等．能够熟练掌握性质是解题的关键．
4．（2分）方程组的解为（　　）
A． B． C． D．
【分析】可用两种方式解决本题：①将选项中的x与y的值分别代入题干中两个方程验证；②直接解方程组选出答案．此处选用第二种方法．
【解答】解：
①+②得：3x＝3
解得x＝1
将x＝1代入①可解得：y＝2
∴原方程组的解为：
故选：A．
【点评】本题考查二元一次方程组的解法，因此要对二元一次方程组的解法非常熟悉．
5．（2分）马赫是表示速度的量词，通常用于表示飞机、导弹、火箭的飞行速度，一马赫即一倍音速（音速≈340m/s）．我国建造的全球最大口径自由活塞驱动高能脉冲风洞FD﹣21，速度高达15马赫，则FD﹣21的速度约为（　　）
A．5.1×103 m/s B．5.1×104 m/s
C．3.4×103 m/s D．1.5×103 m/s
【分析】由1马赫马赫＝340m/s，计算15马赫，再进行科学记数法；
【解答】解：∵1马赫马赫＝340m/s，
∴15马赫＝5100m/s＝5.1×103m/s．
故选：A．
【点评】本题考查科学记数法．马赫与m/s的单位转换是解题的关键．
6．（2分）若＝≠0，则代数式（+1）÷的值为（　　）
A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2
【分析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后根据＝≠0，即可解答本题
【解答】解：（+1）÷
＝
＝
＝，
∵＝≠0，
∴2b＝3a，
∴原式＝＝＝2，
故选：A．
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
7．（2分）如图是北京市地铁部分线路示意图．若分别以正东、正北方向为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，表示西单的点的坐标为（﹣4，0），表示雍和宫的点的坐标为（4，6），则表示南锣鼓巷的点的坐标是（　　）

A．（5，0） B．（5，3） C．（1，3） D．（﹣3，3）
【分析】由西单和雍和宫的坐标建立平面直角坐标系，然后写出坐标即可．
【解答】解：根据题意可建立如下所示平面直角坐标系，

则表示南锣鼓巷的点的坐标是（1，3），
故选：C．
【点评】此题考查坐标确定位置，本题解题的关键就是确定坐标原点和x，y轴的位置．
8．（2分）某汽车刹车后行驶的距离y（单位：m）与行驶的时间t（单位：s）之间近似满足函数关系y＝at2+bt（a＜0）．如图记录了y与t的两组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该汽车刹车后到停下来所用的时间为（　　）

A．2.25s B．1.25s C．0.75s D．0.25s
【分析】直接利用待定系数法求出二次函数解析式，进而得出对称轴即可得出答案．
【解答】解：将（0.5，6），（1，9）代入y＝at2+bt（a＜0）得：
，
解得：，
故抛物线解析式为：y＝﹣6t2+15t，
当t＝﹣＝﹣＝＝1.25（秒），此时y取到最大值，故此时汽车停下，
则该汽车刹车后到停下来所用的时间为1.25秒．
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用，正确得出函数解析式是解题关键．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）使分式有意义的x的取值范围是　x≠3　．
【分析】根据分式有意义，分母不为零列式进行计算即可得解．
【解答】解：分式有意义，则x﹣3≠0，
解得x≠3．
故答案为：x≠3．
【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0．
10．（2分）如图，边长为1的正方形网格中，AB　＜　3．（填“＞”，“＝”或“＜”）

【分析】根据勾股定理求出AB，比较大小，即可得到答案．
【解答】解：AB＝＝2，
2＜3，
∴AB＜3，
故答案为：＜．
【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
11．（2分）用一组整数a，b，c的值说明命题“若a＞b＞c，则a+b＞c”是错误的，这组值可以是a＝　﹣2　，b＝　﹣3　，c＝　﹣4　．
【分析】根据题意选择a、b、c的值，即可得出答案，答案不唯一．
【解答】解：当a＝﹣2，b＝﹣3，c＝﹣4时，﹣2＞﹣3＞﹣4，则（﹣2）+（﹣3）＜（﹣4），
∴命题若a＞b＞c，则a+b＞c”是错误的；
故答案为：﹣2，﹣3，﹣4．
【点评】本题考查了命题与定理，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
12．（2分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，DE⊥AC于点E，则AE＝　　．

【分析】利用矩形的性质得到∠ADC＝90°，AD＝BC＝3，CD＝AB＝4，利用勾股定理计算出AC＝5，利用面积法计算出DE＝，然后利用勾股定理计算AE的长．
【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ADC＝90°，AD＝BC＝3，CD＝AB＝4，
在Rt△ADC中，AC＝＝5，
∵DE•AC＝AD•CD，
∴DE＝＝，
在Rt△ADE中，AE＝＝．
故答案为．
【点评】本题考查了矩形的性质：平行四边形的性质矩形都具有；矩形的四个角都是直角；邻边垂直；矩形的对角线相等．
13．（2分）如图，AB为⊙O的直径，C，D，E为⊙O上的点，＝，∠ABD＝60°，则∠CEB＝　60　°．

【分析】连接OC，OD，根据圆周角定理即可得到结论．
【解答】解：连接OC，OD，
∵AB为⊙O的直径，∠ABD＝60°，
∴∠AOD＝120°，
∴∠BOD＝60°，
∵＝，
∴∠DOC＝∠BOD＝60°，
∴∠BOC＝120°，
∴∠CEB＝∠BOC＝60°，
故答案为：60．

【点评】本题考查了圆周角定理，圆心角，弧，弦的关系，正确的作出辅助线是解题的关键．
14．（2分）如图，正方形二维码的边长为2cm，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.7左右，据此可估计黑色部分的面积约为　2.8　cm2．

【分析】求出正方形二维码的面积，根据题意得到黑色部分的面积占正方形二维码面积的70%，计算即可．
【解答】解：正方形二维码的边长为2cm，
∴正方形二维码的面积为4cm2，
∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.7左右，
∴黑色部分的面积占正方形二维码面积的70%，
∴黑色部分的面积约为：4×70%＝2.8，
故答案为：2.8．
【点评】本题考查的是利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
15．（2分）2019年1月1日起，新个税法全面施行，将个税起征额从每月3500元调整至5000元，首次增加子女教育、大病医疗、赡养老人等6项专项附加扣除．新的税率表（摘要）如下：

调整前
调整后
分级
应纳税额
税率
应纳税额
税率
1
不超过1500元的部分
3%
不超过3000元的部分
3%
2
超过1500元至4500元的部分
10%
超过3000元至12000元的部分
10%
（注：应纳税额＝纳税所得额﹣起征额﹣专项附加扣除）
小吴2019年1月纳税所得额是7800元，专项附加扣除2000元，则小吴本月应缴税款　24　元；与此次个税调整前相比，他少缴税款　301　元．
【分析】根据调整后应纳税额＝纳税所得额﹣起征额﹣专项附加扣除得小吴2019年1月应纳税额，再乘以对应的税率即可得第一空的答案；
调整前计算应纳税额＝纳税所得额﹣起征额，再分段计算相应的纳税额即可．
【解答】解：根据调整后应纳税额＝纳税所得额﹣起征额﹣专项附加扣除，设小吴2019年1月应纳税额为x元：
x＝7800﹣5000﹣2000
∴x＝800，
∴小吴本月应缴税款：800×3%＝24元；
按调整前来计算应纳税额为：7800﹣3500＝4300元，
应纳税款为：1500×3%+（4300﹣1500）×10%＝325元，
故与此次个税调整前相比，他少缴税款301元．
故答案为24；301．
【点评】本题是新税法变动后的税率计算应用题，紧密联系生活实际，属于中等难度题目．
16．（2分）2018年北京PM2.5平均浓度变化情况如图所示．根据统计图提供的信息，有下面三个推断：
①2018年北京PM2.5全年累计平均浓度值为51微克/立方米；
②2018年7月﹣10月，北京PM2.5平均浓度逐月持续下降；
③2018年下半年，北京PM2.5平均浓度最高的月份是11月．
其中合理的推断的序号是：　①③　．

【分析】根据条形统计图的数据计算出每月的PM2.5平均浓度即可作出判断．
【解答】解：∵1﹣12月份的平均浓度值为51微克/立方米；
∴2018年北京PM2.5全年累计平均浓度值为51微克/立方米；故①正确；
∵7月﹣10月PM2.5的月平均浓度分别为49微克/立方米、39微克/立方米、26微克/立方米、40微克/立方米，
∴2018年7月﹣10月，北京PM2.5平均浓度逐月持续下降错误，故②错误；
∵7月﹣12月PM2.5的月平均浓度分别为49微克/立方米、39微克/立方米、26微克/立方米、40微克/立方米，82微克/立方米、40微克/立方米，
∴2018年下半年，北京PM2.5平均浓度最高的月份是11月，故③正确；
故答案为：①③．
【点评】本题考查了条形统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27，28题，每小题5分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
17．（5分）计算：4sin60°+|﹣|﹣+（3﹣π）0．
【分析】因为sin60°＝，|﹣|＝，＝3，（3﹣π）0＝1，分别代入化简即可．
【解答】解：原式＝4×+﹣3+1＝1．
【点评】本题考查实数的运算，熟练掌握特殊的三角函数值，二次根式的化简，绝对值的运算是解题的关键．
18．（5分）解不等式组：
【分析】先分别求出不等式的解，然后求其交集即可．
【解答】解：
解不等式①，得 x＜2，
解不等式②，得x≥﹣，
∴原不等式组的解集为﹣5≤x＜2．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
19．（5分）下面是“过直线外一点作已知直线的垂线”的尺规作图过程．
已知：直线l及直线l外一点P．
求作：直线PQ，使得PQ⊥l，垂足为Q．
作法：如图，

①在直线l上任取一点A；
②以点P为圆心，PA为半径作圆，交直线l于点B；
③分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点C；
④连接PC交直线l于点Q．
则直线PQ就是所求作的垂线．
根据上述尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明：
证明：∵PA＝　PB　，AC＝　BC　，
∴PQ⊥l．（　到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上　）（填推理的依据）
【分析】按要求画出图形，根据画图操作的过程，可知PA，PB都是半径，AC＝BC．
【解答】解：（1）如图：
（2）∵PA＝PB，AC＝BC，
∴PQ⊥l，（到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上）．
故答案为PB，BC，到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上．

【点评】本题考查尺规作图，圆的性质，垂直的性质．能够根据给出条件作出图形，是解决问题的关键．
20．（5分）关于x的一元二次方程x2+（m﹣3）x﹣3m＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个根都是整数，请写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根．
【分析】（1）先求出判别式△的值，再根据“△”的意义证明即可；
（2）根据求根公式得出x1＝3，x2＝﹣m，即可求出m的值和方程的根．
【解答】（1）证明：△＝（m﹣3）2﹣4×1×（﹣3m），
＝m2﹣6m+9+12m，
＝（m+3）2，
无论m取任何实数，（m+3）2≥0，即△≥0，
∴原方程总有两个实数根．
（2）解：∵△＝（m+3）2，由求根公式，得
，，
原方程的根为：x1＝3，x2＝﹣m，
∵方程的两个根都是整数，
∴取m＝1，方程的两根为x1＝3，x2＝﹣1．
【点评】本题考查了求根公式和根的判别式的应用，能正确运用性质进行计算是解此题的关键．
21．（5分）如图，▱ABCD中，E，F分别是边BC，AD的中点，∠BAC＝90°．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若BC＝4，∠B＝60°，求四边形AECF的面积．

【分析】（1）根据菱形的性质得到BC＝AD，BC∥AD，由E，F分别是边BC，AD的中点，得到EC＝BC，AF＝AD，于是得到结论；
（2）如图，连接EF交AC于点O，解直角三角形得到AB＝2，AC＝2，根据菱形的性质得到AC⊥EF，OA＝OC，OE＝OF，根据菱形的性质得到OE＝AB＝1，于是得到结论．
【解答】解：（1）∵在▱ABCD中，
∴BC＝AD，BC∥AD，
又∵E，F分别是边BC，AD的中点，
∴EC＝BC，AF＝AD，
∴EC∥AF，
∴四边形AECF为平行四边形．
在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，E是BC边中点，
∴AE＝EC，
∴四边形AECF是菱形；
（2）如图，连接EF交AC于点O，

在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，BC＝4，
∴AB＝2，AC＝2，
∵四边形AECF是菱形，
∴AC⊥EF，OA＝OC，OE＝OF，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE＝AB＝1，
∴EF＝2，
∴S菱形AECF＝AC•EF＝×2×2＝2．
【点评】本题考查了菱形的判定和性质，三角形的中位线，平行四边形的性质，熟练掌握菱形的判定和性质定理是解题的关键．
22．（5分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AC边上，以AD为直径作⊙O交BD的延长线于点E，CE＝BC．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若CD＝2，BD＝2，求⊙O的半径．

【分析】（1）连接OE，根据等腰三角形的性质得到∠1＝∠2，∠3＝∠4，由∠1+∠5＝90°得到∠2+∠3＝90°，得∠OEC＝90°，于是得到结论；
（2）设⊙O的半径为r，则OD＝OE＝r，OC＝r+2，由OE2+CE2＝OC2得到关于r 的方程，即可求出半径．
【解答】解：（1）如图，连接OE，

∵∠ACB＝90°，
∴∠1+∠5＝90°．
∵CE＝BC，
∴∠1＝∠2．
∵OE＝OD，
∴∠3＝∠4．
又∵∠4＝∠5，
∴∠3＝∠5，
∴∠2+∠3＝90°，即∠OEC＝90°，
∴OE⊥CE．
∵OE是⊙O的半径，
∴CE是⊙O的切线．
（2）在Rt△BCD中，∠DCB＝90°，CD＝2，BD＝2，
BC＝CE＝4．
设⊙O的半径为r，则OD＝OE＝r，OC＝r+2，
在Rt△OEC中，∠OEC＝90°，
∴OE2+CE2＝OC2，
∴r2+42＝（r+2）2，
解得r＝3，
∴⊙O的半径为3．
【点评】本题考查的是切线的判定、等腰三角形的判定和性质、勾股定理，掌握切线的判定定理、勾股定理是解题的关键．
23．（6分）如图，等边△ABC的边长为3cm，点N在AC边上，AN＝1cm．△ABC边上的动点M从点A出发，沿A→B→C运动，到达点C时停止．设点M运动的路程为xcm，MN的长为ycm．小西根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小西的探究过程，请补充完整：
（1）通过取点、画图、测量，得到了y与x的几组对应值；
x/cm
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
6
y/cm
1
0.87
1
1.32

2.18
2.65
2.29

1.8
1.73
1.8
2
（2）在平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点，画出该函数的图象；

（3）结合函数图象，解决问题：当MN＝2cm时，点M运动的路程为　2.3或4或6　cm．

【分析】（1）观察表格中的数据可得出答案；
（2）利用描点法画出函数图象即可；
（3）利用图象寻找图象与直线y＝2交点的坐标即可解决问题．
【解答】解：本题答案不唯一，如：
（1）
x/cm
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
6
y/cm
1
0.87
1
1.32
1.73
2.18
2.65
2.29
2
1.8
1.73
1.8
2
（2）

（3）观察图象可得当MN＝2cm时，点M运动的路程为2.3cm或4cm或6cm．
故答案为：2.3或4或6．
【点评】本题是三角形综合题目，等边三角形的性质、描点法画函数图象、函数图象的性质以及应用等知识；理解函数图象的意义，正确运用图象法解题是关键．
24．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝kx﹣1（k≠0）与函数y＝（x＞0）的图象交于点A（3，2）．
（1）求k，m的值；
（2）将直线l沿y轴向上平移t个单位后，与y轴交于点C，与函数y＝（x＞0）的图象交于点D．
①当t＝2时，求线段CD的长；
②若≤CD≤2，结合函数图象，直接写出t的取值范围．

【分析】（1）将点A分别代入y＝kx﹣1（k≠0）与函数y＝，即可求出k、m的值；
（2）①求出当t＝2时直线解析式，代入函数中，整理得，x（x+1）＝6，解方程求出点D的坐标，即可求出CD的长；②观察图象解答即可．
【解答】解：（1）将点A（3，2）的坐标分别代入y＝kx﹣1和y＝中，得
2＝3k﹣1，，
∴k＝2，m＝3×2＝6；

（2）①∵直线y＝kx﹣1与y轴交于点C（0，﹣1），
∴当t＝2时，C（0，1）．
此时直线解析式为y＝x+1，代入函数中，整理得，x（x+1）＝6，
解得x1＝﹣3（舍去），x2＝2，
∴D（2，3），
∴CD＝2．
②当时，点C的坐标为（0，6），
∴2≤t≤6．
【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求解析式，利用函数图象性质解决问题是本题的关键．
25．（6分）为了激发学生爱数学、学数学、用数学的热情，学校开展“魅力数学”趣味竞赛．现随机抽取40名参赛学生的成绩数据（百分制）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．竞赛成绩的频数分布直方图如下（数据分成4组：60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）：
b．竞赛成绩在80≤x＜90这一组的是：
82 83 84 84 85 85 85 86 87 88 88 89
平均数
中位数
众数
81.6
m
94
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中m的值；
（2）小亮说：“这次竞赛我得了84分，在所有参赛学生中排名属中游略偏上!”小亮的说法　正确　（填“正确”或“不正确”），理由是　小亮得了84分，略高于竞赛成绩样本数据的中位数82　；
（3）若成绩不低于85分可以进入决赛，请估计参赛的200名学生中能进入决赛的人数．

【分析】（1）这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
（2）小亮得了84分，略高于竞赛成绩样本数据的中位数82，说明小亮的成绩排名属中游略偏上．
（3）根据竞赛成绩不低于8（5分）的人数为17，即可估计参赛的200名学生中能进入决赛的人数．
【解答】解：（1）40名参赛学生的成绩的中位数为排序后的第20和21个数据的平均数，即m＝＝82.5．
（2）小亮的说法正确；
理由是小亮得了84分，略高于竞赛成绩样本数据的中位数82，说明小亮的成绩排名属中游略偏上．
故答案为：正确，小亮得了84分，略高于竞赛成绩样本数据的中位数82；
（3）在样本中，成绩在85≤x＜90，90≤x≤100范围内的人数分别为8，9，
所以竞赛成绩不低于8（5分）的人数为17．
估计参赛的200名学生中能进入决赛的人数为×200＝85．
【点评】本题主要考查频数分布直方图、中位数及样本估计总体，解题的关键是根据直方图得出解题所需数据及中位数的定义和意义、样本估计总体思想的运用．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）的顶点为D，与x轴交于A，B两点（A在B的左侧）．
（1）当a＝1时，求点A，B，D的坐标；
（2）横，纵坐标都是整数的点叫做整点．若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（不含边界）恰有7个整点，结合函数图象，求a的取值范围．

【分析】（1）将函数解析式进行因式分解y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x+1）（x﹣3），即可求出点坐标；
（2）分两种情况a＞0和a＜0讨论，结合图象确定有7个整数点时a的最大和最小值，进而确定a的范围．
【解答】解：（1）∵y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x+1）（x﹣3），
∴D（1，﹣4），A（﹣1，0），B（3，0），
（2）如图，当a＞0时，
①当a＝1时，抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内恰有7个整点．
②a＝时，抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内有6个整点．
结合函数图象可得，＜a≤1，
当a＜0时，同理可得﹣1≤a＜﹣，
∴a的取值范围＜a≤1或﹣1≤a＜﹣，

【点评】本题考查二次函数上点的特征．分类讨论a的情况，数形结合解题是解题的关键．
27．（7分）如图，在△ABC中，AB＝BC，∠B＝90°，点D为线段BC上一个动点（不与点B，C重合），连接AD，将线段AD绕点D顺时针旋转90°得到线段DE，连接EC．

（1）①依题意补全图1；
②求证：∠EDC＝∠BAD；
（2）①小方通过观察、实验，提出猜想：在点D运动的过程中，线段CE与BD的数量关系始终不变，用等式表示为：　CE＝BD　；
②小方把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：
想法1：过点E作EF⊥BC，交BC延长线于点F，只需证△ADB≌△DEF．
想法2：在线段AB上取一点F，使得BF＝BD，连接DF，只需证△ADF≌△DEC．
想法3：延长AB到F，使得BF＝BD，连接DF，CF，只需证四边形DFCE为平行四边形．
……
请你参考上面的想法，帮助小方证明①中的猜想．（一种方法即可）
【分析】（1）①依题意补全图形即可；
②由角的关系即可得出结论；
（2）①CE＝BD；
②想法1：过点E作EF⊥BC，交BC延长线于点F，证明△ADB≌△DEF，得出AB＝DF，BD＝EF，证出CF＝BD＝EF，得出△CEF是等腰直角三角形，即可得出结论；
想法2：在线段AB上取一点F，使得BF＝BD，连接DF，证出AF＝DC，证明△ADF≌△DEC，得出CE＝DF＝BD即可；
想法3：延长AB到F，使得BF＝BD，连接DF，CF，证明△ABD≌△CBF，得出AD＝CF，∠BAD＝∠BCF，再证明四边形DFCE为平行四边形，即可得出结论．
【解答】（1）①解：补全的图形如图1所示；
②证明：∵∠ADE＝∠B＝90°，
∴∠EDC+∠ADB＝∠BAD+∠ADB＝90°，
∴∠EDC＝∠BAD；
（2）①解：猜想：CE＝BD；
故答案为：CE＝BD；
②想法1：
证明：过点E作EF⊥BC，交BC延长线于点F，如图2所示：
∴∠F＝90°，
∴∠B＝∠F，
在△ADB和△DEF中，，
∴△ADB≌△DEF（AAS），
∴AB＝DF，BD＝EF，
∵AB＝BC，
∴DF＝BC，
即DC+CF＝BD+DC，
∴CF＝BD＝EF，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴CE＝CF＝BD；
想法2：
证明：在