全国各地2014年中考数学真题分类解析汇编-28锐角三角函数与特殊角.doc

锐角三角函数与特殊角

一、选择题
1.（2014年广东汕尾，第7题4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=，则cosB的值是（　　）
　 A． B． C． D．
分析：根据互余两角的三角函数关系进行解答．
解：∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，∴cosB=sinA，∵sinA=，∴cosB=．故选B．
点评：本题考查了互余两角的三角函数关系，熟记关系式是解题的关键．

2.（2014•毕节地区，第15题3分）如图是以△ABC的边AB为直径的半圆O，点C恰好在半圆上，过C作CD⊥AB交AB于D．已知cos∠ACD=，BC=4，则AC的长为（ ）

A．
1
B．

C．
3
D．

考点：
圆周角定理；解直角三角形
分析：
由以△ABC的边AB为直径的半圆O，点C恰好在半圆上，过C作CD⊥AB交AB于D．易得∠ACD=∠B，又由cos∠ACD=，BC=4，即可求得答案．
解答：
解：∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCD=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠BCD+∠B=90°，
∴∠B=∠ACD，
∵cos∠ACD=，
∴cos∠B=，
∴tan∠B=，
∵BC=4，
∴tan∠B===，
∴AC=．
故选D．
点评：
此题考查了圆周角定理以及三角函数的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．

3．(2014年天津市，第2 题3分)cos60°的值等于（　　）
　 A． B． C． D．

考点： 特殊角的三角函数值．
分析： 根据特殊角的三角函数值解题即可．
解答： 解：cos60°=．
故选A．
点评： 本题考查特殊角的三角函数值，准确掌握特殊角的函数值是解题关键．

4．（2014•四川自贡，第10题4分）如图，在半径为1的⊙O中，∠AOB=45°，则sinC的值为（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：
圆周角定理；勾股定理；锐角三角函数的定义
专题：
压轴题．
分析：
首先过点A作AD⊥OB于点D，由在Rt△AOD中，∠AOB=45°，可求得AD与OD的长，继而可得BD的长，然后由勾股定理求得AB的长，继而可求得sinC的值．
解答：
解：过点A作AD⊥OB于点D，
∵在Rt△AOD中，∠AOB=45°，
∴OD=AD=OA•cos45°=×1=，
∴BD=OB﹣OD=1﹣，
∴AB==，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，AC=2，
∴sinC=．
故选B．

点评：
此题考查了圆周角定理、三角函数以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
5．（2014•浙江湖州，第6题3分）如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，tanA=，则BC的长是（　　）
　 A．2 B． 8 C． 2 D． 4
分析：根据锐角三角函数定义得出tanA=，代入求出即可．
解：∵tanA==，AC=4，∴BC=2，故选A．
点评：本题考查了锐角三角函数定义的应用，注意：在Rt△ACB中，∠C=90°，sinA=，cosA=，tanA=．

6．（2014·浙江金华，第6题4分）如图，点A（t，3）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为，则t的值是【 】

A．1 B．1.5 C．2 D．3
【答案】C．
【解析】

7.（2014•滨州，第11题3分）在Rt△ACB中，∠C=90°，AB=10，sinA=，cosA=，tanA=，则BC的长为（ ）

A．
6
B．
7.5
C．
8
D．
12.5

考点：
解直角三角形
分析：
根据三角函数的定义来解决，由sinA==，得到BC==．
解答：
解：∵∠C=90°AB=10，
∴sinA=，
∴BC=AB×=10×=6．

故选A．
点评：
本题考查了解直角三角形和勾股定理的应用，注意：在Rt△ACB中，∠C=90°，则sinA=，cosA=，tanA=．

8.（2014•扬州，第7题，3分）如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=12，点M，N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM=（　　）

A．
3
B．
4
C．
5
D．
6
（第1题图）
考点：
含30度角的直角三角形；等腰三角形的性质
分析：
过P作PD⊥OB，交OB于点D，在直角三角形POD中，利用锐角三角函数定义求出OD的长，再由PM=PN，利用三线合一得到D为MN中点，根据MN求出MD的长，由OD﹣MD即可求出OM的长．
解答：
解：过P作PD⊥OB，交OB于点D，
在Rt△OPD中，cos60°==，OP=12，
∴OD=6，
∵PM=PN，PD⊥MN，MN=2，
∴MD=ND=MN=1，
∴OM=OD﹣MD=6﹣1=5．
故选C．

点评：
此题考查了含30度直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解本题的关键．

二.填空题
1. （ 2014•广西贺州，第18题3分）网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC每个顶点都在网格的交点处，则sinA=　　．

考点：
锐角三角函数的定义；三角形的面积；勾股定理．
分析：
根据正弦是角的对边比斜边，可得答案．
解答：
解：如图，作AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，
由勾股定理得AB=AC=2，BC=2，AD=3，
由BC•AD=AB•CE，
即CE==，
sinA===，
故答案为：．

点评：
本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．

2. （ 2014•广西玉林市、防城港市，第16题3分）如图，直线MN与⊙O相切于点M，ME=EF且EF∥MN，则cos∠E=　　．

考点：
切线的性质；等边三角形的判定与性质；特殊角的三角函数值．
专题：
计算题．
分析：
连结OM，OM的反向延长线交EF与C，由直线MN与⊙O相切于点M，根据切线的性质得OM⊥MF，而EF∥MN，根据平行线的性质得到MC⊥EF，于是根据垂径定理有CE=CF，再利用等腰三角形的判定得到ME=MF，易证得△MEF为等边三角形，所以∠E=60°，然后根据特殊角的三角函数值求解．
解答：
解：连结OM，OM的反向延长线交EF与C，如图，
∵直线MN与⊙O相切于点M，
∴OM⊥MF，
∵EF∥MN，
∴MC⊥EF，
∴CE=CF，
∴ME=MF，
而ME=EF，
∴ME=EF=MF，
∴△MEF为等边三角形，
∴∠E=60°，
∴cos∠E=cos60°=．
故答案为．

点评：
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理、等边三角形的判定与性质和特殊角的三角函数值．

3．（2014•温州，第14题5分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，则tanA的值是 　．

考点：
锐角三角函数的定义．
分析：
根据锐角三角函数的定义（tanA=）求出即可．
解答：
解：tanA==，
故答案为：．
点评：
本题考查了锐角三角函数定义的应用，注意：在Rt△ACB中，∠C=90°，sinA=，cosA=，tanA=．

4. （2014•株洲，第13题，3分）孔明同学在距某电视塔塔底水平距离500米处，看塔顶的仰角为20°（不考虑身高因素），则此塔高约为　182　米（结果保留整数，参考数据：sin20°≈0.3420，sin70°≈0.9397，tan20°≈0.3640，tan70°≈2.7475）．

（第1题图）
考点：
解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
分析：
作出图形，可得AB=500米，∠A=20°，在Rt△ABC中，利用三角函数即可求得BC的长度．
解答：
解：在Rt△ABC中，
AB=500米，∠BAC=20°，
∵=tan20°，
∴BC=ACtan20°=500×0.3640=182（米）．
故答案为：182．

点评：
本题考查了解直角三角形的应用，关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数求解．
三.解答题
1. （2014•湘潭，第25题） △ABC为等边三角形，边长为a，DF⊥AB，EF⊥AC，
（1）求证：△BDF∽△CEF；
（2）若a=4，设BF=m，四边形ADFE面积为S，求出S与m之间的函数关系，并探究当m为何值时S取最大值；
（3）已知A、D、F、E四点共圆，已知tan∠EDF=，求此圆直径．
（第1题图）
考点：
相似形综合题；二次函数的最值；等边三角形的性质；圆周角定理；解直角三角形
分析：
（1）只需找到两组对应角相等即可．
（2）四边形ADFE面积S可以看成△ADF与△AEF的面积之和，借助三角函数用m表示出AD、DF、AE、EF的长，进而可以用含m的代数式表示S，然后通过配方，转化为二次函数的最值问题，就可以解决问题．
（3）易知AF就是圆的直径，利用圆周角定理将∠EDF转化为∠EAF．在△AFC中，知道tan∠EAF、∠C、AC，通过解直角三角形就可求出AF长．
解答：
解：（1）∵DF⊥AB，EF⊥AC，
∴∠BDF=∠CEF=90°．
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=∠C=60°．
∵∠BDF=∠CEF，∠B=∠C，
∴△BDF∽△CEF．
（2）∵∠BDF=90°，∠B=60°，
∴sin60°==，cos60°==．
∵BF=m，
∴DF=m，BD=．
∵AB=4，
∴AD=4﹣．
∴S△ADF=AD•DF=×（4﹣）×m=﹣m2+m．
同理：S△AEF=AE•EF
=×（4﹣）×（4﹣m）
=﹣m2+2．
∴S=S△ADF+S△AEF=﹣m2+m+2=﹣（m2﹣4m﹣8）
=﹣（m﹣2）2+3．其中0＜m＜4．
∵﹣＜0，0＜2＜4，
∴当m=2时，S取最大值，最大值为3．
∴S与m之间的函数关系为：
S═﹣（m﹣2）2+3（其中0＜m＜4）．
当m=2时，S取到最大值，最大值为3．

（3）如图2，
∵A、D、F、E四点共圆，
∴∠EDF=∠EAF．
∵∠ADF=∠AEF=90°，
∴AF是此圆的直径．
∵tan∠EDF=，
∴tan∠EAF=．
∴=．
∵∠C=60°，
∴=tan60°=．
设EC=x，则EF=x，EA=2x．
∵AC=a，
∴2x+x=A．
∴x=．
∴EF=，AE=．
∵∠AEF=90°，
∴AF==．
∴此圆直径长为．

点评：
本题考查了相似三角形的判定、二次函数的最值、三角函数、解直角三角形、圆周角定理、等边三角形的性质等知识，综合性强．利用圆周角定理将条件中的圆周角转化到合适的位置是解决最后一小题的关键．
2. （2014•益阳，第18题，8分）“中国﹣益阳”网上消息，益阳市为了改善市区交通状况，计划在康富路的北端修建通往资江北岸的新大桥．如图，新大桥的两端位于A、B两点，小张为了测量A、B之间的河宽，在垂直于新大桥AB的直线型道路l上测得如下数据：∠BAD=76.1°，∠BCA=68.2°，CD=82米．求AB的长（精确到0.1米）．
参考数据：
sin76.1°≈0.97，cos76.1°≈0.24，tan76.1°≈4.0；
sin68.2°≈0.93，cos68.2°≈0.37，tan68.2°≈2.5．

（第2题图）
考点：
解直角三角形的应用．
分析：
设AD=x米，则AC=（x+82）米．在Rt△ABC中，根据三角函数得到AB=2.5（x+82），在Rt△ABD中，根据三角函数得到AB=4x，依此得到关于x的方程，进一步即可求解．
解答：
解：设AD=x米，则AC=（x+82）米．
在Rt△ABC中，tan∠BCA=，
∴AB=AC•tan∠BCA=2.5（x+82）．
在Rt△ABD中，tan∠BDA=，
∴AB=AD•tan∠BDA=4x．
∴2.5（x+82）=4x，
解得x=．
∴AB=4x=4×≈546.7．
答：AB的长约为546.7米．
点评：
此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键是用数学知识解决实际问题．

3.（2014•株洲，第17题，4分）计算：+（π﹣3）0﹣tan45°．

考点：
实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．
分析：
原式第一项利用平方根定义化简，第二项利用零指数幂法则计算，最后一项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．
解答：
解：原式=4+1﹣1=4．
点评：
此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
4.（2014年江苏南京，第23题）如图，梯子斜靠在与地面垂直（垂足为O）的墙上，当梯子位于AB位置时，它与地面所成的角∠ABO=60°；当梯子底端向右滑动1m（即BD=1m）到达CD位置时，它与地面所成的角∠CDO=51°18′，求梯子的长．
（参考数据：sin51°18′≈0.780，cos51°18′≈0.625，tan51°18′≈1.248）

（第4题图）
考点：解直角三角形的应用
分析：设梯子的长为xm．在Rt△ABO中，根据三角函数得到OB，在Rt△CDO中，根据三角函数得到OD，再根据BD=OD﹣OB，得到关于x的方程，解方程即可求解．
解答：设梯子的长为xm．
在Rt△ABO中，cos∠ABO=，∴OB=AB•cos∠ABO=x•cos60°=x．
在Rt△CDO中，cos∠CDO=，∴OD=CD•cos∠CDO=x•cos51°18′≈0.625x．
∵BD=OD﹣OB，∴0.625x﹣x=1，解得x=8．故梯子的长是8米．
点评：此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．
5. （2014•泰州，16题，3分）如图，正方向ABCD的边长为3cm，E为CD边上一点，∠DAE=30°，M为AE的中点，过点M作直线分别与AD、BC相交于点P、Q．若PQ=AE，则AP等于　1或2　cm．

（第5题图）
考点：
全等三角形的判定与性质；正方形的性质；解直角三角形
分析：
根据题意画出图形，过P作PN⊥BC，交BC于点N，由ABCD为正方形，得到AD=DC=PN，在直角三角形ADE中，利用锐角三角函数定义求出DE的长，进而利用勾股定理求出AE的长，根据M为AE中点求出AM的长，利用HL得到三角形ADE与三角形PQN全等，利用全等三角形对应边，对应角相等得到DE=NQ，∠DAE=∠NPQ=30°，再由PN与DC平行，得到∠PFA=∠DEA=60°，进而得到PM垂直于AE，在直角三角形APM中，根据AM的长，利用锐角三角函数定义求出AP的长，再利用对称性确定出AP′的长即可．
解答：
解：根据题意画出图形，过P作PN⊥BC，交BC于点N，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=DC=PN，
在Rt△ADE中，∠DAE=30°，AD=3cm，
∴tan30°=，即DE=cm，
根据勾股定理得：AE==2cm，
∵M为AE的中点，
∴AM=AE=cm，
在Rt△ADE和Rt△PNQ中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△PNQ（HL），
∴DE=NQ，∠DAE=∠NPQ=30°，
∵PN∥DC，
∴∠PFA=∠DEA=60°，
∴∠PMF=90°，即PM⊥AF，
在Rt△AMP中，∠MAP=30°，cos30°=，
∴AP===2cm；
由对称性得到AP′=DP=AD﹣AP=3﹣2=1cm，
综上，AP等于1cm或2cm．
故答案为：1或2．

点评：
此题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．

6. （2014•泰州，第22题，10分）图①、②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图，已知踏板CD长为1.6m，CD与地面DE的夹角∠CDE为12°，支架AC长为0.8m，∠ACD为80°，求跑步机手柄的一端A的高度h（精确到0.1m）．
（参考数据：sin12°=cos78°≈0.21，sin68°=cos22°≈0.93，tan68°≈2.48）

（第6题图）
考点：
解直角三角形的应用
分析：
过C点作FG⊥AB于F，交DE于G．在Rt△ACF中，根据三角函数可求CF，在Rt△CDG中，根据三角函数可求CG，再根据FG=FC+CG即可求解．
解答：
解：过C点作FG⊥AB于F，交DE于G．
∵CD与地面DE的夹角∠CDE为12°，∠ACD为80°，
∴∠ACF=90°+12°﹣80°=22°，
∴∠CAF=68°，
在Rt△ACF中，CF=AC•sin∠CAF≈0.744m，
在Rt△CDG中，CG=CD•sin∠CDE≈0.336m，
∴FG=FC+CG≈1.1m．
故跑步机手柄的一端A的高度约为1.1m．

点评：
此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键是用数学知识解决实际问题．

7. （ 2014•福建泉州，第26题14分）如图，直线y=﹣x+3与x，y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点P（2，1）．
（1）求该反比例函数的关系式；
（2）设PC⊥y轴于点C，点A关于y轴的对称点为A′；
①求△A′BC的周长和sin∠BA′C的值；
②对大于1的常数m，求x轴上的点M的坐标，使得sin∠BMC=．

考点：
反比例函数综合题；待定系数法求反比例函数解析式；勾股定理；矩形的判定与性质；垂径定理；直线与圆的位置关系；锐角三角函数的定义
专题：
压轴题；探究型．
分析：
（1）设反比例函数的关系式y=，然后把点P的坐标（2，1）代入即可．
（2）①先求出直线y=﹣x+3与x、y轴交点坐标，然后运用勾股定理即可求出△A′BC的周长；过点C作CD⊥AB，垂足为D，运用面积法可以求出CD长，从而求出sin∠BA′C的值．
②由于BC=2，sin∠BMC=，因此点M在以BC为弦，半径为m的⊙E上，因而点M应是⊙E与x轴的交点．然后对⊙E与x轴的位置关系进行讨论，只需运用矩形的判定与性质、勾股定理等知识就可求出满足要求的点M的坐标．
解答：
解：（1）设反比例函数的关系式y=．
∵点P（2，1）在反比例函数y=的图象上，
∴k=2×1=2．
∴反比例函数的关系式y=．
（2）①过点C作CD⊥AB，垂足为D，如图1所示．
当x=0时，y=0+3=3，
则点B的坐标为（0，3）．OB=3．
当y=0时，0=﹣x+3，解得x=3，
则点A的坐标为（3，0），OA=3．
∵点A关于y轴的对称点为A′，
∴OA′=OA=3．
∵PC⊥y轴，点P（2，1），
∴OC=1，PC=2．
∴BC=2．
∵∠AOB=90°，OA′=OB=3，OC=1，
∴A′B=3，A′C=．
∴△A′BC的周长为3++2．
∵S△ABC=BC•A′O=A′B•CD，
∴BC•A′O=A′B•CD．
∴2×3=3×CD．
∴CD=．
∵CD⊥A′B，
∴sin∠BA′C===．
∴△A′BC的周长为3++2，sin∠BA′C的值为．
②当1＜m＜2时，
作经过点B、C且半径为m的⊙E，
连接CE并延长，交⊙E于点P，连接BP，
过点E作EG⊥OB，垂足为G，
过点E作EH⊥x轴，垂足为H，如图2①所示．
∵CP是⊙E的直径，
∴∠PBC=90°．
∴sin∠BPC===．
∵sin∠BMC=，
∴∠BMC=∠BPC．
∴点M在⊙E上．
∵点M在x轴上
∴点M是⊙E与x轴的交点．
∵EG⊥BC，
∴BG=GC=1．
∴OG=2．
∵∠EHO=∠GOH=∠OGE=90°，
∴四边形OGEH是矩形．
∴EH=OG=2，EG=OH．
∵1＜m＜2，
∴EH＞EC．
∴⊙E与x轴相离．
∴x轴上不存在点M，使得sin∠BMC=．
②当m=2时，EH=EC．
∴⊙E与x轴相切．
Ⅰ．切点在x轴的正半轴上时，如图2②所示．
∴点M与点H重合．
∵EG⊥OG，GC=1，EC=m，
∴EG==．
∴OM=OH=EG=．
∴点M的坐标为（，0）．
Ⅱ．切点在x轴的负半轴上时，
同理可得：点M的坐标为（﹣，0）．
③当m＞2时，EH＜EC．
∴⊙E与x轴相交．
Ⅰ．交点在x轴的正半轴上时，
设交点为M、M′，连接EM，如图2③所示．
∵∠EHM=90°，EM=m，EH=2，
∴MH===．
∵EH⊥MM′，
∴MH=M′H．
∴M′H═．
∵∠EGC=90°，GC=1，EC=m，
∴EG===．
∴OH=EG=．
∴OM=OH﹣MH=﹣，
∴OM′=OH+HM′=+，
∴M（﹣，0）、M′（+，0）．
Ⅱ．交点在x轴的负半轴上时，
同理可得：M（﹣+，0）、M′（﹣﹣，0）．
综上所述：当1＜m＜2时，满足要求的点M不存在；
当m=2时，满足要求的点M的坐标为（，0）和（﹣，0）；
当m＞2时，满足要求的点M的坐标为（﹣，0）、（+，0）、（﹣+，0）、（﹣﹣，0）．

点评：
本题考查了用待定系数法求反比例函数的关系式、勾股定理、三角函数的定义、矩形的判定与性质、直线与圆的位置关系、垂径定理等知识，考查了用面积法求三角形的高，考查了通过构造辅助圆解决问题，综合性比较强，难度系数比较大．由BC=2，sin∠BMC=联想到点M在以BC为弦，半径为m的⊙E上是解决本题的关键．

8.（2014•襄阳，第15题3分）如图，在建筑平台CD的顶部C处，测得大树AB的顶部A的仰角为45°，测得大树AB的底部B的俯角为30°，已知平台CD的高度为5m，则大树的高度为　（5+5）　m（结果保留根号）

考点：
解直角三角形的应用-仰角俯角问题
分析：
作CE⊥AB于点E，则△BCE和△BCD都是直角三角形，即可求得CE，BE的长，然后在Rt△ACE中利用三角函数求得AE的长，进而求得AB的长，即为大树的高度．
解答：
解：作CE⊥AB于点E，
在Rt△BCE中，
BE=CD=5m，
CE==5m，
在Rt△ACE中，
AE=CE•tan45°=5m，
AB=BE+AE=（5+5）m．
故答案为：（5+5）．

点评：
本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题的应用，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．

9.（2014•邵阳，第24题8分）一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以40海里每小时的速度前往救援，求海警船到大事故船C处所需的大约时间．（温馨提示：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）

考点：
解直角三角形的应用-方向角问题
分析：
过点C作CD⊥AB交AB延长线于D．先解Rt△ACD得出CD=AC=40海里，再解Rt△CBD中，得出BC=≈50，然后根据时间=路程÷速度即可求出海警船到大事故船C处所需的时间．
解答：
解：如图，过点C作CD⊥AB交AB延长线于D．
在Rt△ACD中，∵∠ADC=90°，∠CAD=30°，AC=80海里，
∴CD=AC=40海里．
在Rt△CBD中，∵∠CDB=90°，∠CBD=90°﹣37°=53°，
∴BC=≈=50（海里），
∴海警船到大事故船C处所需的时间大约为：50÷40=（小时）．

点评：
本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，难度适中，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．