北师大版七年级数学下册-期末试卷测试题(Word版-含解析).doc
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【精选】北师大版七年级数学下册 期末试卷测试题(Word版 含解析) 一、解答题 1.已知,AB∥CD,点E为射线FG上一点. (1)如图1,若∠EAF=25°,∠EDG=45°,则∠AED= . (2)如图2,当点E在FG延长线上时,此时CD与AE交于点H,则∠AED、∠EAF、∠EDG之间满足怎样的关系,请说明你的结论; (3)如图3,当点E在FG延长线上时,DP平分∠EDC,∠AED=32°,∠P=30°,求∠EKD的度数. 2.如图,,点A、B分别在直线MN、GH上,点O在直线MN、GH之间,若,. (1)= ; (2)如图2,点C、D是、角平分线上的两点,且,求 的度数; (3)如图3,点F是平面上的一点,连结FA、FB,E是射线FA上的一点,若 ,,且,求n的值. 3.如图1,//,点、分别在、上,点在直线、之间,且. (1)求的值; (2)如图2,直线分别交、的角平分线于点、,直接写出的值; (3)如图3,在内,;在内,,直线分别交、分别于点、,且,直接写出的值. 4.问题情境: (1)如图1,,,.求度数.小颖同学的解题思路是:如图2,过点作,请你接着完成解答. 问题迁移: (2)如图3,,点在射线上运动,当点在、两点之间运动时,,.试判断、、之间有何数量关系?(提示:过点作),请说明理由; (3)在(2)的条件下,如果点在、两点外侧运动时(点与点、、三点不重合),请你猜想、、之间的数量关系并证明. 5.已知:如图(1)直线AB、CD被直线MN所截,∠1=∠2. (1)求证:AB//CD; (2)如图(2),点E在AB,CD之间的直线MN上,P、Q分别在直线AB、CD上,连接PE、EQ,PF平分∠BPE,QF平分∠EQD,则∠PEQ和∠PFQ之间有什么数量关系,请直接写出你的结论; (3)如图(3),在(2)的条件下,过P点作PH//EQ交CD于点H,连接PQ,若PQ平分∠EPH,∠QPF:∠EQF=1:5,求∠PHQ的度数. 二、解答题 6.如图1,E点在上,.. (1)求证: (2)如图2,平分,与的平分线交于H点,若比大,求的度数. (3)保持(2)中所求的的度数不变,如图3,平分平分,作,则的度数是否改变?若不变,请直接写出答案;若改变,请说明理由. 7.如图1,点O在上,,射线交于点C,已知m,n满足:. (1)试说明//的理由; (2)如图2,平分,平分,直线、交于点E,则______; (3)若将绕点O逆时针旋转,其余条件都不变,在旋转过程中,的度数是否发生变化?请说明你的结论. 8.如图,已知是直线间的一点,于点交于点. (1)求的度数; (2)如图2,射线从出发,以每秒的速度绕P点按逆时针方向旋转,当垂直时,立刻按原速返回至后停止运动:射线从出发,以每秒的速度绕E点按逆时针方向旋转至后停止运动,若射线,射线同时开始运动,设运动间为t秒. ①当时,求的度数; ②当时,求t的值. 9.如图所示,已知,点P是射线AM上一动点(与点A不重合),BC、BD分别平分和,分别交射线AM于点C、D,且 (1)求的度数. (2)当点P运动时,与之间的数量关系是否随之发生变化?若不变化,请写出它们之间的关系,并说明理由;若变化,请写出变化规律. (3)当点P运动到使时,求的度数. 10.已知直线,点分别为, 上的点. (1)如图1,若,, ,求与的度数; (2)如图2,若,, ,则_________; (3)若把(2)中“,, ”改为“,, ”,则_________.(用含的式子表示) 三、解答题 11.(1)如图1,∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E,AB∥CD,∠ADC=50°,∠ABC=40°,求∠AEC的度数; (2)如图2,∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E,∠ADC=α°,∠ABC=β°,求∠AEC的度数; (3)如图3,PQ⊥MN于点O,点A是平面内一点,AB、AC交MN于B、C两点,AD平分∠BAC交PQ于点D,请问的值是否发生变化?若不变,求出其值;若改变,请说明理由. 12.(生活常识) 射到平面镜上的光线(入射光线)和变向后的光线(反射光线)与平面镜所夹的角相等.如图 1,MN 是平面镜,若入射光线 AO 与水平镜面夹角为∠1,反射光线 OB 与水平镜面夹角为∠2,则∠1=∠2 . (现象解释) 如图 2,有两块平面镜 OM,ON,且 OM⊥ON,入射光线 AB 经过两次反射,得到反射光线 CD.求证 AB∥CD. (尝试探究) 如图 3,有两块平面镜 OM,ON,且∠MON =55° ,入射光线 AB 经过两次反射,得到反射光线 CD,光线 AB 与 CD 相交于点 E,求∠BEC 的大小. (深入思考) 如图 4,有两块平面镜 OM,ON,且∠MON = α ,入射光线 AB 经过两次反射,得到反射光线 CD,光线 AB 与 CD 所在的直线相交于点 E,∠BED=β , α 与 β 之间满足的等量关系是 .(直接写出结果) 13.如图1,已知线段AB、CD相交于点O,连接AC、BD,我们把形如图1的图形称之为“8字形”.如图2,∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P,并且与CD、AB分别相交于M、N.试解答下列问题: (1)仔细观察,在图2中有 个以线段AC为边的“8字形”; (2)在图2中,若∠B=96°,∠C=100°,求∠P的度数; (3)在图2中,若设∠C=α,∠B=β,∠CAP=∠CAB,∠CDP=∠CDB,试问∠P与∠C、∠B之间存在着怎样的数量关系(用α、β表示∠P),并说明理由; (4)如图3,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为 . 14.如图1,已知AB∥CD,BE平分∠ABD,DE平分∠BDC. (1)求证:∠BED=90°; (2)如图2,延长BE交CD于点H,点F为线段EH上一动点,∠EDF=α,∠ABF的角平分线与∠CDF的角平分线DG交于点G,试用含α的式子表示∠BGD的大小; (3)如图3,延长BE交CD于点H,点F为线段EH上一动点,∠EBM的角平分线与∠FDN的角平分线交于点G,探究∠BGD与∠BFD之间的数量关系,请直接写出结论: . 15.已知在中,,点在上,边在上,在中,边在直线上,; (1)如图1,求的度数; (2)如图2,将沿射线的方向平移,当点在上时,求度数; (3)将在直线上平移,当以为顶点的三角形是直角三角形时,直接写出度数. 【参考答案】 一、解答题 1.(1)70°;(2),证明见解析;(3)122° 【分析】 (1)过作,根据平行线的性质得到,,即可求得; (2)过过作,根据平行线的性质得到,,即; (3)设,则,通过三角形内角和得到,由角平分线 解析:(1)70°;(2),证明见解析;(3)122° 【分析】 (1)过作,根据平行线的性质得到,,即可求得; (2)过过作,根据平行线的性质得到,,即; (3)设,则,通过三角形内角和得到,由角平分线定义及得到,求出的值再通过三角形内角和求. 【详解】 解:(1)过作, , , ,, , 故答案为:; (2). 理由如下: 过作, , , ,, ,, ; (3), 设,则, ,, 又,, , 平分, , , , 即,解得, , . 【点睛】 本题主要考查了平行线的性质和判定,正确做出辅助线是解决问题的关键. 2.(1)100;(2)75°;(3)n=3. 【分析】 (1)如图:过O作OP//MN,由MN//OP//GH得∠NAO+∠POA=180°,∠POB+∠OBH=180°,即∠NAO+∠AOB+∠OB 解析:(1)100;(2)75°;(3)n=3. 【分析】 (1)如图:过O作OP//MN,由MN//OP//GH得∠NAO+∠POA=180°,∠POB+∠OBH=180°,即∠NAO+∠AOB+∠OBH=360°,即可求出∠AOB; (2)如图:分别延长AC、CD交GH于点E、F,先根据角平分线求得,再根据平行线的性质得到;进一步求得,,然后根据三角形外角的性质解答即可; (3)设BF交MN于K,由∠NAO=116°,得∠MAO=64°,故∠MAE=,同理∠OBH=144°,∠HBF=n∠OBF,得∠FBH=,从而,又∠FKN=∠F+∠FAK,得,即可求n. 【详解】 解:(1)如图:过O作OP//MN, ∵MN//GHl ∴MN//OP//GH ∴∠NAO+∠POA=180°,∠POB+∠OBH=180° ∴∠NAO+∠AOB+∠OBH=360° ∵∠NAO=116°,∠OBH=144° ∴∠AOB=360°-116°-144°=100°; (2)分别延长AC、CD交GH于点E、F, ∵AC平分且, ∴, 又∵MN//GH, ∴; ∵, ∵BD平分, ∴, 又∵ ∴; ∴; (3)设FB交MN于K, ∵,则; ∴ ∵, ∴,, 在△FAK中,, ∴, ∴. 经检验:是原方程的根,且符合题意. 【点睛】 本题主要考查平行线的性质及应用,正确作出辅助线、构造平行线、再利用平行线性质进行求解是解答本题的关键. 3.(1) ;(2)的值为40°;(3). 【分析】 (1)过点O作OG∥AB,可得AB∥OG∥CD,利用平行线的性质可求解; (2)过点M作MK∥AB,过点N作NH∥CD,由角平分线的定义可设∠BEM 解析:(1) ;(2)的值为40°;(3). 【分析】 (1)过点O作OG∥AB,可得AB∥OG∥CD,利用平行线的性质可求解; (2)过点M作MK∥AB,过点N作NH∥CD,由角平分线的定义可设∠BEM=∠OEM=x,∠CFN=∠OFN=y,由∠BEO+∠DFO=260°可求x-y=40°,进而求解; (3)设直线FK与EG交于点H,FK与AB交于点K,根据平行线的性质即三角形外角的性质及,可得,结合,可得 即可得关于n的方程,计算可求解n值. 【详解】 证明:过点O作OG∥AB, ∵AB∥CD, ∴AB∥OG∥CD, ∴ ∴ 即 ∵∠EOF=100°, ∴∠; (2)解:过点M作MK∥AB,过点N作NH∥CD, ∵EM平分∠BEO,FN平分∠CFO, 设 ∵ ∴ ∴x-y=40°, ∵MK∥AB,NH∥CD,AB∥CD, ∴AB∥MK∥NH∥CD, ∴ ∴ =x-y =40°, 故的值为40°; (3)如图,设直线FK与EG交于点H,FK与AB交于点K, ∵AB∥CD, ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 即 ∵FK在∠DFO内, ∴ , ∵ ∴ ∴ 即 ∴ 解得 . 经检验,符合题意, 故答案为:. 【点睛】 本题主要考查平行线的性质,角平分线的定义,灵活运用平行线的性质是解题的关键. 4.(1)见解析;(2),理由见解析;(3)①当在延长线时(点不与点重合),;②当在之间时(点不与点,重合),.理由见解析 【分析】 (1)过P作PE∥AB,构造同旁内角,利用平行线性质,可得∠APC= 解析:(1)见解析;(2),理由见解析;(3)①当在延长线时(点不与点重合),;②当在之间时(点不与点,重合),.理由见解析 【分析】 (1)过P作PE∥AB,构造同旁内角,利用平行线性质,可得∠APC=113°; (2)过过作交于,,推出,根据平行线的性质得出,即可得出答案; (3)画出图形(分两种情况:①点P在BA的延长线上,②当在之间时(点不与点,重合)),根据平行线的性质即可得出答案. 【详解】 解:(1)过作, , , ,, , ,, ; (2),理由如下: 如图3,过作交于, , , ,, ,, 又 ; (3)①当在延长线时(点不与点重合),; 理由:如图4,过作交于, , , ,, ,, , 又, ; ②当在之间时(点不与点,重合),. 理由:如图5,过作交于, , , ,, ,, , 又 . 【点睛】 本题考查了平行线的性质的应用,主要考查学生的推理能力,解决问题的关键是作辅助线构造内错角以及同旁内角. 5.(1)见解析;(2)∠PEQ+2∠PFQ=360°;(3)30° 【分析】 (1)首先证明∠1=∠3,易证得AB//CD; (2)如图2中,∠PEQ+2∠PFQ=360°.作EH//AB.理由平行线 解析:(1)见解析;(2)∠PEQ+2∠PFQ=360°;(3)30° 【分析】 (1)首先证明∠1=∠3,易证得AB//CD; (2)如图2中,∠PEQ+2∠PFQ=360°.作EH//AB.理由平行线的性质即可证明; (3)如图3中,设∠QPF=y,∠PHQ=x.∠EPQ=z,则∠EQF=∠FQH=5y,想办法构建方程即可解决问题; 【详解】 (1)如图1中, ∵∠2=∠3,∠1=∠2, ∴∠1=∠3, ∴AB//CD. (2)结论:如图2中,∠PEQ+2∠PFQ=360°. 理由:作EH//AB. ∵AB//CD,EH//AB, ∴EH//CD, ∴∠1=∠2,∠3=∠4, ∴∠2+∠3=∠1+∠4, ∴∠PEQ=∠1+∠4, 同法可证:∠PFQ=∠BPF+∠FQD, ∵∠BPE=2∠BPF,∠EQD=2∠FQD,∠1+∠BPE=180°,∠4+∠EQD=180°, ∴∠1+∠4+∠EQD+∠BPE=2×180°, 即∠PEQ+2(∠FQD+∠BPF)=360°, ∴∠PEQ+2∠PFQ=360°. (3)如图3中,设∠QPF=y,∠PHQ=x.∠EPQ=z,则∠EQF=∠FQH=5y, ∵EQ//PH, ∴∠EQC=∠PHQ=x, ∴x+10y=180°, ∵AB//CD, ∴∠BPH=∠PHQ=x, ∵PF平分∠BPE, ∴∠EPQ+∠FPQ=∠FPH+∠BPH, ∴∠FPH=y+z﹣x, ∵PQ平分∠EPH, ∴Z=y+y+z﹣x, ∴x=2y, ∴12y=180°, ∴y=15°, ∴x=30°, ∴∠PHQ=30°. 【点睛】 本题考查了平行线的判定与性质,角平分线的定义等知识.(2)中能正确作出辅助线是解题的关键;(3)中能熟练掌握相关性质,找到角度之间的关系是解题的关键. 二、解答题 6.(1)见解析;(2)100°;(3)不变,40° 【分析】 (1)如图1,延长交于点,根据,,可得,所以,可得,又,进而可得结论; (2)如图2,作,,根据,可得,根据平行线的性质得角之间的关系,再 解析:(1)见解析;(2)100°;(3)不变,40° 【分析】 (1)如图1,延长交于点,根据,,可得,所以,可得,又,进而可得结论; (2)如图2,作,,根据,可得,根据平行线的性质得角之间的关系,再根据比大,列出等式即可求的度数; (3)如图3,过点作,设直线和直线相交于点,根据平行线的性质和角平分线定义可求的度数. 【详解】 解:(1)证明:如图1,延长交于点, ,, , , , , , ; (2)如图2,作,, , , ,, 平分, , , , , , , 平分, , , , , 设, , 比大, , 解得 的度数为; (3)的度数不变,理由如下: 如图3,过点作,设直线和直线相交于点, 平分,平分, , , ,, , , , , 由(2)可知:, , , , , , . 【点睛】 本题考查了平行线的判定与性质,解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质. 7.(1)见解析;(2)45;(3)不变,见解析; 【分析】 (1)由可求得m及n,从而可求得∠MOC=∠OCQ,则可得结论; (2)易得∠AON的度数,由两条角平分线,可得∠DON,∠OCF的度数,也 解析:(1)见解析;(2)45;(3)不变,见解析; 【分析】 (1)由可求得m及n,从而可求得∠MOC=∠OCQ,则可得结论; (2)易得∠AON的度数,由两条角平分线,可得∠DON,∠OCF的度数,也易得∠COE的度数,由三角形外角的性质即可求得∠OEF的度数; (3)不变,分三种情况讨论即可. 【详解】 (1)∵,,且 ∴, ∴m=20,n=70 ∴∠MOC=90゜-∠AOM=70゜ ∴∠MOC=∠OCQ=70゜ ∴MN∥PQ (2)∵∠AON=180゜-∠AOM=160゜ 又∵平分,平分 ∴, ∵ ∴ ∴∠OEF=∠OCF+∠COE=35゜+10゜=45゜ 故答案为:45. (3)不变,理由如下: 如图,当0゜<α<20゜时, ∵CF平分∠OCQ ∴∠OCF=∠QCF 设∠OCF=∠QCF=x 则∠OCQ=2x ∵MN∥PQ ∴∠MOC=∠OCQ=2x ∵∠AON=360゜-90゜—(180゜-2x)=90゜+2x,OD平分∠AON ∴∠DON=45゜+x ∵∠MOE=∠DON=45゜+x ∴∠COE=∠MOE-∠MOC=45゜+x-2x=45゜-x ∴∠OEF=∠COE+∠OCF=45゜-x+x=45゜ 当α=20゜时,OD与OB共线,则∠OCQ=90゜,由CF平分∠OCQ知,∠OEF=45゜ 当20゜<α<90゜时,如图 ∵CF平分∠OCQ ∴∠OCF=∠QCF 设∠OCF=∠QCF=x 则∠OCQ=2x ∵MN∥PQ ∴∠NOC=180゜-∠OCQ=180゜-2x ∵∠AON=90゜+(180゜-2x)=270゜-2x,OD平分∠AON ∴∠AOE=135゜-x ∴∠COE=90゜-∠AOE=90゜-(135゜-x)=x-45゜ ∴∠OEF=∠OCF-∠COE=x-(x-45゜)=45゜ 综上所述,∠EOF的度数不变. 【点睛】 本题主要考查了角平分线的定义,平行线的判定与性质,角的和差关系,注意分类讨论,引入适当的量便于运算简便. 8.(1);(2)①或;②秒或或秒 【分析】 (1)通过延长作辅助线,根据平行线的性质,得到,再根据外角的性质可计算得到结果; (2)①当时,分两种情况,Ⅰ当在和之间,Ⅱ当在和之间,由,计算出的运动时间 解析:(1);(2)①或;②秒或或秒 【分析】 (1)通过延长作辅助线,根据平行线的性质,得到,再根据外角的性质可计算得到结果; (2)①当时,分两种情况,Ⅰ当在和之间,Ⅱ当在和之间,由,计算出的运动时间,根据运动时间可计算出,由已知可计算出的度数; ②根据题意可知,当时,分三种情况, Ⅰ射线由逆时针转动,,根据题意可知,,再平行线的性质可得,再根据三角形外角和定理可列等量关系,求解即可得出结论; Ⅱ射线垂直时,再顺时针向运动时,,根据题意可知,,,,可计算射线的转动度数,再根据转动可列等量关系,即可求出答案; Ⅲ射线垂直时,再顺时针向运动时,,根据题意可知,,,根据(1)中结论,,,可计算出与代数式,再根据平行线的性质,可列等量关系,求解可得出结论. 【详解】 解:(1)延长与相交于点, 如图1, , , , ; (2)①Ⅰ如图2, ,, , 射线运动的时间(秒, 射线旋转的角度, 又, ; Ⅱ如图3所示, ,, , 射线运动的时间(秒, 射线旋转的角度, 又, ; 的度数为或; ②Ⅰ当由运动如图4时, 与相交于点, 根据题意可知,经过秒, ,, , , 又, , 解得(秒; Ⅱ当运动到,再由运动到如图5时, 与相交于点, 根据题意可知,经过秒, , , ,, 运动的度数可得,, 解得; Ⅲ当由运动如图6时,, 根据题意可知,经过秒, ,, ,, ,, 又, , , 解得(秒), 当的值为秒或或秒时,. 【点睛】 本题主要考查平行线性质,合理添加辅助线和根据题意画出相应的图形时解决本题的关键. 9.(1);(2)不变化,,理由见解析;(3) 【分析】 (1)结合题意,根据角平分线的性质,得;再根据平行线的性质计算,即可得到答案; (2)根据平行线的性质,得,;结合角平分线性质,得,即可完成求解 解析:(1);(2)不变化,,理由见解析;(3) 【分析】 (1)结合题意,根据角平分线的性质,得;再根据平行线的性质计算,即可得到答案; (2)根据平行线的性质,得,;结合角平分线性质,得,即可完成求解; (3)根据平行线的性质,得;结合,推导得;再结合(1)的结论计算,即可得到答案. 【详解】 (1)∵BC,BD分别评分和, ∴, ∴ 又∵, ∴ ∵, ∴ ∴; (2)∵, ∴, 又∵BD平分 ∴, ∴; ∴与之间的数量关系保持不变; (3)∵, ∴ 又∵, ∴, ∵ ∴ 由(1)可得, ∴. 【点睛】 本题考查了角平分线、平行线的知识;解题的关键是熟练掌握角平分线、平行线的性质,从而完成求解. 10.(1)120º,120º;(2)160;(3) 【分析】 (1)过点作,,根据 ,平行线的性质和周角可求出,则 ,再根据 , ,可得 , ,可求出 ,,根据 即可得到结果; (2)同理(1)的求法, 解析:(1)120º,120º;(2)160;(3) 【分析】 (1)过点作,,根据 ,平行线的性质和周角可求出,则 ,再根据 , ,可得 , ,可求出 ,,根据 即可得到结果; (2)同理(1)的求法,根据,, 求解即可; (3)同理(1)的求法,根据,, 求解即可; 【详解】 解:(1)如图示,分别过点作,, ∵, ∴, ∴, ∴, ∴, ∵, ∴, 又∵, ∴,, ∴. (2)如图示,分别过点作,, ∵,∴, ∴, ∴, ∴, ∵, ∴, 又∵, ∴,, ∴. 故答案为:160; (3)同理(1)的求法 ∵,∴, ∴, ∴, ∴, ∵, ∴, 又∵, ∴, , ∴. 故答案为:. 【点睛】 本题主要考查了平行线的性质和角度的运算,熟悉相关性质是解题的关键. 三、解答题 11.(1)∠E=45°;(2)∠E=;(3)不变化, 【分析】 (1)由三角形内角和定理,可得∠D+∠ECD=∠E+∠EAD,∠B+∠EAB=∠E+∠ECB,由角平分线的性质,可得∠ECD=∠ECB=∠ 解析:(1)∠E=45°;(2)∠E=;(3)不变化, 【分析】 (1)由三角形内角和定理,可得∠D+∠ECD=∠E+∠EAD,∠B+∠EAB=∠E+∠ECB,由角平分线的性质,可得∠ECD=∠ECB=∠BCD,∠EAD=∠EAB=∠BAD,则可得∠E= (∠D+∠B),继而求得答案; (2)首先延长BC交AD于点F,由三角形外角的性质,可得∠BCD=∠B+∠BAD+∠D,又由角平分线的性质,即可求得答案. (3)由三角形内角和定理,可得,利用角平分线的性质与三角形的外角的性质可得答案. 【详解】 解:(1)∵CE平分∠BCD,AE平分∠BAD ∴∠ECD=∠ECB=∠BCD,∠EAD=∠EAB=∠BAD, ∵∠D+∠ECD=∠E+∠EAD,∠B+∠EAB=∠E+∠ECB, ∴∠D+∠ECD+∠B+∠EAB=∠E+∠EAD+∠E+∠ECB ∴∠D+∠B=2∠E, ∴∠E=(∠D+∠B), ∵∠ADC=50°,∠ABC=40°, ∴∠AEC= ×(50°+40°)=45°; (2)延长BC交AD于点F, ∵∠BFD=∠B+∠BAD, ∴∠BCD=∠BFD+∠D=∠B+∠BAD+∠D, ∵CE平分∠BCD,AE平分∠BAD ∴∠ECD=∠ECB=∠BCD,∠EAD=∠EAB=∠BAD, ∵∠E+∠ECB=∠B+∠EAB, ∴∠E=∠B+∠EAB-∠ECB=∠B+∠BAE-∠BCD =∠B+∠BAE-(∠B+∠BAD+∠D) = (∠B-∠D), ∠ADC=α°,∠ABC=β°, 即∠AEC= (3)的值不发生变化, 理由如下: 如图,记与交于,与交于, ①, ②, ①-②得: AD平分∠BAC, 【点睛】 此题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质以及角平分线的定义.此题难度较大,注意掌握整体思想与数形结合思想的应用. 12.【现象解释】见解析;【尝试探究】ÐBEC = 70°;【深入思考】 b = 2a. 【分析】 [现象解释]根据平面镜反射光线的规律得∠1=∠2,∠3=∠4,再利用∠2+∠3=90°得出∠1+∠2+∠ 解析:【现象解释】见解析;【尝试探究】ÐBEC = 70°;【深入思考】 b = 2a. 【分析】 [现象解释]根据平面镜反射光线的规律得∠1=∠2,∠3=∠4,再利用∠2+∠3=90°得出∠1+∠2+∠3+∠4=180°,即可得出∠DCB+∠ABC=180°,即可证得AB∥CD; [尝试探究]根据三角形内角和定理求得∠2+∠3=125°,根据平面镜反射光线的规律得∠1=∠2,∠3=∠4,再利用平角的定义得出∠1+∠2+∠EBC+∠3+∠4+∠BCE=360°,即可得出∠EBC+BCE=360°-250°=110°,根据三角形内角和定理即可得出∠BEC=180°-110°=70°; [深入思考]利用平角的定义得出∠ABC=180°-2∠2,∠BCD=180°-2∠3,利用外角的性质∠BED=∠ABC-∠BCD=(180°-2∠2)-(180°-2∠3)=2(∠3-∠2)=β,而∠BOC=∠3-∠2=α,即可证得β=2α. 【详解】 [现象解释] 如图2, ∵OM⊥ON, ∴∠CON=90°, ∴∠2+∠3=90° ∵∠1=∠2,∠3=∠4, ∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°, ∴∠DCB+∠ABC=180°, ∴AB∥CD; 【尝试探究】 如图3, 在△OBC中,∵∠COB=55°, ∴∠2+∠3=125°, ∵∠1=∠2,∠3=∠4, ∴∠1+∠2+∠3+∠4=250°, ∵∠1+∠2+∠EBC+∠3+∠4+∠BCE=360°, ∴∠EBC+BCE=360°-250°=110°, ∴∠BEC=180°-110°=70°; 【深入思考】 如图4, β=2α, 理由如下:∵∠1=∠2,∠3=∠4, ∴∠ABC=180°-2∠2,∠BCD=180°-2∠3, ∴∠BED=∠ABC-∠BCD=(180°-2∠2)-(180°-2∠3)=2(∠3-∠2)=β, ∵∠BOC=∠3-∠2=α, ∴β=2α. 【点睛】 本题考查了平行线的判定,三角形外角的性质以及三角形内角和定理,熟练掌握三角形的性质是解题的关键. 13.(1)3;(2)98°;(3)∠P=(β+2α),理由见解析;(4)360°. 【分析】 (1)以M为交点的“8字形”有1个,以O为交点的“8字形”有2个; (2)根据角平分线的定义得到∠CAP=∠ 解析:(1)3;(2)98°;(3)∠P=(β+2α),理由见解析;(4)360°. 【分析】 (1)以M为交点的“8字形”有1个,以O为交点的“8字形”有2个; (2)根据角平分线的定义得到∠CAP=∠BAP,∠BDP=∠CDP,再根据三角形内角和定理得到∠CAP+∠C=∠CDP+∠P,∠BAP+∠P=∠BDP+∠B,两等式相减得到∠C﹣∠P=∠P﹣∠B,即∠P=(∠C+∠B),然后把∠C=100°,∠B=96°代入计算即可; (3)与(2)的证明方法一样得到∠P=(2∠C+∠B). (4)根据三角形内角与外角的关系可得∠B+∠A=∠1,∠C+∠D=∠2,再根据四边形内角和为360°可得答案. 【详解】 解:(1)在图2中有3个以线段AC为边的“8字形”, 故答案为3; (2)∵∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P, ∴∠CAP=∠BAP,∠BDP=∠CDP, ∵∠CAP+∠C=∠CDP+∠P,∠BAP+∠P=∠BDP+∠B, ∴∠C﹣∠P=∠P﹣∠B, 即∠P=(∠C+∠B), ∵∠C=100°,∠B=96° ∴∠P=(100°+96°)=98°; (3)∠P=(β+2α); 理由:∵∠CAP=∠CAB,∠CDP=∠CDB, ∴∠BAP=∠BAC,∠BDP=∠BDC, ∵∠CAP+∠C=∠CDP+∠P,∠BAP+∠P=∠BDP+∠B, ∴∠C﹣∠P=∠BDC﹣∠BAC,∠P﹣∠B=∠BDC﹣∠BAC, ∴2(∠C﹣∠P)=∠P﹣∠B, ∴∠P=(∠B+2∠C), ∵∠C=α,∠B=β, ∴∠P=(β+2α); (4)∵∠B+∠A=∠1,∠C+∠D=∠2, ∴∠A+∠B+∠C+∠D=∠1+∠2, ∵∠1+∠2+∠F+∠E=360°, ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°. 故答案为360°. 14.(1)见解析;(2)∠BGD=;(3)2∠BGD+∠BFD=360°. 【分析】 (1)根据角平分线的性质求出∠EBD+∠EDB=(∠ABD+∠BDC),根据平行线的性质∠ABD+∠BDC=180° 解析:(1)见解析;(2)∠BGD=;(3)2∠BGD+∠BFD=360°. 【分析】 (1)根据角平分线的性质求出∠EBD+∠EDB=(∠ABD+∠BDC),根据平行线的性质∠ABD+∠BDC=180°,从而根据∠BED=180°﹣(∠EBD+∠EDB)即可得到答案; (2)过点G作GP∥AB,根据AB∥CD,得到GP∥AB∥CD,从而得到∠BGD=∠BGP+∠PGD=∠ABG+∠CDG,然后根据∠EBD+∠EDB=90°,∠ABD+∠BDC=180°, 得到∠ABE+∠EDC=90°,即∠ABE+α+∠FDC=90°,再利用角平分线的定义求出2∠ABG+2∠CDG=90°﹣α即可得到答案; (3)过点F、G分别作FM∥AB、GM∥AB,从而得到AB∥GM∥FN∥CD,得到∠BGD=∠BGM+∠DGM=∠4+∠6,根据BG平分∠FBP,DG平分∠FDQ,∠4=∠FBP=(180°﹣∠3),∠6=∠FDQ=(180°﹣∠5),即可求解. 【详解】 解:(1)证明:∵BE平分∠ABD, ∴∠EBD=∠ABD, ∵DE平分∠BDC, ∴∠EDB=∠BDC, ∴∠EBD+∠EDB=(∠ABD+∠BDC), ∵AB∥CD, ∴∠ABD+∠BDC=180°, ∴∠EBD+∠EDB=90°, ∴∠BED=180°﹣(∠EBD+∠EDB)=90°. (2)解:如图2, 由(1)知:∠EBD+∠EDB=90°, 又∵∠ABD+∠BDC=180°, ∴∠ABE+∠EDC=90°, 即∠ABE+α+∠FDC=90°, ∵BG平分∠ABE,DG平分∠CDF, ∴∠ABE=2∠ABG,∠CDF=2∠CDG, ∴2∠ABG+2∠CDG=90°﹣α, 过点G作GP∥AB, ∵AB∥CD, ∴GP∥AB∥CD ∴∠ABG=∠BGP,∠PGD=∠CDG, ∴∠BGD=∠BGP+∠PGD=∠ABG+∠CDG=; (3)如图,过点F、G分别作FN∥AB、GM∥AB, ∵AB∥CD, ∴AB∥GM∥FN∥CD, ∴∠3=∠BFN,∠5=∠DFN,∠4=∠BGM,∠6=∠DGM, ∴∠BFD=∠BFN+∠DFN=∠3+∠5, ∠BGD=∠BGM+∠DGM=∠4+∠6, ∵BG平分∠FBP,DG平分∠FDQ, ∴∠4=∠FBP=(180°﹣∠3), ∠6=∠FDQ=(180°﹣∠5), ∴∠BFD+∠BGD=∠3+∠5+∠4+∠6, =∠3+∠5+(180°﹣∠3)+(180°﹣∠5), =180°+(∠3+∠5), =180°+∠BFD, 整理得:2∠BGD+∠BFD=360°. 【点睛】 本题主要考查了平行线的性质与判定,角平分线的性质和三角形内角和定理,解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 15.(1)60°;(2)15°;(3)30°或15° 【分析】 (1)利用两直线平行,同旁内角互补,得出,即可得出结论; (2)先利用三角形的内角和定理求出,即可得出结论; (3)分和两种情况求解即可得 解析:(1)60°;(2)15°;(3)30°或15° 【分析】 (1)利用两直线平行,同旁内角互补,得出,即可得出结论; (2)先利用三角形的内角和定理求出,即可得出结论; (3)分和两种情况求解即可得出结论. 【详解】 解:(1), , , , , ; (2)由(1)知,, , , , ; (3)当时,如图3, 由(1)知,, ; 当时,如图4, , 点,重合, , , 由(1)知,, , 即当以、、为顶点的三角形是直角三角形时,度数为或. 【点睛】 此题是三角形综合题,主要考查了平行线的性质,三角形的内角和定理,角的和差的计算,求出是解本题的关键.- 配套讲稿:
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