小阻尼时变双项位势Duffing型方程的调和解_魏亚男.pdf

第 卷第期 年月中 国 海 洋 大 学 学 报 （）：，小阻尼时变双项位势 型方程的调和解*魏亚男（中国海洋大学数学科学学院，山东 青岛 ）摘要：本文利用弯曲扭转拓扑映射的不动点定理，证明了如下结果：若（），（）是连续的周期函数，则小阻尼 型方程 （）（）（）（）至少存在四个调和解。关键词：小阻尼；双项位势；型方程；周期解；弯曲扭转定理中图法分类号：文献标志码：文章编号：（）：引用格式：魏亚男 小阻尼时变双项位势 型方程的调和解 中国海洋大学学报（自然科学版），（）：，（）：*基金项目：国家自然科学基金项目（）资助 （）收稿日期：；修订日期：作者简介：魏亚男（），女，硕士生，研究方向为常微分方程与动力系统。：著名的 定理和它的推广形式是研究平面保守系统周期解问题的有力工具。但是，平面耗散系统对应的 映射一般不满足保面积条件，因此，定理通常不能用来研究其周期解问题。针对这种情况，丁同仁建立了不需要保面积条件，代之以某种弯曲条件的新的解析扭转映射不动点定理，并利用它证明了耗散 方程 （）（）至少有两个不同的阶次调和解，条件是只要和充分小。马如云等 利用集连通理论，给出了非保面积的扭转映射至少有两个不动点的一个新定理。和 通过拓扑方法推广了丁同仁的扭转弯曲定理，并得到了一些新的带有弯曲条件的不动点定理。作为应用，作者证明了如下结果：当充分小，（）为非负的周期函数时，方程 （）（）至少有四个初值在一星形环域中的次调和解。本文的目的是拓展弯曲扭转映射定理的应用范围，利用文献 的一个抽象结论，即下文中的引理，来研究双项位势 方程 （）（）（）（）（）的周期解问题，其中（），（）是连续的周期函数。准备假设，：是周期连续函数。对于以为周期的周期函数（），记其平均值?（），偏差?（）（）?，以及范数（）。始终假设?，?，：满足局部 条件，其中（，）（）是一个开区间。引入假设条件：（）（），（），且存在常数使得（），（），。（）存在常数，满足?（）?（），?（），?（），?（）?（），（，）。（）存在常数，满足?（）?（），?（），?（），?（）?（），（，）。当时，方程（）化为（）（）（）（）。（）方程（）可写成?（）?（）?（）（）?（）（），（）其等价系统为，?（）?（）?（）（）?（）（）。（）期魏亚男：小阻尼时变双项位势 型方程的调和解考虑辅助方程?（）?（）（）及其等价系统，?（）?（）。（）我们将系统（）看作是系统（）的扰动系统。令（）（，）表示系统（）满足初值条件（）的解。计算得系统（）的首次积分为（，）?（）?（），（）其中，（）（），（）（），是常数。由文献（页）可知：若条件（）成立，则存在常数使得，当时，系统（）的轨道（，）（，）是闭曲线，且是关于原点的星形线。令（）表示的最小正周期，则（）是关于的连续函数（参见 ）。引入假设：（）存在常数，：使得，对于任意常数，有，并且介于（）和（）之间。令（，）：（，），则是平面上的一个环域，其内外边界分别为和。令表示所有极角为的点的集合，则与有且只有一个交点。因此，可以引入一个与极坐标投影映射等价的覆盖映射：，使得（，）（，），（，），式中：是通常意义下的极角，（，）。现在我们可以叙述本文的主要结果。定理假设条件（），（）成立，且条件（）或（）成 立，则 存 在 充 分 小 的 正 常 数，使 得 当?，?，时，公式（）至少有个初值在中的周期解。进一步，该结论对带阻尼的公式（）也成立，只要充分小。将条件（），（）做一些弱化。假设存在正常数?，?使得（）（）?，（）（）?满足以下两个条件之一：（）存在常数，满足（）（），（），（），（）（），（，）；（）存在常数，满足（）（），（），（），（）（），（，）。我们可以得到稍微宽泛的结果。定理假设条件（），（）成立，且存在正常数?，?，使得条件（）或（）成立，则存在充分小的正常数，使得当 ，时，公式（）至少有个初值在中的周期解。进一步，该结论对带阻尼的公式（）也成立，只要充分小。注因为条件（）或（）（）或（）不排除（）和（）在一个周期内变号，因此上述两定理适用范围比文献 中的相应结论更广泛。我们将在本文最后举例说明这一点。主要结果的证明设是一个拓扑环，：是一个连续映射，记和分别是的内外边界，所围的区域分别是D，D，且原点D。令：（，）（，）为标准覆盖映射，则由覆盖投射理论 可知，存在一个连续的提升映射?：（，）（，），（，），满足?，其中（，），（，）是定义在（）上的连续函数，且关于是 周期的。下面的引理来自文献 中的推论，它是我们证明主要定理的基本工具。引理假设（）的提升映射?，满足扭转条件：（，）（），（，），（，）（），（，），式中是给定的整数。（）中存在个连接和且互不相交的曲线，分别用，进行标记，满足（），；（），。式中（）（，）。则映射在的内部 至少有个不同的不动点。注由文献 中的论述可知，我们可以将表示为（）（）（）。下面我们进行定理的证明。证明我们不妨假设（）（）。由于（）连续，因此系统（）至少有一个周期解（）（），（），满足（），（）?，（?）。令?，?（，）（，），（，）表示系统（）满足初值条件?，?（，）的解。由于（），（）为连续周期函数，则存在常数，使得（），（）。再结合文献 中定理可知，在条件（）成立的情况下，系统（）的解?，?（，）在整个轴上存在。因此，可以将系统（）的 映中国海洋大学学报 年射?，?：定义为?，?（）?，?（，），其中，（，）：（，）。因?，?（），由解的存在唯一性可知?，?（，），。定义函数（，）满足?，?（，）?，?（，）（，），（，）。令?，?表示?，?的提升映射，设?，?（，）（?，?（，），），式中：是通常的极角；（，）。对于（，），有?，?（），（）?，?（，）?（，）?（，）?（）（，）?（）（，）（，）（，）?，?（，）。（）显然，在拓扑下映射?，?关于?，?是连续的，且，（，），（，）?。（）由于系统（）从出发的解绕原点顺时针旋转，且（）（），故，（，），（，），（，），（，）。（）因此，结 合 公 式（）可 得，存 在 常 数，使 得 当?，?时，有?，?（，），（，），?，?（，），（，）。（）即?，?满足扭转条件。下面证明中存在条连接和的曲线，且满足引理中的条件（）。假设条件（）成立（条件（）成立时可类似证明）。令?，?（）（?，?（）（），。根据（，）的定义，可以得到（?，?（，）（，），（，）（，）（，）?（，）（，）?（，）（，）（，）?（，）?（，）?（）（，）?（）（，）?（，）（，）?（，）（，）（，）?（）（，）?（）（，）。（）由条件（），（）可知，对任意（，），有（?，?（，），?，?（，）D，（?，?（，），?，?（，）D，（）式中：D（，）：，D（，）：。令（，），表示和的交线，则在第象限。如图所示，取?，由于（?），则当充分小时，（，）（，）位于第象限。由条件（）可知，（），（）与充分接近，从而由曲线的紧性可知，当充分小时，对于任意，有（，）（，）在第象限。因此，当?，?，充分小时，对于任意，?，?（，）（，）也位于第象限。再结合公式（），可知（?，?（，）在（，）上单调递减，因此，对于任意有（?，?（）（?，?（，）（?，?（，）。图公式（）的周期轨迹 （）由条件（）可知，对于，系统（）和（）的解重合，从而?，?（，）（，）。因此，对于任意有（?，?（，）（，）（），从而（?，?（）（），。（）利用类似的方法，我们还可以得到（?，?（）（），（?，?（）（），（?，?（）（），即?，?（），?，?（），。（）因此，由 引 理 可 知，存 在 常 数 使 得 当?，?，时，?，?在中至少有个不动点。于是公式（）至少有个初值点在中的周期魏亚男：小阻尼时变双项位势 型方程的调和解期解。此外，对于公式（），当充分小时，可以得到相同的结论。事实上，利用类似于?，?（，）和?，?（）的定义方法，我们可以定义?，?（，）和?，?（，），满足?，?（，）?，?（，），?，?（，）?，?（）。由?，?（，）和?，?（，）的连续性可得，当且充分小时，有?，?（，），（，），?，?（，），（，），且?，?（，），?，?（，），。因此公式（）也至少有个初值在中的周期解。定理证毕。注定理的证明类似于定理，只需要将证明过程中的?，?分别换成?，?即可。案例分析下面举例说明定理的有效性。例考虑方程 （）（）（）（），（）式中：是正整数；（），（）是 周期函数，且（），（）在，）上的定义如下：（），（）（）（）（）（），（，），（），（）（）（），（，（）（），（，），取，?。显然，（）（）?（），（）（）?（），。从而，条件（）成立。计算可得（）?（?（）?（）（）（）（）（）（）。?（）?（?（）?（）?（）（）（）（）（）（）（）（）（）。因此，?。，（，）定义如下：（）（），（），（）为奇函数，且（）（），（，），（）（），（，）。则（）（）（），（，），（）（）（），（，）。从而，（），（）在（，）上有界。因此，（），（）满足局部 条件。且 容 易 验证（），（）满足条件（）。当（，）时，方程?（）?（）的首次积分为（，）（），其中，（）（）。令（）（），设（）满足（），则有（）（）（）（）中国海洋大学学报 年 （）（）（）。（）下面证明（）满足条件。由于（）?（）?（），结合条件（）可知，当（，）时，（），即（）在（，）上递增。令（），（）。由于 ，则（）。根据公式（）可得（）（）（）（），（）（）（）（）。因此，由函数（）的连续性可知，存在正常数，满足对于任意常数，有，且（）介于（）与（）之间。从而条件（）成立。因?，?，故由定理可知，存在，当时，公式（）至少有个 周期解。参考文献：，（）：，（）：，（）：（，），（）：?，（）：，（）：，（）：丁同仁 扭转弯曲定理和它的一个应用 数学进展，（）：，（）：，马如云，伏升茂，李战存 扭转映射的一个不动点定理 数学研究与评论，（）：，（）：，：?，（）：张芷芬，丁同仁，黄文灶微分方程定性理论北京：科学出版社，：，（，）：，（）（）（）（），（）（）：；：责任编辑朱宝象