开题报告-.doc

本科生毕业论文（设计）开题报告
姓名

性别
女
学号

院（系）
数学学院
专业
数学与应用数学
年级
10级
论文题目
微积分中不等式证明的方法研究
□教师推荐题目□自拟题目
题目来源
教育教学
题目类别
应用研究
指导教师

选题的目的、意义(理论意义、现实意义):
选题目的：不等式的证明在高等数学的学习中，其内容比较广泛，综合性较强，证法灵活性较大，难度较高，在证明不等式的过程中，往往要综合应用数学各方面知识和多种数学思维方法，其在发展数学思维和培养逻辑思维能力方面发挥着重要的作用，探讨其不同的证法，从而开阔思路，提高整体能力。
理论意义：根据数学思想，利用数学分析的知识理解不等式的常规证明方法，注意与其他知识的联系及综合应用，不断总结证明不等式的规律、技巧，从而找到证明不等式的有效途径，并且对其作出总结归纳。
现实意义：数学分析中的不等式涉及到函数之间或数量之间的比较，在数学分析中占有比较重的位置，并有不少应用。通过对不等式进行研究，估计函数或变量之间的变化状态和变化趋势，使问题化难为易，化繁到简；同时对某些不等式进行深入研究，期望通过分析研究给出微积分中某些不等式问题证明的新的思路和解决方法。

选题的研究现状（理论渊源及演化、国外相关研究综述、国内相关研究综述）：
理论渊源及演化：1934年出版的哈代的《不等式》把不等式领域从孤立公式的汇集改造为系统的学科。1961年出版的贝肯巴赫、别尔曼的著名《不等式》反映了1934年至1960年不等式的研究成果。标志着不等式的方法和论题范围的扩大。1970年出版的密特利诺维奇的《解析不等式》则进一步扩大了不等式的论题，其中第三部分收集的459个特殊不等式时不等式课题很有研究价值的源泉，而且很多不等式可作为更一般性理论的出发点。
国内外相关研究综述：20世纪80年代以来在中国大地上出现了持续高涨的不等式研究热潮。研究成果之丰富，研究成果水平之高，研究队伍的迅速壮大，都是前所未有的。1994年成立了“中国不等式研究小组”。目前国内外对不等式证明的方法也取得了重大的研究成果。

论文(设计)主要内容（提纲）：
引言
1 用等价变换法证明不等式
1.1 利用配方法证明不等式
1.2 利用数形结合法证明不等式
1.3 利用分析法证明不等式
1.4 利用比较法证明不等式
1.5 利用变量代换法证明不等式
2 用非等价变换法证明不等式
2.1 利用放缩法证明不等式
2.2 利用数学归纳法证明不等式
2.3 利用极限证明不等式
2.3.1 极限的保号性
2.3.2 上、下极限的概念
2.4 利用导数定义证明不等式
2.5 利用函数的单调性证明不等式
2.6 利用微分中值定理证明不等式
2.6.1 拉格朗日中值定理
2.6.2 泰勒公式
2.7 利用函数图形的凹凸性证明不等式
2.8 利用函数的嘴直与极值证明不等式
2.8.1 函数的最值证明不等式
2.8.2 函数的极值证明不等式
2.9 利用“积分过度法”证明不等式
2.10 利用基本不等式证明不等式
结束语
参考文献
致谢

拟研究的主要问题、重点和难点:
主要问题：对微积分中不等式证明的方法进行归纳总结。
重点：不等式证明的方法研究
难点：在证明不等式时，通过观察不等式的特征，找到恰当的证明方法，必要时还需要构造辅助函数进行证明。

研究目标：
通过阅读大量的参考资料，归纳总结出微积分中不等式证明的方法，理解并掌握不等式的证明方法及在证明时如何恰当选择证明方法。

研究方法、技术路线、实验方案、可行性分析：
研究方法：首先，通过查找、收集、整理资料认真仔细地阅读相关参考文献，其次，借助所学数学知识和理论，尤其是数学分析里面的微积分理论。然后，将其相关理论及性质运用到不等式的证明当中，最后，归纳总结出不同特征的不等式适用的证明方法。
技术路线：收集资料→阅读相关资料→确定研究方向→拟定写作提纲→填写开题报告→论文撰写→定稿

研究的特色与创新之处：
研究特色：通过系统的归纳总结，将不等式的证明方法分为等价变换与非等价变换两大类进行总结分析各个方法适用的范围以及各种方法适用的不等式类型。
创新之处：通过观察不等式的特征，巧妙地运用几个基本不等式来实现对基本不等式的证明。

进度安排及预期结果：
第一阶段：2013年11月，收集相关资料查阅相关文献，确定研究方向；
第二阶段：2013年10—11月，整理相关资料并拟定论文提纲；
第三阶段：3013年11月底，填写开题报告；
第四阶段：2013年12—2014年1月，完成毕业论文初稿；
第五阶段：2014年2—4月，完成毕业论文第二稿、第三稿；
第六阶段：2014年5月中旬，完成毕业论文的修改并定稿；
第七阶段：2014年5月下旬，填写毕业论文成绩评定等相关表格，完成答辩工作。

参考文献：
[1] 费定晖.高等代数的方法与例题[M].江西：江西科学技术出版社，1992,3.
[2] 李长明，周焕山.初等数学研究[M].北京：高等教育出版社，1995,6.
[3] 杨学技.数学奥林匹克不等式研究[M].黑龙江：哈尔滨工业大学出版社，2009,8.
[4] 刘玉琏，傅沛仁，林玎，苑德馨，刘宁.数学分析讲义（第五版）上册[M]. 北京：高等教育出版社，2008,5.
[5] 华东师范大学系.数学分析（第三版）上册[M]. 北京：高等教育出版社,2001,6.
[6] 钱吉林.数学分析解题精粹（第三版）[M]. 武汉：崇文书局湖北长江出版集团，2009,11.
[7] 指导委员会本科组.高等数学释疑解难[M].河北：高等教育出版社，1995,5.
[8] 复旦大学数学系.数学分析（第三版）上册[M]. 北京：高等教育出版社,2007,4.
[9] 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法（第五版）[M]. 北京：高等教育出版社,2006,4.
[10] 郭晓时.高等数学思想方法与解题研究[M].天津：天津大学出版社，2006,9.
[11] 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数（第3版）[M]. 北京：高等教育出版社,2003,7.
[12] 陈文灯，黄开先.考研数学轻巧手册[M].北京：世界图书出版公司北京公司，2008,2.
[13] 木振武，杨兰军.《标准》意义下的初等数学研究[M].昆明：云南人民出版社，2009,8.

指导教师意见：

指导教师签名：

年 月 日
答辩小组意见：

组长签名：

年 月 日

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