2019年全国中考数学真题分类汇编：一元二次方程和应用(含答案).doc

2019年全国中考数学真题分类汇编：一元二次方程及应用
一、选择题
1.（2019年山东省滨州市）用配方法解一元二次方程x2﹣4x+1＝0时，下列变形正确的是（　　）
A．（x﹣2）2＝1 B．（x﹣2）2＝5 C．（x+2）2＝3 D．（x﹣2）2＝3
【考点】解一元二次方程
【解答】解：x2﹣4x+1＝0，
x2﹣4x＝﹣1，
x2﹣4x+4＝﹣1+4，
（x﹣2）2＝3，
故选：D．
2. （2019年四川省达州市）某公司今年4月的营业额为2500万元，按计划第二季度的总营业额要达到9100万元，设该公司5、6两月的营业额的月平均增长率为x．根据题意列方程，则下列方程正确的是（　　）
A．2500（1+x）2＝9100
B．2500（1+x%）2＝9100
C．2500（1+x）+2500（1+x）2＝9100
D．2500+2500（1+x）+2500（1+x）2＝9100
【考点】一元二次方程的应用
【解答】解：设该公司5、6两月的营业额的月平均增长率为x．根据题意列方程得：
2500+2500（1+x）+2500（1+x）2＝9100．
故选：D．
3. （2019年广西贵港市）若α，β是关于x的一元二次方程x2-2x+m=0的两实根，且1α+1β=-23，则m等于（　　）
A. -2 B. -3 C. 2 D. 3
【考点】一元二次方程根与系数的关系
【解答】解：α，β是关于x的一元二次方程x2-2x+m=0的两实根，
∴α+β=2，αβ=m，
∵+===-，
∴m=-3；
故选：B．
4. （2019年江苏省泰州市）方程2x2+6x－1=0的两根为x1、x2，则x1+x2等于（　　）
A．－6 B．6 C．－3 D． 3
【考点】一元二次方程根与系数的关系
【解答】试题分析：∵一元二次方程2x2+6x－1=0的两个实根分别为x1，x2，由两根之和可得;
∴x1+x2=﹣=3，
故答案为：C．
5. （2019年河南省）一元二次方程（x+1）（x﹣1）＝2x+3的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【考点】一元二次方程根的判别式
【解答】解：原方程可化为：x2﹣2x﹣4＝0，
∴a＝1，b＝﹣2，c＝﹣4，
∴△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣4）＝20＞0，
∴方程由两个不相等的实数根．
故选：A．
6. （2019年甘肃省天水市）中国“一带一路”给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿
线某地区居民2016年人均年收入20000元，到2018年人均年收入达到39200元．则该地区
居民年人均收入平均增长率为　 　．（用百分数表示）
【考点】一元二次方程的应用
【解答】解：设该地区居民年人均收入平均增长率为x，
20000（1+x）2＝39200，
解得，x1＝0.4，x2＝﹣2.4（舍去），
∴该地区居民年人均收入平均增长率为40%，
故答案为：40%．
7. （2019年甘肃省）若一元二次方程x2﹣2kx+k2＝0的一根为x＝﹣1，则k的值为（　　）
A．﹣1 B．0 C．1或﹣1 D．2或0
【考点】一元二次方程的解
【解答】解：把x＝﹣1代入方程得：1+2k+k2＝0，
解得：k＝﹣1，
故选：A．
8. （2019年湖北省鄂州市）关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的两实数根分别为x1、x2，且x1+3x2＝5，则m的值为（　　）
A． B． C． D．0
【考点】一元二次方程根与系数的关系
【解答】解：∵x1+x2＝4，
∴x1+3x2＝x1+x2+2x2＝4+2x2＝5，
∴x2＝，
把x2＝代入x2﹣4x+m＝0得：（）2﹣4×+m＝0，
解得：m＝，
故选：A．
9. （2019年湖北省荆州市）若一次函数y＝kx+b的图象不经过第二象限，则关于x的方程x2+kx+b＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
【考点】一元二次方程根的判别式
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象不经过第二象限，
∴k＞0，b≤0，
∴△＝k2﹣4b＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
10. （2019年黑龙江省伊春市）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【考点】一元二次方程的应用
【解答】解：设这种植物每个支干长出x个小分支，
依题意，得：1+x+x2＝43，
解得：x1＝﹣7（舍去），x2＝6．
故选：C．
11. （2019年内蒙古包头市）已知等腰三角形的三边长分别为a、b、4，且a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，则m的值是（　　）
A．34 B．30 C．30或34 D．30或36
【考点】一元二次方程根与系数的关系
【解答】解：当a＝4时，b＜8，
∵a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，
∴4+b＝12，
∴b＝8不符合；
当b＝4时，a＜8，
∵a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，
∴4+a＝12，
∴a＝8不符合；
当a＝b时，
∵a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，
∴12＝2a＝2b，
∴a＝b＝6，
∴m+2＝36，
∴m＝34；
故选：A．
12. （2019年内蒙古赤峰市）某品牌手机三月份销售400万部，四月份、五月份销售量连续增长，五月份销售量达到900万部，求月平均增长率．设月平均增长率为x，根据题意列方程为（　　）
A．400（1+x2）＝900 B．400（1+2x）＝900
C．900（1﹣x）2＝400 D．400（1+x）2＝900
【考点】一元二次方程的应用
【解答】解：设月平均增长率为x，
根据题意得：400（1+x）2＝900．
故选：D．
13. （2019年内蒙古呼和浩特市）若x1，x2是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则x22﹣4x12+17的值为（　　）
A．﹣2 B．6 C．﹣4 D．4
【考点】一元二次方程的根与系数的关系
【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝﹣1，x1•x2＝﹣3，x12+x1＝3，
∴x22﹣4x12+17＝x12+x22﹣5x12+17＝（x1+x2）2﹣2x1x2﹣5x12+17＝（﹣1）2﹣2×（﹣3）﹣5x12+17＝24﹣5x22＝24﹣5（﹣1﹣x1）2＝24﹣5（x12+x1+1）＝24﹣5（3+1）＝4，
故选：D．
14. （2019年内蒙古通辽市）一个菱形的边长是方程x2﹣8x+15＝0的一个根，其中一条对角线长为8，则该菱形的面积为（　　）
A．48 B．24 C．24或40 D．48或80
【考点】一元二次方程的应用
【解答】解：（x﹣5）（x﹣3）＝0，
所以x1＝5，x2＝3，
∵菱形一条对角线长为8，
∴菱形的边长为5，
∴菱形的另一条对角线为2＝6，
∴菱形的面积＝×6×8＝24．
故选：B．
15. （2019年新疆）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+x+1＝0有两个实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k≤ B．k＞ C．k＜且k≠1 D．k≤且k≠1
【考点】一元二次方程根的判别式
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+x+1＝0有两个实数根，
∴，
解得：k≤且k≠1．
故选：D．
16.（2019年新疆）在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场．设有x个队参赛，根据题意，可列方程为（　　）
A．x（x﹣1）＝36 B．x（x+1）＝36
C．x（x﹣1）＝36 D．x（x+1）＝36
【考点】一元二次方程的应用
【解答】解：设有x个队参赛，根据题意，可列方程为：
x（x﹣1）＝36，
故选：A．
二、填空题
1.（2019年上海市）如果关于x的方程x2﹣x+m＝0没有实数根，那么实数m的取值范围是　　．
【考点】一元二次方程根的判别式
【解答】解：由题意知△＝1﹣4m＜0，
∴m＞14．故填空答案：m＞14．
2. （2019年山东省济宁市）已知x＝1是方程x2+bx﹣2＝0的一个根，则方程的另一个根是　　．
【考点】一元二次方程的根与系数的关系
【解答】解：∵x＝1是方程x2+bx﹣2＝0的一个根，
∴x1x2＝＝﹣2，
∴1×x2＝﹣2，
则方程的另一个根是：﹣2，
故答案为﹣2．
3. （2019年山东省青岛市）若关于x的一元二次方程2x2﹣x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为 　．
【考点】一元二次方程根的判别式
【解答】解：根据题意得：
△＝1﹣4×2m＝0，
整理得：1﹣8m＝0，
解得：m＝，
故答案为：．
4. （2019年山东省枣庄市）已知关于x的方程ax2+2x﹣3＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 　．
【考点】一元二次方程根的判别式
【解答】解：由关于x的方程ax2+2x﹣3＝0有两个不相等的实数根
得△＝b2﹣4ac＝4+4×3a＞0，
解得a＞
则a＞且a≠0
故答案为a＞且a≠0
5. （2019年四川省资阳市）a是方程2x2＝x+4的一个根，则代数式4a2﹣2a的值是　　．
【考点】一元二次方程的解
【解答】解：∵a是方程2x2＝x+4的一个根，
∴2a2﹣a＝4，
∴4a2﹣2a＝2（2a2﹣a）＝2×4＝8．
故答案为：8．
6. （2019年江苏省泰州市）若关于x的方程x2+2x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是　 　．
【考点】一元二次方程根的判别式
【解答】∵关于x的方程x2+2x+m＝0有两个不相等的实数根，
∴△＝4﹣4m＞0
解得：m＜1，
∴m的取值范围是m＜1.
故答案为：m＜1.
7. （2019年江苏省扬州市）一元二次方程的根为___.
【考点】一元二次方程的解法
【解答】解：
x1=1， x2=2
8. （2019年湖北省十堰市）对于实数a，b，定义运算“◎”如下：a◎b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2．若（m+2）◎（m﹣3）＝24，则m＝　 　．
【考点】一元二次方程的解法
【解答】解：根据题意得[（m+2）+（m﹣3）]2﹣[（m+2）﹣（m﹣3）]2＝24，
（2m﹣1）2﹣49＝0，
（2m﹣1+7）（2m﹣1﹣7）＝0，
2m﹣1+7＝0或2m﹣1﹣7＝0，
所以m1＝﹣3，m2＝4．
故答案为﹣3或4．
9. （2019年甘肃省武威市）关于x的一元二次方程x2+x+1＝0有两个相等的实数根，则m的取值为　 　．
【考点】一元二次方程根的判别式
【解答】解：由题意，△＝b2﹣4ac＝（）2﹣4＝0
得m＝4
故答案为4
10. （2019年辽宁省本溪市）如果关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0有实数根，那么k的取值范围是　 　．
【考点】一元二次方程根的判别式
【解答】解：根据题意得：△＝16﹣4k≥0，
解得：k≤4．
故答案为：k≤4．
11. （2019年西藏）一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的根是　 　．
【考点】一元二次方程的解法
【解答】解：△＝（﹣1）2﹣4×（﹣1）＝5，
x＝，
所以x1＝，x2＝．
故答案为x1＝，x2＝．
三、解答题
1.（2019年安徽省）解方程
【考点】一元二次方程的解法
【解答】利用直接开平方法：x-1=2或x-1=-2
∴x1=3，x2=-1
2.（2019年北京市）关于x的方程有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．
【考点】一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解法
【解答】∵有实数根，∴△≥0，即，∴
∵m为正整数，∴，故此时二次方程为即
∴，∴，此时方程的根为
3.（2019年乐山市）已知关于的一元二次方程.
（1）求证：无论为任何实数，此方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个实数根为、，满足，求的值；
（3）若△的斜边为5，另外两条边的长恰好是方程的两个根、，求的内切圆半径.
【考点】一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解法、一元二次方程根与系数关系、内切圆
【解答】（1）证明：
，
无论为任何实数时，此方程总有两个实数根.
（2）由题意得：，，
，，即，
解得：；
（3）解方程得：，，
根据题意得：，即，
设直角三角形的内切圆半径为，如图，
由切线长定理可得：，
直角三角形的内切圆半径=；
4.（2019年重庆市）某文明小区50平方米和80平方米两种户型的住宅，50平方米住宅套数是80平方米住宅套数的2倍．物管公司月底按每平方米2元收取当月物管费，该小区全部住宅都人住且每户均按时全额缴纳物管费．
（1）该小区每月可收取物管费90000元，问该小区共有多少套80平方米的住宅？
（2）为建设“资源节约型社会”，该小区物管公司5月初推出活动一：“垃圾分类送礼物”，50平方米和80平方米的住户分别有40%和20%参加了此次括动．为提离大家的积扱性，6月份准备把活动一升级为活动二：“拉圾分类抵扣物管费”，同时终止活动一．经调査与测算，参加活动一的住户会全部参加活动二，参加活动二的住户会大幅增加，这样，6月份参加活动的50平方米的总户数在5月份参加活动的同户型户数的基础上将增加2a%，每户物管费将会减少a%；6月份参加活动的80平方米的总户数在5月份参加活动的同户型户数的基础上将增加6a%，每户物管费将会减少a%．这样，参加活动的这部分住户6月份总共缴纳的物管费比他们按原方式共缴纳的物管费将减少a%，求a的值．
【考点】一元一次方程的应用与解法、一元二次方程的应用与解法
【解答】（1）解：设该小区有x套80平方米住宅，则50平方米住宅有2x套，由题意得：
2（50×2x+80x）＝90000，
解得 x＝250
答：该小区共有250套80平方米的住宅．
（2）参与活动一：
50平方米住宅每户所交物管费为100元，有500×40%＝200户参与活动一，
80平方米住宅每户所交物管费为160元，有250×20%＝50户参与活动一；
参与活动二：
50平方米住宅每户所交物管费为100（1﹣%）元，有200（1+2a%）户参与活动二；
80平方米住宅每户所交物管费为160（1﹣%）元，有50（1+6a%）户参与活动二．
由题意得100（1﹣%）•200（1+2a%）+160（1﹣%）•50（1+6a%）＝[200（1+2a%）×100+50（1+6a%）×160]（1﹣a%）
令t＝a%，化简得t（2t﹣1）＝0
∴t1＝0（舍），t2＝，
∴a＝50．
答：a的值为50．
5. （2019年山东省德州市）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同．
（1）求进馆人次的月平均增长率；
（2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由．
【考点】一元二次方程的应用与解法
【解答】解：（1）设进馆人次的月平均增长率为x，则由题意得：
128+128（1+x）+128（1+x）2=608
化简得：4x2+12x-7=0
∴（2x-1）（2x+7）=0，
∴x=0.5=50%或x=-3.5（舍）
答：进馆人次的月平均增长率为50%．
（2）∵进馆人次的月平均增长率为50%，
∴第四个月的进馆人次为：128（1+50%）3=128×278=432＜500
答：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次．
6. （2019年四川省攀枝花市）攀枝花得天独厚，气候宜人，农产品资源极为丰富，其中晚
熟芒果远销北上广等大城市。某水果店购进一批优质晚熟芒果，进价为10元/千克，售价不
低于15元/千克，且不超过40元/每千克，根据销售情况，发现该芒果在一天内的销售量
（千克）与该天的售价（元/千克）之间的数量满足如下表所示的一次函数关系。
销售量（千克）
…
32.5
35
35.5
38
…
售价（元/千克）
…
27.5
25
24.5
22
…
（1）某天这种芒果售价为28元/千克。求当天该芒果的销售量
（2）设某天销售这种芒果获利元，写出与售价之间的函数关系式。如果水果店该天
获利400元，那么这天芒果的售价为多少元？
【考点】一次函数、二次函数、一元二次方程的解法
【解答】解：（1）设该一次函数解析式为
则
解得：
∴（）
∴当时，
∴芒果售价为28元/千克时，当天该芒果的销售量为32千克
（2）由题易知

当时，则
整理得： 解得：，
∵ ∴
所以这天芒果的售价为20元
7. （2019年广西贵港市）为了满足师生的阅读需求，某校图书馆的藏书从2016年底到2018年底两年内由5万册增加到7.2万册．
（1）求这两年藏书的年均增长率；
（2）经统计知：中外古典名著的册数在2016年底仅占当时藏书总量的5.6%，在这两年新增加的图书中，中外古典名著所占的百分率恰好等于这两年藏书的年均增长率，那么到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分之几？
【考点】一元二次方程的应用与解法
【解答】解：（1）设这两年藏书的年均增长率是x，
5（1+x）2=7.2，
解得，x1=0.2，x2=-2.2（舍去），
答：这两年藏书的年均增长率是20%；
（2）在这两年新增加的图书中，中外古典名著有（7.2-5）×20%=0.44（万册），
到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分比是：5×5.6%+0.447.2×100%=10%，
答：到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的10%．
8. （2019年广西贺州市）2016年，某贫困户的家庭年人均纯收入为2500元，通过政府产业扶持，发展了养殖业后，到2018年，家庭年人均纯收入达到了3600元．
（1）求该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率；
（2）若年平均增长率保持不变，2019年该贫困户的家庭年人均纯收入是否能达到4200元？
【考点】一元二次方程的应用与解法
【解答】解：（1）设该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率为x，
依题意，得：2500（1+x）2＝3600，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）．
答：该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率为20%．
（2）3600×（1+20%）＝4320（元），
4320＞4200．
答：2019年该贫困户的家庭年人均纯收入能达到4200元．
9.（2019年江苏省泰州市）3

5
X(kg)
y(元/kg)
100
300
A
B
小李经营一家水果店，某日到水果批发市场批发一种水果.经了解,一次性批发这种水果不得少于100kg，超过300kg时，所有这种水果的批发单价均为3元/kg.图中折线表示批发单价y（元/kg）与质量x（kg）的函数关系.
（1）求图中线段AB所在直线的函数表达式；
（2）小李用800元一次可以批发这种水果的质量是多少？
【考点】一次函数的性质、一元二次方程的应用
【解答】（1）依题意：设线段A B所在直线的函数表达式为：y=kx+b,
将点A( 100,5 ) ,B(300,3)代入得：
；解得：.
∴y=﹣0.01x+6 (100≤x≤300).
答：线段AB所在直线的函数表达式为y=﹣0.01x+6 (100≤x≤300).
（2）依题意有：（﹣0.01x+6）·x=800，
求得：x1＝200，x2＝400（舍），
答：小李用800元一次可以批发这种水果的质量200 kg.
10.（2019年湖北省十堰市）已知于x的元二次方程x2﹣6x+2a+5＝0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）求a的取值范围；
（2）若x12+x22﹣x1x2≤30，且a为整数，求a的值．
【考点】一元二次方程的根与系数的关系及根的判别式
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+2a+5＝0有两个不相等的实数根x1，x2，
∴△＞0，即（﹣6）2﹣4（2a+5）＞0，
解得a＜2；
（2）由根与系数的关系知：x1+x2＝6，x1x2＝2a+5，
∵x1，x2满足x12+x22﹣x1x2≤30，
∴（x1+x2）2﹣3x1x2≤30，
∴36﹣3（2a+5）≤30，
∴a≥﹣，∵a为整数，
∴a的值为﹣1，0，1．
11.（2019年湖南省衡阳市）关于x的一元二次方程有实数根.
（1） 求实数k的取值范围；
（2） 如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时m的值.
【考点】一元二次方程根的判别式
【解答】解.(1)由一元二次方程有实根，则判别式
(2)k的最大整数为2，所以方程的根为1和2.
由方程与一元二次方程有一个相同根，则
即或，即；当时，
不合题意，故
12. （2019年甘肃省）在甲乙两个不透明的口袋中，分别有大小、材质完全相同的小球，其中甲口袋中的小球上分别标有数字1，2，3，4，乙口袋中的小球上分别标有数字2，3，4，先从甲袋中任意摸出一个小球，记下数字为m，再从乙袋中摸出一个小球，记下数字为n．
（1）请用列表或画树状图的方法表示出所有（m，n）可能的结果；
（2）若m，n都是方程x2﹣5x+6＝0的解时，则小明获胜；若m，n都不是方程x2﹣5x+6＝0的解时，则小利获胜，问他们两人谁获胜的概率大？
【考点】列表法与树状图法、一元二次方程的解法以及概率公式
【解答】解：（1）树状图如图所示：
（2）∵m，n都是方程x2﹣5x+6＝0的解，
∴m＝2，n＝3，或m＝3，n＝2，
由树状图得：共有12个等可能的结果，m，n都是方程x2﹣5x+6＝0的解的结果有2个，
m，n都不是方程x2﹣5x+6＝0的解的结果有2个，
小明获胜的概率为212=16，小利获胜的概率为212=16，
∴小明、小利获胜的概率一样大．

13. （2019年湖北省鄂州市）已知关于x的方程x2﹣2x+2k﹣1＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）设方程的两根分别是x1、x2，且+＝x1•x2，试求k的值．
【考点】一元二次方程根的判别式、根与系数关系
【解答】（1）解：∵原方程有实数根，
∴b2﹣4ac≥0∴（﹣2）2﹣4（2k﹣1）≥0
∴k≤1
（2）∵x1，x2是方程的两根，根据一元二次方程根与系数的关系，得：
x1+x2 ＝2，x1 •x2 ＝2k﹣1
又∵+＝x1•x2，
∴
∴（x1+x2）2﹣2x1 x2 ＝（x1 •x2）2
∴22﹣2（2k﹣1）＝（2k﹣1）2
解之，得：．经检验，都符合原分式方程的根
∵k≤1
∴．
14. （2019年湖北省随州市）已知关于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+1=0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2）若x1+x2=3，求k的值及方程的根．
【考点】一元二次方程根的判别式、根与系数关系
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+1=0有两个不相等的实数根，
∴△＞0，
∴（2k+1）2-4（k2+1）＞0，
整理得，4k-3＞0，
解得：k＞34，
故实数k的取值范围为k＞34；
（2）∵方程的两个根分别为x1，x2，
∴x1+x2=2k+1=3，
解得：k=1，
∴原方程为x2-3x+2=0，
∴x1=1，x2=2．
15. （2019年湖北省襄阳市）改善小区环境，争创文明家园．如图所示，某社区决定在一块长（AD）16m，宽（AB）9m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路，其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草．要使草坪部分的总面积为112m2，则小路的宽应为多少？

【考点】一元二次方程的应用
【解答】解：设小路的宽应为xm，
根据题意得：（16﹣2x）（9﹣x）＝112，
解得：x1＝1，x2＝16．
∵16＞9，
∴x＝16不符合题意，舍去，
∴x＝1．
答：小路的宽应为1m．
16. （2019年湖北省宜昌市）HW公司2018年使用自主研发生产的“QL”系列甲、乙、丙三类芯片共2800万块，生产了2800万部手机，其中乙类芯片的产量是甲类芯片的2倍，丙类芯片的产量比甲、乙两类芯片产量的和还多400万块．这些“QL”芯片解决了该公司2018年生产的全部手机所需芯片的10%．
（1）求2018年甲类芯片的产量；
（2）HW公司计划2020年生产的手机全部使用自主研发的“QL”系列芯片．从2019年起逐年扩大“QL”芯片的产量，2019年、2020年这两年，甲类芯片每年的产量都比前一年增长一个相同的百分数m%，乙类芯片的产量平均每年增长的百分数比m%小1，丙类芯片的产量每年按相同的数量递增.2018年到2020年，丙类芯片三年的总产量达到1.44亿块．这样，2020年的HW公司的手机产量比2018年全年的手机产量多10%，求丙类芯片2020年的产量及m的值．
【考点】一元二次方程的应用、一元一次方程的应用
【解答】解：（1）设2018年甲类芯片的产量为x万块，
由题意得：x+2x+（x+2x）+400＝2800，
解得：x＝400；
答：2018年甲类芯片的产量为400万块；
（2）2018年万块丙类芯片的产量为3x+400＝1600万块，
设丙类芯片的产量每年增加的数量为y万块，
则1600+1600+y+1600+2y＝14400，
解得：y＝3200，
∴丙类芯片2020年的产量为1600+2×3200＝8000万块，
2018年HW公司手机产量为2800÷10%＝28000万部，
400（1+m%）2+2×400（1+m%﹣1）2+8000＝28000×（1+10%），
设m%＝t，
化简得：3t2+2t﹣56＝0，
解得：t＝4，或t＝﹣（舍去），
∴t＝4，
∴m%＝4，
∴m＝400；
答：丙类芯片2020年的产量为8000万块，m＝400．
17. （2019年黑龙江省伊春市）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB在x轴上，AB、BC的长分别是一元二次方程x2﹣7x+12＝0的两个根（BC＞AB），OA＝2OB，边CD交y轴于点E，动点P以每秒1个单位长度的速度，从点E出发沿折线段ED﹣DA向点A运动，运动的时间为t（0≤t＜6）秒，设△BOP与矩形AOED重叠部分的面积为S．
（1）求点D的坐标；
（2）求S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）在点P的运动过程中，是否存在点P，使△BEP为等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】一元二次方程的解法、相似三角形的判定与性质、探究等腰三角形问题
【解答】解：（1）∵x2﹣7x+12＝0，
∴x1＝3，x2＝4，
∵BC＞AB，
∴BC＝4，AB＝3，
∵OA＝2OB，
∴OA＝2，OB＝1，
∵四边形ABCD是矩形，
∴点D的坐标为（﹣2，4）；
（2）设BP交y轴于点F，
如图1，当0≤t≤2时，PE＝t，

∵CD∥AB，
∴△OBF∽△EPF，
∴＝，即＝，
∴OF＝，
∴S＝OF•PE＝••t＝；
如图2，当2＜t＜6时，AP＝6﹣t，

∵OE∥AD，
∴△OBF∽△ABP，
∴＝，即＝，
∴OF＝，
∴S＝•OF•OA＝××2＝﹣t+2；
综上所述，S＝；
（3）由题意知，当点P在DE上时，显然不能构成等腰三角形；
当点P在DA上运动时，设P（﹣2，m），
∵B（1，0），E（0，4），
∴BP2＝9+m2，BE2＝1+16＝17，PE2＝4+（m﹣4）2＝m2﹣8m+20，
①当BP＝BE时，9+m2＝17，解得m＝±2，
则P（﹣2，2）；
②当BP＝PE时，9+m2＝m2﹣8m+20，解得m＝，
则P（﹣2，）；
③当BE＝PE时，17＝m2﹣8m+20，解得m＝4±，
则P（﹣2，4﹣）；
综上，P（﹣2，2）或（﹣2，）或（﹣2，4﹣）．
18. （2019年辽宁省本溪市）先化简，再求值（﹣）÷，其中a满足a2+3a﹣2＝0．
【考点】分式的化简求值、一元二次方程的解法
【解答】解：（﹣）÷
＝[]
＝（）
＝
＝
＝，
∵a2+3a﹣2＝0，
∴a2+3a＝2，
∴原式＝＝1．
19. （2019年辽宁省大连市）某村2016年的人均收入为20000元，2018年的人均收入为24200元
（1）求2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率；
（2）假设2019年该村人均收入的增长率与前两年的年平均增长率相同，请你预测2019年村该村的人均收入是多少元？
【考点】一元二次方程的应用
【解答】解：（1）设2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率为x，
根据题意得：20000（1+x）2＝24200，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.1（不合题意，舍去）．
答：2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率为10%．
（2）24200×（1+10%）＝26620（元）．
答：预测2019年村该村的人均收入是26620元．
20. （2019年贵州安顺市）安顺市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千元）与每千元降价x（元）（0<x <20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示：
（1）求y与x之间的函数关系式;
(2)商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价多少元？
【考点】一元二次方程的应用、一次函数的应用
【解答】解：（1）设一次函数解析式为： y＝kx+b
当x＝2, y＝120
当x＝4, y＝140
∴
∴
∴y＝10x+100
（2） 由题意得：
（60－40－x）(10 x+100 ) ＝2090 (或（20－x）(10 x+100 ) ＝2090)
x2－10x+9＝0
解得：x1＝1. x2＝9
∵让顾客得到更大的实惠
∴x＝9
答：商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价9元.