小题不大做高考数学选择题、填空题的解题技巧(教师用).doc
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1、.目录.高考数学选择题、填空题的解法1一、直接法1二、特例法2三、数形结合5四、估值判断7五、排除法(代入检验法)8填空题的解法10一、直接法10二、特殊化法11三、数形结合法12四、等价转化法13高考数学选择题、填空题的解法一、直接法所谓直接法,就是直接从题设的条件出发,运用有关的概念、性质、定理、法则和公式等知识,通过严密的推理和计算来得出题目的结论。【例1】已知与分别是定义在上的奇函数与偶函数,若则等于( )A, B, C , 1 D ,【解析】此题可以先求出函数的解析式,然后求解,也可以直接求,选B【例2】函数ysinsin 2x的最小正周期是 ()A. B C2 D4【解析】ycos
2、 2xsin 2xsin 2xsin,T,选B.【例3】06全国理8)抛物线上的点到直线的距离的最小值是( )A、 B、 C、 D、3【解析】设直线与相切,则联立方程知,令,有,两平行线之间的距离,选A【例4】 圆x22xy24y30上到直线xy10的距离为的点共有( ).1个 .2个 .3个 .4个【解析】将圆的方程化为(x1)2(y2)2(2)2, r2. 圆心(1,2)到直线xy10的距离d,恰为半径的一半故选【例5】设F1、F2为双曲线y21的两个焦点,点P在双曲线上满足F1PF290o,则F1PF2的面积是( ).1 ./2 .2 .【解析】 1,选或者直接用结论求解:在椭圆中,在双
3、曲线中【例6】 椭圆mx2ny21与直线xy1交于A、B两点,过AB中点M与原点的直线斜率为,则的值为( ). . .1 .【解析】 命题:“若斜率为k(k0)的直线与椭圆1(或双曲线1)相交于A、B的中点,则kkOM(或kkOM),”(证明留给读者)在处理有关圆锥曲线的中点弦问题中有着广泛的应用运用这一结论,不难得到:解 kABkOM kABkOM1,故选二、特例法包括选取符合题意的特殊数值、特殊位置、特殊函数、特殊数列、特殊图形等,代入或者比照选项来确定答案。这种方法叫做特值代验法,是一种使用频率很高的方法。【例1】若函数是偶函数,则的对称轴是( )A、 B、 C、 D、【解析】因为若函数
4、是偶函数,作一个特殊函数,则变为,即知的对称轴是,选C【例2】ABC的外接圆的圆心为O,两条边上的高的交点为H,则的取值是( )A、-1 B、1 C、-2 D、2【解析】特殊化处理,不妨设ABC为直角三角形,则圆心O在斜边中点处,此时有,选B【例3】已知定义在实数集R上的函数yf(x)恒不为零,同时满足f(xy)f(x)f(y),且当x0时,f(x)1,那么当x0时,一定有()Af(x)1 B1f(x)1 D0f(x)0时,f(x)1,根据指数函数的性质,当x0时,02x1,即0f(x) 0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点,若线段FP与FQ的长分别是、,则(). A.2 B.C. 4D.
5、【解析】由题意知,对任意的过抛物线焦点F的直线,的值都是的表示式,因而取抛物线的通径进行求解,则,所以=,故应选D.【例7】已知等差数列an的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为( ) A130 B170 C210 D260【解析】解法1:特殊化法。令m=1,则a1=S1=30,又a1+a2=S2=100 a2=70 等差数列的公差d=a2a1=40,于是a3=a2+d=110 故应选C解法2,利用等差数列的求和公式求解【例8】(08江西卷6)函数在区间内的图象是( )【解析】利用特殊值x= 代入即可 答案选 D【例9】(06北京卷)设,则等于( )(A) (B) (C)(D
6、)【解析】依题意,为首项为2,公比为8的前n4项求和,根据等比数列的求和公式可得D 。 另外特例法解,设n=0,则 所以选D【例10】(10全国)如果等差数列中,那么( )(A)14 (B)21 (C)28 (D)35【解析】直接利用等差数列的性质可解,由已知得,所以 也可以设,可以求出前7项和【例11】(10年安徽理)设,二次函数的图像可能是( )【解析】特例法即可,取即可选出D【例12】设f(x)为定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=+2x+b(b常数),则f(-1)= ( )(A) 3 (B) 1 (C)-1 (D)-3【解析】然后可求出选D三、数形结合“数缺形时少直观,形少数时难入
7、微”-华罗庚。画出图形或者图象能够使问题提供的信息更直观地呈现,从而大大降低思维难度,是解决数学问题的有力策略,这种方法使用得非常之多。【例1】(2008陕西文、理) 双曲线(,)的左、右焦点分别是,过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点,若垂直于轴,则双曲线的离心率为( )ABCD 做出图形即可求出答案B【例2】(07江苏6)设函数定义在实数集上,它的图象关于直线对称,且当时,则有( )A、 B、 C、 D【解析】当时,的图象关于直线对称,则图象如图所示。这个图象是个示意图,事实上,就算画出的图象代替它也可以。由图知,符合要求的选项是B,【例3】若P(2,-1)为圆的弦AB的中点,则直线AB的方
8、程是( )A、 B、 C、 D、【解析】画出圆和过点P的直线,再看四条直线的斜率,即可知选A【例4】(07辽宁)已知变量、满足约束条件,则的取值范围是( )A、 B、 C、 D、【解析】把看作可行域内的点与原点所在直线的斜率,不难求得答案 ,选A。)【例5】曲线与直线有两个公共点时,的取值范围是( )A、 B、 C、 D、【解析】事实上不难看出,曲线方程的图象为,表示以(1,0)为圆心,2为半径的上半圆,如图。直线过定点(2,4),那么斜率的范围就清楚了,选D【例6】函数在区间A上是增函数,则区间A是( )A、 B、 C、 D、 【解析】作出该函数的图象如右,知应该选B【例7】、(06湖南理1
9、0)若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为,则直线的倾斜角的取值范围是( )A、 B、 C、 D、【解析】圆方程化为,由题意知,圆心到直线的距离应该满足,在已知圆中画一个半径为的同心圆,则过原点的直线与小圆有公共点,选B。【例8】方程的实根的个数是( )A、1 B、2 C、3 D、4【解析】在同一坐标系中分别画出函数cosx与lgx的图象,如图,由两个函数图象的交点的个数为3,知应选C【例9】(07天津理7)在R上定义的函数是偶函数,且。若在区间1,2上是减函数,则( )A、在区间-2,-1上是增函数,在区间3,4上是增函数B、在区间-2,-1上是增函数,在区间3,4上是减函数C、在区间-2,
10、-1上是减函数,在区间3,4上是增函数D、在区间-2,-1上是减函数,在区间3,4上是减函数【解析】是抽象函数,因此画出其简单图象即可得出结论,如下左图知选B)【例10】(05年四川)若,则( )A、 B、 C、 D、【解析】构造斜率即可,构造函数上的三点和原点的斜率B。【例11】(10年湖北)设集合A=,B=,则AB的子集的个数是( )来源:学科网ZXXKA. 4 B.3 C.2 D.1【解析】考查集合的意义与数形结合思想,及一个有限集的子集的个数,在同一直角坐标系中画出和的图像,知道图像有两个公共点,所以AB元素有2个,所以子集有4个,选A【例12】(10年湖北)若直线与曲线有公共点,则的
11、取值范围是( ) A B. C. D. 【解析】在同一坐标系中画出曲线(该曲线是以点(2,3)为圆心,2为半径的圆不在直线y=3上方的部分)与直线的图像,平移该直线,结合图形可求出,选C四、估值判断有些问题,属于比较大小或者确定位置的问题,我们只要对数值进行估算,或者对位置进行估计,就可以避免因为精确计算和严格推演而浪费时间。【例1】已知是方程的根,是方程的根,则( )A、6 B、3 C、2 D、1【解析】我们首先可以用图象法来解:如图,在同一坐标系中作出四个函数,的图象,设与的图象交于点A,其横坐标为;与的图象交于点C,其横坐标为;与的图象交于点B,其横坐标为。因为与为反函数,点A与点B关于
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