小题不大做高考数学选择题、填空题的解题技巧(教师用).doc

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高考数学选择题、填空题的解法 1
一、直接法 1
二、特例法 2
三、数形结合 5
四、估值判断 7
五、排除法（代入检验法） 8
填空题的解法 10
一、直接法 10
二、特殊化法 11
三、数形结合法 12
四、等价转化法 13
高考数学选择题、填空题的解法
一、直接法
所谓直接法，就是直接从题设的条件出发，运用有关的概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密的推理和计算来得出题目的结论。
【例1】已知与分别是定义在上的奇函数与偶函数，若则等于（ ）A, B, C , 1 D ,
【解析】此题可以先求出函数的解析式，然后求解，也可以直接求，选B
【例2】函数y＝sin＋sin 2x的最小正周期是 (　　)A. B．π C．2π D．4π
【解析】y＝cos 2x－sin 2x＋sin 2x＝sin，T＝π，选B.
【例3】06全国Ⅰ理8）抛物线上的点到直线的距离的最小值是（ ）
A、 B、 C、 D、3
【解析】设直线与相切，则联立方程知，令，有，∴两平行线之间的距离，选A
【例4】 圆x2＋2x＋y2＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为的点共有（ ）
Ａ.1个 Ｂ.2个 Ｃ.3个 Ｄ.4个
【解析】将圆的方程化为(x＋1)2＋(y＋2)2＝(2)2,∴ r＝2.∵ 圆心(－1，－2)到直线x＋y＋1＝0的距离d＝＝,恰为半径的一半．故选Ｃ．
【例5】设F1、F2为双曲线－y2＝1的两个焦点，点P在双曲线上满足∠F1PF2＝90o，则△F1PF2的面积是（ ）Ａ.1 Ｂ./2 Ｃ.2 Ｄ.
【解析】 ＝1，选Ａ．或者直接用结论求解：在椭圆中，在双曲线中
【例6】 椭圆mx2＋ny2＝1与直线x＋y＝1交于A、B两点，过AB中点M与原点的直线斜率为，则的值为（ ）Ａ. Ｂ. Ｃ.1 Ｄ.
【解析】 命题：“若斜率为k(k≠0)的直线与椭圆＋＝1（或双曲线－＝1）相交于A、B的中点，则k·kOM＝－(或k·kOM＝)，”（证明留给读者）在处理有关圆锥曲线的中点弦问题中有着广泛的应用．运用这一结论，不难得到：解 ∵ kAB·kOM＝－＝－＝－ ∴ ＝－kAB·kOM＝1·＝，故选Ａ．
二、特例法
包括选取符合题意的特殊数值、特殊位置、特殊函数、特殊数列、特殊图形等，代入或者比照选项来确定答案。这种方法叫做特值代验法，是一种使用频率很高的方法。
【例1】若函数是偶函数，则的对称轴是（ ）
A、 B、 C、 D、
【解析】因为若函数是偶函数，作一个特殊函数，则变为，即知的对称轴是，选C
【例2】△ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，，则的取值是（ ）A、-1 B、1 C、-2 D、2
【解析】特殊化处理，不妨设△ABC为直角三角形，则圆心O在斜边中点处，此时有，，选B
【例3】已知定义在实数集R上的函数y＝f(x)恒不为零，同时满足f(x＋y)＝f(x)·f(y)，且当x>0时，f(x)>1，那么当x<0时，一定有(　　)A．f(x)<－1 B．－1<f(x)<0 C．f(x)>1 D．0<f(x)<1【解析】取特殊函数．设f(x)＝2x，显然满足f(x＋y)＝f(x)·f(y)(即2x＋y＝2x·2y)，且满足x>0时，f(x)>1，根据指数函数的性质，当x<0时，0<2x<1，即0<f(x)<1.答案：D
【例4】．若动点P、Q在椭圆9x2＋16y2＝144上，且满足OP⊥OQ，则中心O到弦PQ的距离OH必等于(　　)A. B. C. D.
【解析】选一个特殊位置(如图)，令OP、OQ分别在长、短正半轴上，由a2＝16
，b2＝9得，OP＝4，OQ＝3，则OH＝.根据“在一般情况下成立，则在特殊情况下也成立”可知，答案C正确．
【例5】（2010重庆理数）(5) 函数的图象(　　)
A. 关于原点对称 B. 关于直线y=x对称 C. 关于x轴对称 D. 关于y轴对称
【解析】 是偶函数，图像关于y轴对称
通过特殊值法即可，即 选D
【例6】过抛物线ｙ＝ｘ2（ａ> 0）的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段FP与FQ的长分别是ｐ、ｑ，则＝（　　）. A.　2ａ B.　C. 4ａ　D.
【解析】由题意知，对任意的过抛物线焦点F的直线，的值都是的表示式，因而取抛物线的通径进行求解，则ｐ＝ｑ＝，所以=，故应选D.
【例7】已知等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（ ） A．130 B．170 C．210 D．260
【解析】解法1：特殊化法。令m=1，则a1=S1=30，又a1+a2=S2=100 ∴a2=70
∴等差数列的公差d=a2–a1=40，于是a3=a2+d=110 故应选C
解法2，利用等差数列的求和公式求解
【例8】（08江西卷6）函数在区间内的图象是（ ）
【解析】利用特殊值x= 代入即可 答案选 D
【例9】（06北京卷）设，则等于（ ）
（A） （B） （C） （D）
【解析】依题意，为首项为2，公比为8的前n＋4项求和，根据等比数列的求和公式可得D 。 另外特例法解，设n=0,则 所以选D
【例10】（10全国Ⅱ）如果等差数列中，，那么（ ）
（A）14 （B）21 （C）28 （D）35
【解析】直接利用等差数列的性质可解，由已知得，所以
也可以设，可以求出前7项和
【例11】（10年安徽理）设，二次函数的图像可能是（ ）

【解析】特例法即可，取即可选出D
【例12】设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=+2x+b(b常数)，则f(-1)= （ ）
(A) 3 (B) 1 (C)-1 (D)-3【解析】然后可求出选D
三、数形结合
“数缺形时少直观，形少数时难入微”---华罗庚。画出图形或者图象能够使问题提供的信息更直观地呈现，从而大大降低思维难度，是解决数学问题的有力策略，这种方法使用得非常之多。
【例1】(2008陕西文、理) 双曲线（，）的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为（ ）A． B． C． D． 做出图形即可求出答案B
【例2】（07江苏6）设函数定义在实数集上，它的图象关于直线对称，且当时，，则有（ ）A、 B、
C、 D．
【解析】当时，，的图象关于直
线对称，则图象如图所示。这个图象是个示意图，事实
上，就算画出的图象代替它也可以。由图知，
符合要求的选项是B，
【例3】若P（2，-1）为圆的弦AB的中点，则直线AB的方程是（ ）
A、 B、 C、 D、
【解析】画出圆和过点P的直线，再看四条直线的斜率，即可知选A
【例4】（07辽宁）已知变量、满足约束条件，则的取值范围是（ ）
A、 B、 C、 D、
【解析】把看作可行域内的点与原点所在直线的斜率，不难求得答案 ，选A。）
【例5】曲线与直线
有两个公共点时，的取值范围是（ ）
A、 B、 C、 D、
【解析】事实上不难看出，曲线方程的图象为，表示以（1，0）为圆心，2为半径的上半圆，如图。直线过定点（2，4），那么斜率的范围就清楚了，选D
【例6】函数在区间A上是增函数，则区间A是（ ）
A、 B、 C、 D、
【解析】作出该函数的图象如右，知应该选B
【例7】、（06湖南理10）若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A、 B、 C、 D、
【解析】圆方程化为，由题意知，圆心到直线
的距离应该满足，在已知圆中画一个半径为的同心圆，则过原点的直线与小圆有公共点，∴选B。
【例8】方程的实根的个数是（ ）A、1 B、2 C、3 D、4
【解析】在同一坐标系中分别画出函数cosx与lgx的图象，如图，

由两个函数图象的交点的个数为3，知应选C
【例9】(07天津理7)在R上定义的函数是偶函数，且。若在区间[1，2]上是减函数，则（ ）
A、在区间[-2，-1]上是增函数，在区间[3，4]上是增函数
B、在区间[-2，-1]上是增函数，在区间[3，4]上是减函数
C、在区间[-2，-1]上是减函数，在区间[3，4]上是增函数
D、在区间[-2，-1]上是减函数，在区间[3，4]上是减函数
【解析】是抽象函数，因此画出其简单图象即可得出结论，如下左图知选B）

【例10】（05年四川）若，则（ ）
A、 B、 C、 D、
【解析】构造斜率即可，构造函数上的三点和原点的斜率B。【例11】(10年湖北)设集合A=，B=,则A∩B的子集的个数是[（ ）来源:学科网ZXXK]A. 4 B.3 C.2 D.1
【解析】考查集合的意义与数形结合思想，及一个有限集的子集的个数，在同一直角坐标系中画出和的图像，知道图像有两个公共点，所以A∩B元素有2个，所以子集有4个，选A
【例12】(10年湖北)若直线与曲线有公共点，则的取值范围是（ ） A． B. C. D.
【解析】在同一坐标系中画出曲线（该曲线是以点（2,3）为圆心，2为半径的圆不在直线y=3上方的部分）与直线的图像，平移该直线，结合图形可求出，选C
四、估值判断
有些问题，属于比较大小或者确定位置的问题，我们只要对数值进行估算，或者对位置进行估计，就可以避免因为精确计算和严格推演而浪费时间。
【例1】已知是方程的根，是方程的根，则（ ）
A、6 B、3 C、2 D、1
【解析】我们首先可以用图象法来解：如图，在同一
坐标系中作出四个函数，，，，
的图象，设与的图象交于点A，其横
坐标为；与的图象交于点C，其横坐标
为；与的图象交于点B，其横坐标为。因为与为反函数，点A与点B关于直线对称，所以2×=3，选B。 此属于数形结合法，也算不错，但非最好。现在用估计法来解它：因为是方程的根，所以是方程的根，所以所以选B。
【例2】已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=2，则球面面积是（ ）A、 B、 C、 D、
【解析】用估计法，设球半径R，△ABC外接圆半径为 ，则S球=，选D
【例3】如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，
，EF与平面ABCD的距离为2，则该多面体的体积为（ ）
A、 B、5 C、6 D、

【解析】该多面体的体积比较难求，可连接BE、CF，问题转化为四棱锥E-ABCD与三棱锥E-BCF的体积之和，而=6，所以只能选D
【例4】（07全国Ⅱ理 12）设F为抛物线的焦点，A、B、C为该抛物线上的三点，若，则等于（ ）A、9 B、6 C、4 D、3
【解析】很明显（直觉）三点A、B、C在该抛物线上的图形完全可能
如右边所示（数形结合），可以估计（估值法）到，稍大于
（通径，长为4），∴，选B。当然也可以用定义法：由可知，由抛物线定义有，所以=6
五、排除法（代入检验法）
它是充分运用选择题中的单选的特征，即有且只有一个正确选项这一信息，通过分析、推理、计算、判断，逐一排除，最终达到目的的一种解法。
【例1】(2010年山东理文)函数y=2x -的图像大致是（ ）

【解析】因为当所以排除B，C；故排除D，选A
【例2】（2010江西理数）9．给出下列三个命题：
①函数与是同一函数；高☆考♂资♀源*网②若函数与的图像关于直线对称，则函数与的图像也关于直线对称；③若奇函数对定义域内任意x都有，则为周期函数。其中真命题是（ ）A. ①② B. ①③ C.②③ D. ②
【解析】考查相同函数、函数对称性的判断、周期性知识。考虑定义域不同，①错误；排除A、B，验证③, ,又通过奇函数得，所以f（x）是周期为2的周期函数，选择C。
【例3】（2010天津理数）（2）函数f(x)=的零点所在的一个区间是（ ）
(A)（-2，-1）(B)（-1,0）(C)（0,1）(D)（1,2）
【解析】本题主要考查函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题。
由及零点定理知f(x)的零点在区间（-1，0）上。
【例4】数列{an}满足a1=1, a2=，且 (n≥2)，则an等于（ ）。
（A） （B）()n-1 （C）()n （D）【解析】特殊值法检验即可,选A
【例5】（2008安徽文）函数图像的对称轴方程可能是（
A． B． C． D．
【解析】当自变量取得对称轴时，函数去最值，代入检验可知选D
【例6】（2009重庆卷文）圆心在轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
【解析】解法1（直接法）：设圆心坐标为，则由题意知，解得，故圆的方程为。解法2（数形结合法）：由作图根据点到圆心的距离为1易知圆心为（0，2），故圆的方程为解法3（验证法）：将点（1，2）代入四个选择支，排除B，D，又由于圆心在轴上，排除C。
【例7】（10年全国）已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(-12,-15),则E的方程为（ ）
（A） （B） （C） （D）
【解析】命题：“若斜率为k(k≠0)的直线与椭圆＋＝1（或双曲线－＝1）相交于A、B的中点为M，则k·kOM＝－(或k·kOM＝)，” ∵故选B．
填空题的解法
一、直接法
这是解填空题的基本方法，它是直接从题设条件出发、利用定义、定理、性质、公式等知识，通过变形、推理、运算等过程，直接得到结果。
【例1】设其中，为互相垂直的单位向量，又，则实数m = 。
【解析】∵，∴∴，而，为互相垂直的单位向量，故可得∴。
【例2】已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列，则＝________.
【解析】由已知得a＝a1a9，∴(a1＋2d)2＝a1(a1＋8d)，∴a1＝d，∴＝＝.
【例3】(2008江苏)的最小正周期为，其中，则=
【解析】直接代入公式即可。
【例4】（2010四川理数）直线与圆相交于A、B两点，则 .
【解析】圆心为(0,0)，半径为2，圆心到直线的距离为d＝ 故得|AB|＝2
【例5】（10广东理数）9. 函数=lg(-2)的定义域是 【解析】∵，∴．
二、特殊化法
当填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的不定量用特殊值代替，即可以得到正确结果。
【例1】 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c。若a、b、c成等差数列，则 。【解析】特殊化：令，则△ABC为直角三角形，，从而所求值为。
【例2】求值 。
【解析】题目中“求值”二字提供了信息：答案为一定值，于是不妨令，得结果为。
【例3】的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，，则实数m= 。
【解析】时，为直角三角形，为中点，边上的高的交点H和B重合，，46.
【例4】（06全国卷I）已知函数，若为奇函数，则________。
【解析】函数若为奇函数，则，即，a=.
【例5】若函数f(x)=x2+bx+c对任意实数t都有f(2+t)=f(2-t)，则f(1),f(2),f(4)的大小关系是
【解析】 由于f(2+t)=f(2-t)，故知f(x)的对称轴是x=2。可取特殊函数f(x)=(x-2)2,即可求得f(1)=1,f(2)=0,f(4)=4。∴f(2)<f(1)<f(4)。
【例6】（2010江苏卷）5、设函数f(x)=x(ex+ae-x)(xR)是偶函数，则实数a=________
【解析】考查函数的奇偶性的知识。g(x)=ex+ae-x为奇函数，由g(0)=0，得a=－1。

三、数形结合法
对于一些含有几何背景的填空题，若能数中思形，以形助数，则往往可以简捷地解决问题，得出正确的结果。
【例1】 如果不等式的解集为A，且，那么实数a的取值范围是 。【解析】根据不等式解集的几何意义，作函数和函数的图象（如图），从图上得出实数a的范围是。
【例2】直线y＝kx＋3k－2与直线y＝－x＋1的交点在第一象限，则k的取值范围是________．
]【解析】因为y＝kx＋3k－2，即y＝k(x＋3)－2，故直线过定点P(－3，－2)，而定直
线y＝－x＋1在两坐标轴上的交点分别为A(4,0)，B(0,1)．如图所示，求得<k<1.
【例3】若关于x的方程=k(x-2)有两个不等实根，则k的取值范围是
【解析】 令y1=,y2=k(x-2),由图14-3可知kAB<k≤0，其中AB为半圆的切线，计算得kAB= -,∴-<k≤0。
【例4】（2010辽宁理数）（14）已知且，则的取值范围是_______（答案用区间表示）
【解析】画出不等式组表示的可行域，在可行域内平移直线z=2x-3y，当直线经过x-y=2与x+y=4的交点A（3，1）时，目标函数有最小值z=2×3-3×1=3；当直线经过x+y=-1与x-y=3的焦点A（1，-2）时，目标函数有最大值z=2×1+3×2=8. 故（3，8）
【例5】（2010年江西理）13．已知向量满足与的夹角为60°，则______________．【解析】考查向量的夹角和向量的模长公式，以及向量三角形法则、余弦定理等知识，如图，由余弦定理得：
C
【例6】（10浙江理数）已知平面向量满足，且与的夹角为120°，则的取值范围是__________________ .
【解析】考查平面向量的基础知识和正弦定理的应用等，如图，设
B
则在中，根据正弦定理
A
，即，
由于，所以，故
四、等价转化法
通过“化复杂为简单、化陌生为熟悉”，将问题等价地转化成便于解决的问题，从而得出正确的结果。
【例1】 不论k为何实数，直线与曲线恒有交点，则实数a的取值范围是 。
【解析】题设条件等价于点（0，1）在圆内或圆上，或等价于点（0，1）到圆，∴。
【例2】（2010江苏）设实数x,y满足3≤≤8，4≤≤9，则的最大值是 。。
【解析】 考查不等式的基本性质，等价转化思想。
，，，的最大值是27。
【例3】（2010天津理数）（16）设函数，对任意，恒成立，则实数的取值范围是 .
【解析】依据题意得在上恒定成立，即在上恒成立。当时函数取得最小值，所以，即，解得或
【温馨提示】本题是较为典型的恒成立问题，解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化为最值的方法求解
【例4】（2010重庆理数）（13）某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为，则该队员每次罚球的命中率为____________.
【解析】等价转化为求它的对立事件即可，由得
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