北京电大《微积分初步》试题分类整理.doc

资料内容仅供您学习参考，如有不当或者侵权，请联系改正或者删除。 I 电大微积分初步试题分类整理一、 填空题( 每小题4分, 本题共20分) 函数的的基本知识( 一般是填空题的第1题) 1 函数 f (x) = ln(x + 2) + 4 x 的定义域是(2,1) (1,41 函数 f (x) = ln(x + 2) + 4 x 2 的定义域是(2,1) (1,21 函数 f (x) = ln(x +1) + 4 x 2 的定义域是(1,0) (0,21 函数 f (x) = ln(x + 2) 的定义域是(2,1) (1,+)x 函数 f (x) = ln(x 2)的定义域是(2,3) (3,+)1 函数 f (x) =的定义域是( -2, 2) 24 x1 函数 f (x) = ln(x +1) + 5 x 的定义域是(1,0) (0,5) 函数 f (x + 2) = x 函数 f (x 1) = x 函数 f (x + 2) = x 设 f (x +1) = 2 + 2x 1,则 f (x) = 2 22+ 4x + 7, 则 f (x) = 2x + 7, 则 f (x) = 2 6+ 4x + 5, 则 f (x) = x +12221f (x +1)+ x2+ 2x + 2, 则 f (x)= y = x2若函数 若函数 f (x 1) = x 2x 5,则f (x) = x 62 2 函数 y = 3(x +1)2的单调增加区间是1,+)极限与连续( 一般是填空题的第2题) 若lim sin 4x = 2, 则k =2x0kxsin 6x 若limx sin kx = 2, 则k =30 lim sin 2x =2x0x1 lim xsin =1xx lim sin x =0x 2xx 2 + 2, x 0,在 x = 0处连续, 则 k =2 若函数 f (x) =k,x = 03 若函数 f (x) = xsin +1, x 0,在 x = 0处连续, 则k =1x = 0xk, II 2xsin + k, x 0 设函数 f (x) = 在x = 0处连续, 则k = -1x1,x = 01xsin + k, x 0在x = 0处连续, 则k =1x = 0 若函数 f (x)=x1, 函数 y = x2 2x 3 的间断点是 x = 1x +1导数的几何意义( 一般是填空题的第3题) 曲线 y = e x在点(0, 1)处的切线方程是 y = x +1 曲线 y = x 在点(1, 1)处的切线方程是 y = 1 x + 1 2212在点( 1, 1) 处的切线方程是 y = 1 x + 322 曲线在 y = x3 曲线在任意一点处的切线斜率为 x , 且曲线过点( 1, 1) , 则曲线方程为 y = 2 x 2 + 1331 曲线 f (x) = x +1在(0,1)点的切线斜率是 21 曲线 f (x) = x +1在点( 1, 2) 处的切线斜率是 21 曲线 y = x 在点(1, 1)处的切线斜率是 2 曲线 f (x) = e x +1在(0, 2)处的切线斜率是1导数与积分( 一般是填空题的第4题) 1.若y = x (x 1)(x 2)(x 3), 则 y(0) = -62.已知 f (x) = 2 x, 则 f (x)= 2 x (ln 2)23.已知 f (x) = x3 + 3x, 则 f (3)=27(1+ ln3)4.若 f (x)dx = sin 2x + c, 则 f (x)= 2cos2xde5.ln(x 2 +1)dx =0dx12x+ c6. 2 x dx =ln 217.若 是 f (x)的一个原函数, 则 f (x) =x8. d ex2dx = ex2dx9. (sinx)dx = sin x + c10.若 f (x)dx = F(x) + c, 则 f (2x 3)dx = 12 F(2x 3) + c III 11.1 (5x3 3x + 2)dx =4112 de x =2ex2 + C 13若 sin xdx=-cosx+c14由定积分的几何意义知, aa 2 x 2 dx =Da24015.若 f (x)dx = cos2x + c, 则 f (x)-4cos2x116.若 f (x)dx = xln x + c则 f (x)=1x微分方程的基本知识( 一般是填空题或选择题的第5题) 1.微分方程 y = y, y(0) = 1的特解为 y = e x2.微分方程 y = 2x满足初始条件 y(0) =1的特解为 y = x 2 +13.微分方程 y+ 3y = 0的通解为 y = ce3x4微分方程(y)3 + 4xy = y 5 sin x的阶数为35.(y)4 + ln y + y = sin 2x为3阶微分方程.6.微分方程(y)3 + 4xy(4) = y5 sin x的阶数为4 7.微分方程 xy + (y)4 sin x = e x+ y的阶数是38.微分方程(y)3 + 4xy (4) = y 7 sin x的阶数为49.微分方程 xy + (y)2+ y 4 = 0的阶数是310.微分方程(y)3 + y(4) sin x =y x5 2的阶数为411微分方程 xy+ (y)3 = 0的阶数是 212.微分方程(y + 4xy = y sin x的阶数为 5)3(5) 6二、 单项选择题( 每小题4分, 本题共20分) 函数的的基本知识( 一般是单项选择题的第1题) 设函数 y = xsin x, 则该函数是( A) A偶函数B奇函数C非奇非偶函数D既奇又偶函数2下列函数中为奇函数是( D) A xsin x3.设函数 y = 10A奇函数Bln xC x + x2Dln(x + 1+ x )2x+10x, 则该函数是( B) 2B偶函数C非奇非偶函数D既奇又偶函数D既奇又偶函数4.设函数 y = ex+ exx, 则该函数是( B) 2A奇函数B偶函数C非奇非偶函数x e25.设函数 y = e, 则该函数是( A) A奇函数B偶函数C非奇非偶函数D既奇又偶函数6.函数 y = e ex x的图形关于( A.) 对称2 IV A.坐标原点B. x轴C y 轴D. y = x7.函数 f (x) = x 2x+ 22x的图形是关于( D.) 对称Ay = xB.x轴C.y轴D.坐标原点D单调增加8.函数 y = x2+ 4x 6在区间(4,4)是( A) A先减后增B先增后减C单调减少9.函数 y = x2+ 2x + 7在区间(2,2)是( C) A单调减少B单调增加C先减后增C先增后减D先增后减10.函数 y = (x +1)2在区间(2,2)是( D) A单调增加B单调减少D先减后增11函数 y = x +1在区间(2,2)是( B) 2A单调下降B先单调下降再单调上升C先单调上升再单调下降D单调上升12.下列函数在指定区间(,+)上单调减少的是( D) Be C x13.下列函数在指定区间(,+)上单调增加的是( B) Asin xx2D3 xAsin xB 2xC x2D. 5 x2114函数 y =x 4 + ln x的定义域为( D) A x 0B x 4C x 0且 x 1D x 0且 x 4x15.函数 f (x) = ln(x +1)的定义域是( C.) A. (-1 , )B. (0 , + )C. (-l ,0)(0 , )D. (0,1)(1 , )16.设f(x + 1) = x 2+ 2x 3, 则 f (x) =( D) B x 2 C x1, 则 f (x) =( C) B x1, 则 f (x) =( A) B xA x17.设 f (x +1) = xA x(x +1)18. 设 f (x 1) = x21222 4D x 422C x(x 2)D(x + 2)(x 1)D(x + 2)(x 1)2A x(x + 2)2C x(x 2)极限与连续( 一般是单项选择题的第2题) 1.若函数 f (x) = sin x, 则lim f (x) =( A) .2x0x12AB0C1D不存在2. 已知 f (x) = sin x 1,当( C.)时, f (x)为无穷小量.xA. x +B. x C. x 0D. x 13.当 x 0时, 下列变量中为无穷小量的是( C) .1sin xxABCln(1+ x)Dxxx2 V 4.已知 f (x) = x sin x ,当 ( D.)时, f (x)为无穷小量.xA.+ B.C.1D.0x 2 + 2, x 0, 在 x = 0处连续.5.当 k =( C) 时, 函数 f (x) =k,x = 0A0B1C2D3e x + 2, x 0在 x = 0处连续.6.当 k =( D) 时, 函数 f (x) =k,x = 0A0B1C2D3e x +1, x 0在 x = 0处连续.7当 k =( C) 时, 函数 f (x) =k, x = 0A0B1C2De +1x2 +1, x 0, 在 x = 0处连续.k x = 08.当 k =( A) 时, 函数 f (x) =A1B2C1D09. 当k =( B) 时, 函数 f (x) = x 1, x 0, 在 x = 0处连续. 2 kx = 0A0B-1C1D2x 3 3x + 210.函数 f (x) =的间断点是( A) x2A x = 1, x = 2B x = 3C x = 1, x = 2, x = 3D无间断点导数与积分( 一般是单项选择题的第3, 4题) 1函数 f (x) = ln x在 x = e处的切线方程是( C.) 1111A. y = xB. y = x 1C. y = x +1D. y = x e +1eeee2.在切线斜率为2x的积分曲线族中, 经过点( 1, 4) 的曲线为( C) A y = x2+1B y = x2+ 2Cy = x2 + 3D y = x2 + 43.下列结论中( C) 正确A f (x)在 x = x0处连续, 则一定在 x0处可微.C f (x)在 x = x0处不连续, 则一定在 x0处不可导.B函数的极值点一定发生在其驻点上.D函数的极值点一定发生在不可导点上.4.若函数f (x)在点x0处可导, 则(B)是错误的A函数f (x)在点x0处有定义B lim f (x) = A, 但 A f (x0)xx0C函数f (x)在点x0处连续D函数f (x)在点x0处可微5. 满足方程 f (x) = 0的点一定是函数 f (x)的( C) A极值点B最值点C驻点D间断点6下列等式中正确的是( D.) 11dx = d(2 x)xA . sin xdx = d(cos x)B. ln xdx = d( )C . a xdx = d(a x )D.x7.以下等式成立的是( A) VI A3x dx = d3xdx 2 = d(1+ x )dx = d x12ln xdx = d( )BCDDln31+ xxx8.设 y = lg2x, 则dy =( D) 21x dxB1x dxCln10dx1x ln10 dxAx9.若 f (x) = x + x(x 0), 则 f (x)dx =( B.) .331+ 2 x 2 + c+ 3 x 2 + cA.x 2 + x + cB.x + x + cC.x2D.x223210.下列等式成立的是( A) d f (x)dx = f (x)B f (x)dx = f (x)Cd f (x)dx = f (x)D df (x) = f (x)D. (x +1) f (x) + cAdx11. xf (x)dx =( A.) 1A. xf (x) f (x) + cB. xf (x) + cC.x 2 f (x) + c21112.如果等式 f (x)e dx = e x + c, 则 f (x) =( D.) x1111D.A.B. C.x13. 下列无穷积分收敛的是( B) x2xx2+ 1+D11A0B0+e2xdxC1sinxdxdxdxxx1(ecos x.sin x + 2x2)dx =( D.)14.1243A.0B.1C.D.315.设 f (x)是连续的奇函数, 则定积分a f (x)dx =( D) -aA20 f (x)dx-aB0 f (x)dx-aaCf (x)dxD0016. 下列结论中( A )不正确.A. f (x)在 x = x0处连续, 则一定在 x0处可微B. f (x)在 x = x0处不连续, 则一定在 x0处不可导C. 可导函数的极值点 一定发生在其驻点上D. 若 f (x)在 a , b 内 f (x)0 恒有则在 a , b 内 函数是单调下降的11dx = e17.若18.若f (x)exx+ c, 则f (x) =( B.) 1111A.B.C.D. x2x2xx 10(2x + k)dx = 2, 则k=(A. 1)1A. 1B. -1C. 0D.2微分方程的基本知识( 一般是填空题或选择题的第5题) 1.微分方程(y)3 + 4xy = y 5 sin x的阶数为( B.) A. 2; B. 3; C. 4; D. 5 VII 2. 微分方程(y)3 + 4xy = y 5 ysin x的阶数为( C.) A. 1B. 2C. 3D. 53.微分方程 y = y +1的通解是( A.) Cx1; C. y = x + C; D. y = 1A.y = Ce x 1; B. y = ex + C224.微分方程 y = y +1的通解为( B.) A.y = ce x +1; B. y = ce5微分方程 y = y, y(0) = 1的特解为( C) B y = e x1; C. y = 1x2+ c; D. y = x + cx2A y = 0.5x2C y = exD y = e +1x6.函数 y = e2x是微分方程( D. ) 的解A. y + y = 0B.y y = 0C. y + 2y = 0C. y = ceD. y 2y = 0D. y = e + c7.微方程 y = y的通解为( C.) y = ecxB. y = cexxxA.8.下列微分方程中为可分离变量方程的是( B.) dydydydyA.dx = x + y ; B.dx = xy + y; C.dx = xy + sin x; D.dx = x(y + x)9.下列微分方程中, ( D) 是线性微分方程A yx2 + cos y = y B yy + yx = sin xC y+ xy = ln yD ysin x yex= y ln x三、 计算题( 本题共44分, 每小题11分) 计算极限( 一般是计算题的第1题) xx22 6x + 8 3x + 21 解: 原式= lim (x 4)(x 2) = limx 4 = 22 x 1计算极限lim2 (x 2)(x 1)x2xx2.计算极限lim x22 6x + 82解: 2 4 3x + 2 4x2x3.计算极限lim x3 解: 原式= lim (x 1)(x 2) = 1x22 (x 2)(x + 2)4x2xx4.计算极限limx422 6x +85x + 44解: 原式= lim (x 4)(x 2)x 24 x 1= 24 (x 4)(x 1) = limx3xx5计算极限lim x2 2x 3 95解: 原式= lim (x 3)(x +1) = 2x23 (x 3)(x + 3)3x3x6计算极限lim x2 3x + 2+ x 6 3x + 2+ x 26解: lim x 2+3xx+62 = lim (x 1)(x 2) = 15x2x2x2 (x + 3)(x 2)x2x27计算极限lim xx22x2 3x + 2 =(x 1)(x 2) = 17解: linlimx1 x 2 x 2 x1 (x 1)(x + 2)+ 3x18.计算极限lim x2+ 2x 158解: 原式= lim3 (xx + 35)(xx + 33) = 4x32 91x3xx29解: 原式= lim (x +1)(x 1) = limx +1= 29.计算极限limx2 5x + 41 (x 4)(x 1) 1 x 4x3x1xxx2+ 4x 5 5x + 410解: 原式= lim (x + 5)(x 1) = limx + 51 (x 4)(x 1) 1 x 4= 6 = 210.计算极限lim23x1xxx2 411解: 原式=limx2 (xx+ 2)(2)(xx 4)2) = limx + 2 = 2x 411.计算极限lim2 x2 6x +8xx2 VIII 12.计算极限 lim x2 2x 312解: x213x + 21 x2 + 5x 6x1x213解: 原式=limx1 (xx + 2)(6)(xx 1)1) = limx 2x + 6= 113.计算极限limx17x求导数 y或求微分dy( 一般是计算题的第2题) 1111. 设 y = e x+1 + , 求 y1解: y = e x+1x2 (x +1x21+ x 1y = ex1+ x 1,求y xx2.设 y = e2解: x1111y = e(2 )+ 2+2xxxx31x , 求 y.1113设 y = x2e3解: y = 2xe+ x 2e( 12 ) =e(2x 1)xxxx4设 y = sin5 + cos xx3 , 求 y.4解: y = 5cos5x + 3cos2x(sin x) = 5cos5x 3sin xcos x235设 y = x 2 + lncos x, 求 y.15解: y = x 2 + sin x13= 3 x 2 tan x2cos x2116设 y = ln + cos xx3 , 求dy.6解: y = + 3cos2x(sin x)dy = ( 3sin xcos2x)dxxx7.设 y = e2x + cos x, 求dy.8.设 y = e x+1 + ln x, 求dy.9.设 y = ln x + cose x, 求dy.7解: y = 2e2x sin xdy = (2e2x + sin x)dxx+111dy = ( e2 x +118解: y = e x+1+ )dx2 x +1xx9解: 10.设 y = x x + lncos x, 求dy.10解: 11.设 y = 2x+ sin3x, 求dy.11解: y = 2xln 2 + 3cos3xdy = (2xln 2 + 3cos3x)dx1112.设 y = e2x + x x , 求dy.12解: y = 2e2x + 3 x 2dy = (2e2x + 3 x 2 )dx22计算不定积分( 一般是计算题的第3题) 12d(2x 1) = 1 (2x 1)11 + c1计算不定积分 (2x 1)10dx1解: (2x 1)10dx=(2x 1)10221d(1 2x) = 1 (1 2x)10 + c2.计算不定积分 (1 2x)9dx2解: (1 2x) (1- 2x)99dx= 220(12x) dx= (12x) d(12x) = 1 (12x)1+c5563计算不定积分( 1 2x)5dx3解: 212 IX cos 1cos 11 1 1xdx= cos d = sin + cx x x4.计算不定积分5.计算不定积分xdx4解: x2x 2sin 1xsin 11 1 1dx = sin d( ) = cos + cx x xxdx5解: x2x216.计算不定积分 exx2 dx6解: 11117计算不定积分 x17解: 1dx = e12exdx2exxd = ex+ cxxsin xdxxsin x8.计算不定积分8解: dx= 2 sin xd x = 2cos x + Cxcos xdxxcos x9计算不定积分9解: dx = 2 cos xd x = 2sin x + cx(1+ x)2(1+ x)2+ x) d(1+ x) = 2 (1+ x)3 + C10计算不定积分11计算不定积分dx 10解: dx= 2 (12xx3exex1dx11解: dx = 5+ ed(5+ e x ) = 2 5+ e x + cx5+ ex5+ ex12.计算不定积分 xcos xdx12解: xcos xdx= xsin x sinxdx = xsin x + cos x + c计算定积分( 一般是计算题的第4题) 1dx = e31e31e31解: 11.计算定积分1e3d(1+ lnx) = 2 1+ ln x = 2dx1+ ln xx 1+ ln xx 1+ ln x11e1+ 5ln xe1+ 5ln xdx = 1(1+ 5lnx)d(1+ 5lnx) = 1 (1+ 5lnx)= 1 (361) = 710 2e2 e2.计算定积分dx 2解: 1xx51011113解: 1dx = xe x 1 1dx = e e x 1 = 1xexdxxexex3.计算定积分4.计算定积分0100004解: 102xe1dx = 2xe x 1 2 exdx = 2e 2e + 2 = 202xe dxxx0101 125解: 101dx = xex 1 + exdx = +1= 10xexdxxex5.计算定积分0e ee02224111dx=2xex 10 +2 exdx= 2ex 1 = + 2 = 2 16.计算定积分 2 xexdx6解: 2xexdx=2 xex0eeee0000e2 x7计算定积分 e21e2 ln xdx = xln x |1e2=dx 2e2 (e21) = e2 +1ln xdx7解: 1x18.计算定积分eln xdx18解: DD9.计算定积分222 xcos xdxDD9解: 0x cos xdx = x sin x 2 sin xdx = D+ cos x 2 = D 1000202 xD x1112cosxdx =D + 1 sin xD=D10计算定积分 sin xdx 10解: sinxdx= xsinxdx=Dxcosx+D0D00 2222222000 X 2 +sin xdx = xcos x |0cos xdx = sin x |0 =111解: 20xsin sdx2020211.计算定积分四、 应用题( 本题16分) 1.欲做一个底为正方形, 容积为 32立方米的长方体开口容器, 怎样做法用料最省? V解: 设底边的边长为 x, 高为h, 用材料为 y , 由已知 x2h = V = 32, h =2 , x+ 4V, x表面积 y = x2+ 4xh = x24VV令 y = 2x = 0, 得 x3 = 2V = 64, 此时 x = 4, h = 2 =2x2x由实际问题可知, x = 4是函数的极小值点, 因此当 x = 4, h = 2时用料最省。1-1 欲做一个底为正方形, 容积为 108立方米的长方体开口容器, 怎样做法用料最省? (本题的解法与1同, 只需把V=62.5 代入即可。)108解: 设底边的边长为 x, 高为h, 用材料为 y , 由已知 x2h = 108,h =x2108432表面积 y = x 2 + 4xh = x 2 + 4x= x 2 +x2x432h = V2 =3令 y = 2x = 0, 解得x3=