2019年广东省高考数学一模试卷(理科).doc

2019年广东省高考数学一模试卷（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知集合A＝{x|x﹣1＜2}，B＝{y|y＝2x，x∈A}，则A∩B＝（　　）
A．（﹣∞，8） B．（﹣∞，3） C．（0，8） D．（0，3）
2．（5分）复数z＝﹣i（i为虚数单位）的虚部为（　　）
A． B． C． D．
3．（5分）双曲线9x2﹣16y2＝1的焦点坐标为（　　）
A．（±，0） B．（0，） C．（±5，0） D．（0，±5）
4．（5分）记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a2+a8＝34，S4＝38，则a1＝（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
5．（5分）已知函数f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减，且当x∈[﹣2，1]时，f（x）＝x2﹣2x﹣4，则关于x的不等式f（x）＜﹣1的解集为（　　）
A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣∞，3） C．（﹣1，3） D．（﹣1，+∞）
6．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）

A．3π B．4π C．6π D．8π
7．（5分）执行如图的程序框图，依次输入x1＝17，x2＝19，x3＝20，x4＝21，x5＝23，则输出的S值及其统计意义分别是（　　）

A．S＝4，即5个数据的方差为4
B．S＝4，即5个数据的标准差为4
C．S＝20，即5个数据的方差为20
D．S＝20，即5个数据的标准差为20
8．（5分）已知A，B，C三点不共线，且点O满足16﹣12﹣3＝，则（　　）
A．＝12+3 B．＝12﹣3
C．＝﹣12+3 D．＝﹣12﹣3
9．（5分）设数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，an+an+1＝2n（n∈N*），则S13＝（　　）
A． B． C． D．
10．（5分）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：将一线段AB分为两线段AC，CB，使得其中较长的一段AC是全长AB与另一段CB的比例中项，即满足＝＝≈0.618．后人把这个数称为黄金分割数，把点C称为线段AB的黄金分割点在△ABC中，若点P，Q为线段BC的两个黄金分割点，在△ABC内任取一点M，则点M落在△APQ内的概率为（　　）

A． B．﹣2 C． D．
11．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+）+（ω＞0），点P，Q，R是直线y＝m（m＞0）与函数f（x）的图象自左至右的某三个相邻交点，且2|PQ|＝|QR|＝，则ω+m＝（　　）
A． B．2 C．3 D．
12．（5分）已知函数若f（x）＝（kx+）ex﹣3x，若f（x）＜0的解集中恰有两个正整数，则k的取值范围为（　　）
A．（，] B．[，）
C．（，] D．[，）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．
13．（5分）（2x+y）6的展开式中，x2y4的系数为　 　．
14．（5分）设x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最大值为　 　．
15．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，AP，AB，AC两两垂直，且AP＝AB＝AC＝．若点D，E分别在棱PB，PC上运动（都不含端点），则AD+DE+EA的最小值为　 　．
16．（5分）已知F为抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点，曲线C1是以F为圆心，为半径的圆，直线2x﹣6y+3p＝0与曲线C，C1从左至右依次相交于P，Q，R，S，则＝　 　
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每道试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．
17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ccosA+csinA＝b+a．
（1）求C；
（2）若D在边BC上，且BD＝3DC，cosB＝，S△ABC＝10，求AD．

18．（12分）已知五面体ABCDEF中，四边形CDEF为矩形，AB∥CD，CD＝2DE＝2AD＝2AB＝4，AC＝2，且二面角F﹣AB﹣C的大小为30°．
（1）证明：AB⊥平面ADE；
（2）求二面角E﹣BC﹣F的余弦值．

19．（12分）已知点（1，），（）都在椭圆C：＝1（a＞b＞0）上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点M（0，1）的直线l与椭圆C交于不同两点P，Q（异于顶点），记椭圆与y轴的两个交点分别为A1，A2，若直线A1P与A2Q交于点S，证明：点S恒在直线y＝4上．
20．（12分）随着小汽车的普及，“驾驶证”已经成为现代入“必考”的证件之一．若某人报名参加了驾驶证考试，要顺利地拿到驾驶证，他需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试．在一次报名中，每个学员有5次参加科目二考试的机会（这5次考试机会中任何一次通过考试，就算顺利通过，即进入下一科目考试；若5次都没有通过，则需重新报名），其中前2次参加科目二考试免费，若前2次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需交200元的补考费，某驾校对以往2000个学员第1次参加科目二考试的通过情况进行了统计，得到如表：
考试情况
男学员
女学员
第1次考科目二人数
1200
800
第1次通过科目二人数
960
600
第1次未通过科目二人数
240
200
若以如表得到的男、女学员第1次通过科目二考试的频率分别作为此驾校男、女学员每次通过科目二考试的概率，且每人每次是否通过科目二考试相互独立．现有一对夫妻同时在此驾校报名参加了驾驶证考试，在本次报名中，若这对夫妻参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止．
（1）求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率；
（2）若这对夫妻前2次参加科目二考试均没有通过，记这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为X元，求X的分布列与数学期望．
21．（12分）已知函数f（x）＝（x﹣a）ex（a∈R）．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）当a＝2时，F（x）＝f（x）﹣x+lnx，记函数y＝F（x）在（，1）上的最大值为m，证明：﹣4＜m＜﹣3．
(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程](10分)
22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为，（θ为参数）已知点Q（4，0），点P是曲线∁l上任意一点，点M为PQ的中点，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求点M的轨迹C2的极坐标方程；
（2）已知直线l：y＝kx与曲线C2交于A，B两点，若＝3，求k的值．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|x+a|+2|x﹣1|（a＞0）．
（1）求f（x）的最小值；
（2）若不等式f（x）﹣5＜0的解集为（m，n），且n﹣m＝，求a的值．

2019年广东省高考数学一模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知集合A＝{x|x﹣1＜2}，B＝{y|y＝2x，x∈A}，则A∩B＝（　　）
A．（﹣∞，8） B．（﹣∞，3） C．（0，8） D．（0，3）
【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有
【分析】分别求出集合A，B，由此能求出集合A∩B．
【解答】解：∵集合A＝{x|x﹣1＜2}＝{x|x＜3}，
B＝{y|y＝2x，x∈A}＝[y|0＜y＜8}，
∴A∩B＝{x|0＜x＜3}＝（0，3）．
故选：D．
【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．（5分）复数z＝﹣i（i为虚数单位）的虚部为（　　）
A． B． C． D．
【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有
【分析】化简复数z为a+bi的形式，即可写出z的虚部．
【解答】解：复数z＝﹣i＝﹣i＝﹣i＝﹣﹣i，
则z的虚部为﹣．
故选：A．
【点评】本题考查了复数的运算与化简问题，是基础题．
3．（5分）双曲线9x2﹣16y2＝1的焦点坐标为（　　）
A．（±，0） B．（0，） C．（±5，0） D．（0，±5）
【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有
【分析】直接利用双曲线的方程求解a，b，c得到焦点坐标即可．
【解答】解：双曲线9x2﹣16y2＝1的标准方程为：，
可得a＝，b＝，c＝＝，
所以双曲线的焦点坐标为（±，0）．
故选：A．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．
4．（5分）记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a2+a8＝34，S4＝38，则a1＝（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【考点】85：等差数列的前n项和．菁优网版权所有
【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．
【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵a2+a8＝34，S4＝38，
∴2a1+8d＝34，4a1+6d＝38，
联立解得：a1＝5，d＝3，
故选：B．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
5．（5分）已知函数f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减，且当x∈[﹣2，1]时，f（x）＝x2﹣2x﹣4，则关于x的不等式f（x）＜﹣1的解集为（　　）
A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣∞，3） C．（﹣1，3） D．（﹣1，+∞）
【考点】7E：其他不等式的解法．菁优网版权所有
【分析】根据条件可得出f（﹣1）＝﹣1，根据f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减，即可由f（x）＜﹣1得出f（x）＜f（﹣1），从而得到x＞﹣1，即得出原不等式的解集．
【解答】解：∵x∈[﹣2，1]时，f（x）＝x2﹣2x﹣4；
∴f（﹣1）＝﹣1；
∵f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减；
∴由f（x）＜﹣1得，f（x）＜f（﹣1）；
∴x＞﹣1；
∴不等式f（x）＜﹣1的解集为（﹣1，+∞）．
故选：D．
【点评】考查减函数的定义，已知函数求值的方法，根据函数单调性解不等式的方法．
6．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）

A．3π B．4π C．6π D．8π
【考点】L!：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有
【分析】几何体是一个简单组合体，左侧是一个半圆柱，底面的半径是1，高为：4，右侧是一个半圆柱，底面半径为1，高是2，根据体积公式得到结果．
【解答】解：由三视图知，几何体是一个简单组合体，左侧是一个半圆柱，底面的半径是1，高为：4，
右侧是一个半圆柱，底面半径为1，高是2，
∴组合体的体积是：＝3π，
故选：A．

【点评】本题考查由三视图求几何体的体积，考查由三视图还原直观图，本题是一个基础题，题目的运算量比较小，若出现是一个送分题目．
7．（5分）执行如图的程序框图，依次输入x1＝17，x2＝19，x3＝20，x4＝21，x5＝23，则输出的S值及其统计意义分别是（　　）

A．S＝4，即5个数据的方差为4
B．S＝4，即5个数据的标准差为4
C．S＝20，即5个数据的方差为20
D．S＝20，即5个数据的标准差为20
【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有
【分析】根据程序框图，输出的S是x1＝17，x2＝19，x3＝20，x4＝21，x5＝23这5个数据的方差，先求这5个数的均值，然后代入方差公式计算即可．
【解答】解：根据程序框图，输出的S是x1＝17，x2＝19，x3＝20，x4＝21，x5＝23这5个数据的方差，
∵＝（17+19+20+21+23）＝20，
∴由方差的公式S＝[（17﹣20）2+（19﹣20）2+（20﹣20）2+（21﹣20）2+（23﹣20）2]＝4．
故选：A．
【点评】本题通过程序框图考查了均值和方差，解决问题的关键是通过程序框图能得出这是一个求数据方差的问题，属于基础题．
8．（5分）已知A，B，C三点不共线，且点O满足16﹣12﹣3＝，则（　　）
A．＝12+3 B．＝12﹣3
C．＝﹣12+3 D．＝﹣12﹣3
【考点】9H：平面向量的基本定理．菁优网版权所有
【分析】本题可将四个选项中的式子进行转化成与题干中式子相近，再比较，相同的那项即为答案．
【解答】解：由题意，可知：
对于A：＝＝，
整理上式，可得：
16﹣12﹣3＝，
这与题干中条件相符合，
故选：A．
【点评】本题主要考查向量加减、数乘的运算，属基础题．
9．（5分）设数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，an+an+1＝2n（n∈N*），则S13＝（　　）
A． B． C． D．
【考点】8H：数列递推式．菁优网版权所有
【分析】利用数列的递推关系式，逐步求出数列的相邻两项，然后求解数列的和即可．
【解答】解：由题意，∵a1＝2，
n＝2时，a2+a3＝22，
n＝4时，a4+a5＝24，
n＝6时，a6+a7＝26，
n＝8时，a8+a9＝28，
n＝10时，a10+a11＝210，
n＝12时，a12+a13＝212，
S13＝2+22+24+26+28+210+212＝2+＝．
故选：D．
【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查计算能力．
10．（5分）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：将一线段AB分为两线段AC，CB，使得其中较长的一段AC是全长AB与另一段CB的比例中项，即满足＝＝≈0.618．后人把这个数称为黄金分割数，把点C称为线段AB的黄金分割点在△ABC中，若点P，Q为线段BC的两个黄金分割点，在△ABC内任取一点M，则点M落在△APQ内的概率为（　　）

A． B．﹣2 C． D．
【考点】CF：几何概型．菁优网版权所有
【分析】先阅读题意，理解“黄金分割”，再结合几何概型中的面积型可得：BQ＝，CP＝，所以PQ＝BQ+CP﹣BC＝（）a，S△APQ：S△ABC＝PQ：BC＝（﹣2）a：a＝﹣2，
则在△ABC内任取一点M，则点M落在△APQ内的概率为＝，得解．
【解答】解：设BC＝a，
由点P，Q为线段BC的两个黄金分割点，
所以BQ＝，CP＝，
所以PQ＝BQ+CP﹣BC＝（）a，
S△APQ：S△ABC＝PQ：BC＝（﹣2）a：a＝﹣2，
由几何概型中的面积型可得：
在△ABC内任取一点M，则点M落在△APQ内的概率为＝，
故选：B．

【点评】本题考查了阅读能力及几何概型中的面积型，属中档题．
11．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+）+（ω＞0），点P，Q，R是直线y＝m（m＞0）与函数f（x）的图象自左至右的某三个相邻交点，且2|PQ|＝|QR|＝，则ω+m＝（　　）
A． B．2 C．3 D．
【考点】H2：正弦函数的图象．菁优网版权所有
【分析】根据|PQ|＝|QR|＝，得到周期T，然后计算ω，利用P，Q的对称性，求出P点的横坐标，代入求解即可．
【解答】解：∵2|PQ|＝|QR|＝，
∴|PQ|＝，|QR|＝，
则T＝||PQ+|QR|＝+＝π，
即＝π，即ω＝2，
即f（x）＝sin（2x+）+，
∵|PQ|＝，
∴x2﹣x1＝，
2x1++2x2+＝π，
得x1＝0，此时m＝sin（2x1+）+＝sin+＝＝1．
即ω+m＝1+2＝3，
故选：A．
【点评】本题主要考查三角函数图象和性质的应用，根据条件求出函数的周期以及利用对称性求出P的坐标是解决本题的关键．
12．（5分）已知函数若f（x）＝（kx+）ex﹣3x，若f（x）＜0的解集中恰有两个正整数，则k的取值范围为（　　）
A．（，] B．[，）
C．（，] D．[，）
【考点】52：函数零点的判定定理．菁优网版权所有
【分析】根据由f（x）＜0得（kx+）＜，构造函数h（x）＝，求函数的导数，研究函数的图象，利用数形结合进行求解即可．
【解答】解：由f（x）＜0得f（x）＝（kx+）ex﹣3x＜0，
即（kx+）ex＜3x，
即（kx+）＜的解集中恰有两个正整数，
设h（x）＝，则h′（x）＝＝，
由h′（x）＞0得3﹣3x＞0得x＜1，由h′（x）＜0得3﹣3x＜0得x＞1，
即当x＝1时函数h（x）取得极大值h（1）＝，
设函数g（x）＝kx+，
作出函数h（x）的图象如图，
由图象知当k≤0，（kx+）＜的解集中有很多整数解，不满足条件．
则当k＞0时，要使，（kx+）＜的解集中有两个整数解，
则这两个整数解为x＝1和x＝2，
∵h（2）＝，h（3）＝，∴A（2，）B（3，），
当直线g（x）过A（2，）B（3，）时，对应的斜率满足
2kA+＝，3kB+＝，得kA＝，kB＝，
要使，（kx+）＜的解集中有两个整数解，
则kB＜k≤kA，即＜k≤，
即实数k的取值范围是（，]，
故选：A．

【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用不等式转化为两个函数的关系，构造函数，利用数形结合建立不等式关系是解决本题的关键．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．
13．（5分）（2x+y）6的展开式中，x2y4的系数为　60　．
【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有
【分析】根据二项展开式的通项公式，求出含x2y4的项，可得结论．
【解答】解：（2x+y）6的展开式中，故含x2y4的项为•（2x）2•y4＝60x2y4，
故答案为：60．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
14．（5分）设x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最大值为　7　．
【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有
【分析】画出约束条件表示的平面区域，结合图形找出最优解，求出z的最大值．
【解答】解：画出x，y满足约束条件表示的平面区域，
如图所示，
由，解得点A（3，1），
结合图形知，直线2x+y﹣z＝0过点A时，
z＝2x+y取得最大值为2×3+1＝7．
故答案为：7．

【点评】本题考查了线性规划的简单应用问题，是基础题．
15．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，AP，AB，AC两两垂直，且AP＝AB＝AC＝．若点D，E分别在棱PB，PC上运动（都不含端点），则AD+DE+EA的最小值为　　．
【考点】LH：多面体和旋转体表面上的最短距离问题．菁优网版权所有
【分析】由题意画出图形，可得PB＝PC＝BC＝2，∠APB＝∠APC＝45°，沿PA剪开，向两侧展开到平面PBC上，连接A′A″，再由余弦定理求解得答案．
【解答】解：如图，

由AP，AB，AC两两垂直，且AP＝AB＝AC＝，
得PB＝PC＝BC＝2，∠APB＝∠APC＝45°，
沿PA剪开，向两侧展开到平面PBC上，连接A′A″，
则AD+DE+EA的最小值为A′A″＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查多面体表面上的最短距离问题，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是中档题．
16．（5分）已知F为抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点，曲线C1是以F为圆心，为半径的圆，直线2x﹣6y+3p＝0与曲线C，C1从左至右依次相交于P，Q，R，S，则＝　　
【考点】K8：抛物线的性质．菁优网版权所有
【分析】联立直线与抛物线方程求得点P，S的坐标，利用焦半径公式即可求解．
【解答】解：可得直线2x﹣6y+3p＝0与y轴交点是抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点F，
由得x2﹣px﹣p2＝0，⇒xP＝，xS＝．⇒，
|RS|＝|SF|﹣＝yS+＝p，|PQ|＝|PF|﹣＝yP+﹣＝p．
∴则＝．

故答案为：..
【点评】本题考查了抛物线与直线的位置关系，焦半径公式，属于中档题．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每道试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．
17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ccosA+csinA＝b+a．
（1）求C；
（2）若D在边BC上，且BD＝3DC，cosB＝，S△ABC＝10，求AD．

【考点】HP：正弦定理．菁优网版权所有
【分析】（1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sin（C﹣）＝，结合范围C∈（0，π），可得C﹣∈（﹣，），可求C﹣＝，进而可得C的值．
（2）利用同角三角函数基本关系式可求sinB的值，利用三角形的面积公式可求a＝，b＝，又由余弦定理可得3c4+245c2﹣19208＝0，解得c＝7，a＝8，b＝5，在△ACD中，由余弦定理可得AD的值．
【解答】（本题满分为12分）
解：（1）∵ccosA+csinA＝b+a，
∴由正弦定理可得：sinCcosA+sinCsinA＝sinB+sinA，
∴sinCcosA+sinCsinA＝sin（A+C）+sinA＝sinAcosC+cosAsinC+sinA，
∴sinCsinA＝sinAcosC+sinA，
∵sinA≠0，
∴sinC＝cosC+1，
∴解得：sin（C﹣）＝，
∵C∈（0，π），可得：C﹣∈（﹣，），
∴C﹣＝，可得：C＝．
（2）∵cosB＝，可得：sinB＝＝，
∴由S△ABC＝10＝acsinB＝absinC，可得：ac＝56，ab＝40，可得：a＝，b＝，
又∵由余弦定理可得：c2＝a2+b2﹣ab＝a2+b2﹣40，
∴c2＝（）2+（）2﹣40，整理可得：3c4+245c2﹣19208＝0，
解得：c2＝49，可得：c＝7，a＝8，b＝5，
∴在△ACD中，由余弦定理可得：AD＝＝＝．

【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，计算量较大，属于中档题．
18．（12分）已知五面体ABCDEF中，四边形CDEF为矩形，AB∥CD，CD＝2DE＝2AD＝2AB＝4，AC＝2，且二面角F﹣AB﹣C的大小为30°．
（1）证明：AB⊥平面ADE；
（2）求二面角E﹣BC﹣F的余弦值．

【考点】LW：直线与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．菁优网版权所有
【分析】（1）推导出DE⊥AD，AD⊥CD，从而CD⊥平面ADE，由此利用AB∥CD能证明AB⊥平面ADE．
（2）由AB⊥平面ADE，得∠DAE是二面角F﹣AB﹣C的平面角，即∠DAE＝30°．以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，过D作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用量法能求出二面角E﹣BC﹣F的余弦值．
【解答】证明：（1）∵五面体ABCDEF中，四边形CDEF为矩形，CD＝2DE＝2AD＝2AB＝4，AC＝2，
∴DE⊥AD，AD2+CD2＝AC2，∴AD⊥CD，
∵AD∩DE＝D，∴CD⊥平面ADE，
∵AB∥CD，∴AB⊥平面ADE．
解：（2）由（1）得AB⊥平面ADE，
∴∠DAE是二面角F﹣AB﹣C的平面角，即∠DAE＝30°．
∵DA＝DE＝2，∴∠ADE＝120°，
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，过D作平面ABCD的垂线为z轴，
建立空间直角坐标系，
E（﹣1，0，），B（2，2，0），C（0，4，0），F（﹣1，4，），
＝（﹣2，2，0），＝（﹣3，﹣2，），＝（﹣3，2，），
设平面BCF的法向量＝（x，y，z），
则，取x＝1，得＝（1，1，0），
设平面BCE的法向量＝（x，y，z），
则，取x＝1，得＝（1，1，），
设二面角E﹣BC﹣F的平面角为θ，
则cosθ＝＝＝，
∴二面角E﹣BC﹣F的余弦值为．

【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
19．（12分）已知点（1，），（）都在椭圆C：＝1（a＞b＞0）上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点M（0，1）的直线l与椭圆C交于不同两点P，Q（异于顶点），记椭圆与y轴的两个交点分别为A1，A2，若直线A1P与A2Q交于点S，证明：点S恒在直线y＝4上．
【考点】KL：直线与椭圆的综合．菁优网版权所有
【分析】（1）由题意可得，解得a2＝4，b2＝2得椭圆方程，
（2）先设出直线l的方程，再分别求出直线A1P的方程，直线A2Q的方程，联立，消x整理可得y＝，根据韦达定理化简整理可得直线y＝4
【解答】解：（1）由题意可得，解得a2＝4，b2＝2，
故椭圆C的方程为+＝1．
证明：（2）易知直线l的斜率存在且不为0，设过点M（0，1）的直线l方程为y＝kx+1，（k≠0），P（x1，y1），Q（x2，y2），
由，消y可得（k2+2）x2+2kx﹣3＝0，
∴x1+x2＝﹣，x1x2＝﹣，
∵A1（0，2），A2（0，﹣2），
∴直线A1P的方程为y＝x+2＝•x+2＝（k﹣）x+2，
则直线A2Q的方程为y＝x﹣2＝（k+）﹣2，
由，消x可得＝，
整理可得y＝＝＝+4＝+4＝4，
直线A1P与A2Q交于点S，则点S恒在直线y＝4上

【点评】本题考查了椭圆方程的求法，直线和椭圆的位置关系，直线方程的求法，考查了运算求解能力，属于中档题
20．（12分）随着小汽车的普及，“驾驶证”已经成为现代入“必考”的证件之一．若某人报名参加了驾驶证考试，要顺利地拿到驾驶证，他需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试．在一次报名中，每个学员有5次参加科目二考试的机会（这5次考试机会中任何一次通过考试，就算顺利通过，即进入下一科目考试；若5次都没有通过，则需重新报名），其中前2次参加科目二考试免费，若前2次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需交200元的补考费，某驾校对以往2000个学员第1次参加科目二考试的通过情况进行了统计，得到如表：
考试情况
男学员
女学员
第1次考科目二人数
1200
800
第1次通过科目二人数
960
600
第1次未通过科目二人数
240
200
若以如表得到的男、女学员第1次通过科目二考试的频率分别作为此驾校男、女学员每次通过科目二考试的概率，且每人每次是否通过科目二考试相互独立．现有一对夫妻同时在此驾校报名参加了驾驶证考试，在本次报名中，若这对夫妻参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止．
（1）求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率；
（2）若这对夫妻前2次参加科目二考试均没有通过，记这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为X元，求X的分布列与数学期望．
【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．菁优网版权所有
【分析】根据题意，设Ai表示男学员在第i次参加科目2考试中通过，Bi表示女学员在第i次参加科目2考试中通过，
（1）设事件M是这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费，分析可得P（M）＝P（ A1B1+A1B2+A2B1+A2B2），由互斥事件和相互独立事件的概率公式计算可得答案；
（2）根据题意，X可取的值为400、600、800、1000、1200，依次求出对应的概率，即可得X的分布列，由期望公式计算可得答案．
【解答】解：根据题意，设Ai表示男学员在第i次参加科目2考试中通过，Bi表示女学员在第i次参加科目2考试中通过，
则P（A1）＝＝，P（A2）＝1﹣＝，P（B1）＝＝，P（A2）＝1﹣＝，
（1）根据题意，设事件M是这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费，
则P（M）＝P（ A1B1+A1B2+A2B1+A2B2）＝×+××+××+×××＝；
（2）根据题意，X可取的值为400、600、800、1000、1200，
P（X＝400）＝×＝，
P（X＝600）＝××+××＝，
P（X＝800）＝×××+××+××＝
P（X＝1000）＝×××+×××＝
P（X＝1200）＝×××＝；
则X的分布列为
X
400
600
800
1000
1200
P

故EX＝400×+600×+800×+1000×+1200×＝510.5（元）
【点评】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查互斥事件概率加法公式、相互独立事件事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
21．（12分）已知函数f（x）＝（x﹣a）ex（a∈R）．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）当a＝2时，F（x）＝f（x）﹣x+lnx，记函数y＝F（x）在（，1）上的最大值为m，证明：﹣4＜m＜﹣3．
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．菁优网版权所有
【分析】（1）f′（x）＝[x﹣（a﹣1）]ex，x∈R．即可出单调性．
（2）当a＝2时，F（x）＝f（x）﹣x+lnx＝（x﹣2）ex﹣x+lnx，x∈（，1）．F′（x）＝（x﹣1）ex﹣1+＝（x﹣1），进而得出极大值点．
【解答】（1）解：f′（x）＝[x﹣（a﹣1）]ex，x∈R．
可得函数f（x）在（﹣∞，a﹣1）内单调递减，在（a﹣1，+∞）内单调递增．
（2）证明：当a＝2时，F（x）＝f（x）﹣x+lnx＝（x﹣2）ex﹣x+lnx，x∈（，1）．
F′（x）＝（x﹣1）ex﹣1+＝（x﹣1），
令F′（x）＝0，解得：＝，即x0＝﹣lnx0，x0∈（，1），
令g（x）＝ex﹣在x∈（，1）上单调递增，
g（）＝﹣2＜0，g（1）＝e﹣1＞0．
∴x0∈（，1），
可知：x＝x0，函数g（x）取得极大值即最大值，
F（x0）＝（x0﹣2）﹣2x0＝1﹣2（x0+）∈（﹣4，﹣3）．
∴﹣4＜m＜﹣3．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、函数零点及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程](10分)
22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为，（θ为参数）已知点Q（4，0），点P是曲线∁l上任意一点，点M为PQ的中点，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求点M的轨迹C2的极坐标方程；
（2）已知直线l：y＝kx与曲线C2交于A，B两点，若＝3，求k的值．
【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．菁优网版权所有
【分析】（1）消去θ得曲线C1的普通方程为：x2+y2＝4；设出M的坐标后利用中点公式得到P的坐标后代入C1德轨迹C2的直角坐标方程，再化成极坐标方程；
（2）如图：取AB的中点M，连CM，CA，在两个直角三角形中，根据勾股定理解得CM，OM后可得斜率．
【解答】解：（1）消去θ得曲线C1的普通方程为：x2+y2＝4，
设M（x，y）则P（2x﹣4，2y）在曲线C1上，所以 （2x﹣4）2+（2y）2＝4，即（x﹣2）2+y2＝1，即x2+y2﹣4x+3＝0，
C2轨迹的极坐标方程为：ρ2﹣4ρcosθ+3＝0．
（2）当k＞0时，如图：取AB的中点M，连CM，CA，
在直角三角形CMA中，CM2＝CA2﹣（AB）2＝1﹣AB2，①
在直角三角形CMO中，CM2＝OC2﹣OM2＝4﹣（AB）2＝4﹣AB2，②
由①②得AB＝，∴OM＝，CM＝，
k＝＝＝．
当k＜0时，同理可得k＝﹣．
综上得k＝±．

【点评】本题考查了参数方程化成普通方程，属中档题．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|x+a|+2|x﹣1|（a＞0）．
（1）求f（x）的最小值；
（2）若不等式f（x）﹣5＜0的解集为（m，n），且n﹣m＝，求a的值．
【考点】R5：绝对值不等式的解法．菁优网版权所有
【分析】（1）去绝对值变成分段函数可求得最小；
（2）结合分段函数的图象，按照两种情况讨论可得．
【解答】解：（1）f（x）＝，∴x＝1时，f（x） 的最小值为a+1．
（2）如图所示：
当a+1＜5＜2a+2即＜a＜4时，f（x）﹣5＜0的解集为（a﹣3，﹣），∴﹣﹣a+3＝﹣＝，∴a＝3符合，
当2a+2≤5即0＜a≤时，f（x）的解集 为 （﹣﹣1，﹣），∴﹣++1＝≠．
综上可得a＝3．

【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．
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