上海市春季高考数学试卷(含答案详解).doc

2017年上海市春季高考数学试卷
　一.填空题（本大题共12题，满分48分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）
1．设集合A={1，2，3}，集合B={3，4}，则A∪B=　　．
2．不等式|x﹣1|＜3的解集为　　．
3．若复数z满足2﹣1=3+6i（i是虚数单位），则z=　　．
4．若，则=　　．
5．若关于x、y的方程组无解，则实数a=　　．
6．若等差数列{an}的前5项的和为25，则a1+a5=　　．
7．若P、Q是圆x2+y2﹣2x+4y+4=0上的动点，则|PQ|的最大值为　　．
8．已知数列{an}的通项公式为，则=　　．
9．若的二项展开式的各项系数之和为729，则该展开式中常数项的值为　　．
10．设椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，点P在该椭圆上，则使得△F1F2P是等腰三角形的点P的个数是　　．
11．设a1、a2、…、a6为1、2、3、4、5、6的一个排列，则满足|a1﹣a2|+|a3﹣a4|+|a5﹣a6|=3的不同排列的个数为　　．
12．设a、b∈R，若函数在区间（1，2）上有两个不同的零点，则f（1）的取值范围为　　．
　二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13．函数f（x）=（x﹣1）2的单调递增区间是（　　）
A．[0，+∞） B．[1，+∞） C．（﹣∞，0] D．（﹣∞，1]
14．设a∈R，“a＞0”是“”的（　　）条件．
A．充分非必要 B．必要非充分C．充要 D．既非充分也非必要
15．过正方体中心的平面截正方体所得的截面中，不可能的图形是（　　）
A．三角形 B．长方形C．对角线不相等的菱形 D．六边形
16．如图所示，正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8的边长为2，若P为该正八边形边上的动点，则的取值范围为（　　）

A． B．
C D．

三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17．（12分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=3；
（1）求四棱锥A1﹣ABCD的体积；（2）求异面直线A1C与DD1所成角的大小．

18．（12分）设a∈R，函数；（1）求a的值，使得f（x）为奇函数；（2）若对任意x∈R成立，求a的取值范围．
19．（12分）某景区欲建造两条圆形观景步道M1、M2（宽度忽略不计），如图所示，已知AB⊥AC，AB=AC=AD=60（单位：米），要求圆M1与AB、AD分别相切于点B、D，圆M2与AC、AD分别相切于点C、D；
（1）若∠BAD=60°，求圆M1、M2的半径（结果精确到0.1米）
（2）若观景步道M1与M2的造价分别为每米0.8千元与每米0.9千元，如何设计圆M1、M2的大小，使总造价最低？最低总造价是多少？（结果精确到0.1千元）

20．（12分）已知双曲线（b＞0），直线l：y=kx+m（km≠0），l与Γ交于P、Q两点，P'为P关于y轴的对称点，直线P'Q与y轴交于点N（0，n）；（1）若点（2，0）是Γ的一个焦点，求Γ的渐近线方程；
（2）若b=1，点P的坐标为（﹣1，0），且，求k的值；
（3）若m=2，求n关于b的表达式．
21．（12分）已知函数f（x）=log2；（1）解方程f（x）=1；
（2）设x∈（﹣1，1），a∈（1，+∞），证明：∈（﹣1，1），且f（）﹣f（x）=﹣f（）；（3）设数列{xn}中，x1∈（﹣1，1），xn+1=（﹣1）n+1，n∈N*，求x1的取值范围，使得x3≥xn对任意n∈N*成立．

2017年上海市春季高考数学试卷
参考答案与试题解析

一.填空题（本大题共12题，满分48分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）
1．设集合A={1，2，3}，集合B={3，4}，则A∪B=　{1，2，3，4}　．
2．不等式|x﹣1|＜3的解集为　（﹣2，4）　．
3．若复数z满足2﹣1=3+6i（i是虚数单位），则z=　2﹣3i　．
4．若，则=　　．
5．若关于x、y的方程组无解，则实数a=　6　．
6．若等差数列{an}的前5项的和为25，则a1+a5=　10　．
7．若P、Q是圆x2+y2﹣2x+4y+4=0上的动点，则|PQ|的最大值为　2　．
8．已知数列{an}的通项公式为，则=　　．
9．若的二项展开式的各项系数之和为729，则该展开式中常数项的值为　160　．
10．设椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，点P在该椭圆上，则使得△F1F2P是等腰三角形的点P的个数是　6　．
11．设a1、a2、…、a6为1、2、3、4、5、6的一个排列，则满足|a1﹣a2|+|a3﹣a4|+|a5﹣a6|=3的不同排列的个数为　48　．
12．设a、b∈R，若函数在区间（1，2）上有两个不同的零点，则f（1）的取值范围为　（0，1）　．
解：函数在区间（1，2）上有两个不同的零点，
即方程x2+bx+a=0在区间（1，2）上两个不相等的实根，
⇒⇒，
如图画出数对（a，b）所表示的区域，目标函数z=f（1）═a+b+1
∴z的最小值为z=a+b+1过点（1，﹣2）时，z的最大值为z=a+b+1
过点（4，﹣4）时∴f（1）的取值范围为（0，1）
故答案为：（0，1）

二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13．函数f（x）=（x﹣1）2的单调递增区间是（　B　）
A．[0，+∞） B．[1，+∞） C．（﹣∞，0] D．（﹣∞，1]
14．设a∈R，“a＞0”是“”的（　C　）条件．
A．充分非必要 B．必要非充分C．充要 D．既非充分也非必要
15．过正方体中心的平面截正方体所得的截面中，不可能的图形是（　A　）
A．三角形 B．长方形C．对角线不相等的菱形 D．六边形
16．如图所示，正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8的边长为2，若P为该正八边形边上的动点，则的取值范围为（　B　）

A． B．
C． D．
解：由题意，正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8的每一个内角为135°，
且，，，．
再由正弦函数的单调性及值域可得，当P与A8重合时，最小为==．
结合选项可得的取值范围为．

三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17．（12分）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=3；
（1）求四棱锥A1﹣ABCD的体积；（2）求异面直线A1C与DD1所成角的大小．

解：（1）∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=3，
∴四棱锥A1﹣ABCD的体积：
====4．
（2）∵DD1∥CC1，∴∠A1CC1是异面直线A1C与DD1所成角（或所成角的补角），
∵tan∠A1CC1===，
∴=．∴异面直线A1C与DD1所成角的大小为；

18．（12分）设a∈R，函数；（1）求a的值，使得f（x）为奇函数；（2）若对任意x∈R成立，求a的取值范围．
解：（1）由f（x）的定义域为R，且f（x）为奇函数，可得f（0）=0，
即有=0，解得a=﹣1．
则f（x）=，f（﹣x）===﹣f（x），则a=﹣1满足题意；
（2）对任意x∈R成立，
即为＜恒成立，等价为＜，
即有2（a﹣1）＜a（2x+1），
当a=0时，﹣1＜0恒成立；
当a＞0时，＜2x+1，
由2x+1＞1，可得≤1，解得0＜a≤2；
当a＜0时，＞2x+1不恒成立．综上可得，a的取值范围是[0，2]．
19．（12分）某景区欲建造两条圆形观景步道M1、M2（宽度忽略不计），如图所示，已知AB⊥AC，AB=AC=AD=60（单位：米），要求圆M1与AB、AD分别相切于点B、D，圆M2与AC、AD分别相切于点C、D；
（1）若∠BAD=60°，求圆M1、M2的半径（结果精确到0.1米）
（2）若观景步道M1与M2的造价分别为每米0.8千元与每米0.9千元，如何设计圆M1、M2的大小，使总造价最低？最低总造价是多少？（结果精确到0.1千元）

解：（1）M1半径=60tan30°≈34.6，M2半径=60tan15°≈16.1；
（2）设∠BAD=2α，则总造价y=0.8•2π•60tanα+0.9•2π•60tan（45°﹣α），
设1+tanα=x，则y=12π•（8x+﹣17）≥84π，
当且仅当x=，tanα=时，取等号，
∴M1半径30，M2半径20，造价42.0千元．
20．（12分）已知双曲线（b＞0），直线l：y=kx+m（km≠0），l与Γ交于P、Q两点，P'为P关于y轴的对称点，直线P'Q与y轴交于点N（0，n）；（1）若点（2，0）是Γ的一个焦点，求Γ的渐近线方程；
（2）若b=1，点P的坐标为（﹣1，0），且，求k的值；
（3）若m=2，求n关于b的表达式．
解：（1）∵双曲线（b＞0），点（2，0）是Γ的一个焦点，
∴c=2，a=1，∴b2=c2﹣a2=4﹣1=3，
∴Γ的标准方程为： =1，Γ的渐近线方程为．
（2）∵b=1，∴双曲线Γ为：x2﹣y2=1，P（﹣1，0），P′（1，0），
∵=，设Q（x2，y2），则有定比分点坐标公式，得：
，解得，∵，∴，
∴=．
（3）设P（x1，y1），Q（x2，y2），kPQ=k0，
则，
由，得（b2﹣k2）x2﹣4kx﹣4﹣b2=0，
，，
由，得（）x2﹣2k0nx﹣n2﹣b2=0，
﹣x1+x2=，﹣x1x2=，
∴x1x2==，即，即=，
====，
化简，得2n2+n（4+b2）+2b2=0，∴n=﹣2或n=，
当n=﹣2，由=，得2b2=k2+k02，
由，得，
即Q（，），代入x2﹣=1，化简，得：
，解得b2=4或b2=kk0，
当b2=4时，满足n=，
当b2=kk0时，由2b2=k2+k02，得k=k0（舍去），综上，得n=．
21．（12分）已知函数f（x）=log2；
（1）解方程f（x）=1；
（2）设x∈（﹣1，1），a∈（1，+∞），证明：∈（﹣1，1），且f（）﹣f（x）=﹣f（）；
（3）设数列{xn}中，x1∈（﹣1，1），xn+1=（﹣1）n+1，n∈N*，求x1的取值范围，使得x3≥xn对任意n∈N*成立．
解：（1）∵f（x）=log2=1，∴=2，解得；
（2） 令g（x）=，

∵a∈（1，+∞），∴g（x）在（﹣1，1）上是增函数，
又g（﹣1）=，g（1）==1，
∴﹣1＜g（x）＜1，即∈（﹣1，1）．
∵f（x）﹣f（）=log2﹣log2=log2﹣log2
=log2（）=log2，
f（）=log2=log2．
∴f（）=f（x）﹣f（），∴f（）﹣f（x）=﹣f（）．
（3）∵f（x）的定义域为（﹣1，1），
f（﹣x）=log2=﹣log2=﹣f（x），∴f（x）是奇函数．
∵xn+1=（﹣1）n+1，∴xn+1=．
①当n为奇数时，f（xn+1）=f（）=f（xn）﹣f（）=f（xn）﹣1，
∴f（xn+1）=f（xn）﹣1；
②当n为偶数时，f（xn+1）=f（﹣）=﹣f（）=1﹣f（xn），
∴f（xn+1）=1﹣f（xn）．
∴f（x2）=f（x1）﹣1，f（x3）=1﹣f（x2）=2﹣f（x1），
f（x4）=f（x3）﹣1=1﹣f（x1），f（x5）=1﹣f（x4）=f（x1），
f（x6）=f（x5）﹣1=f（x1）﹣1，…∴f（xn）=f（xn+4），n∈N+．
设
∴h（x）在（﹣1，1）上是增函数，
∴f（x）=log2=log2h（x）在（﹣1，1）上是增函数．
∵x3≥xn对任意n∈N*成立，∴f（x3）≥f（xn）恒成立，
∴，即，
解得：f（x1）≤1，即log2≤1，∴0＜≤2，解得：﹣1＜x1≤．