天津高考数学高考必备知识点总结精华版.doc

第一章-集合
（一）、集合：集合元素的特征：确定性、互异性、无序性.
1、集合的性质：①任何一个集合是它本身的子集，记为；
②空集是任何集合的子集，记为；
③空集是任何非空集合的真子集；
①n个元素的子集有2n个. n个元素的真子集有2n －1个. n个元素的非空真子集有2n－2个.
[注]①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真.否命题逆命题.
②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题逆否命题.
2、集合运算：交、并、补.
（三）简易逻辑
构成复合命题的形式：p或q(记作“p∨q” )；p且q(记作“p∧q” )；非p(记作“┑q” ) 。
1、“或”、 “且”、 “非”的真假判断
4、四种命题的形式及相互关系：
原命题：若P则q； 逆命题：若q则p；
否命题：若┑P则┑q；逆否命题：若┑q则┑p。
①、原命题为真，它的逆命题不一定为真。
②、原命题为真，它的否命题不一定为真。
③、原命题为真，它的逆否命题一定为真。
6、如果已知pq那么我们说，p是q的充分条件，q是p的必要条件。
若pq且qp,则称p是q的充要条件，记为p⇔q.
第二章-函数
一、函数的性质
（1）定义域： （2）值域：
（3）奇偶性：（在整个定义域内考虑）
①定义：偶函数：，‚奇函数：
②判断方法步骤：a.求出定义域；b.判断定义域是否关于原点对称；c.求；d.比较或的关系。
（4）函数的单调性
定义：对于函数f(x)的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2,
⑴若当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2),则说f(x)在这个区间上是增函数；
⑵若当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2),则说f(x) 在这个区间上是减函数.
二、指数函数与对数函数
指数函数的图象和性质

a>1
0<a<1

图

象

性
质
(1)定义域：R
（2）值域：（0，+∞）
（3）过定点（0，1），即x=0时，y=1
(4)x>0时，y>1;x<0时，0<y<1
(4)x>0时，0<y<1;x<0时，y>1.
（5）在 R上是增函数
（5）在R上是减函数
对数函数y=logax（a>0且a1）的图象和性质:
图
象

性
质
（1）定义域：（0，+∞）
（2）值域：R
（3）过点（1，0），即当x=1时，y=0
（4）时
时 y>0
时
时
（5）在（0，+∞）上是增函数
在（0，+∞）上是减函数
⑴对数、指数运算：

⑵（）与（）互为反函数.

第三章 数列
1. ⑴等差、等比数列：

等差数列
等比数列
定义

递推公式
；

；

通项公式

（）
中项公式

前项和

重要性质
则

（2）数列{}的前项和与通项的关系：
第四章-三角函数
一.三角函数
1、角度与弧度的互换关系：360°=2 ；180°= ；
1rad＝°≈57.30°=57°18ˊ；1°＝≈0.01745（rad）
注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.
2、弧长公式：. 扇形面积公式：
3、三角函数： ； ； ；
4、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）

5、同角三角函数的基本关系式：
6、诱导公式：

7、两角和与差公式

8、 二倍角公式是：
sin2=
cos2===
2=。
辅助角公式asinθ+bcosθ=sin(θ+)，这里辅助角所在象限由a、b的符号确定，角的值由tan=确定。
9、特殊角的三角函数值：

0

sin
0

1
0

cos
1

0

0
tan
0

1

不存在
0
不存在
cot
不存在

1

0
不存在
0
10、正弦定理 （R为外接圆半径）．
余弦定理 c2 = a2+b2－2bccosC，
b2 = a2+c2－2accosB，
a2 = b2+c2－2bccosA．
面积公式：

11.或（）的周期.
12.的对称轴方程是（），对称中心（）；的对称轴方程是（），对称中心（）；的对称中心（）.
第五章-平面向量
(1)向量的基本要素：大小和方向.
(2)向量的长度：即向量的大小，记作｜｜.

(3)特殊的向量：零向量＝O｜｜＝O.
单位向量为单位向量｜｜＝1.
(4)相等的向量：大小相等，方向相同(ｘ1，ｙ1)＝（ｘ2，ｙ2）
(5) 相反向量：=-=-+=
(6)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作∥.平行向量也称为共线向量.
（7）.向量的运算
运算类型
几何方法
坐标方法
运算性质
向量的
加法
1. 平行四边
形法则
2.三角形法则

向量的
减法
三角形法则

,
数
乘
向
量
1.是一个向量,满足:
2.>0时, 同向;<0时, 异向;
=0时, .

向
量
的
数
量
积
是一个数
1.时，

(8)两个向量平行的充要条件
∥ (¹)
(9)两个向量垂直的充要条件
⊥·=0 x1·x2+y1·y2=0
(10)两向量的夹角公式：cosθ==
0≤θ≤180°,
附：三角形的四个“心”；
1、内心：内切圆的圆心，角平分线的交点
2、外心：外接圆的圆心，垂直平分线的交点
3、重心：中线的交点
4、垂心：高的交点
(11)△ABC的判定：
△ABC为直角△∠A + ∠B =
＜△ABC为钝角△∠A + ∠B＜
＞△ABC为锐角△∠A + ∠B＞
(11)平行四边形对角线定理：对角线的平方和等于四边的平方和.
第六章-不等式
1.几个重要不等式
（1） 当且仅当，(a－b)2≥0(a、b∈R)
（2）
（3），则；
（4）；
⑸若a、b∈R+，，则
；
2、解不等式
（1）一元一次不等式
① ②
（2）一元二次不等式

第七章-直线和圆的方程
一、解析几何中的基本公式
1.两点间距离：若，则
2.平行线间距离：若
则：
注意：x，y对应项系数应相等。
3.点到直线的距离：
则P到l的距离为：
4.直线与圆锥曲线相交的弦长公式： 消y：，务必注意若l与曲线交于A则：

5.若A，P（x，y）,P为AB中点，则
6.直线的倾斜角（0°≤＜180°）、斜率:
7.过两点.
8.直线l1与直线l2的的平行与垂直
（1）若l1，l2均存在斜率且不重合：①l1//l2 k1=k2 ②l1l2 k1k2=－1
（2）若
若A1、A2、B1、B2都不为零
l1//l2； ‚l1l2 A1A2+B1B2=0；
9.直线方程的五种形式
名称 方程
斜截式： y=kx+b
点斜式：
两点式： （x1≠x2 ）
截距式：
一般式： （其中A、B不同时为零）
10. 圆的方程
（1）标准方程： ， 。
（2）一般方程：，（
半径
特例：圆心在坐标原点，半径为的圆的方程是：.
注：圆的参数方程：（为参数）.
特别地，以(0，0)为圆心，以r为半径的圆的参数方程为

（3）点和圆的位置关系：给定点及圆.
①在圆内
②在圆上
③在圆外
（4）直线和圆的位置关系：
设圆圆：；
直线：；
圆心到直线的距离.
①时，与相切； ②时，与相交；
③时，与相离.
第八章-圆锥曲线方程
一、椭圆
1.定义Ⅰ：若F1，F2是两定点，P为动点，且 （为常数）则P点的轨迹是椭圆。
2.标准方程：

长轴长=，短轴长=2b 焦距：2c 准线方程：，
离心率： 焦点：或.
二、双曲线
1、定义：若F1，F2是两定点，（为常数），则动点P的轨迹是双曲线。
2.性质
（1）方程：
实轴长=，虚轴长=2b焦距：2c 准线方程：
离心率. 准线距（两准线的距离）；通径.
参数关系.
（2） 若双曲线方程为渐近线方程：
⑶等轴双曲线：双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为，离心率.
三、抛物线
1.定义：到定点F与定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线。
即：到定点F的距离与到定直线l的距离之比是常数e（e=1）。
2.图形：

3.性质：方程：（焦点到准线的距离）；
焦点： ，通径；
准线： ；离心率

第九章-立体几何
一、判定两线平行的方法
1、 平行于同一直线的两条直线互相平行
2、 垂直于同一平面的两条直线互相平行
3、 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行
4、 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行
二． 判定线面平行的方法
a) 据定义：如果一条直线和一个平面没有公共点
b) 如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行
c) 两面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面
d) 平面外的两条平行直线中的一条平行于平面，则另一条也平行于该平面
e) 平面外的一条直线和两个平行平面中的一个平面平行，则也平行于另一个平面
三、判定面面平行的方法
⑴由定义知：“两平行平面没有公共点”。
⑵由定义推得：“两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。
⑶两个平面平行的性质定理：“如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行”。
⑷一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。
⑸夹在两个平行平面间的平行线段相等。
⑹经过平面外一点只有一个平面和已知平面平行。
四、面面平行的性质
1、两平行平面没有公共点
2、两平面平行，则一个平面上的任一直线平行于另一平面
3、两平行平面被第三个平面所截，则两交线平行
4、 垂直于两平行平面中一个平面的直线，必垂直于另一个平面
五、判定线面垂直的方法
1、定义：如果一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，则线面垂直
2、如果一条直线和一个平面内的两条相交线垂直，则线面垂直
3、如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面
4、一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面
5、如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面
六、判定两线垂直的方法
1、 定义：成角
2、 直线和平面垂直，则该线与平面内任一直线垂直
3、 一条直线如果和两条平行直线中的一条垂直，它也和另一条垂直
七、判定面面垂直的方法
1、 定义：两面成直二面角,则两面垂直
2、 一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这个平面垂直于另一平面
八、面面垂直的性质
1、 二面角的平面角为
2、 在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面
3、 相交平面同垂直于第三个平面，则交线垂直于第三个平面
九、各种角的范围
1、异面直线所成的角的取值范围是：
2、直线与平面所成的角的取值范围是：
3、斜线与平面所成的角的取值范围是：
4、二面角的大小用它的平面角来度量；取值范围是：
十、面积和体积
1.

2、
3、球的表面积公式：.球的体积公式：.
4、圆柱体积：（为半径，为高）
圆锥体积：（为半径，为高）
锥体体积：（为底面积，为高）

5、面积比是相似比的平方，体积比是相似比的立方
第十章-概率与统计
1.必然事件P(A)=1，不可能事件P(A)=0，随机事件的定义 0<P(A)<1。
两条基本性质①…)； ②P1+P2+…=1。
2.等可能事件的概率：（古典概率）P(A)=　理解这里m、ｎ的意义。
3.总体分布的估计：用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法，一般地，样本容量越大，这种估计就越精确，要求能画出频率分布表和频率分布直方图；
（1）平均数设数据，则
①
（2）方差：衡量数据波动大小
（较小）
--------标准差
4.了解三种抽样的意义
（1）简单随机抽样：设一个总体的个数为N。如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随机抽样。实现简单随机抽样，常用抽签法和随机数表法。
（2）系统抽样：当总体中的个数较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照预先定出的规则，从每一部分抽取1个个体，得到所需要的样本，这种抽样叫做系统抽样（也称为机械抽样）。
系统抽样的步骤可概括为：（1）将总体中的个体编号；（2）将整个的编号进行分段；（3）确定起始的个体编号；（4）抽取样本。
（3）分层抽样：当已知总体由差异明显的几部分组成时，常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比进行抽样，这种抽样叫做分层抽样，其中所分成的各部分叫做层。
第十一章 导 数
1. 导数的几何意义：
函数在点处的导数的几何意义就是曲线在点处的切线的斜率，也就是说，曲线在点P处的切线的斜率是，切线方程为
2. 基本初等函数的导数公式与运算法则
①； ② ； ③；
④； ⑤； ⑥；
⑦；⑧
3. 求导数的四则运算法则：

（为常数）

4.导数的应用：
（1）利用导数判断函数的单调性：
①求 的定义域；
②求导数
③求方程的根
④列表检验在方程根的左右的符号，若，为增，若，为减
⑤如果左上升右下降，那么函数y=f(x)在这个根处取得极大值；如果左下降右上升，那么函数y=f(x)在这个根处取得极小值；
第十二章 复数
1.⑴复数的单位为i，它的平方等于－1，即.
⑵复数及其相关概念：
① 复数—形如a + bi的数（其中）；
② 实数—当b = 0时的复数a + bi，即a；
③ 虚数—当时的复数a + bi；
④ 纯虚数—当a = 0且时的复数a + bi，即bi.
⑤ 复数a + bi的实部与虚部—a叫做复数的实部，b叫做虚部（注意a，b都是实数）
⑥ 复数集C—全体复数的集合，一般用字母C表示.
⑶两个复数相等的定义：

⑷两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.
2. 共轭复数（）， ，
3.常用的结论：

4.⑴复数是实数及纯虚数的充要条件：
①.
②若，是纯虚数.
第十三章 极坐标
1、极坐标与直角坐标互换
2、圆的参数方程
3、椭圆参数方程