高中数学平面向量习题与答案.doc

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第二章 平面向量
一、选择题
(第1题)
1．在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，则( )．
A．与共线 B．与共线
C．与相等 D．与相等
2．下列命题正确的是( )．
A．向量与是两平行向量
B．若a，b都是单位向量，则a＝b
C．若＝，则A，B，C，D四点构成平行四边形
D．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同
3．平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3，1)，B(－1，3)，若点C满足＝a ＋b ，其中 a，b∈R，且a＋b＝1，则点C的轨迹方程为( )．
A．3x＋2y－11＝0 B．(x－1)2＋(y－1)2＝5
C．2x－y＝0 D．x＋2y－5＝0
4．已知a、b是非零向量且满足(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a与b的夹角是( )．
A． B． C． D．
5．已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上(不包括端点A，C)，则＝( )．
A．λ(＋)，λ∈(0，1) B．λ(＋)，λ∈(0，)
C．λ(－)，λ∈(0，1) D．λ(－)，λ∈(0，)
6．△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，则＝( )．
A．＋ B．－
C．＋ D．＋
7．若平面向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则向量a的模为( )．
A．2 B．4 C．6 D．12
8．点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足·＝·＝·，则点O是△ABC的( )．
A．三个内角的角平分线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点
C．三条中线的交点 D．三条高的交点
9．在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为( )．
A．平行四边形 B．矩形 C．梯形 D．菱形
(第10题)
10．如图，梯形ABCD中，||＝||，∥∥则相等向量是( )．
A．与 B．与
C．与 D．与
二、填空题
11．已知向量＝(k，12)，＝(4，5)，＝(－k，10)，且A，B，C三点共线，则k＝ ．
12．已知向量a＝(x＋3，x2－3x－4)与相等，其中M(－1，3)，N(1，3)，则x＝ ．
13．已知平面上三点A，B，C满足||＝3，||＝4，||＝5，则·＋·＋·的值等于 ．
14．给定两个向量a＝(3，4)，b＝(2，－1)，且(a＋mb)⊥(a－b)，则实数m等于 ．
15．已知A，B，C三点不共线，O是△ABC内的一点，若＋＋＝0，则O是△ABC的 ．
16．设平面内有四边形ABCD和点O，＝a，＝b，＝c, ＝d，若a＋c＝b＋d，则四边形ABCD的形状是 ．
三、解答题
17．已知点A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)，若点P满足＝＋λ(λ∈R)，试求 λ为何值时，点P在第三象限内？

(第18题)
18．如图，已知△ABC，A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)，M，N，D分别是AB，AC，BC的中点，且MN与AD交于F，求．

19．如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，求证：AF⊥DE(利用向量证明)．
(第19题)

20．已知向量a＝(cos θ，sin θ)，向量b＝(，－1)，则|2a－b|的最大值．
参考答案
一、选择题
(第1题)
1．B
解析：如图，与，与不平行，与共线反向．
2．A
解析：两个单位向量可能方向不同，故B不对．若＝，可能A，B，C，D四点共线，故C不对．两向量相等的充要条件是大小相等，方向相同，故D也不对．
3．D
解析：提示：设＝(x，y)，＝(3，1)，＝(－1，3)，a ＝(3a，a)，b ＝(－b，3b)，又a＋b ＝(3a－b，a＋3b)，
∴ (x，y)＝(3a－b，a＋3b)，∴ ，又a＋b＝1，由此得到答案为D．
4．B
解析：∵(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，
∴(a－2b)·a＝a2－2a·b＝0，(b－2a)·b＝b2－2a·b＝0，
∴ a2＝b2，即|a|＝|b|．∴|a|2＝2|a||b|cos θ＝2|a|2cosθ．解得cos θ＝．
∴ a与b的夹角是．
5．A
解析：由平行四边形法则，＋＝，又＋＝，由 λ的范围和向量数乘的长度，λ∈(0，1)．
6．D
解析：如图，∵＝，
∴ ＝＋＝＋．
(第6题)
7．C
解析：由(a＋2b)·(a－3b)＝－72，得a2－a·b－6b2＝－72．
而|b|＝4，a·b＝|a||b|cos 60°＝2|a|，
∴ |a|2－2|a|－96＝－72，解得|a|＝6．
8．D
解析：由 ·＝·＝·，得·＝·,
即·(－)＝0，
故·＝0，⊥，同理可证⊥，
∴ O是△ABC的三条高的交点．
9．C
解析：∵＝＋＋＝－8a－2b＝2，∴∥且||≠||．
∴ 四边形ABCD为梯形．
10．D
解析：与，与，与方向都不相同，不是相等向量．
二、填空题
11．－．
解析：A，B，C三点共线等价于，共线，
＝－＝(4，5)－(k，12)＝(4－k，－7)，
＝－＝(－k，10)－(4，5)＝(－k－4，5)，
又 A，B，C三点共线，
∴ 5(4－k)＝－7(－k－4)，∴ k＝－．
12．－1．
解析：∵ M(－1，3)，N(1，3)，
∴ ＝(2，0)，又a＝，
∴ 解得
∴ x＝－1．
13．－25．
解析：思路1：∵ ＝3，＝4，＝5，
∴ △ABC为直角三角形且∠ABC＝90°，即⊥，∴·＝0，
∴ ·＋·＋·
＝·＋·
＝·(＋)
＝－()2
＝－
＝－25．
思路2：∵ ＝3，＝4，＝5，∴∠ABC＝90°，
∴ cos∠CAB＝＝，cos∠BCA＝＝．
D
(第13题)
根据数积定义，结合图(右图)知·＝0，
·＝·cos∠ACE＝4×5×(－)＝－16，
·＝·cos∠BAD＝3×5×(－)＝－9．
∴ ·＋·＋·＝0―16―9＝－25．
14．．
解析：a＋mb＝(3＋2m，4－m)，a－b＝(1，5)．
∵ (a＋mb)⊥(a－b)，
∴ (a＋mb)·(a－b)＝(3＋2m)×1＋(4－m)×5＝0m＝．
(第15题)
15．答案：重心．
解析：如图，以，为邻边作□AOCF交AC于点E，则＝＋，又 ＋＝－，
∴ ＝2＝－．O是△ABC的重心．
16．答案：平行四边形．
解析：∵ a＋c＝b＋d，∴ a－b＝d－c，∴＝．
∴ 四边形ABCD为平行四边形．
三、解答题
17．λ＜－1．
解析：设点P的坐标为(x，y)，则＝(x，y)－(2，3)＝(x－2，y－3)．
＋λ＝(5，4)－(2，3)＋λ［(7，10)－(2，3)］
＝(3，１)＋λ(5，7)
＝(3＋5λ，１＋7λ)．
∵ ＝＋λ，
∴ (x－2，y－3)＝(3＋5λ，1＋7λ)．
∴ 即
(第18题)
要使点P在第三象限内，只需　　解得 λ＜－1．
18．＝(，2)．
解析：∵ A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)，
＝(－4，－3)，＝(－3，－5)．
又 D是BC的中点，
∴ ＝(＋)＝(－4－3，－3－5)
＝(－7，－8)＝(－，－4)．
又 M，N分别是AB，AC的中点，
∴ F是AD的中点，
∴ ＝－＝－＝－(－，－4)＝(，2)．
19．证明：设＝a，＝b，则＝a＋b，＝b－a．
(第19题)
∴ ·＝(a＋b)·(b－a)＝b2－a2＋a·b．
又⊥，且＝，∴ a2＝b2，a·b＝0．
∴ ·＝0，∴⊥．
本题也可以建平面直角坐标系后进行证明．
20．分析：思路1：2a－b＝(2cos θ－，2sin θ＋1)，
∴ |2a－b|2＝(2cos θ－)2＋(2sin θ＋1)2＝8＋4sin θ－4cos θ．
又4sin θ－4cos θ＝8(sin θcos－cos θsin)＝8sin(θ－)，最大值为8，
∴ |2a－b|2的最大值为16，∴|2a－b|的最大值为4．
思路2：将向量2a，b平移，使它们的起点与原点重合，则|2a－b|表示2a，b终点间的距离．|2a|＝2，所以2a的终点是以原点为圆心，2为半径的圆上的动点P，b的终点是该圆上的一个定点Q，由圆的知识可知，|PQ|的最大值为直径的长为4．

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